ÁP DỤNG THUẬT TOÁN RUNGE – KUTTA ĐỂ KHẢO SÁT SỰ ION HÓA KÉP KHÔNG LIÊN TỤC CỦA NGUYÊN TỬ ARGON DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LASER PHÂN CỰC THẲNG

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


TRẦN NGỌC LIÊN HƯƠNG

ÁP DỤNG THUẬT TOÁN RUNGE – KUTTA
ĐỂ KHẢO SÁT SỰ ION HÓA KÉP KHÔNG
LIÊN TỤC CỦA NGUYÊN TỬ ARGON DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA LASER PHÂN CỰC THẲNG

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


TRẦN NGỌC LIÊN HƯƠNG

ÁP DỤNG THUẬT TOÁN RUNGE – KUTTA

ĐỂ KHẢO SÁT SỰ ION HÓA KÉP KHÔNG
LIÊN TỤC CỦA NGUYÊN TỬ ARGON DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA LASER PHÂN CỰC THẲNG

Ngành: VẬT LÝ
Mã số: 105

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

MỤC LỤC
Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt...................................................................................i
Danh mục hình vẽ, đồ thị............................................................................................. ii
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ........................................................................................ 6
1.1.

Quá trình tương tác giữa laser và nguyên tử, phân tử ....................................... 6

1.2.

Quá trình ion hóa ............................................................................................. 6

1.3.

Quá trình ion hóa kép ...................................................................................... 8

1.3.1 . Quá trình ion hóa kép liên tục ...................................................................... 8
1.3.2. Quá trình ion hóa kép không liên tục ............................................................ 9
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH ............................... 12
2.1. Mô hình tập hợp ba chiều cổ điển ..................................................................... 12
2.2. Các phương pháp giải số .................................................................................. 15
2.2.1. Bài toán Cauchy ......................................................................................... 15
2.2.2. Phương pháp Euler ..................................................................................... 16
2.2.3. Phương pháp Euler cải tiến......................................................................... 16
2.2.4. Phương pháp tích phân liên tiếp ................................................................. 17
2.2.5. Phương pháp Runge – Kutta bậc 2 ............................................................. 18
2.2.6. Phương pháp Runge – Kutta bậc 4 ............................................................. 18
2.2.7. Phương trình vi phân cấp cao ..................................................................... 18
CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ................................................................... 20
3.1. Kiểm chứng tính chính xác của thuật toán ........................................................ 20
3.1.1. Bài toán dao động tắt dần ........................................................................... 20
3.1.2. Tính chính xác của thuật toán ..................................................................... 23
3.2. Khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon bằng mô
hình tập hợp ba chiều cổ điển. ................................................................................. 27

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

3.2.1. Khảo sát sự phụ thuộc vào độ dài xung của quá trình NSDI của nguyên tử

Argon................................................................................................................... 27
3.2.2. Khảo sát sự phụ thuộc vào cường độ laser của NSDI của nguyên tử Argon. ...
.................................................................................................................... 31
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ................................................................... 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 34
PHỤ LỤC................................................................................................................... 37
Phụ lục 1. Phương pháp Runge – Kutta bậc 2 .......................................................... 37
Phụ lục 2. Phương pháp Runge – Kutta bậc 4 .......................................................... 39

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

i

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt
Các ký hiệu:

E

: cường độ điện trường

r1

: khoảng cách từ electron thứ nhất tới hạt nhân

r2

: khoảng cách từ electron thứ hai tới hạt nhân

r

: khoảng cách giữa hai electron

Ex  t 

: điện trường theo phương x của xung laser

Ey t 

: điện trường theo phương y của xung laser

v

: vận tốc của các electron

a, b

: các thông số của trường laser

Các chữ viết tắt:
Chữ viết

Tiếng Việt

Tiếng Anh

DI

Quá trình ion hóa kép

Double Ionization

NSDI

Quá trình ion hóa kép không liên tục

Nonsequential Double

tắt

Ionization
TDSE

CTEMD

Phương trình Schrödinger phụ thuộc

Time Dependent Schrödinger

thời gian

Equation

Sự phân bố động lượng tương quan

Correlated Two – Electron

hai electron

Momentum Distribution

Footer Page 5 of 161.


Header Page 6 of 161.

ii

Danh mục hình vẽ, đồ thị
Danh mục hình vẽ
Hình 1.1. Sự ion hóa đa photon…………………………………………………….. ….7
Hình 1.2a. Cơ chế ion hóa xuyên ngầm……………..…….…………………………....7
Hình 1.2b. Cơ chế ion hóa vượt rào…………………………………………...…….….7
Hình 1.3. Ví dụ về quá trình ion hóa kép liên tục……………………………………....9
Hình 1.4. Mô hình ba bước của NSDI…………………………………………………10
Hình 3.3. Điện trường của xung laser 800nm với xung (2, 6, 2) ……………………..27
Hình 3.4. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với
bước sóng 800nm ứng với độ dài xung (N1, N2, N3) = (2, 2, 2) (a), (2, 4, 2) (b), (2, 6, 2)
(c) ……………………………………………………………………………………..28
Hình 3.5. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với
bước sóng 800nm ứng với độ dài xung (2,1) (a), (2,2) (b), (2,3) (c), (2,4) (d), (2,5) (e),
(2,6) (f) ………………………………………………………………………………...30
Hình 3.6. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với
bước sóng 800nm với độ dài xung (2, 4, 2) mang cường độ 11014 W/cm2 (a), 21014
W/cm2 (b), 31014 W/cm2 (c) ………………………………………………………….31
Danh mục đồ thị
Hình 3.1. Đồ thị dao động tắt dần kiểm chứng sự khác biệt giữa thuật toán Runge-Kutta
và phương pháp giải tích trong khoảng thời gian 0-10xét tại N=50 (a) và tại N = 500

(b) …………………………………………………………………………………….. 25
Hình 3.2. Đồ thị biểu diễn sai số tỉ đối giữa thuật toán Runge-Kutta và phương pháp
giải tích trong khoảng thời gian 0-10 xét tại N = 50 (a), N = 100 (b), N = 500 (c) và
N = 1000 (d) …………………………………………………………………………..26

Footer Page 6 of 161.


Header Page 7 of 161.

1

MỞ ĐẦU
Những nghiên cứu liên quan
Ngày nay, vật lý nguyên phân tử đã và đang là một trong những ngành thu hút sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học, bởi nó cung cấp nhiều thông tin về cấu
trúc của vật chất, đặc biệt là các quá trình tương tác giữa vật chất với điện trường bên
ngoài. Khi laser phân cực thẳng tương tác với nguyên tử, phân tử thì có nhiều hiệu ứng
phi tuyến xảy ra như quá trình phát xạ sóng điều hòa bậc cao, quá trình ion hóa kép
nguyên tử, phân tử,.. Trong đó quá trình ion hóa kép (DI – Double Ionization) của
nguyên tử, phân tử đáng được xét đến. Quá trình ion hóa kép không liên tục cung cấp
thông tin thuần khiết về tương tác giữa hai electron trong lớp vỏ nguyên tử, phân tử. Vì
vậy, sự khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của các nguyên tử có nhiều điện tử
dưới tác dụng của laser phân cực thẳng là một đề tài hấp dẫn, thu hút sự quan tâm của
các nhà nghiên cứu trên thế giới, ví dụ như ngày càng nhiều kết quả thực nghiệm liên
quan đến đề tài này được công bố [1], [5], [12].
Ngoài ra, việc khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Heli đã được
một nhóm nghiên cứu tại trường Đại học Sư phạm TP.HCM phân tích và cũng đạt được
một số kết quả như sau:
 Bằng việc sử dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển cho bài toán khảo sát quá

trình ion hóa kép không liên tục (NSDI – Nonsequential Double Ionization), đây
là mô hình tập hợp được đưa ra vào năm 2011 bởi S. L. Haan, nhóm tác giả đã
mô phỏng lại thành công cấu trúc chữ V trong sự phân bố động lượng tương quan
hai electron (CTEMD – Correlated Two Electron Momentum Distribution) của
nguyên tử Heli dưới tác dụng của trường laser cường độ cao. Kết quả phân tích
cho thấy rằng cả tương tác hạt nhân và lực đẩy giữa electron – electron (e – e) [5]
sau khi bị ion hóa đều không phải là nguồn gốc tạo nên cấu trúc chữ V trong

Footer Page 7 of 161.


Header Page 8 of 161.

2

CTEMD của nguyên tử mà nguồn gốc của cấu trúc chữ V này là do sự phân bố
năng lượng bất đối xứng giữa hai electron khi xảy ra quá trình tái va chạm [6].
 Bằng phép phân tích quỹ đạo, nhóm tác giả đã giải thích thành công cấu trúc chữ
V trong phân bố động lượng tương quan electron đối với quá trình ion hóa kép
không liên tục của Heli. Trong trường hợp trường laser có cường độ yếu tương
tác hạt nhân và lực đẩy của hai electron sau khi bị ion hóa đóng vai trò nổi bật
trong việc hình thành nên cấu trúc chữ V. Trong trường hợp trường laser có cường
độ mạnh, kết quả cho thấy rằng sự khác nhau trong phân bố động lượng vuông
góc của electron tái va chạm và electron liên kết là do sự phân bố năng lượng bất
đối xứng. Khi xảy ra quá trình tương tác, electron liên kết rời khỏi nguyên tử với
động lượng ban đầu rất nhỏ nghĩa là động lượng vuông góc của nó đã bị mất rất
nhiều trong quá trình tương tác với hạt nhân. Cùng lúc đó electron tái va chạm rời
khỏi nguyên tử với động lượng rất lớn, nghĩa là tương tác hạt nhân không ảnh
hưởng đến động lượng vuông góc của nó. Sự khác nhau trong phân bố động lượng
vuông góc của electron tái va chạm và electron liên kết không chỉ đóng vai trò

như dấu hiệu nhận biết quá trình này mà còn cung cấp cái nhìn sâu hơn về quá
trình tương tác ba vật thể trong khung thời gian 10-18 giây [7].
 Bằng phép phân tích quỹ đạo, nhóm tác giả đã chỉ ra rằng thời điểm ion hóa kép
và lực đẩy giữa hai electron ion hóa chính là nguyên nhân gây ra sự thay đổi mạnh
trong phổ động lượng tương quan của hai electron đó theo phương song song với
trục phân cực của trường laser 800nm khi pha tương đối của laser thay đổi [2].
Hay như việc khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục đối với nguyên tử Argon
vẫn còn là một thách thức đối với các nhà nghiên cứu. Năm 2015, nhóm nghiên cứu của
Yueming Zhou và cộng sự đã thực hiện thành công khảo sát phổ động lượng tương quan
của hai eletron dọc theo trục phân cực laser đối với quá trình NSDI của Argon dưới tác
dụng của trường laser mang ba cường độ khác nhau. Kết quả cho thấy CTEMD của

Footer Page 8 of 161.


Header Page 9 of 161.

3

nguyên tử Ar phụ thuộc mạnh vào cường độ trường laser. Ở cường độ 0.81014 W/cm2,
phổ động lượng hai electron có dạng bất đối xứng, ở cường độ cao hơn 1.31014 W/cm2,
phổ động lượng có dạng gần giống như hai đường thẳng song song nằm trên đường chéo
chính ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Ở cường độ cao của xung laser 2.31014 W/cm2,
phổ động lượng hai electron tồn tại cấu trúc chữ thập [10].
Từ những kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước đã nêu trên, tác giả mong muốn
được tham gia vào nghiên cứu vấn đề này, vì vậy tác giả chọn đề tài “ÁP DỤNG THUẬT
TOÁN RUNGE – KUTTA ĐỂ KHẢO SÁT SỰ ION HÓA KÉP KHÔNG LIÊN TỤC
CỦA NGUYÊN TỬ ARGON DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LASER PHÂN CỰC THẲNG”
làm đề tài luận văn tốt nghiệp.
Mục đích của luận văn

Tìm hiểu thuật toán Runge – Kutta để lập trình giải phương trình vi phân cấp cao.
Áp dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển dựa trên nền thuật toán Runge – Kutta để
khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon dưới tác dụng của
laser phân cực thẳng.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp giải số: sử dụng thuật toán Runge – Kutta cho bài toán cổ điển Newton
để thu được các thông số về vị trí, vận tốc của hai electron trước và sau khi xảy ra hiện
tượng ion hóa kép không liên tục.
Trong phương pháp giải số này, tác giả sử dụng phần mềm Fortran để lập trình tính
toán, xử lý số liệu và mô tả sự phân bố động lượng tương quan của hai electron bằng
hình vẽ.

Footer Page 9 of 161.


Header Page 10 of 161.

4

Nội dung nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở toán học của thuật toán Runge – Kutta.
Lập trình để giải phương trình vi phân cấp cao bằng phương pháp Runge – Kutta.
Kiểm chứng độ tin cậy và tính chính xác của chương trình.
Ứng dụng chương trình tính toán để khảo sát 2 vấn đề sau:
 Khảo sát sự phụ thuộc vào độ dài xung của quá trình NSDI của nguyên tử Ar.
 Khảo sát sự phụ thuộc vào cường độ trường laser của quá trình NSDI của nguyên
tử Ar.
Đối tượng nghiên cứu: Bài luận văn này tiến hành khảo sát trên hàng triệu nguyên tử
Argon dưới tác dụng của trường laser phân cực thẳng mang các thông số về cường độ
trường laser, độ dài xung laser khác nhau.

Nội dung của luận văn bao gồm:
Chương 1. Tổng quan. Trình bày về tương tác giữa laser với vật chất, trong đó nhấn
mạnh vào quá trình ion hóa của nguyên tử, phân tử thông qua ba cơ chế là ion hóa đa
photon, ion hóa xuyên ngầm và ion hóa vượt rào. Ngoài ra trong chương này còn đi sâu
tìm hiểu về quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử, phân tử.
Chương 2. Cơ sở lý thuyết và phương pháp tính. Trình bày về mô hình tập hợp ba chiều
cổ điển [3]. Đây là một công cụ toán học hiệu quả để khảo sát các quá trình vật lý xảy ra
khi vật chất chịu tác dụng của trường laser. Ngoài ra trong chương này tác giả còn đề
cập đến thuật toán Runge – Kutta để giải quyết bài toán Cauchy cơ bản nhất, từ đó mở
rộng khảo sát cho phương trình vi phân cấp cao. Ngoài ra trong chương này còn cho thấy
mức độ tin cậy cao của thuật toán Runge – Kutta so với phương pháp giải tích phương
trình vi phân cấp hai trong bài toán cổ điển Newton.

Footer Page 10 of 161.


Header Page 11 of 161.

5

Chương 3. Kết quả nghiên cứu. Kiểm chứng tính chính xác của chương trình tính toán
thông qua việc khảo sát cho hệ dao động tắt dần. Đồng thời trong chương này còn trình
bày kết quả khảo sát sự ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon dưới tác dụng
của trường laser khi thay đổi độ dài xung và cường độ điện trường.

Footer Page 11 of 161.


Header Page 12 of 161.

6

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

1.1. Quá trình tương tác giữa laser và nguyên tử, phân tử
Hiện nay, quá trình tương tác giữa trường laser với nguyên tử, phân tử là một trong
những đề tài hấp dẫn thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi nó có nhiều
ứng dụng trong khoa học công nghệ và trong cuộc sống. Theo lý thuyết lượng tử, trường
laser được xem như là những dòng hạt photon có năng lượng, động lượng và spin xác
định. Vì vậy khi tương tác với nguyên tử phân tử, laser sẽ làm cho các trạng thái nguyên
tử bị thay đổi. Khi đó nhiều hiệu ứng phi tuyến được xảy ra như quá trình ion hóa, phát
xạ sóng điều hòa bậc cao, quá trình ion hóa kép không liên tục... Tùy thuộc vào cường
độ của trường laser mà cơ chế tương tác giữa laser với nguyên tử, phân tử sẽ khác nhau.
1.2. Quá trình ion hóa
Khi cường độ trường laser yếu hơn nhiều so với thế ion hóa của nguyên tử, trường
laser chỉ có tác dụng gây ra sự nhiễu loạn các trạng thái electron của nguyên tử. Trong
trường hợp này, các mức năng lượng của nguyên tử bị thay đổi tỉ lệ với bình phương
cường độ của trường laser, hiện tượng này gọi là sự dịch chuyển Stark. Do đó, vùng này
được gọi là vùng nhiễu loạn của quang học phi tuyến. Trong vùng này, sự ion hóa chủ
yếu diễn ra theo cơ chế đa photon, nghĩa là nguyên tử hấp thụ liên tiếp nhiều photon làm
cho năng lượng của nó tăng dần đến khi lớn hơn năng lượng liên kết thì electron được
chuyển sang trạng thái tự do. Như vậy, khi cường độ trường laser yếu hơn nhiều so với
trường Coulomb của nguyên tử thì nguyên tử chỉ hấp thụ một cách tự phát N photon và
xảy ra sự ion hóa đa photon. Trong trường hợp ion hóa đa photon thế của nguyên từ
không bị biến dạng do điện trường không đủ mạnh.

Footer Page 12 of 161.


Header Page 13 of 161.

7

Hình 1.1. Sự ion hóa đa photon [13]

Khi cường độ trường laser lớn hơn so với trường Coulomb của nguyên tử. Khi đó thế
của nguyên tử sẽ bị biến dạng. Lúc đó các electron liên kết yếu với hạt nhân và sẽ thoát
khỏi nguyên tử hoặc phân tử thông qua một rào thế xác định bởi cơ chế xuyên ngầm.
Rào thế này trở nên thấp và mỏng hơn khi cường độ trường laser tăng lên. Trong hình
1.2a, đường mảnh ứng với thế của điện trường, đường cong dày ứng với thế năng hiệu
dụng và đường nằm ngang đặc trưng cho năng lượng liên kết của nguyên tử khi không
có trường laser.

Hình 1.2. Cơ chế ion hóa: xuyên ngầm (a), vượt rào (b) [4]

Footer Page 13 of 161.


Header Page 14 of 161.

8

Khi điện trường tiếp tục tăng rào thế sẽ bị hẹp lại và hạ thấp xuống, đến khi nó hạ
xuống thấp hơn năng lượng liên kết của electron thì electron sẽ đi từ trạng thái liên kết
sang trạng thái tự do. Sự ion hóa lúc này diễn ra theo cơ chế vượt rào (hình 1.2b). Cường
độ trường laser tới hạn Fc xác định giao điểm giữa vùng ion hóa xuyên ngầm và vùng
ion hóa vượt rào. Giá trị Fc này có thể được ước lượng bằng cách cho thế năng hiệu dụng
cực đại bằng với thế năng ion hóa của electron liên kết.
1.3. Quá trình ion hóa kép
Như chúng ta đã biết, khi chiếu một chùm laser vào trong nguyên tử thì các electron

trong nguyên tử có thể bị ion hóa theo các cơ chế như ion hóa đa photon, xuyên ngầm
hay vượt rào tùy thuộc vào cường độ của chùm laser. Trong đó khi các electron trong
nguyên tử bị ion hóa xuyên ngầm qua rào thế tạo bởi thế ion hóa của nguyên tử và cường
độ chùm laser sẽ có nhiều hiện tượng phi tuyến xảy ra. Khi đó electron tự do bứt ra khỏi
ion mẹ được gia tốc trong trường laser, nó quay lại va chạm với ion mẹ khi trường laser
đổi chiều.
Quá trình ion hóa kép là quá trình hai electron bị bứt ra khỏi ion mẹ dưới tác dụng
của trường laser khi bức xạ của trường laser tác dụng vào nguyên tử hay phân tử trung
hòa. Quá trình ion hóa kép được chia thành hai cơ chế khác nhau: quá trình ion hóa kép
liên tục và quá trình ion hóa kép không liên tục.
1.3.1 . Quá trình ion hóa kép liên tục
Trong đó quá trình ion hóa kép liên tục được hiểu là cả hai electron trong nguyên tử
bứt ra cùng một thời điểm dưới tác dụng của trường laser hoặc sau một thời gian electron
thứ nhất bứt ra thì electron thứ hai cũng bứt ra khỏi ion mẹ. Trong quá trình ion hóa kép
liên tục không xảy ra sự tái va chạm của electron và ion mẹ.

Footer Page 14 of 161.


Header Page 15 of 161.

9

Hình 1.3. Ví dụ về quá trình ion hóa kép liên tục [14]

1.3.2. Quá trình ion hóa kép không liên tục
Còn quá trình ion hóa kép không liên tục có cơ chế khác hoàn toàn, được hiểu đó là
quá trình electron thứ nhất bứt khỏi ion mẹ, sau một thời gian khi trường laser đổi chiều,
nó quay lại va chạm với ion mẹ, khi đó electron thứ hai mới được giải phóng.
Khi đó động năng cực đại để electron quay lại va chạm với ion mẹ được tính là

E  3.17U p , do đó năng lượng của photon là:

  I p  3.17U p

(1.1)

trong đó I p là thế ion hóa của nguyên tử, U p là thế truyền động trong trường laser được
2
xác định theo công thức U p  I / 4 (trong đó I ,



là cường độ và tần số của trường

laser).
Hiện tượng ion hóa kép không liên tục được phát hiện bằng thực nghiệm bởi Suran
và Zapesochny cho nguyên tử kiềm thổ vào đầu năm 1975. Mặc dù được nghiên cứu sâu

Footer Page 15 of 161.


Header Page 16 of 161.

10

rộng nhưng chi tiết về quá trình ion hóa kép của nguyên tử kiềm thổ này vẫn chưa được
tìm hiểu kỹ. Quá trình ion hóa kép trong trường hợp này được thực hiện bởi sự chuyển
mức của cả hai electron thông qua phổ trạng thái nguyên tử, nằm giữa thế của electron
thứ nhất và thứ hai. Đối với các nguyên tử khí hiếm, quá trình ion hóa kép không liên

tục đầu tiên được quan sát bởi L’Huillier. Hiện tượng này nhanh chóng thu hút sự quan
tâm của các nhà nghiên cứu sau khi nó được tìm thấy trong trường hồng ngoại và đối với
cường độ cao hơn. Cơ chế của quá trình ion hóa kép không liên tục của các nguyên tử
khí hiếm khác với các nguyên tử kiềm thổ. Sau khi electron thứ nhất bị ion hóa, electron
được giải phóng có thể quay lại va chạm với ion mẹ. Electron này đóng vai trò như một
“atomic antenna”, hấp thụ năng lượng từ trường laser giữa quá trình ion hóa và quá trình
tái va chạm, cơ chế này được gọi là mô hình ba bước của quá trình ion hóa kép không
liên tục [5].

Hình 1.4. Mô hình ba bước của NSDI [15]

Footer Page 16 of 161.


Header Page 17 of 161.

11

Trong tương tác giữa nguyên tử với laser, quá trình ion hóa kép không liên tục thu
hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi những tín hiệu ghi nhận được từ phổ
động lượng tương quan của hai electron cung cấp rất nhiều thông tin về sự tương tác
giữa laser với vật chất cũng như sự tương quan giữa electron – electron trong nguyên tử
khi electron thứ nhất quay lại va chạm với electron thứ hai thông qua va chạm không
đàn hồi.

Footer Page 17 of 161.


Header Page 18 of 161.

12

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH

2.1. Mô hình tập hợp ba chiều cổ điển
Trong tương tác giữa nguyên tử, phân tử với trường laser, quá trình ion hóa kép không
liên tục thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi những tín hiệu ghi nhận
được từ phổ động lượng tương quan của hai electron cung cấp rất nhiều thông tin về sự
tương tác giữa laser với vật chất cũng như sự tương quan giữa electron – electron trong
nguyên tử khi trải qua quá trình ion hóa kép. Hiện nay có hai cách phổ biến để tiếp cận
bài toán NSDI. Cách thứ nhất là dựa theo nền tảng của cơ học lượng tử, trong đó những
tính chất của các electron ion hóa được thu nhận từ việc sử dụng phương pháp giải chính
xác nghiệm phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (TDSE – Time Dependent
Schrödinger Equation) với sự góp mặt của trường laser. Trong phương pháp giải số, đây
là phương pháp cho kết quả chính xác. Tuy nhiên, với phương pháp này việc lập trình
khá phức tạp và chỉ cho kết quả cuối cùng mà không cung cấp các thông tin về quá trình
động lực học vật lý của các electron diễn ra trong suốt quá trình tương tác với laser. Vì
vậy phương pháp này không được sử dụng phổ biến để khảo sát bài toán NSDI. Cách
tiếp cận thứ hai là sử dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển thông qua việc giải phương
trình Newton cho từng electron chịu sự tác dụng của trường laser và trường tương tác
hạt nhân của nguyên tử. Từ khi được giới thiệu vào năm 2001 [3], mô hình tập hợp ba
chiều này được xem là một công cụ hiệu quả để nghiên cứu quá trình DI trong trường
mạnh. Với phương pháp này, vai trò của lực đẩy electron – electron và lực hút electron
– ion trong việc quan sát phổ electron của quá trình ion hóa kép không liên tục cũng
được xác định một cách thành công và năng lượng bất đối xứng trong quá trình tái va
chạm cũng được phát hiện. Mô hình cổ điển này cũng đạt được thành công trong việc
tiên đoán các hiện tượng mới trong quá trình ion hóa kép trường mạnh. Ngoài ra, mô
hình này cũng có một ưu thế quan trọng là nó cung cấp một hình ảnh trực quan của quá

Footer Page 18 of 161.

Header Page 19 of 161.

13

trình đang khảo sát. Phương pháp cổ điển này có những ưu điểm so với phương pháp
TDSE như sau: thời gian tính toán nhanh, có thể khảo sát và phân tích được trạng thái
của electron tại một thời điểm bất kỳ trong suốt quá trình nguyên tử tương tác với trường
laser.
Trong mô hình tập hợp ba chiều cổ điển, sự phát triển của hệ hai electron được xác
định bởi phương trình chuyển động của Newton (đơn vị nguyên tử được sử dụng trong
toàn bộ quá trình tính toán).

d 2 ri
  Vne (ri )  Vee (r1 , r2 )  E (t )
dt 2

(2.1)

với chỉ số i kí hiệu cho hai electron và E (t ) là trường điện của laser.

Vne (r i ) là thế hút giữa ion – electron được xác định bằng:
Vne (ri )  

2
ri2  a 2

(2.2)

Vee (r 1 , r 2 ) là thế tương tác đẩy giữa electron – electron có dạng:
Vee (r1, r2 ) 

1
(r1  r2 )2  b2

(2.3)

Trong quá trình tính toán, thế Coulomb hạt nhân làm cho việc tính toán trở nên phức
tạp hơn vì mô hình này không ổn định và không thể kiểm soát được sự tự ion hóa của
các electron. Vì vậy để tránh xảy ra hiện tượng tự ion hóa và giải quyết sự kì dị của thế
Coulomb, các thông số làm mềm thế Coulomb được chọn là a2  1.5 a.u. và b2  0.05
a.u.. Lúc đầu, cả hai electron của mô hình nằm tại trạng thái có năng lượng -1.5911 a.u.
là tổng thế ion hóa của hai electron của nguyên tử Ar. Vị trí ban đầu của hai electron
được gán là (0.85, 0) và (-0.85, 0). Động năng khả dĩ của hai electron được phân bố ngẫu
nhiên giữa chúng trong không gian động lượng. Sau đó, hệ thống các phân tử được cho

Footer Page 19 of 161.


Header Page 20 of 161.

14

chuyển động tự do trong một khoảng thời gian đủ dài (200 a.u.) khi chưa có sự góp mặt
của trường laser để thu được phân bố tọa độ và động lượng ổn định của cả hai electron.
Đó là điều kiện ban đầu của hệ electron. Sau khi xác định được điều kiện ban đầu của hệ
electron, chúng tôi giải phương trình (2.1) cho từng electron một cách độc lập khi có sự
tồn tại của trường laser bằng phương pháp Runge – Kutta, được trình bày chi tiết trong
mục 2.2.

Để giải các phương trình trên, chúng tôi sử dụng thuật toán Runge – Kutta. Và năng
lượng của hệ hai electron trong đoạn cuối của xung được xác định như sau:
2

v2 v v2
1
1
E1  x1  y1  z1 

2 2 2
x12  y12  z12  a2 2 ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2  b2

(2.4)

2

E2 

với

vx22 vy 2 vz22
1
1
  

(2.5)
2 2 2
x22  y22  z22  a2 2 ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2  b2

xi , yi , zi và vxi , vyi , vzi tương ứng là vị trí và vận tốc của electron i trong hệ tọa độ

Descartes. Vào cuối quá trình tương tác, năng lượng của hai electron được phân tích, khi
này nguyên tử được xem là đã bị ion hóa kép nếu năng lượng của cả hai electron ở cuối
quá trình đều mang giá trị dương. Điều đáng lưu ý trong phương pháp cổ điển này là cả
hai electron đều bị ion hóa bởi cơ chế ion hóa vượt rào, sự ion hóa xuyên ngầm không
được xét đến do đây là quá trình hoàn toàn cổ điển. Trong bài nghiên cứu này, trường
laser được sử dụng có cường độ đủ lớn để làm biến đổi mạnh thế ion hóa nên nguyên tử
có thể chuyển sang trạng thái có mức năng lượng dương theo cơ chế vượt rào. Để tạo ra
kết quả ổn định với sai số thống kê nhỏ, chúng tôi đã sử dụng tập hợp nguyên tử có kích
thước hai triệu hạt.

Footer Page 20 of 161.


Header Page 21 of 161.

15

2.2. Các phương pháp giải số
2.2.1. Bài toán Cauchy
Một phương trình vi phân bậc một có thể được viết dưới dạng y '  x   f  x, y  x  
mà ta có thể tìm được hàm y  x  từ đạo hàm của nó. Trong thực tế có vô số nghiệm thỏa
mãn phương trình trên, mỗi nghiệm phụ thuộc vào một hằng số tùy ý cho trước. Khi cho
trước giá trị ban đầu

y0 của hàm y  x  tại x0 ta sẽ nhận được một nghiệm riêng của

phương trình. Bài toán tìm hàm y  x  khi biết giá trị ban đầu trên được gọi là bài toán
Cauchy.
Bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán giá trị ban đầu và được mô tả như sau:


 y '  x   f  x, y  x  
a xb

y
a

y



0


(2.6)

với y  y  x  là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn [a,b],

y0 là giá trị ban đầu cho trước của

y  x  tại x0  a .
Đối với bài toán (2.6) ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng của một số phương trình có
dạng đơn giản, còn đối với phương trình f  x, y  x   có dạng phức tạp thì phương pháp
giải rất phức tạp. Vì vậy việc tìm các phương pháp để giải bài toán Cauchy trên có ý
nghĩa quan trọng trong tính toán.
Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (2.6) ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng
nhau với bước nhảy h  b  a . Khi đó các điểm chia là
n

x0  a, xk  x0  k.h với

k  0,1,2...n , xn  b .
Giá trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm

Footer Page 21 of 161.

xk được ký hiệu là yk .


Header Page 22 of 161.

16

2.2.2. Phương pháp Euler
Khai triển Taylor trên đoạn  xk 1, xk  đối với bài toán Cauchy ta được:
y  xk 1   y  xk   y '  xk  xk 1  xk     x2 

Mà

(2.7)

xk 1  xk  h và y '  xk   f  xk , yk  nên ta có:
y  xk 1   y  xk   hf  xk , yk 

(2.8)

trong đó k  0,1, 2,..., n 1
Công thức (2.8) trên được gọi là công thức Euler. Công thức này cho phép ta tính giá
trị của y  xk 1  khi đã biết y  xk  mà không cần phải giải một phương trình nào.
Trong thực tế, phương pháp trên chỉ sử dụng đến khai triển Taylor bậc nhất, vì vậy

sẽ không khỏi mắc phải sai số rất lớn. Để hạn chế được sai số trên, người ta đã sử dụng
phương pháp Euler cải tiến để hạn chế tối đa sai số mắc phải.
2.2.3. Phương pháp Euler cải tiến
Ta có

y  xk 1   y  xk   y '  xk  xk 1  xk     x2 

Theo định lý Lagrange: giả sử f  x  là một hàm liên tục trong  a, b và khả vi trong

 a, b  thì có ít nhất một điểm c   a,b  để:
f c 

f b  f  a 
ba

Theo định lý Lagrange ta có: y  xk 1   y  xk   hf  ck , y  ck  
Như vậy ta có: f  ck , y  ck   

1
 f  xk , yk   f  xk 1 , yk 1 
2

Từ đó ta có công thức Euler cải tiến như sau:

Footer Page 22 of 161.


Header Page 23 of 161.

17

h
y  xk 1   y  xk    f  xk , yk   f  xk 1 , yk 1 
2

(2.9)

Trong công thức này giá trị y  xk 1  chưa biết. Do đó khi biết y  xk  ta phải tìm

y  xk 1  bằng phương trình (2.8) sau đó dùng (2.9) để tính y kn1 cụ thể là:
yk 1  yk  hf  xk , yk 
0



(2.10)



h
n
n1
yk 1  yk   f  xk , yk   f xk 1 , yk 1  


2

(2.11)

2.2.4. Phương pháp tích phân liên tiếp


 y '  x   f  x, y  x  

Xét bài toán Cauchy (2.6) 


 y  a   y0

Lấy tích phân bài toán trở thành y  x   y0 

a xb

x

 f t , y t   dt
x0

x

 y1  x   y0   f  t , y0  dt
x


x
 y2  x   y0  f  t , y1  dt

Xác định một dãy các hàm như sau: 
x

...

x

 yk  x   y0   f  t , yk 1  dt

x
0

0

0

Từ đó ta có thể tính được y1  x  từ

y0 và f  x, y  ; y2  x  từ y1 và f  x, y  …Từ đó

ta có được công thức của phương pháp Picard như sau:
x

yk  x   y0   f  t , yk 1  dt
x0

Footer Page 23 of 161.

(2.12)


Header Page 24 of 161.

18

2.2.5. Phương pháp Runge – Kutta bậc 2
Chi tiết về phương pháp Runge – Kutta bậc 2 sẽ được trình bày ở phần phụ lục.
2.2.6. Phương pháp Runge – Kutta bậc 4
Chi tiết về phương pháp Runge – Kutta bậc 4 sẽ được trình bày ở phần phụ lục.
2.2.7. Phương trình vi phân cấp cao
Xét phương trình vi phân bậc n sau:





n
n1
y   x   f x, y, y ',..., y   , a  x  b

(2.13)

Có các điều kiện đầu như sau:
 y  a   a1

 y  a   a2

...
 y ( n 1)  a   a
n


Đặt

 y1  y


 y2  y 

 y3  y
...

( n 1)

 yn  y

Lúc này phương trình vi phân bậc n được chuyển về n phương trình vi phân bậc nhất
như sau:
 y1  y

 y2  y 

 y3  y
...

( n 1)

 yn  y

Footer Page 24 of 161.


Header Page 25 of 161.

19

Ta thực hiện các bước tính toán như trên phương pháp Runge – Kutta sẽ tìm được
nghiệm của phương trình vi phân bậc n trên.
Trong các phương pháp số đã trình bày ở trên, phương pháp Euler là đơn giản nhất,
nhưng sai số lớn và không ổn định cao. Phương pháp Euler cải tiến cũng sử dụng đơn
giản nhưng sai số của phương pháp này nhỏ hơn so với phương pháp Euler. Nhược điểm
của phương pháp Euler cải tiến là bậc của độ chính xác giảm dần. Muốn có độ chính xác
cao đòi hỏi h phải nhỏ, trong phương pháp Runge – Kutta bậc của độ chính xác được
tăng lên, do đó phương pháp Runge – Kutta có sai số rất thấp. Ngoài ra trong phương
pháp Runge – Kutta không đòi hỏi thay thế lặp lại như phương pháp biến đổi Euler hay
tích phân liên tiếp như phương pháp của Picard. Vì vậy trong bài luận văn này, chúng
tôi đã sử dụng phương pháp Runge – Kutta để giải phương trình vi phân cấp cao.

Footer Page 25 of 161.