Định lý bất khả quy của abel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Phạm Thị Tâm

ĐỊNH LÝ BẤT KHẢ QUY CỦA ABEL

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Phạm Thị Tâm

ĐỊNH LÝ BẤT KHẢ QUY CỦA ABEL

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Th.s Nguyễn Huy Hưng

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Th.s Nguyễn Huy Hưng - Người đã
tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luận của
mình. Đồng thời, em cũng xin trân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ
Đại số và các thầy cô trong khoa Toán-Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt
bài khóa luận này.
Trong khuôn khổ của một khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình
độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không
tránh khỏi những hạn chế những thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính
mong nhận được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 1 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Phạm Thị Tâm

i


Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình
học tập và nghiên cứu, dưới sự chỉ dẫn của Th.s Nguyễn Huy Hưng và
sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy chúng tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này tôi đã tham

khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Định lý bất khả quy của Abel "
không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 1 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Phạm Thị Tâm

ii


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1

1.1

Nhóm,Vành,Miền nguyên,Trường . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Nhóm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Một số khái niệm bổ trợ khác . . . . . . . . . . . . . .

10

2 PHÉP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH BẬC THẤP
2.1

13

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.1

Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2

Phương trình tương đương . . . . . . . . . . . .

14

2.1.3

Các phép biến đổi tương đương phương trình .

14

2.2

Giải phương trình tổng quát bậc hai . . . . . . . . . .

18

2.3

Giải phương trình tổng quát bậc ba . . . . . . . . . . .

19

2.4

Giải phương trình tổng quát bậc bốn . . . . . . . . . .

20

3 ĐỊNH LÝ BẤT KHẢ QUY CỦA ABEL
3.1

Một số định lý liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

23
23


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.2

Phạm Thị Tâm

3.1.1

Bổ đề Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.1.2

Định lý Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.1.3

Tiêu chuẩn Eisenstein . . . . . . . . . . . . . .

26

3.1.4

Định lý Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.1.5

Định lý Waring . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Định lý bất khả quy của Abel . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2.1

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2.2

Hệ luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2.3

Một số phương trình bậc n >4 giải được bằng
đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.4

34

Phương trình bậc n >4 không giải được bằng
đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

Lời mở đầu
Bộ môn đại số có một vị trí quan trọng trong Toán học. Loài người
đã biết giải phương trình bậc một từ trước Công nguyên và đến thời kì
Phục hưng, khoảng thế kỉ 16 sau Công nguyên, cùng với sự ra đời của
số phức người ta đã đưa ra được công thức nghiệm của các phương
trình đại số tổng quát có bậc không vượt quá bốn. Các kết quả trên
đã tạo ra động lực thôi thúc các nhà toán học của nhiều thế kỉ đi tìm
công thức nghiệm tổng quát của các phương trình đại số bậc năm.
Và câu trả lời đến từ hai nhà toán học Niels Henrik Abel và Évariste
Galois.Niels Henrik Abel, nhà toán học xuất sắc của Na Uy, đã đưa ra
một ý kiến quan trọng: các phương trình bậc cao hơn bốn dưới dạng
tổng quát không thể nào được giải quyết tốt bằng các phương pháp
đại số thuần túy. Nói một cách khác, Abel muốn chỉ cho chúng ta thấy
rằng nghiệm của những phương trình này hoàn toàn không thể biểu
diễn bởi các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai căn. Lý
luận này của Abel rất quan trọng, vì nó mở đường cho các nhà toán
học khác, đặc biệt là Galois, tìm ra hướng đi mới để giải quyết triệt
để vấn đề công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc n.
E.Galois (1811 - 1832) thiên tài toán học người Pháp đã từng chứng
minh bằng lí thuyết nhóm là phương trình bậc n, n>4 không thể giải
tổng quát bằng căn thức (không có công thức căn thức tổng quát biểu
diễn nghiệm bằng các hệ số của phương trình tổng quát bậc lớn hơn
4).
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

Cũng từ đó trở đi, lý thuyết phương trình không còn đóng vai trò
chủ đạo trong bộ môn Đại số nữa mà đối tượng của phân môn này là
nhóm, vành, trường...
Có thể nói định lý bất khả quy của Abel là công trình nghiên cứu
đã đặt dấu chấm hết cho quá trình tìm cách giải các phương trình bậc
cao hơn bốn, đồng thời còn mở ra bước phát triển mới cho đại số hiện
đại. Tuy nhiên cho đến nay, ở Việt Nam, tài liệu về định lý chưa nhiều
nên em đã mạnh dạn lựa chọn đề tài ”Định lý bất khả quy của Abel ”
Khóa luận gồm ba chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Cách giải các phương trình bậc thấp.
Chương 3. Định lý bất khả quy của Abel.
Chương 1 dành cho việc trình bày lí thuyết bổ trợ liên quan về lý
thuyết trường, về đa thức, về nhóm số và những khái niệm phục vụ
cho nội dung chứng minh phía sau.
Ở chương 2, em trình bày một số khái niệm liên quan và cách giải
các phương trình bậc thấp bao gồm: phương trình bậc hai, phương
trình bậc ba, phương trình bậc bốn.
Chương 3 là nội dung chính của khóa luận. Phần đầu chương này
em dành để đưa ra một số định lý liên quan. Tiếp đó, em trình bày
định lý, cách chứng minh định lý bất khả quy của Abel và hai hệ luận
quan trọng suy ra từ định lý. Cuối cùng là một số phương trình có bậc
lớn hơn bốn giải được bằng đại số và không giải được bằng đại số.
Phương pháp nghiên cứu của đề tài là đọc tài liệu và trao đổi kinh

2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

nghiệm.

Hà Nội, ngày 1 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Phạm Thị Tâm

3


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Nhóm,Vành,Miền nguyên,Trường

Định nghĩa 1.1. Ta gọi là phép toán hai ngôi (hay còn gọi tắt là
phép toán) trong một tập hợp X = ∅ một ánh xạ f từ X × X đến X.
Giá trị f (x, y) của f tại (x, y) gọi là cái hợp thành của x và y.
Cái hợp thành của x và y thường được kí hiệu bằng cách viết x
và y theo một thứ tự nhất định với một dấu đặc trưng cho phép toán
đặt giữa x, y. Trong các dấu mà người ta hay dùng tới nhiều nhất,
là các dấu + và . ; đối với dấu . người ta thường quy ước bỏ đi; với
các dấu đó, cái hợp thành của x và y được viết x + y, x.y hay xy.
Một phép toán hai ngôi kí hiệu bằng dấu + gọi là phép cộng, cái hợp
thành x + y lúc đó gọi là tổng của x và y; một phép toán hai ngôi kí
hiệu bằng dấu . gọi là phép nhân, cái hợp thành x.y hay xy lúc đó gọi

là tích của x và y. Người ta còn dùng các kí hiệu x ◦ y, x ∗ y, x⊥y ... .
Một phép toán hai ngôi ”∗ ” trong một tập hợp X được gọi là kết
hợp nếu và chỉ nếu (x∗ y)∗ z = x∗ (y ∗ z), ∀x, y, z ∈ X; là giao hoán nếu

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

và chỉ nếu ta có x∗ y = y ∗ x, ∀x, y ∈ X.
Một bộ phận A của X gọi là ổn định (đối với phép toán hai ngôi
trong X) nếu và chỉ nếu x∗ y ∈ A, ∀x, y ∈ A. Khi đó phép toán ”∗ ”
xác định trong bộ phận ổn định A bởi quan hệ x∗∗ y = x∗ y, ∀x, y ∈ A
gọi là cái thu hẹp vào A của phép toán hai ngôi trong X. Người ta còn
nói rằng ”∗ ” là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán ”∗ ” của X.
Người ta thường kí hiệu phép toán cảm sinh như phép toán của X.
Định nghĩa 1.2. Cho ”∗ ” là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X.
Một phần tử e của X gọi là một đơn vị trái của phép toán ”∗ ” nếu và
chỉ nếu e∗ x = x, với mọi x ∈ X; là một đơn vị phải của phép toán ”∗ ”
nếu và chỉ nếu x∗ e = x, với mọi x ∈ X.
Nếu một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X có đơn vị trái
e và một đơn vị phải e thì e = e . Một phép toán hai ngôi có nhiều
nhất một phần tử trung lập.
Định nghĩa 1.3. Ta gọi là nửa nhóm một tập hợp X cùng với một
phép toán hai ngôi kết hợp đã cho trong X. Một nửa nhóm có phần tử
trung lập gọi là một vị nhóm. Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép
toán của nó là giao hoán.
Ta gọi là nhóm một nửa nhóm X có các tính chất sau

(i) Có phần tử trung lập e;
(ii) ∀x ∈ X, ∃x ∈ X: x∗ x = x ∗ x = e (phần tử x gọi là một phần
tử đối xứng hay nghịch đảo của x).
Như vậy, một nhóm là một vị nhóm mà mỗi phần tử đều có nghịch
đảo.
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

Nếu tập hợp X là hữu hạn thì ta bảo ta có một nhóm hữu hạn
và số phần tử của X gọi là cấp của nhóm. Nếu phép toán hai ngôi
trong X là giao hoán thì ta bảo ta có một nhóm giao hoán hay nhóm
abel.
Định nghĩa 1.4. Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai phép
toán hai ngôi đã cho trong X kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu +, ×
và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn
(i) X cùng với phép cộng là một nhóm abel;
(ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm;
(iii)Phép nhân phân phối với phép cộng: với các phần tử tùy ý
x, y, z ∈ X ta có
x(y + z) = xy + xz;
(y + z)x = yx + zx.
Phần tử trung lập của phép cộng thì kí hiệu là 0 và gọi là phần
tử không. Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) của một phần tử x
thì kí hiệu là −x và gọi là đối của x. Nếu phép nhân là giao hoán thì
ta bảo vành X là giao hoán. Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì
phần tử đó gọi là phần tử đơn vị của X và thường kí hiệu là e hay 1

(nếu không có sự nhầm lẫn).
Định nghĩa 1.5. Giả sử X là một vành giao hoán. Ta bảo một phần
tử a ∈ X là bội của một phần tử b ∈ X hay a chia hết cho b, kí hiệu
.
a..b, nếu có c ∈ X sao cho a = bc; ta còn nói rằng b là ước của a hay b
chia hết a, kí hiệu b|a.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

Ta gọi là miền nguyên một vành có nhiều hơn một phần tử, giao
hoán, có đơn vị, không có ước của 0.
Định nghĩa 1.6. Ta gọi là trường một miền nguyên X trong đó mọi
phần tử khác không đều có một nghịch đảo trong vị nhóm nhân X
hoặc một vành X giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử là
một trường nếu và chỉ nếu X \ {0} là một nhóm đối với phép nhân
của X.
Cho X là một trường, A là một bộ phận của X ổn định đối với
hai phép toán trong X. A là một trường con của trường X nếu A cùng
với hai phép toán cảm sinh trên A là một trường, và khi đó X được
gọi là một mở rộng của trường A. Kí hiệu X \ A hoặc X ⊇ A.
Mọi trường đều có ít nhất một trường con là chính nó.
Định nghĩa 1.7. Một trường không có trường con nào khác ngoài
chính nó được gọi là một trường nguyên tố.
Định nghĩa 1.8. Giả sử X là vành giao hoán. Nếu tồn tại số nguyên
dương nhỏ nhất n sao cho na = 0, ∀a ∈ X thì ta nói vành X có đặc
số n. Nếu không tồn tại n như vậy thì ta nói vành X có đặc số 0. Đặc

số của vành X được kí hiệu CharX. Nếu X là một trường thì ta hiểu
đặc số của trường X là đặc số của vành X.

1.2

Đa thức

Định nghĩa 1.9. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1. Kí hiệu
tập A = {(a0 , a1 , ...., an , ...)|ai ∈ R, ai = 0 hầu hết}. Trên A, xác định
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

hai phép toán (+) và (×)sau
• Phép cộng
(a0 , a1 , ...., an , ...) + (b0 , b1 , ...., bn , ...) = (a0 + b0 , a1 + b1 , ..., an + bn , ...)
• Nhép nhân
(a0 , a1 , ...., an , ...).(b0 , b1 , ...., bn , ...) = (c0 , c1 , ...., cn , ...)
với ck :=

ai .bj , k = 0, 1, ..., n, ...
i+j=k

Khi đó tập A cùng với hai phép toán + và × xác định ở trên lập thành
một vành giao hoán có đơn vị 1 = (1, 0, ..., 0, ...), và gọi A là vành
đa thức, mỗi phần tử thuộc P gọi là một đa thức. Ta có
ánh xạ: f : A −→ P

a −→ (a, 0, ..., 0, ...)
là một đơn cấu vành.
Do vậy, ta đồng nhất a ∈ A với phần tử f (a) = (a, 0, ..., 0, ...) ∈ P .
Khi đó A là vành con của P
Kí hiệu

x = (0, 1, 0, ..., 0, ...)

ta có

x2 = (0, 0, 1, 0, ..., 0, ...)
x3 = (0, 0, 0, 1, 0, ..., 0, ...)
...
xn = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0, ...)
n

Quy ước x0 = (1, 0, 0, ...)
Với mỗi phần tử α ∈ P , với mọi α = (a0 , a1 , ..., ak , ...) ∈ P , tồn tại
n ∈ N sao cho an+1 = an+2 = ... = 0
Khi đó α = (a0 , a1 , ..., an , 0, ...)
= (a0 , 0, ...) + (0, a1 , 0, ...) + (0, 0, a2 , 0, ...) + ...
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

+(0, ..., 0, an , 0, ...)
= a0 (1, 0, ...) + a1 (0, 1, 0, ...) + ... + an (0, ..., 0, 1, 0, ...)

n

= a0 + a1 x + ... + an xn
α = a0 + a1 x + ... + an xn ∈ A[x].

Do đó thay cho P ta viết A[x] và gọi là vành đa thức của ẩn x, lấy hệ
tử trong A. Mỗi phần tử thuộc A[x] gọi là đa thức một ẩn x, được kí
hiệu là f (x), g(x),...
Định nghĩa 1.10. Cho f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn ∈ A[x]
Nếu an = 0, thì n được gọi là bậc của đa thức f (x) và kí hiệu
degf (x) = n. Nếu f (x) = 0 thì ta nói f (x) không có bậc hoặc có bậc
là −∞.
Một số tính chất. Cho P(x) và S(x) là những đa thức. Khi đó ta
có các tính chất sau
(1) Tích của hai đa thức P(x) và S(x) là một đa thức Q(x) và
degQ(x) ≤ degP(x) + degS(x).
(2) Tổng (hiệu) của hai đa thức P(x) và S(x) là một đa thức Q(x) và
degQ(x) ≤ max [degP(x); degS(x)].
Định nghĩa 1.11. Giả sử c là một phần tử tùy ý của vành R,
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + .... + a1 x + a0 (n ≥ 1) là đa thức tùy ý của
vành R[x]; phần tử
P (c) = an cn + an−1 cn−1 + .... + a1 c + a0 ∈ R
được bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của P (x) tại c. Nếu P (c) = 0
thì c gọi là nghiệm của đa thức. Tìm nghiệm của P (x) trong R gọi là
giải phương trình đại số bậc n trong R.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

Định lý 1.1. Mọi đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + .... + a1 x + a0
có thể biểu diễn dưới dạng
P (x) = an .(x − α1 ).(x − α2 )....(x − αn ),
trong đó α1 , α2 , ..., αn là những nghiệm của đa thức.
Định lý 1.2. Mọi đa thức bậc n, (n ∈ N∗ ) đều có không quá n nghiệm.
Định nghĩa 1.12. Cho đa thức
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + .... + a1 x + a0 , (ai ∈ trường K, n ∈ N∗ )
Đa thức f (x) ∈ K[x] được gọi là đa thức khả quy trong K[x] hay trên
K nếu tồn tại hai đa thức g(x), h(x) ∈ K[x] sao cho
(i) 1 ≤ degg(x), degh(x) ≤ degf (x);
(ii) f (x) = g(x)h(x).
Một đa thức không khả quy được gọi là một đa thức bất khả quy.
Định nghĩa 1.13. Cho P là trường nguyên tố, n ∈ N∗ , n không chia
hết cho Char(P ). Ta gọi căn đơn vị là nghiệm của đa thức f (x) =
xn − 1 trong một mở rộng nào đó của trường P .

1.3

Nhóm số

Định nghĩa 1.14. Một hệ R các số được gọi là một nhóm R-số hay
miền hữu tỷ khi cộng, trừ và nhân hai số của hệ cũng sẽ thu được một
số của hệ đó. Để ngắn gọn, ta sẽ gọi các số của hệ đó là R-số.
Hai nhóm được gọi là bằng nhau khi mỗi số của nhóm này cũng
thuộc nhóm kia.
Ví dụ 1.1
7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

(Q, +, .) là một nhóm số.
(Z, +, .) là một nhóm số.
(C, +, .) không là nhóm số.
Định nghĩa 1.15. Một hàm f (x) hay một phương trình f (x) = 0
trong một nhóm là một hàm hay phương trình mà các hệ số của nó
là các số thuộc nhóm đó. Một đa thức trong R được hiểu là hàm hữu
tỷ nguyên của biến x mà các hệ số của nó là R-số.
Một đa thức
F (x) = A.xn + B.xn−1 + ....
hay một phương trình
F (x) = 0
trong một nhóm R-số được gọi là bất khả quy trong nhóm này tùy
theo F (x) có chia hết cho một tích của các đa thức bậc thấp hơn trong
R hay không.
Ví dụ 1.2
Hàm F (x) = x2 − 10.x + 7 là bất khả quy trong nhóm R nhưng lại
√
là khả quy trong nhóm R( 2). Do
F (x) = x2 − 10.x + 7
√
√
= (x − 5 − 3 2).(x − 5 + 3 2).
Định nghĩa 1.16. Cho X là một tập khác ∅. Ta gọi là một phép thế
trên tập X, một song ánh trên tập X. Tập các phép thế trên X được
kí hiệu là S(X).

Giả sử X = {X1 , X2 , ...., Xn } là tập có n phần tử thì khi đó S(X)
có n! phẩn tử. Các phần tử của S(X) có thể viết dưới dạng
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


f =

X1

Phạm Thị Tâm

X2

...

Xi

...

Xn

f (X1 ) f (X2 ) . . . f (Xi ) . . . f (Xn )




Ví dụ 1.3

Cho X = {1, 2, 3}. Khi đó, tập S(X) có 3!= 6 phần tử, đó là

e=

f1 = 

f3 = 

f5 = 

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3 2
1 2 3
2 1 3
1 2 3
3 1 2


 là ánh xạ đồng nhất và




, f2 = 




, f 4 = 

1 2 3
3 2 1
1 2 3
2 3 1




,


.

Đặc biệt, một nhóm R’ = R(α, β, γ, ...) được tạo ra bởi phép thế
của các đại lượng α, β, γ, ... mà các hệ số của nó là R-số.
Trường hợp chung nhất của phép thế trong một nhóm R bao gồm
phép thế của một nghiệm α của một phương trình bất khả quy bậc n
f (x) = xn + a1 .xn−1 + .... + an = 0
vào trong R. Một số ζ của nhóm R’ = R(α) được xác định bởi phép
thế này là một hàm hữu tỷ của α với các hệ số từ R và có thể được
viết là ζ = Ψ(α)/Φ(α), trong đó Ψ và Φ là các đa thức với hệ số trong
R. Vì αn = −a1 .αn−1 − a2 .αn−2 − .... − an nên mỗi lũy thừa α có số
mũ n hay với số mũ lớn hơn n đều có thể được biểu thị bằng các lũy
thừa αn−1 , αn−2 , ..., α sao cho ta có thể viết ζ = ψ(α)/ϕ(α), trong đó
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

ψ và ϕ là các đa thức trong R có bậc không lớn hơn n − 1.
Định nghĩa 1.17. Một phương trình f (x) = 0 bậc n trong nhóm R
gọi là giải được bằng đại số khi nó giải được bằng một loạt căn thức,
nghĩa là, khi một nghiệm w có thể xác định theo phương pháp sau
(1.) Xác định α =

√
a

R là căn bậc a của một R-số R, tuy nhiên đó

không là lũy thừa α của một R-số, và phép thế α vào trong R,
sao cho nhóm A = R(α) được tạo ra.
(2.) Xác định β =

√
b

A là căn bậc b của một A-số A, tuy nhiên đó

không là lũy thừa b của một A-số, và phép thế β vào trong A,
sao cho nhóm τ = A(β) = R(α, β) được tạo ra.
(3.) Xác định γ =

√
c

B là căn bậc c của một τ -số B, tuy nhiên đó

không là lũy thừa c của một τ -số, và phép thế γ vào trong τ , sao
cho nhóm M = τ (γ) = R(α, β, γ) được tạo ra; ..v.v...cho đến khi
các phép thế liên tiếp này của các căn thức α, β, γ, .... cuối cùng
dẫn đến một nhóm mà w, là căn tìm được, thuộc vào nhóm đó và
trong đó f (x) trở thành khả quy (vì f (x) có ước số (x − w)). Ở
đây giả định rằng tất cả các số mũ căn a, b, c.... là các số nguyên
tố. Điều này không thể hiện sự hạn chế vì bất kì sự khai căn nào
với các số mũ là hợp số đều có thể được thu gọn tới khai căn liên
√
√
√
tiếp với các số mũ nguyên tố. ( Ví dụ, 15 u = 5 v với v = 3 u).

1.4

Một số khái niệm bổ trợ khác

Định nghĩa 1.18. Chuỗi Sturm
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

Nhà toán học người Pháp Charles Sturm (1803 - 1855) đã đưa ra
phương pháp giải bài toán đại số quan trọng: tìm số nghiệm thực của
một phương trình đại số với các hệ số thực trên một khoảng đã cho

bằng một cách giải đơn giản đáng ngạc nhiên, mà trong đó, có liên
quan đến khái niệm ”Chuỗi Sturm”.
Cho f (x) = 0 là một phương trình đại số mà tất cả các nghiệm
của nó là đơn. Khi đó, đạo hàm f (x) của f (x) không triệt tiêu tại các
nghiệm này và ước số chung lớn nhất của hàm f (x) và f (x) là một
hằng số K khác 0. Ta dùng thuật toán chia để tìm ước số chung lớn
nhất của f (x) và f (x). Để thuận tiện, ta đặt
f0 (x) = f (x);
f1 (x) = f (x),
và gọi các thương số là kết quả của các phép chia kế tiếp là q0 (x), q1 (x), q2 (x)...
và các hàm dư là −f2 (x), −f3 (x), ....v.v...
Ta thu được

f0 = q0 .f1 − f2
f1 = q1 .f2 − f3
f2 = q2 .f3 − f4
...............

Cuối cùng, quy trình kết thúc, ta thu được số dư K, là một hàm dư
−fs (x), không triệt tiêu tại bất cứ điểm nào trong khoảng đã cho
và bởi vậy có cùng dấu trên toàn bộ khoảng đó. Khi đó, các hàm
f0 , f1 , f2 , ..., fs tạo thành một ”Chuỗi Sturm” và được gọi là các hàm
Sturm.
Các hàm Sturm có ba thuộc tính sau

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

(1.)Hai hàm cạnh nhau không đồng thời triệt tiêu tại một điểm nào
đó thuộc khoảng đang xét;
(2.)Tại một điểm bằng không của hàm Sturm (tức là tại điểm đó, hàm
Sturm bị triệt tiêu), hai hàm bên cạnh nó có dấu khác nhau;
(3.)Trong một lân cận đủ nhỏ của điểm bằng không của hàm f0 (x)
thì f1 (x) luôn lớn hơn không (hoặc luôn nhỏ hơn không).
Định nghĩa 1.19. Chuỗi dấu Sturm
Chọn điểm x bất kì trong khoảng cần xét, dấu của những giá trị
f0 (x), f1 (x), f2 (x), ..., fs (x) ta thu được một chuỗi dấu Sturm. Chuỗi
dấu này sẽ chứa dãy dấu (++ và −−) và (+− và −+).
Ta sẽ xét số Z(x) thay đổi dấu trong chuỗi dấu và những thay đổi
mà Z(x) trải qua khi x chạy trên khoảng đang xét. Sự thay đổi chỉ
xảy ra khi x đi qua một điểm bằng không của f (x), và khi đó chuỗi
có đúng một sự thay đổi dấu.

12


Chương 2
PHÉP GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH BẬC THẤP

2.1
2.1.1

Một số khái niệm
Phương trình

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng
f (x) = g(x)

(1)

trong đó f (x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f (x) là vế trái,
g(x) là vế phải của phương trình (1).
Nếu có số thực x0 sao cho f (x0 ) = g(x0 ) là mệnh đề đúng thì x0
được gọi là một nghiệm của phương trình (1).
Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm
tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình
vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

Chú ý. Nhiều khi giải một phương trình, ta chỉ cần, hoặc chỉ có thể
tính giá trị gần đúng của nghiệm (với độ chính xác nào đó). Giá trị
đó gọi là nghiệm gần đúng của phương trình.
Ví dụ. Bằng máy tính bỏ túi, ta tính nghiệm gần đúng (chính xác đến
hàng phần nghìn) của phương trình x3 = 7 là x ≈ 1, 913.
2.1.2

Phương trình tương đương

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có
cùng tập nghiệm. Nếu f (x) = g(x) tương đương với f1 (x) = g1 (x) thì
ta viết
f (x) = g(x) ⇔ f1 (x) = g1 (x)
15
Ví dụ. Hai phương trình 2x + 5 = 0 và 3x −
= 0 tương đương với
2
5
nhau vì cùng có nghiệm duy nhất x = .
2
2.1.3

Các phép biến đổi tương đương phương trình

• Phép cộng (trừ) hai vế với cùng một biểu thức
Cho phương trình f (x) = g(x) có tập xác định là D và h(x) là
một hàm số xác định trên D. Khi đó f (x) = g(x) và f (x) + h(x) =
g(x) + h(x) là hai phương trình tương đương.Ta viết
f (x) = g(x) ⇔ f (x) + h(x) = g(x) + h(x)
Nhận xét. Từ đó ta có một phép biến đổi tương đương thường gặp
trong thực tế là
f (x) − h(x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) + h(x)
(như vậy việc chuyển h(x) từ vế này sang vế kia và đổi từ dấu - sang

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

dấu + và ngược lại là phép biến đổi tương đương).
√
√
Ví dụ 2.1. Giải phương trình 3x + x − 3 + 7 = 2x + 3 + x − 3
Giải
Điều kiện x ≥ 3. Khi đó
√
√
3x + x − 3 + 7 = 2x + 3 + x − 3
⇔ 3x + 7 = 2x + 3
⇔ 3x − 2x = 3 − 7
⇔ x = −4 (loại).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Chú ý: Khi giải phương trình ta phải đối chiếu kết quả tìm được với
điều kiện để kết luận nghiệm của phương trình.
• Phép nhân(chia) hai vế với cùng một biểu thức khác 0
Cho phương trình f (x) = g(x) có tập xác định là D và h(x) là một
hàm số xác định trên D và h(x) = 0, ∀x ∈ D. Khi đó f (x) = g(x) và
f (x).h(x) = g(x).h(x) là hai phương trình tương đương. Ta viết
f (x) = g(x) ⇔ f (x).h(x) = g(x).h(x) với h(x) = 0.
Nhận xét. Từ đó, ta có một phép biến đổi tương đương hay dùng là
f (x)
= g(x) với h(x) = 0
h(x)
⇔ f (x) = g(x).h(x)
Chú ý: Trong quá trình áp dụng, ta hay quên điều kiện h(x) = 0 dẫn
đến kết quả sai.
Ví dụ 2.2. Giải phương trình (x + 1).(x + 2) = (x + 1).(5 − x)

Giải
Cách giải sai

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Tâm

(x + 1).(x + 2) = (x + 1).(5 − x)
⇔x+2=5−x
⇔x+x=5−2
⇔ 2x = 3
3
⇔x=
2
Cách giải này sai ở dòng biến đổi đầu tiên vì (x + 1) chưa đảm bảo
khác 0. Nên khi ta chia cả hai vế của phương trình cho (x + 1) thì đó
không phải là phép biến đổi tương đương.
Cách giải đúng
(x + 1).(x + 2) = (x + 1).(5 − x)
⇔ (x + 1).(x + 2) − (x + 1).(5 − x) = 0
⇔ (x + 1).[(x + 2) − (5 − x)] = 0
⇔ (x + 1).(2x − 3) = 0

x = −1;
⇔
3
x= .

2
3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1; x = .
2
Như vậy khi hai vế của phương trình có thừa số giống nhau mà thừa
số đó chưa chắc chắn khác 0 ta sẽ chuyển nó qua cùng một vế rồi đặt
thừa số chung.
• Phép nâng lũy thừa hai vế
Phép bình phương hai vế của một phương trình là phép biến đổi tương
đương khi hai vế cùng dấu.
Chú ý
- Phép nâng lũy thừa bậc chẵn hai vế là phép biến đổi tương đương
khi và chỉ khi hai vế cùng dấu.
16