một số bài tập về bpt kham khảo

“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2016
Bài 1: Cho x, y, z l| 3 số dương thoả mãn

1
1

  x  y  x  z 
3x  2 y  z  1 3x  2 z  y  1

2  x  3  y 2  z 2  16
Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức: P 
2 x2  y 2  z 2
(Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – 2016 – lần 2)
ĐÁP ÁN:
Ta có:

 x  y  x  z 

 x  y  x  z

4

2

 2x  y  z 


2

4

ATH
S.N



1
1
8
2


 3x  2 y  z  1 3x  2 z  y  1  3  2 x  y  z   2

ET

2

 2x  y  z 
8

Từ giả thiết suy ra:
3 2 x  y  z   2
4

2

8
t2

   t  2   3t 2  8t  16   0  t  2  2x  y  z  2
3t  2 4
2
2
Mà: 4   2 x  y  z   22  12  12 x 2  y 2  z 2  x 2  y 2  z 2 
3
2
2
2
2 x  y  z  12 x  2
12 x  2
12 x  2
36 x  6
P
 1 2
 1
 1 2
2
2
2
2
2
2
2x  y  z
x x y z
2
3x  2
 x  1 loai
36 3x 2  x  2
f ' x  

, f ' x  0  
Xét h|m số với x > 0
2
 x  2  f  2   10
2
3x  2

3
3

Đặt: 2 x  y  z  t  t  0  





TM






x

VIE

Ta có BBT:



f ' x 
f  x

0

+



2
3
0



-

10

2
1
Suy ra f  x   10 nên P  10 . Vậy gi{ trị lớn nhất của P l| 1. Dấu “=’ xảy ra khi

2
1
x ,y  z 
3
3

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 1


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
Bài 2: Cho x, y, z l| 3 số dương thoả mãn x  y  z  3
Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

x2
yz  8  x3



y2
zx  8  y 3



z2
xy  8  z 3

(Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – 2016 – lần 1)
ĐÁP ÁN:

 a  b  c  (*) với a, b, c, x, y, z  0
a
b
c
  
x
y

z
x yz

Ta có BĐT:

2

2

2

 x  y  z

Áp dụng (*) ta có: P 

2

ET

2

xy  yz  zx  8  x3  8  y 3  8  z 3

 2  x   4  2x  x2  

8  x3 

Đặt t = x  y  z ,  t  3 . Khi đó: P 

ATH

S.N

2  x  4  2x  x2 6  x  x2

2
2
2
2  y  4  2y  y
6  y  y2
3
2
8  y  2  y4  2 y  y  

2
2
2
2  z  4  2z  z
6  z  z2
3
2
8  z   2  z   4  2z  z  

2
2
2
2
2 x  y  z
2 x  y  z 
P


2 xy  2 yz  2 zx  18   x  y  z   x 2  y 2  z 2  x  y  z 2   x  y  z   18

Ta có:

2t 2
t 2  t  18

BBT:
t

f ' x 

3




VIE





TM

2t 2
, t 3
t 2  t  18
2 t 2  36t
f 't   2

, f '  t   0  t  36
t  t  18

Xét h|m số: f  t  

36
0

+

-

144
71

f  x

3
4
Từ BBT ta có GTNN của f  t  là
Vậy GTNN của P l|



2

3
khi t = 3
4

3
khi x  y  z  1
4

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 2


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
2

2 y  x
thoả mãn 
2

 y  2 x  3x

Bài 3: Cho x, y 

Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 4  y 4 

2

 x  y

2

(Sở GD Vĩnh Phúc – 2016 – lần 1)
ĐÁP ÁN
2
x

6
 2 x 2  3x  0  x  và x 2  y 2  x 2   2 x 2  3x   2 x 2  2 x 2  6 x  5 
Từ gt ta có: y  0,
2
5
 6
Xét h|m số: f  x   2 x 2  2 x 2  6 x  5  , x  0;  ta được Max f  x   2  x 2  y 2  2
 6
 5
0; 5 

ET

2





2 2

 2x y 
2

2

Đặt t  x 2  y 2  P 

2

 x  y

 x  y
2

2

x


2

y





ATH
S.N

P  x  y
2

2 2

t2 2
 ,0  t  2
2 t



2 2

2



2
x  y2
2

t2 2
 , t   0; 2
2 t
1 t3  2
g 't   t  2  2 , g 't   0  t  3 2
t
t
6
33 4
16
Lập BBT ta có MinP 
Khi x  y 
2
2
Bài 4: Cho c{c số x, y, z  thoả mãn x  2, y  1, z  0
1
1


Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức: P 
2 x 2  y 2  z 2  2  2 x  y  3 y  x  1 z  1

VIE

TM

Xét hs: g  t  

(THPT Bố Hạ – 2016 – lần 2)

ĐÁP ÁN

Đặt a  x  2, b  y  1, c  z  a, b, c  0
1
1
Khi đó: P 

2 a 2  b2  c 2  1  a  1 b  1 c  1
Ta có: a  b  c
2

2

2

 a  b
1 

2

 c  1


2
Dấu “=’ xảy ra khi a  b  c  1
Mặt kh{c,  a  1 b  1 c  1
Khi đó P 

2

2



1
2
 a  b  c  1
4

 a  b  c  3


3

27

1
27


a  b  c  1  a  b  c  3 3

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 3


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
1 27
Đặt t  a  b  c  1  1 . Khi đó P   3 , t  1
t t

81t 2   t  2 
1
27
1
81
Xét hs: f  t   
,
t

1,
f
'
t





2
t  t  2 3

t 2  t  2 4
t 2 t  2

4

f '  t   0  81t 2   t  2   0  t 2  5t  4  0  t  4 (do t >1)
4

lim f  t   0

BBT:
4
0

+



-

ATH
S.N

1
t
f 't 

ET

x 

1
8

f t 

0
Từ BBT ta có max f  t   f  4  

1
8

0

TM

a  b  c  1
1
 a  b  c  1  x  3, y  2, z  1
Vậy max P  khi 
8
a  b  c  1  4

Bài 5: Cho c{c số thực dương a, b thoả mãn a 2  2b  12
4
4
5
Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức: P  4  4 
a
b 8  a  b 2

VIE

(THPT ĐỒNG HẬU – VĨNH PHÚC – 2016 – lần 2)
ĐÁP ÁN

Từ gt v| BĐT Cô-si ta có:
a 2  2b  12  a 2  4  2b  16  4a  2b  16  2 4a.2b  16  0  ab  8
a 2b 2  4
4  ab
5
1  a 2 b2  5
1
P


.

 2  2  . a b
 4
2
4 
64  a b  8 8  a  b  16  b
a  64   2
b a
1
5 1
1
a b


Đặt t    t  2  , Ta có: P  t 2  .
16
64 t  2 8
b a
1
5 1
1
 , t   2;  
Xét h|m số: f  t   t 2  .
16
64 t  2 8
1 5
1
5
f 't    .
, f 't   0  t 
2
8 64  t  2 
2

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 4


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
Ta có BBT:
t

5
2
0

2

f 't 

-



+





27
64
Từ BBT suy ra min f  t  
 2; 

27
5
khi t 
64
2

ET

f t 

ATH
S.N

27
khi a  2, b  4
64
Bài 6: Cho c{c số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c  1
7
121
Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức: A  2

a  b2  c 2 14  ab  bc  ca 
Vậy MinP 

 

TM

(THPT BÌNH MINH – NINH BÌNH – 2016 – lần 1)
ĐÁP ÁN
1   a 2  b2  c2 
2
2
2
2
Ta có: 1   a  b  c   a  b  c  2  ab  bc  ca   ab  bc  ca 
2
7
121
Do đó: A  2


a  b2  c 2 7 1  a 2  b2  c 2



Đặt t  a 2  b2  c 2 . Vì a, b, c  0, a  b  c  1 nên 0  a  1,0  b  1,0  c  1

VIE

Suy ra t  a 2  b2  c 2  a  b  c  1





Mặt kh{c, 1   a  b  c   a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   3 a 2  b 2  c 2  t 
2

Ta có hs: f  t  

7
121
1 

, t   ;1
t 7 1  t 
3 

f 't   
t

f 't 

f t 

1
3

7
121
7

, f 't   0  t 
2
2
t
18
7 1  t 

1
3
-

7
18
0



+

324
7

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 5


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
324
1 
, t   ,1
7
3 
324
1
1
1
Vậy MinA 
khi a  , b  , c 
7
2
3
6
Bài 7: Cho c{c số thực dương a, b, c thoả mãn ab  1; c(a  b  c)  3
b  2c a  2c

 6ln  a  b  2c 
Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
1 a
1 b

(THPT ĐỨC THỌ –HÀ TĨNH – 2016 – lần 1)
ĐÁP ÁN
Ta có:
a  b  2c  1 a  b  2c  1
P2

 6ln  a  b  2c 
1 a
1 b
1 
 1
  a  b  2c  1 

  6ln  a  b  2c 
1 a 1 b 
Ta chứng minh được c{c BĐT quen thuộc sau:
ab  1
1
1
2
) ab 
)


 2
1
2
1  a 1  b 1  ab
Thật vậy,

1   2  a  b  1 

hoặc ab  1





ab  2 1  a 1  b  

2



a b


2



ab  1  0 Dấu “=” xảy ra khi a  b

ab  1  0 . Dấu “=” xảy ra khi ab  1

TM

 2  

ATH

S.N

ET

Từ BBT: f  t  

Đặt : t  a  b  2c, t  0

16  t  1
 6ln t , t  0
t2
6 16  t  2  6t 2  16t  32  t  4  6t  8
f 't   


t
t3
t3
t3

BBT:
0
t
f 't 

VIE

Ta có: P  2  f  t  

4

0

-



+

f t 

5  6ln 4
Từ BBT  min f (t )  5  6ln 4 khi t = 4
(0; )

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 6


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
Vậy GTNN P  5  6ln 4 khi a  b  c  1

Bài 8: Cho c{c số a, b, c  0;1 .Chứng minh:

ET

a
b
c


 1  a 1  b 1  c   1

b  c 1 a  c 1 a  b 1
(THPT HỒNG LĨNH –HÀ TĨNH –NĂM 2016 – lần 1)
ĐÁP ÁN
Do vai trò của a, b, c như nhau nên giả sử a  b  c , khi đó:
Đặt S  a  b  c  1  b  c  1  S  a  S  c
a  c 1  S  c
a  b 1  S  c
Ta có 1  a 1  b 1  a  b   1 *
do a, b  0;1 . Vậy (*) đúng

ATH
S.N

 1  a  b  ab 1  a  b   1  0  a2  b2  ab  a2b  ab2  0  b  a  b  a  1  a 2  0 đúng

1
1 c
 1  a 1  b 1  c  
S c
S c
a
b
c
a
b
c
1 c S  c


 1  a 1  b 1  c  





1
Do đó:
b  c 1 a  c 1 a  b 1
S c S c S c S c S c
Bài 9: Cho c{c số thực dương x, y , z thoả mãn x  y  z; x  y  z  3
x z
Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: P    3 y
z y
(THPT KẺ SẶT –HẢI DƯƠNG – NĂM 2016 – lần 1)
ĐÁP ÁN
Ta có:
x
z
 xz  2 x,  yz  2 z
z
y
x z
 P    3 y  2 x  xz  2 z  yz  3 y  2  x  z   y  x  y  z   xz  yz  2  x  z   y 2  x  y  z 
z y
Do x  0, y  z nên x  y  z   0 .

VIE

TM

(*)  1  a 1  b  S  c   1  1  a 1  b  

x z
2
  3 y  2  x  z   y 2  2  3  y   y 2   y  1  5  5
z y
Vậy GTNN của P bằng 5 khi x  y  z  1
Bài 10: Cho c{c số thực dương a, b, c
a  3c
4b
8c


Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
a  2b  c a  b  2c a  b  3c
(THPT HẬU LỘC 2–THANH HOÁ – NĂM 2016 – lần 1)
ĐÁP ÁN
Kết hợp với trên ta được: P 

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 7


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
 x  a  2b  c
a   x  5 y  3z


Đặt  y  a  b  2c  b  x  2 y  z
 z  a  b  3c
c   y  z










ET

Do đó ta cần tìm GTNN của
 x  2 y 4 x  8 y  4 z 8 y  8 z  4 x 2 y   8 y 4 z 
P


 
      17
x
y
z
x   z
y 
 y
4x 2 y
8 y 4z
P2
.
2
.  17  12 2  17 nên GTNN của P l| 12 2  17
y x

z y



Dấu “=” xảy ra khi b  1  2 a, c  4  3 2 a

Ta có: S  x  2 y 

TM

ATH
S.N

Bài11: Cho c{c số thực dương a, b, c thoả mãn 21ab  2bc  8ca  12
1 2 3
Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: S   
a b c
(THPT MARIE CURIE – NĂM 2016 – lần 1)
ĐÁP ÁN
1
1
1
Đặt: x  , y  , z   x, y, z  0, 2 x  8 y  21z  12 xyz và S  x  2 y  3z
a
b
c
2x  8 y

z


2x  8 y

 12 xy  21
z 

Từ 2 x  8 y  21z  12 xyz  z 12 xy  21  2 x  8 y   12 xy  21  
12 xy  21  0
x  7


4y

2x  8 y
4 xy  7

f ' x   1 

 7

2x  8 y
, x   ;  
4 xy  7
 4y


VIE

Xét h|m số: f  x   x  2 y 

14  32 y 2

 4 xy  7 

, f '( x)  0  x 
2

32 y 2  14  7

7

  ;  
4y
4y
 4y


 7
32 y 2  14 
32 y 2  14
9
  2y 


Lập BBT của h|m số y  f ( x) ta có : S  f ( x)  f 
 4y

4
y
4
y

4y



Xét h|m số: g  y   2 y 

8 y
g '( y ) 

2

32 y 2  14
9

, y   0;  
4y
4y

 9  32 y 2  14  28
4 y 2 32 y 2  14

, g '( y )  0  y 

5
  0;  
4

 5  15
Lập BBT của hs z  g  y  ta có: S  g  y   g   
4 2

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 8


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
15
1
4
3
khi a  , b  , c 
2
2
5
2
Bài 12: Cho x, y , z l| c{c số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz  8
48
nhất của biểu thức : P   x  y  y  z  z  x  
x y z 3
(THPT SỐ 3 BẢO THẮNG – NĂM 2016 – LẦN 1)
ĐÁP ÁN
 x  y  y  z  z  x    x  y  z  xy  yz  zx   8

ET

Vậy min S 

Ta có:

a  b

2

  b  c    c  a   0  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   a  b  c   3  ab  bc  ca  (*)
2

2

 xy  yz  zx 

2

ATH
S.N

Thay a  xy, b  yz , c  zx vào (*) ta có:

2

 3xyz  x  y  z    xy  yz  zx   2 6  x  y  z 

Do đó P  2( x  y  z ) 6  x  y  z  
Đặt t  x  y  z  3 3 xyz  6
48
 P  2t 6t 
8
t 3

48
8
x y z 3

3 6t  t  3  24
48
 8 , t  6  f 't  
 f '  t   0, t  6
Xét h|m số: f  t   2t 6t 
3
t 3
 t  3
3

TM

 f  t  đồng biến trên 6;  . Vậy Min f  t   f  6   80
6;

Vậy MinP  80 khi x  y  z  2

biểu thức: P  8 xyz 

VIE

Bài 13: Cho x, y , z l| ba số thực dương thỏa mãn: x 2  y 2  z 2 

3
. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của
4

1
1 1

 
xy yz zx

(THPT NGÔ SĨ LIÊN – BẮC GIANG – LẦN 1)

ĐÁP ÁN

1
1 1
1
   3 3 2 2 2 , đặt t  3 xyz  0
xy yz zx
x y z
x2  y 2  z 2 1
1
 0t 
3
4
2
3
3
 1
 P  8t 3  2 . Xét h|m số f  t   8t 3  2 , t   0; 
t
t
 2

Mà

3

x2 y 2 z 2 

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 9


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
f '  t   24t 2 

6
1
, f 't   0  t  5
3
t
4

BBT:
t

1
2

0

f '  t  ||

-

0

ET

f t 

13

ATH
S.N

 1
Từ BBT : f  t   13, t   0; 
 2
1
Vậy MinP  13 khi x  y  z 
2
Bài 14: Cho a, b, c l| ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c  3 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu
c3  3  a 
25a 2
25b 2
thức: P 


a
2a 2  7b 2  16ab
2b 2  7c 2  16ab

Ta có:
2
 a  b   0  2ab  a 2  b 2

TM

(THPT TRẦN HƯNG ĐẠO – ĐĂC NÔNG – LẦN 2)
ĐÁP ÁN

2a 2  7b 2  16ab  2a 2  7b 2  2ab  14av  3a 2  8b 2  14ab  (a  4b)  3a  2b  

25a 2
Vậy:

(1)
2a 2  7b2  16ab 2a  3b
25b2
25a 2
Tương tự,

(2)
2
2
2
a

3
b
2b  7c  16cb
3c 2
2
25c 2
23
 2c  c    

(3)
Mặt kh{c, theo BĐT Côsi :
a
 a c  3a  2c
Từ (1), (2),
2
a  b  c
 a2

b2
c2  2


 c 2  2c  5  a  b  c   c 2  2c
(3) P  25 
  c  2c  25.
5a  b  c
 2a  3b 2b  3c 2c  3a 

VIE

25a 2

4a  6b
 2a  3b
2

Mà: a  b  c  3  P  c 2  2c  15   c  1  14  14
2

Vậy GTNN của bằng 14 khi a = b = c =1

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 10


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
Bài 15:Tìm gi{ trị nhỏ nhất, gi{ trị lớn nhất của biểu thức:

f  x   5x 2  8x  32  3x 2  24 x  3x 2  12 x  16
(THPT LÊ LỢI – THANH HOÁ – NĂM 2016 –LẦN 2)
ĐÁP ÁN

Ta có TXĐ: D  0;8

Đặt : g  x   5x 2  8x  3x , h  x   3x 2  12 x  16

ET

Ta dễ d|ng x{c định được x  0;8 thì

6  g (2)  g ( x)  g (8)  12 2, 2  h  2   h  x   h 8   4 7 và

8  x  2

Do đó f  x  

2

ATH
S.N


x  0
3x 2  24 x  0  3 x 2  24 x  0  

x  8 


 3x 2  12 x  16  0  h  x   2x  0;8

5 x 2  8 x  32  3x 2  24 x
Đẳng thức xảy khi v| chỉ khi x  2  min f ( x)  2 khi x  2
Ta có

f ( x)  5 x 2  8 x  32  3x 2  24 x  3x 2  12 x  16  g ( x)  h( x)  12 2  4 7 x  0;8 .

TM

Đẳng thức xảy khi v| chỉ khi x  8  max f ( x)  12 2  4 7 khi x  8
Vậy min f ( x)  2 khi x  2 và max f ( x)  12 2  4 7 khi x  8 .

VIE

Bài 16: Cho x, y , z l| ba số thực dương thỏa mãn: x2  y 2  z 2  3 . Tìm gi{ trị lớn nhất của
x3  y 3  z 3
3
2
biểu thức: P   x  y  z  

9 xyz

xy  yz  zx
(THPT NGUYỄN VĂN TRỖI-HÀ TĨNH – NĂM 2016– LẦN 1)
ĐÁP ÁN
Ta có:  x  y  z   x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx    x  y  z   3  2  xy  yz  zx 
2

2

Lại có:
x3  y3  z 3   x  y  z   x 2  y 2  z 2   xy  yz  zx   3xyz   x  y  z  3   xy  yz  zx   3xyz

x3  y 3  z 3 1 1  1 1 1 
      3   xy  yz  zx 
9 xyz
3 9  yz zx xy 
 xy  yz  zx  3 3 x 2 y 2 z 2

1
1 1
9
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:  1

  
1 1
1
xy yz zx xy  yz  zx
    33 2 2 2
xy
yz
zx

x
.
y
.
z

Nên

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 11


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
x3  y 3  z 3 1
1
 
3   xy  yz  zx  
9 xyz
3 xy  yz  zx 
1
1
3
11
 P  3  2  xy  yz  zx   
3   xy  yz  zx  
  2  xy  yz  zx 
3 xy  yz  zx
xy  yz  zx 3
2
2
2

2
2
2
x y y z z x
11
29
 3 nên P   6 
Do 0  xy  yz  zx 
2
3
3
2
2
2
x  y  z  3
29

Vậy GTNN của P l| khi  xy  yz  zx
 x  y  z 1
3
 xy  yz  zx  3

Bài 17: Cho a, b, c l| ba số thực không âm thỏa mãn: a 2  b2  c 2  2 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất
a2
bc
1  bc


của biểu thức: P  2
a  bc  a  1 a  b  c  1

9
(THPT NGHÈN– HÀ TĨNH- NĂM 2016 – LẦN 1)
ĐÁP ÁN

ATH
S.N

ET

Suy ra

a2  b  c 
a 2  b2  c 2  2bc
Ta có: a  b  c  

 1  bc
2
2
2
 a  b  c   a 2  b 2  c 2  2bc  2a  b  c   2 1  bc   2a  b  c 
2

  a  b  c   2 1  bc   2 1  bc 

 a  b  c   1  bc

2
Do đó: 
a  b  c


1  bc 
4


a  b  c
 1  bc 

2

4

TM

2

VIE

a2
bc
P 2


a  a  a b  c  a  b  c  1

a  b  c
4
9

2

a  b  c
a2
bc
P 2


a  a  a b  c  a  b  c  1
36

a  b  c  P  a  b  c  a  b  c
a
bc
P


a  b  c 1 a  b  c 1
36
a  b  c 1
36
2

2

Đặt t  a  b  c,0  t  3  a 2  b 2  c 2   6
Ta có: f  t  

t
t2
1
t

2
 , t  0; 6  , f '(t ) 
 , f '(t )  0  t  t  1  18  t  2
2
t  1 36
 t  1 18

5
Lập BBT  min f  t   khi t  2
0; 6 
9



VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 12

2


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
a  b  c  2
 a  b  1, c  0
5

Vậy GTNN của P l| khi a 2  b 2  c 2  2  
9
 a  c  1, b  0
a  b  c

Bài18: Cho x, y , z l| ba số thực không }m thỏa mãn: x2  y 2  z 2  3 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất

16
xy  yz  zx

của biểu thức: P 
x yz
x2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2

2

 y 2  z 2   x4  y 4  z 4
2

2

2

4

2



9   x4  y 4  z 4
2

ATH
S.N

x  x  x  3 x ; y  y  y  3 y ; z 4  z  z  3z 2
4

ET

Ta có: x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2

x


(THPT YÊN THẾ – HÀ TĨNH- NĂM 2016 – LẦN 3)
ĐÁP ÁN

 x4  y 4  z 4  3 x2  y 2  z 2   2  x  y  z   9  2  x  y  z 

 x  y  z
xy  yz  zx 
Do đó P 

 x2  y 2  z 2  x  y  z   3

2
2
2
 x  y  z  1
16

2 x  y  z
x  y  z 1
2

2

TM

16
t 2 1
Đặt t  x  y  z, t   3;3 . Ta có: P  f (t ) 



2t
t 1
1 1
8
1 1
8
f 't   2  
  
0
3
3
2t
2
6
2
4
 t  1

VIE

28

f (t ) nghịch biến trên  3;3 .Do đó P  f (t )  f (3) 


3
28
khi x  y  z  1
Vậy GTNN của P bằng
3
Bài 19: Cho x, y , z l| ba số thực dương thỏa mãn: x  y  z 2  xy  5 . Tìm gi{ trị lớn nhất của
2x
y
4( x  y)
biểu thức: P  2


2
x  y  18 x  y  4 z
25 z
(THPT THANH CHƯƠNG– NGHỆ AN- NĂM 2016 – LẦN 1)
ĐÁP ÁN
2
2
2
2
2
x  y  2 xy  2  x  y  z  5   x  y  10  2  x  y  z 2 
 x 2  y 2  18  2  x  y   2  z 2  4   2  x  y   8 z  2  x  y  4 z 

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 13

“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
Suy ra:

x y
4
x

y
4
x

y

  x y  
  z  4  x  y   f (t )  t  4t
x
y
P


x y
x  y  4z x  y  4z
25 z
x  y  4z
25 z
25 z
t  4 25
4
z

t  0
x y
t
4t
4
4
 0, f (t ) 
 , f '(t ) 
 , f '(t )  0  
 t 1
2
2
z
t  4 25
25
(
t

4)

25
t

4
 


Do đó f (t )  f (1) 

 x  y  z, x  y
1
1
 Pmax  khi 
 x  y  1; z  2
2
25
25
x

y

z

xy

5


ET

t

ATH
S.N

Bài 20: Cho a, b, c l| ba số thực dương thỏa mãn: abc  1 . CMR:
a
b
c

3



2
a  bc
b  ac
c  ab
(THPT TĨNH GIA 1– THANH HOÁ- NĂM 2016 – LẦN 1)
ĐÁP ÁN
Đặt x  a , y  b , z  c
x2
y2
z2
3
B|i to{n trở th|nh: P 



2
x 2  yz
y 2  zx
z 2  xy
2

 x  y  z



x  y  z

4

x 2  yz  y 2  xz  z 2  xy

TM

2


x  y  z

2
Ta có: P  
 
 x 2  yz  y 2  xz  z 2  xy 



2

 x  y  z
 x  y  z



3  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  3  x  y  z 2   xy  yz+zx   3  x  y  z 2  3





4

4

VIE

4

do xy  xz  yz  3 3 ( xyz ) 2  3
Đặt t   x  y  z   t  9
2

t2
3t  15 t  3
3
3.9  15
t 3 3
9
3




2
.
 P
3  t  3
12
12 t  3

12
12 t  3 2
2
3
Vậy Pmin 
khi a  b  c  1
2
Bài 21: Cho ba số thực x, y, z  1;4 v| thỏa mãn: x  y  z  6 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu

Khi đó P 2 

thức
z
x2  y 2  1
T

xyz
8  x2  y 2 

(THPT –HÀN THUYÊN – BẮC NINH –NĂM -2016-LẦN 2)

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 14


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
ĐÁP ÁN
z
x  y 1
z
x  y2

1
T




xyz
xyz
xyz
8  x2  y 2 
8 x2  y 2 
2

2

2

x2  y 2
Với x,y,z  1;4 , x  y  z  6,
2
xy

 x  1 y  1  xy  x  y  1  0  xy  x  y  1  5  z 

1
1

xyz
5  z  z

x 2  y 2   x  y   2 xy   6  z   2 xy   6  z   2  5  z   z 2  10 z  26

T 

2

2

ET

2

z
2
1


8  z 2  10 z  26  z z  5  z 

Đặt: t 

x
y

x
2y
x  4y
x
x  6y





20 y  3z 2 x  6 y 2 x  6 y x  24 y 2 x  6 y

VIE

Khi đó biểu thức trở th|nh: P 

TM

ATH
S.N

2
2

z
2
1  1  z  4   4 z  45 z  117 
Xét hiệu: 
 
 
 0z  1;4
2
2
 8  z  10 z  26  z z  5  z   2 8 z  5  z   z  10 z  26 
1
1
Do đó T  . MinT  khi x  y  1, z  4

2
2
Bài 22: Cho x, y , z l| c{c số thực dương thoả mãn: x  4 y  3z  0 . Tìm GTLN của biểu thức
x
2y
x  4y
P


20 y  3z x  2 y  3z 2 x  6 y
(ĐỀ MOON-THẦY ĐẶNG VIỆT HÙNG - NĂM 2016)
ĐÁP ÁN
 x  2 y  3z  2 x  6 y
1
1


Từ giả thiết ta có: 3 z  x  4 y  
x  2 y  3z 2 x  6 y
20 y  3 z  x  24 y

t
t 6

t  24 2t  6
t
t 6

, t  0,
Xét hs: f (t ) 

t  24 2t  6
24
6
2
2
f '(t ) 

, f '(t )  0  16  t  3   t  24   t  4
2
2
(t  24)  2t  6 
Ta có P  f (t ) 

6
6
P
7
7
x  4 y
x  4 y
6

Vậy MinP  khi 
7
 x  4 y  3z
3 z  8 y
Lập BBT ta suy ra f (t )  f (4) 

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 15

“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
Bài 23: Cho hai phương trình x3  2 x 2  3x  4  0 và x3  8 x 2  23x  26  0 . CMR mỗi
phương trình trên có đúng một nghiệm, tính tổng hai nghiệm đó.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1- NĂM 2016
ĐÁP ÁN
3
2
Xét hs: f ( x)  x  2 x  3x  4 x{c định v| liên tục trên
f '( x)  3x2  4 x  3  0x   f  x  đồng biến trên (*)
f (4). f (0)  160  0  a   4;0  : f  a   0 (**)

ET

Từ (*) v| (**) suy ra phương trình x3  2 x 2  3x  4  0 có duy nhất 1 nghiệm x = a
Tương tự, phương trình x3  8 x 2  23x  26  0 có duy nhất 1 nghiệm x = b
Theo trên, a3  2a2  3a  4  0 1
Và b3  8b 2  23b  26  0   2  b   2  2  b   3  2  b   4  0  2 
2

ATH
S.N

3

Từ (1) v| (2) a3  2a 2  3a  4   2  b   2  2  b   3  2  b   4
3

2

 3

Theo trên h|m số f  x   x3  2 x2  3x  4 đồng biến v| liên tục trên
Đẳng thức (3)  f  a   f  2  b   a  2  b  a  b  2

TM

Vậy tổng hai nghiệm của hai pt đó bằng 2
Bài 24: Cho a, b, c l| c{c số thực thoả mãn: a  b  c  3 . Tìm GTLN , GTNN của biểu thức
a 2  b2  c2
P
  ab  bc  ca 
ab  bc  ca
(THPT NGUYỄN TRUNG THIỆN - NĂM 2016 - LẦN 2)
ĐÁP ÁN
1
2
Đặt t  ab  bc  ac   a  b  c   3
3
Mặt kh{c, ta có (a  b  c)2  a2  b2  c2  2  ab  bc  ac   a 2  b2  c 2  9  2  ab  bc  ca 

;3

VIE

9  2t
 t  f t  , t  3
t
9
f '  t    2  1  0, t  3  f  t  nghịch biến trên  ;3

t
Suy ra min f  t   f  3  2; không tồn tại GTLN của f  t 
Khi đó: P 

Vậy MinP=-2 khi a = b = c =1
Bài 25: Cho a, b, c l| c{c số thực thoả mãn: a  b  c  2 . Tìm GTLN của biểu thức
S

ab
bc
ca


ab  2c
bc  2a
ca  2b
(THPT TAM ĐẢO - VĨNH PHÚC - NĂM 2016 - LẦN 2)
ĐÁP ÁN

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 16


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
Ta có:

ab
ab


ab  2c

ab   a  b  c  c

ab
1 a
b 
 

 a  c  b  c  2  a  c b  c 

a
b

ac bc
bc
1 b
c 
ca
1 c
a 
Tương tự, ta có:
 

 

,

bc  2a 2  b  a c  a  ca  2b 2  c  b a  b 
1 ab bc ca 3
Cộng c{c vế ta được: S  




2 ab bc ca  2
3
3
2
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  . Vậy GTLN của S bằng khi a  b  c 
2
2
3
2 2
2 2
Bài 26: Cho a, b, c l| c{c số thực không }m thoả mãn: a b  b c  1  3b . Tìm GTNN của
1
4b 2
8
biểu thức P 


2
2
2
 a  1 1  2b   c  3

Ta có: P 

1

 a  1

2



4b 2

1  2b 

2

ATH
S.N

ET

Đẳng thức xảy ra khi

(THPT TRIỆU SƠN I - THANH HOÁ - NĂM 2016 - LẦN 2)
ĐÁP ÁN
8
1
1
8




2
2
2

2
 c  3  a  1  1  1  c  3


 2b 

1
, khi đó ta có a 2b2  c 2b2  1  3b trở th|nh a 2  c 2  d 2  3d
b
Mặt kh{c:
1
1
8
8
8
64
256
M
P






2
2
2
2
2

2
 a  1  d  1  c  3  a  d  2   c  3  a  d  c  5   2a  d  2c  10 




2


2
2 


2
2
2
2
2
2
à 2a  4d  2c  a  1  d  4  c  1  a  d  c  6  3d  6
Suy ra 2a  d  2c  6
1
Do đó P  1 nên GTNN của P bằng 1 khi a  1, c  1, b 
2
Bài 27: Cho x, y , z l| c{c số thực dương thoả mãn: x  y  z  3 . Tìm GTLN của biểu thức

VIE

TM

Đặt d 

P   x  y  y  z  z  x   3 x  3 y  3 z
(THPT LƯƠNG THẾ VINH - HÀ NỘI - NĂM 2016 - LẦN 1)
ĐÁP ÁN
3
3
3
3
Áp dung BĐT Cô-si: x  x  x  x  4x hay x3  3 3 x  4x
Tương tự, y3  3 3 y ; z 3  3 3 z  4 z
Cộng từng vế của c{c BĐT , ta có: x3  y3  z 3  3



3



x  3 y  3 z  4  x  y  z   12 (1)

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 17


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
Ta có: x3  y 3  z 3   x  y  z   3  x  y  y  z  z  x 
3

Thay v|o (1) ta được, 27  3 x  y  y  z  z  x   3



3



x  3 y  3 z  12

Suy ra P  5 . Vậy MaxP = 5 khi x = y = z = 1

ET

Bài 28: Cho a, b, c l| c{c số thực không }m thoả mãn: ab  bc  ca  1 . Tìm GTNN của biểu
thức
a
b
a2  1  1 c 
P


  
4  a ab 
16  b  c   a 2  bc 
16  a  c   b 2  ac 

Ta có

ATH
S.N

(THPT DĂK-NÔNG - DAKMIL - NĂM 2016 - LẦN 1)
ĐÁP ÁN

2a  b  c 
a 2  bc
a 2  bc
ab  ac
1  2



2
ab  ac
ab  ac
a  bc  a  b  a  c 

Tương tự, ta có:

b
2b

2
 a  c   b  ac   c  b  a  b 

a
2a

1
2
 b  c   a  bc   a  b  a  c 

 2

 a2  1  1 c 
1
2a
2b
Từ (1) v| (2) ta có: P  


  
4   a  b  a  c   a  c  a  b  
4  a ab 

TM

a 2  1  b  c 

1 4ab  2ac  2bc
 .

4  a  b  b  c  c  a 
4ab

Mặt kh{c ta có a, b, c l| 3 số không }m v| ab  bc  ca  1 nên ta có:
a 2  1  b  c   a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a 


4ab
4ab

4ab  2c  a  b 



VIE



 a  b  b  c  c  a   1
1 4ab  2ac  2bc
P .

4  a  b  b  c  c  a 
4ab  2c  a  b 
 a 2  bc
1

ab

ac

a  b  1
 b 2  ac

Dấu "=" xảy ra khi v| chỉ khi 
1
c  0
 ab  bc
 ab  bc  ca  1


c  0
Bài 29: Cho x, y l| c{c số thực không }m thoả mãn: x  y  2 . Tìm GTLN của biểu thức
1
P  xy 
xy  1

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 18


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
(THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU- NĂM 2016 - LẦN 1)
ĐÁP ÁN

 x y
Ta có: 0  xy  
 1
 2 
Đặt t  xy, 0  t  1
2

Pt

t t  2
1
 f  t  , t   0;1; f '  t  
2
t 1
 t  1

3

. Khi x = 1, y = 1
2
Bài 30: Cho a, b, c l| c{c số thực dương v| thoả mãn: a 2  b2  c 2  3 . Tìm GTNN của biểu
thức
a 3  b3 b3  c 3 c 3  a 3
S


a  2b b  2c c  2a
(THPT VIỆT TRÌ- NĂM 2016 - LẦN 1)
ĐÁP ÁN

ATH
S.N

ET

Lập BBT ta được, GTLN của P bằng

x3  1 7 2 5
 x 
Trước tiên ta chứng minh BĐT:
 x  0  (*)
x  2 18
18
2
*  18  x3  1   x  2   7 x 2  5   x  1 11x  8   0 luôn đúng với mọi x > 0

TM

Dấu "=" xảy ra khi x = 1

a b c
; ;
b c a
a 3  b3 7 a 2 5b 2 b3  c3 7b 2 5c 2 c3  a3 7c 2 5a 2


;


;


a  2b 18
18 b  2c 18 18 c  2a 18 18
12  a 2  b 2  c 2 
2
Từ c{c đẳng thức trên suy ra S 
18
Vậy Min S = 2 khi a = b = c = 1

VIE

Áp dụng (*) cho lần lượt

3
. Tìm GTNN của biểu thức
2
1

2
1
2
1
2
P  2a 2  2 2   2b 2  2 2   2c 2  2 2 
ab b
bc
c
ca
a
(THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - NĂM 2016 - LẦN 1)
ĐÁP ÁN

Bài 31: Cho a, b, c l| c{c số thực dương v| thoả mãn: a  b  c 

Ta có BĐT sau luôn đúng:

x12  y12  x22  y22 

 x1  x2    y1  y2 
2

2

(1)

Thật vậy, 1  x12  y12  x22  y22  2 x12 x22  x12 y22  x22 y12  y12 y22  x12  x22  2 x1 x2  y12  y22  2 y1 y2

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 19

“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
 x12 x22  x12 y22  x22 y12  y12 y22  x1 x2  y1 y2   x1 y2  x2 y1   0
2

x12  y12  x22  y22  x32  y32 

Áp dụng (1) hai lần ta có

 x1  x2  x3    y1  y2  y3 
2

2

(2)

t3
 3
Đặt a  b  c  t , t   0;   abc 
27
 2
Áp dụng (2) ta được:
2

2

2

1 

1 
1 



P  a   a    b2   b    c2   c   
ab 
bc 
ca 



 27 
 t2  t  2 
t 


abc
 a  b  c    a  b  c 

abc 


2

2

2

2

ET

2

X

ATH
S.N

54 27 2
 27 
 3
2
ét h|m số: f  t   t   t  2   2t   4 , t   0; 
t 
t
t

 2
2
3
2
54 4.27
4t  54 4.27
 3
f '  t   4t  2  5 
 5  0, t   0; 
2
t

t
t
t
 2
 3
H|m số f(t) liên tục v| nghịch biến trên  0;  , do đó:
 2
2

a
GT 

3

 b3   a  b 

ab
3
3
 a  b   a  b

1



1

 3ab  a 2  b 2

1 a

1 b
(THPT HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - NĂM 2016 - LẦN 1)
ĐÁP ÁN
2

2

VIE

GTLN của biểu thức : P 

TM

3 82
 3  369
f t   f   
P
2
2
2
3 82
1
Vậy: MinP 
khi a  b  c 
2
2
Bài 32: Cho a, b   0;1 l| c{c số thực v| thoả mãn:  a3  b3   a  b   ab 1  a 1  b  . Tìm

 1  a 1  b 

(*)

 a 2 b2 
     a  b   2 ab .2 ab  4ab
ab
 b a
và 1  a 1  b   1   a  b   ab  1  2 ab  ab . Khi đó từ (*) suy ra: 4ab  1  2 ab  ab
vì

1

1
0  t  3
Đặt t  ab, t  0 ta được 4t  1  2 t  t  2 t  1  3t  
0t 
9
4t  1  3t 2

Ta có :

1
1
2
1   1
1 
 1







0
2
2
2
2
1  a 1  b 1  ab
 1  a 1  ab   1  b 1  ab 

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 20


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”

 a  b   ab  1  0

1  ab  1  a 2 1  b 2 
2

luôn đúng với mọi a, b   0;1

ET

Dấu "=" xảy ra khi a  b
1
1
1 
2
2

 1

 2

 2.

Vì:

2
2
1  ab
1  ab
1 a 1 b 
1  a2
1  b2
2
2
2
và 3ab  a 2  b 2  ab   a  b   ab nên P 
 ab 
t
1  ab
1 t
2
1
 1
 1
 t , t   0;  , f '(t )  1 
, t   0; 
Xét h|m số: f  t  

1 t
 9
 9
1  t  1  t

ATH
S.N

6
1
1
 f (t )  f   

10 9
9
6
1
1
Vậy GTLN của P l|
 khi a  b 
3
10 9

Bài 33: Cho c{c số thực dương x, y , z . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức
P

9
1
2
 x  y  z  2

7 x  y  4 xy  18. 3 xyz 2

(THPT LƯƠNG TÀI 2 – BẮC NINH - NĂM 2016 - LẦN 3)
ĐÁP ÁN
Dấu “=” xảy ra khi x = 4y = 9z

1
1
2
  x  y  z  2
x yz 2

VIE

Suy ra P 

TM

Ta có: 4 xy  2 x.4 y  x  4 y ; 18 3 xyz  3 3 x.4 y.9z  x  4 y  9z

1
1
2
t
7
Lập bảng biến thiên tìm được min f  t    t  1
2
7
36
9

4
Vậy min P   x  ; y  ; z 
2
49
49
49

Đặt t  x  y  z,  t  0  , xét h|m số f  t   t 2   2 (t > 0)

Bài 34: Cho hai số dương x, y ph}n biệt thỏa mãn: x 2  2y  12 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của
biểu thức P 

4
4
5
 4
.
4
x
y 8  x  y 2

(THPT CHUYÊN LONG AN - NĂM 2016 - LẦN 1)
ĐÁP ÁN

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 21


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
Từ điều kiện, dùng bất đẳng thức côsi suy ra: 0  xy  8 .
Đ{nh gi{ P 

x y
1
5 1
  t  2  . Khi đó P  . t 2  2  .
y x
16
64 t  2



Xét h|m số f (t) 



1 2 5 1
1
.t  .
 (với t > 2)
16
64 t  2 8

Tính đạo h|m, vẽ bảng biến thiên, tìm được:

ET

Đặt t 

1  x 2 y2  5
1

. 2  2   .
16  y
x  64 x y
 2
y x

 5  27
min f (t)  f  2   64 Tìm được giá trị nhỏ nhất của P là
 

Tìm được gi{ trị nhỏ nhất của P l|

27
khi x = 2 và y = 4
64

ATH
S.N

 2; 

27
khi x = 2 và y = 4
64

Bài 35: Cho c{c số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y 2  z 2   yz  y  z  . Tìm gi{ trị nhỏ nhất

2 yz 1  x 
 y
1

z 
của biểu thức P 



.
2
1  x   1  y 1  z  1  x 1  y 1  z 
2

(HSG TỈNH HÀ NAM - NĂM 2016)

ĐÁP ÁN






2

1

1  x 

2

 y
z 
2 yz

 2



 1
 

 1  y 1  z  1  y 1  z   1  x 
2

1

1  x 

2

TM



1  x 

 y
z 
2 yz
 1 x 


 



 1  y 1  z  1  y 1  z   1  x 

2

1

1  x 

2



2



1

1  x 

 y
z 
4 yz
2 yz



 
 1  y 1  z  1  y 1  z 1  x  1  y 1  z 

y2

1  y 

2



1
2

z2

1  z 

2

1



VIE

P

2

1



2

4 yz
1  y 1  z 1  x 



4
.
 1  1 
1  x  1   1  
y  z 


 1  1
1  y  1  z 


 
1
1
1
1
1
4




.
Đặt u  , v   u, v  0. Khi đó P 
2
2
2
y
z
1  x  1  u  1  v  1  x 1  u 1  v 

Theo bđt Côsi: P 

1

1  x 

2



2

1  u 1  v 



4
.
1  x 1  u 1  v 

Mặt kh{c, giả thiết trở th|nh

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 22


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
 y2  z2  y  z
 1 1 1 1
x 2 2  
 x  2  2     x u 2  v 2  u  v.
yz
z  y z
y
 y z 





Theo bđt Bunhiacốpxki: x  u  v   2 x  u 2  v 2   2  u  v   u  v  .
2
x

2

1
1
2   x 1 
2
Lại theo bđt Côsi: 1  u 1  v    2  u  v    2    
 .

4
4
x  x 
1
2 x2
4 x2
2 x3  6 x 2  x  1
Từ đó suy ra P 



.
2
2
3
3
1  x  1  x  1  x 
1  x 
2

2 x3  6 x 2  x  1

1  x 

3

10 x  2

ET

Xét h|m số f  x  

2

, x  0. Ta có f '  x  

1
 f ' x  0  x  .
5

ATH
S.N

Lập bảng biến thiên của f(x) trên  0;  suy ra

 x  1

4

 1  91
P  f  x  f   
.
 5  108

91
đạt được khi
108
1
2
1

1
x  , u  v, u  v   10  x  , u  v  5  x  y  z  .
5
x
5
5

Kết luận: GTNN của P l|

TM

Bài 36: Cho a, b, c l| c{c số thực không }m thỏa mãn 8(a2 + b2 + c2) = 3(a + b + c)2.Tìm gi{ trị
lớn nhất của biểu thức P = a(1 – a3) + b(1 – b3) + c.
(THPT ĐA PHÚC- HÀ NỘI - NĂM 2016- LẦN 1)
ĐÁP ÁN
+) Từ giả thiết ta có: 5c2 – 6 (a+b)c + (a+b)2  0 
1
8

1
( a  b)  c  a  b .
5

1
8

+) Ta có a 4  b4  (a  b)4 a, b => P  2(a  b)  (a  b)4

+) BBT:<
t

t3
(t  0), f '(t )  2  ; f '(t )  0  t  3 4
2

VIE

t4
+) Xét f (t )  2t 
8

3

0

f’(t)
+
f(t)

+

4

0

-

33 4
2

34

a

b

33 4


+) MaxP =
2 .
2

3
c  4

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 23


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
Bài 37: Cho a, b  0 thỏa mãn 2  a 2  b2   a 2b2 . Tìm Min P, với P 

a
b
1
.


b 1 a 1
a 2  b2  1

(THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC - NĂM 2016- LẦN 1)
ĐÁP ÁN

Ta có a 2b 2  2  a 2  b 2    a  b   ab  a  b
2

a 2  b 2  1   a  b   2ab  1   a  b   2  a  b   1   a  b  1
2

2

2

  a  b  1

4
1

2
a  b  2 a  b 1

ATH
S.N

1
 a
  b

P

 1  
 1  2 
2
 b 1   a 1 
a  b2  1
1 
1
 1
  a  b  1 

2
 2
 a 1 b 1
a  b2  1

ET

 a 2  b2  1  a  b  1

Đặt t  a  b , ta có  a  b   2  a  b    ab 
2

2

2

2

 a  b


16

4

 a b  4

4  t  1
1
5

 2; t  4 ta được MinP  M inf  x   khi x  y  2
3
t2
t 1
2
a

b

c

0
;
a
 b 2  c 2  6 . Tìm gi{ trị lớn nhất của
Bài 38: Cho c{c số thực a, b, c thỏa mãn:

Xét f  t  

biểu thức F  a 2b 2c 2 .

b  c  a

Từ gt ta có: 

TM

(THPT KIM LIÊN – HÀ NỘI - NĂM 2016- LẦN 1)
ĐÁP ÁN

2
bc  a  3
Hệ có nghiệm khi a 2  4a 2  3  a 2  4  a 2  0;4





2

VIE

F  a 2b 2 c 2  a 2 a 2  3  t 3  6t 2  9t , t  a 2  0;4
t  1 0;4
Ft '  3t 2  12t  9; Ft '  0  
t  3  0;4
F 0  F 3  0; F 1  F 4  4

Suy ra max F  4 khi a; b; c   2;1;1 hoặc c{c ho{n vị hoặc a; b; c    2;1;1 hoặc c{c ho{n vị.
Bài 39: Cho x, y, z là ba số thực dương có tổng bằng 3. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức

P  3( x 2  y 2  z 2 )  2 xyz .
(THPT LỆ THỦY – THÁI BÌNH - NĂM 2016- LẦN 1)
ĐÁP ÁN
Ta có:

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 24


“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI…. CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”
P  3 ( x  y  z ) 2  2( xy  yz  zx)   2 xyz

 39  2( xy  yz  zx)  2 xyz

0
-

1
0

với 0
3



+

ATH
S.N



x
y’

,

ET

 27  6 x( y  z )  2 yz ( x  3)
( y  z )2
 27  6 x(3  x) 
( x  3)
2
1
 ( x3  15 x 2  27 x  27)
2
Xét h|m số f ( x)   x 3  15 x 2  27 x  27
x  1
f , ( x)  3x 2  30 x  27  0  
x  9

27

54

y

14

Từ bảng biến thiên suy ra MinP =7  x  y  z  1 .

Bài 40: Cho x, y l| c{c số thực dương thỏa mãn xy  x  y  3 . Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu
3x
3y
xy


  x2  y 2 
y 1 x 1 x  y

TM

thức: P 

. (THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN – PHÚ YÊN - NĂM 2016- LẦN 1)
ĐÁP ÁN

Đặt t  x  y  xy  3  t; x 2  y 2   x  y   2 xy  t 2  2  3  t   t 2  2t  6
2

 x y

2

1

Suy ra P 

VIE

2
Ta có xy  
  3t  t  t  2
4
 2 

3  x2  y 2   3  x  y 



xy
12 5
  x 2  y 2   t 2  t  
x y
t 2

xy  x  y  1
12 5
Xét h|m số f  t   t 2  t   với t  2
t 2
2
Ta có f '  t   2t  1  2  0, t  2 . Suy ra hàm số f  t  nghịch biến với t  2
t
3
 P  f t   f  2 
2
3
Vậy gi{ trị lớn nhất của P bằng khi x  y  1 .
2

Bài 41: Cho a, b, c l| c{c số thực dương. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức

VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 25