BT DAO HAM TL VA TN

ĐẠO HÀM
DẠNG 1.TÌM ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau :
Cách 1.
Bước 1. Cho x một số gia

Lập tỉ số

∆x

và tìm số gia

∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x )

∆y
∆x
∆y
∆x → 0 ∆x
lim

Bước 2. Tìm giới hạn

f ( x ) − f ( x0 )

f ' ( x0 ) = lim

Cách 2. Áp dụng công thức

x − x0

x → x0

Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:
y = f ( x ) = x3 − 2 x + 1
y = f ( x ) = 2x2 − x + 2
x0 = 2
x0 = 1
a)
tại
b)
tại
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG QUY TẮC VÀ CÔNG THỨC
• Các quy tắc : Cho

u = u ( x) ; v = v ( x) ; C :

là hằng số .

( u ± v ) ' = u '± v '


( u.v ) ' = u '.v + v '.u

⇒ ( C.u ) ′ = C.u ′





C .u′
 C ′
 u  u '.v − v '.u
⇒
=
−
=
,
v
≠
0
(
)
 ÷

÷
v
v2
u
u2

 Nếu

y = f ( u ) , u = u ( x ) ⇒ y ′x = yu′ .u ′x

.


• Các công thức :

( C)′ = 0

;

( x)′ = 1



( xn ) ′ = n.xn−1

( ) ′ = n.u n−1.u′

, ( n ∈ ¥ , n ≥ 2)

⇒ un



( x )′ = 21x

, ( x > 0) ⇒

( u ) ′ = 2u′u

, ( u > 0)



------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số:

a)

y = 2 x3 − x 2 + 5 x

y=
c)

y=

b)

( u ± v ) ' = u '± v '

1 4
x − 3x + 7
2

1 5 2 4
3
x + x − x3 − x 2 + 4 x − 5
2
3
2

y=
d)

1 1
− x + x 2 − 0,5 x 4
4 3

( u.v ) ' = u '.v + v '.u

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
y = (2 x − 3)( x 5 − 2 x)
2
y
=
(x
+
3x)(2
−
x)
a)
b)
2
2
y = ( x + 1)(5 − 3 x ) y = x(2 x − 1)(3x + 2)
c)
d)
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

y=

2x −1
4x − 3

b)

y=

2 x + 10
4x − 3

c)

y=

− x + 5x − 4
3x − 6

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
y = (1 − 2 x2 )3 y = ( x − x 2 )32
a)
b)
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
y = 2x 2 − 5x + 2

a)

 u  u '.v − v '.u
, ( v ≠ 0)
 ÷=
v
v2

2

d)

( u n ) ′ = n.u n−1.u′
( u ) ′ = 2u′u

2x2 − 4 x + 5
y=
2x + 1
, ( n ∈ ¥ , n ≥ 2)

, ( u > 0)

y = ( x + 1) x 2 + x + 1

y = x 4 − 3x 2 + 4

b)

c)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------f ( x ) = x3

Câu 1: Số gia của hàm số

x0 = 2

, ứng với

và

∆x

=1 là:


A. 19

B. -7

C. 7

D. 0

f ( x) = x −1
2

∆x
Câu 2: Số gia của hàm số
theo x và
là:
∆x ( x + ∆x )
∆x ( 2 x + ∆x )
2x + ∆x
2∆x
A.
B.
C.
D.
∆y
f ( x) = 2x − 5

∆x
∆x
Câu 3: Tỉ số
của hàm số
theo x và
là:
2∆x
∆x
2 − ∆x
A. 2
B.
C.
D.
Câu 4 :Đạo hàm của hàm số là:
A.
B.
C.
D.
Câu 5: Đạo hàm của hàm số là:
A.
B.
C.
D.
2
−3 x) 2 −x + 1)
Câu 6.Tính đạo hàm y = (2x
(x
/
3
2

y = 8 x − 15 x + 10 x + 3
y / = 8 x 3 + 15 x 2 + 10 x − 3
A.
B.
/
3
2
y = 8 x − 15 x + 10 x − 3
y / = 8 x3 − 15 x 2 − 10 x − 3
C.
D.
y = ( x 2 + x )(5 − 3 x 2 )
Câu 7.Tính đạo hàm
y ' = −12 x 3 + 9 x 2 + 10 x + 5 y ' = −12 x 3 − 9 x 2 − 10 x + 5
A.
B.
3
2
y ' = −12 x + 9 x + 10 x − 5 y ' = −12 x 3 − 9 x 2 + 10 x + 5
C.
D.

y=

x −1
1 + 2x

Câu 8 .Tính đạo hàm của hàm số sau:
1
4

2
y/ =
y/ =
y/ =
2
2
2
( 1+ 2x)
( 1 + 2x)
( 1 + 2x)
A.
B.
C.

y' =

3
(1 + 2 x )2

D.

y = ( x − 2) x 2 + 1

Câu 9.Tính đạo hàm
x2 − 2x + 2
2x2 − 2x + 1
2x 2 − 2x + 3
2x2 − x + 1
y' =
y' =

y' =
y' =
x2 + 1
x2 + 1
x2 +1
x2 + 1
A.
B.
C.
D.
y = x x2 + 1

Câu 10.Tính đạo hàm
y' =

A.

2x2 + 1
2 x2 + 1

y' =

B.

2x2 + 3
x2 + 1

y' =

C.

2x2 + 1
x2 + 1

y' =

D.

2x2 + 3
2 x2 + 1


Dng 3. PHNG TRèNH- BT PHNG TRèNH CHA O HM
Bi 1. Cho vi
y=

Bi 2. Cho

x3 x2
y = + 2x
3 2

. Gii bt phng trỡnh

1 3 5 2
x x + 10 x + 3
3
2

y ' 2

.Gii bt phng trỡnh

y, 4

y = x3 4x 2 + 6x 7
Bi 3. Cho hm s

. Gii bt phng trỡnh y>1

f ( x) = x + x 2 , g ( x) = 3x + x + 2
3

2

Bi 4.Cho

. Gii bt phng trỡnh:
f ( x) = 2 x 3 x 2 + 3 , g ( x) = x 3 +

Bi 5.Cho
y=

Bi 6. Cho

x +3
x +1

2

x
3
2

f ' ( x ) > g ' ( x)
. Gii bt phng trỡnh:

2

y ' 0
. Gii bt phng trỡnh:

f '( x) 0
Bi 7.Gii bt phng trỡnh :

vi

x2 2 x + 5
f ( x) =
x 1

x +x+2
x 1
2

y=

Bi 8.Gii bt phng trỡnh :y/< 0 ,

f ( x) = x3 2 x 2 + x 3

Cõu 1 .Cho hm s
x

A.

1
hay x 1
3

Cõu2 .Cho hm s
A.

1 x 2

B.

f ' ( x) 0
Gii bt phng trỡnh

B.

1
x 1
3

C.

0 x 1

1

4
f ( x) = x 3 2 x 2 + 3 x
3
3
x

Cõu 3.Cho haứm soỏ

1
hay x 1
3

D.

1 x 2

. Gii bt phng trỡnh:

x 1 hay x 3

C.

D.

1
1
f ( x) = x3 + x 2 6 x + 1
3
2

x 1 hay x 3
B.

1 x 3

C.

1 x 2

D.

f ' ( x) 0

1 x 3

. Giaỷi baỏt phửụng trỡnh
x 3 hay x 2
1 x 3 1 x 2
3 x 2
A.
B.
C.
D.
3
2
y = x 6x + 9x + 5
y' 0
Cõu 4.Cho hm s
. Gii bt phng trỡnh

A.

f ' ( x ) > g ' ( x)

f '( x ) 0

1
x 1
3

.

.


x3
− 3x 2 + 5x − 1
3

f ( x) =

Câu 5.Cho hàm số
1≤ x ≤ 4

A.

B.

2≤ x≤5

C.

3

Câu 6.Cho hàm số
−1 < x <

A.

4
3

D.

B.

4
3

. Giải bất phương trình:

C.

−1 < x < 0

x2 + 1

C.

D.

A.

y = x − 3x + 2
3

Câu 9.Cho
A.

B.

C.

C.

−3 ≤ x ≤ − 1

0≤x≤2

,

D.
≥

5
2

0

x ≤ 0 hay x ≥ 2

C.
và hàm số

1≤ x ≤ 2

D.
2
g ( x) =
x−2

có đồ thị (C)

f ′( x) ≥ g ( x)

7 − 17
7 + 17
≤ x ≤ 2 hay x ≥
4
4
7 − 17
7 + 17
≤ x ≤ 2 hay x>
4
4

Câu 11.Cho hàm số

−3 ≤ x ≤

. Giải bất phương trình y’

f ( x ) = x 2 − 3x + 5

Giải bất phương trình :

A.

5
2

2

x ≤ 1 hay x ≥ 2

Câu 10.Cho hàm số

, biết

f ( x) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1

.

−3 ≤ x ≤ −1 hay x ≥

B.

.

0 < x <1

Câu 8.Giải bất phương trình

5
2

0 < x <1

1− 5
1+ 5
2
2

f '( x) ≥ g '( x)

1 4
x − 3x 3 + 8 x 2 + 15 x
2

2 y′ + 6 > 0

f '( x ) < 0

. Giải bất phương trình:

B.

1− 5 < x < 1+ 5

x≥

D.

2x −1

1− 5
1+ 5
hay x >
2
2

g ( x) =

2≤ x≤3

2

x < −1 hay x>

Câu 7.Cho hàm số

A.

1≤ x ≤ 5

y = −2 x + x + 5 x − 7

f (x) =

x<

. Tìm x để f/(x)≤0.

B.

D.

7 − 17
≤x≤2
4
7 − 17
7 + 17
≤x
4
4

3
y = f ( x ) = −2 x 3 − x 2 + 9 x + 2013
2

f ′( x ) > 0

.Giải bất phương trình:

.


A.

0 < x <1

B.

−1 < x < 1

x<−

C.

3
hay x > 1
2
3

−

D.

3
< x <1
2

2

y′ ≤ 6

y = f (x) = x + x + x − 5

Câu 12.Cho hàm số

A.

C.

.Giải bất phương trình:

x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )

B.


2
x ∈  −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ )
3


.


4
x ∈  −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ )
3


D.


5
x ∈  −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ )

3


DẠNG 4. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
1/ Tiếp tuyến tại điểm Mo(xo, yo) thuộc đồ thị (C ): y = f(x)
Phương trình tiếp tuyến ∆: y – y0 = f’(x)(x - xo) ; y0 = f(xo)
2/Tiếp tuyến có hệ số góck( song song, vuông góc)
•Gọi Mo(xo, yo) là tiếp điểm
f / ( x0 ) = k
•Ta có :
(ý nghĩa hình học đạo hàm)
•Giải tìm xo, suy ra yo = f (xo)
•Viết phương trình ∆: y – yo = k (x – xo)
Chú ý:
•Nếu ∆ song song với d : y=ax+b thì ∆ có hệ số góc là k =a
−

1
a

•Nếu ∆ vuông góc với d : y=ax+b thì ∆ có hệ số góc là k=
-----------------------------------------------------------------------------------------------

( C ) : y = f ( x ) = x3 − 3 x 2
Cho đường cong
trường hợp sau :
a) Tại điểm

. Viết phương trình tiếp tuyến của

M 0 ( 1 ; − 2)

b) Tại điểm thuộc

( C)

c) Tại giao điểm của

;

và có hoành độ

( C)

x0 = −1

;

với trục hoành .

( C ) : y = x2 − 2 x + 3
Cho hàm số
a) Tại điểm có hoành độ

x0 = 2

. Viết phương trình tiếp với
;

( C)

:

( C)

trong các


b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :

4x − y − 9 = 0

2 x + 4 y − 2011 = 0

c) Vuông góc với đường thẳng :

( C) : y =
Cho đường cong

;

3x + 1
1− x

a) Viết phương trình tiếp tuyến của

( d ) : x − 4 y − 21 = 0

;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của

( ∆ ) : 2x + 2 y − 9 = 0

Cho hàm số :

( C)

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

( C)
.

a)Viết phương trình tiếp tuyến của
b) Vết phương trình tiếp tuyến của
c) Viết phương trình tiếp tuyến của
d) Viết phương trình tiếp tuyến của
;

e) Viết phương trình tiếp tuyến của

( ∆) : 4x + y − 8 = 0

( C)

;

3x + 1

y=
1− x

( d ) : 4x − y + 1 = 0

;

.

( C)
( C)
( C)
( C)

( C)

tại điểm

M ( −1 ; −1)

tại giao điểm của
tại giao điểm của

( C)
( C)

;
với trục hoành;
với trục tung ;

bết tiếp tuyến song song với đường thẳng

biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng