BAI TOAN THUC TE UNG DUNG DAO HAM

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Cô giáo Phạm Thị Liên -01666.439.718 – 0914.491.364
BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

H
oc

số đồ dùng,…sao cho chi phí tiết kiệm nhất hoặc hiệu quả sử dụng cao nhất. Trong số đó, có rất

01

Trong thực tế chúng ta thường thấy xuất hiện những bài toán tìm phương án sản xuất, thiết kế một
nhiều bài cần ứng dụng đạo hàm để khảo sát tìm giá trị lớn nhất, hay nhỏ nhất trên miền xác định

ai

(các điều kiện để thực hiện sản xuất). Phần này tôi sẽ giới thiệu một số bài toán tiêu biểu (kèm đáp

uO
nT
hi
D

án) và các bài tương tự cho các em vận dụng

Lưu ý, dạng toán này là những câu vận dụng ở mức khá cao, không chỉ yêu cầu các em nắm
vững kiến thức mà còn biết hình dung, suy luận để áp dụng kiến thức đó vào bài toán thực tế.
Một số bài ngoài công cụ đạo hàm có thể dùng công cụ bất đẳng thức, tuy nhiên bất đẳng thức

ie

luôn là một phương pháp khá khó nên việc dùng đạo hàm vẫn phổ biến nhất và vẫn luôn tỏ ra

Ta

iL

“lợi hại” để giải hầu hết bài toán dạng này.

s/

Câu 1: Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông, không nắp, thể tích hộp là

up

4lít. Giả sử độ dày của lớp mạ tại mội điểm trên hộp là như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy lần

C. x  3 12; h 

12
3
144

om

4
3
16

B. x = 2; h = 1

D. x  3 24 ; h 

12
3
576

.c

A. x  3 4; h 

/g

ro

lượt là x và h. Giá trị của x và h để lượng vàng cần dùng nhỏ nhất là:

ok

Đáp án đúng là B. Đáp án nhiễu xuất phát từ sai do tính cả nắp hoặc sai công thức thể tích (nhân

bo

thêm 1/3)

ce

Giải chi tiết: Gọi x là cạnh đáy của hộp (dm); h là chiều cao của hộp (dm) và S(x) là diện tích cần

.fa

mạ vàng.

w

Vì khối lượng vàng tỉ lệ thuận với diện tích nên ta đưa về bài toán tìm x để S(x) nhỏ nhất

w

w

2

V
16
 S ( x)  4xh  x
Ta có: 
 h  2  S ( x)  x 2 
2
x
x

V  x .h

Đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm được S(x) đạt GTNN tại x = 2, khi đó h = 1

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Cô giáo Phạm Thị Liên -01666.439.718 – 0914.491.364
Câu 2: Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa 60 hànhkhách. Nếu một chuyến xe chở x hành
2

01

x 

khách thì giá cho mỗi hành khách là  3   $ . Chọn câu đúng:
40 


H
oc

A. Xe thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách
B. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng 135$

ai

C. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng 160$

uO
nT
hi
D

D. Không có đáp án đúng

2

x 
3 2
x3

Giải chi tiết: Số tiền thu được là f ( x)  x  3    9x  x 
40 
20
1600


ie

Đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm được GTLN của f(x) = 160, tại x = 40

Ta

iL

Vậy, lợi nhuận thu được nhiều nhất là 160$, khi có 40 hành khách

s/

Câu 3: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là 2000

up

lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để để tiết

ro

kiệm vật liệu nhất?

B. 1dm và 2dm

/g

A. 1m và 2m

D. 2dm và 1dm

.c

om

C. 2m và 1m

ok

Giải chi tiết : Đổi 2000 lít = 2  m3

bo

Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là x(m) và h(m). Vì thùng phi là hình trụ kín hai đầu nên

ce

ta có : V   x 2 .h  h 

V

2
 2
2
x
x

w

.fa

Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần. Do đó, ta chỉ cần tìm x để diện tích toàn phần bé nhất

w

w

Ta có : Stp  f ( x)  2 xh  2 x 2  2 x( x  h)  2 x( x 

2
2

)  2  x 2  
2
x
x


Đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm được f(x) đạt GTNN tại x = 1, khi đó h = 2
Vậy đáp án đúng là 1m và 2m

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Cô giáo Phạm Thị Liên -01666.439.718 – 0914.491.364
Chú ý : Bài này bạn nào thành thạo về bất đẳng thức thì có thể dùng Bất đẳng thức Cô – si
để nhanh chóng tìm được GTNN của f(x) mà không cần dùng đến đạo hàm. Thử xem

H
oc

Câu 4: Với một đĩa tròn bằng thép trắng có bán kính R  6m phải làm một cái phễu bằng cách

01

nhé   

cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình nón. Cung tròn của hình quạt bị

C.  12,56o

D.  2,8o

uO
nT
hi
D

B.  294o

iL

ie

A.  66o

ai

cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?

Ta

Giải chi tiết : Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón chính là bán kính của đĩa tròn. Còn chu

s/

vi đáy của hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt.


up

Như vậy, ta tiến hành thiết lập hàm số thể tích như sau

Gọi x(m) là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình

ro

h

/g

R=

.c

om

x
quạt của đĩa). Khi đó x  2 r  r 
2

R r 
2

2

bo

ok

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h =
2

R2 

x2
R 
.
42

2

x2
42

.fa

ce

1 2
 x 
Thể tích của khối nón sẽ là: V   r .H  

3
3  2 

w

w

Đến đây các em đạo hàm hàm V(x) tìm được GTLN của V(x) đạt được khi x 

w

r

Suy ra, độ dài cung tròn bị cắt đi là : 2 R  4  2 6  4   

2
R 6  4

3

2 6  4
.360  66o
2 6

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Cô giáo Phạm Thị Liên -01666.439.718 – 0914.491.364

Câu 5 : Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a.

sin 
(  là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k - hằng số tỷ
r2

H
oc

được biểu thị bởi công thức C  k

01

Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C

C. h 

3
2

B. h  a

a 2
2

2
3

uO
nT
hi
D

A. h  a

ai

lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng.

D. h  a 2

ie

Giải chi tiết :

Ta

iL

Gọi h là độ cao của đèn so với mặt bàn (h > 0).

Đ

r

s/

Các ký hiệu r, M, N, Đ, I như Hình vẽ.

om

r 2  a2
C  C(r )  k
(r  a) .
r3

ro

up

h
2
2
2
và h  r  a , suy ra cường độ sáng là:
r

a

a 2
3
, khi đó h 
.
2
2

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

Đạo hàm và khảo sát hàm C(r) ta có C lớn nhất khi và chỉ khi r  a.

.I

N

/g

Ta có sin 

h

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


M


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Cô giáo Phạm Thị Liên -01666.439.718 – 0914.491.364
MỘT SỐ BÀI TOÁN HỌC SINH TỰ LUYỆN
Câu 6. Chúng ta đều biết cấu tạo của một hộp diêm bình thường. Nó bao gồm: 1 nắp, 2 đáy, 4 mặt

01

bên và 2 đầu. Hộp diêm phải có dạng thế nào để với thể tích cố định, khi chế tạo sẽ đỡ tốn vật liệu

H
oc

nhất?

Câu 7 : Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V(m3), có chiều cao gấp

ai

3 lần chiều rộng của đáy. Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu

uO
nT
hi
D

nhất?

Câu 8 : Bác Nam có 200m dây thép để dùng làm hàng rào vườn rau sạch phục vụ dịp tết nguyên
đán. Bác muốn chia mảnh vườn thành hai phần, một phần hình vuông trồng rau cần, một phần hình
tròn trồng các loại rau cải, rau cúc,…. Bác Nam cần cắt 200m dây thép đó thế nào để có thể rào đủ

iL

ie

hai phần trồng rau để diện tích trồng được lớn nhất ?

Ta

Câu 9 : Gia đình Na muốn làm một bể nước hình trụ có thể tích 150m3. Đáy làm bằng bê tông giá

s/

100.000đ/m2 ; thành làm bằng tôn giá 90.000đ /m2, nắp bằng nhôm không gỉ giá 120.000đ/m2. Vậy,

up

phải chọn các kích thước như thế nào để tiết kiệm chi phí nhất ?

ro

Câu 10 : Một hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính r. Tìm bán kính đáy và chiều cao để hình trụ

/g

có thể tích lớn nhất.

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

Chúc các em học tập tốt ! Hẹn gặp các em những chuyên đề ngắn, nhưng « mới » tiếp theo 

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01