Bài giảng cơ kết cấu 1 - Chuyển vị hệ thanh (đại học Bách Khoa TPHCM)

BÀI GIẢNG CƠ HỌC KẾT CẤU

CHƯƠNG 4

PGS. TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


Mục đích:
P, t, ∆.

- Xác định cơng thức chuyển vị cho KC bất kì chịu
- Đánh giá điều kiện cứng của KC
- Xây dựng cơ sở lí thuyết để tính HST

Phương pháp:
Dùng ngun lí cơng khả dĩ nên kiến thức mới lạ,
trừu tượng.

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.0 BỔ TÚC KIẾN THỨC
1. Cân bằng
Vật thể đứng yên thì tổng hợp lực bằng khơng → dùng các
phương trình cân bằng để tìm các lực chưa biết (phản lực, nội
lực).
2. Cách lấy phương trình cân bằng:
Một phương trình chỉ chứa 1 ẩn. Đây là nội dung chính của
KC1
3. Cơng thực

Cơng của lực trên chuyển vị do chính nó gây ra (chuyển vị
thực).
4. Công khả dĩ:
Công của lực trên chuyển vị do nguyên nhân khác gây ra.
5. Nguyên lý công khả dĩ Bernoulli cho vật rắn tuyệt đối
Vật thể cân bằng ⇔ tổng công khả dĩ bằng không.
Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.0 BỔ TÚC KIẾN THỨC
6. Trạng thái của hệ:
Là phản ứng (Response) của hệ khi chịu 1 tác động
Để đơn giản, hình thức hố khái niệm cơng khả dĩ bằng
cách tách ra hai trạng thái độc lập
“k”
P1

∆11

P2

∆11
∆12

Công khả dĩ:
T12 = P1∆ 12

P1

P2

“m”
∆12

- có ý nghĩa vật lý rõ ràng.

Với vật thể biến dạng, có chuyển vị khả dĩ thì cũng có biến
dạng khả dĩ, vì vậy có cơng khả dĩ của ngoại trên chuyển vị
& nội lực trên biến dạng.
Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.1 CÔNG KHẢ DĨ CỦA HỆ ĐÀN HỒI
1. Các khái niệm:
 Định nghĩa: công khả dĩ là công sinh ra bởi ngoại lực và
nội lực (trạng thái “k”) trên chuyển vị và biến dạng do các
nguyên nhân khác gây ra (trạng thái “m”).

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.1 CÔNG KHẢ DĨ CỦA HỆ ĐÀN HỒI
1. Các khái niệm (tt):
 Các trạng thái:
- “m”:
+ Trạng thái thực, chịu tác động của các nguyên nhân (P, to,
∆). Cần tìm chuyển vị ∆km tại 1 điểm.
+ Bất kì: khi phát biểu nguyên lí, định lí.
- “k”:
+ Trạng thái ảo, do lực Pk = 1 gây ra.

+ Bất kì: khi phát biểu nguyên lí, định lí.
Pm

“m”
t

o

“k”

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

∆i
∆km
Pk


4.1 CÔNG KHẢ DĨ CỦA HỆ ĐÀN HỒI
1. Các khái niệm (tt):
 Chuyển vị cần tìm ∆ km:

Chuyển vị theo phương Pk do các nguyên nhân “m”.
 Công khả dĩ ngoại lực của Pk trên chuyển vị của “m”

Tkm = Pk.∆ km

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.1 CÔNG KHẢ DĨ CỦA HỆ ĐÀN HỒI

2. Nguyên lý công khả dĩ cho hệ đàn hồi (Poisson,
1833)
Nếu một hệ đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của ngoại
lực và nội lực ở trạng thái “k”, thì tổng cơng khả dĩ Tkm
của ngoại lực và Akm của nội lực trạng thái “k” trên
chuyển vị và biến dạng khả dĩ tương ứng của trạng thái
“m” phải bằng 0.
Công thức:
Tkm + Akm = 0
hay

Akm = -Tkm

(1)

Chú ý: chuyển vị & biến dạng khả dĩ là vô cùng bé &
phù hợp với điều kiện liên kết của hệ. Chuyển vị &
biến dạng ở trạng thái “m” thỗ mãn tính chất này.
Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.1 CƠNG KHẢ DĨ CỦA HỆ ĐÀN HỒI
3. Cơng khải dĩ của ngoại lực “k” trên chuyển vị “m”
Nếu trạng thái “k” có nhiều lực thì
Tkm = ΣPk∆ km
(2)

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

4.1 CƠNG KHẢ DĨ CỦA HỆ ĐÀN HỒI
4. Cơng khả dĩ của nội lực
Tách 1 phân tố thanh ds ở 2 trạng thái.
- “k”: các lực Mk, Nk, Qk là ngoại lực đối
phân tố được xét.
- “m”: biến dạng được phân tích ra 3
biến dạng cơ bản.

Mk
Nk

ϕm
ϕm
2

ds

Mk
“k”

Nk

Qk
ds+∆dsm

ϕm
2

ds
“m”

Cơng của ngoại lực ở trạng thái “k” trên các chuyển vị “m”:
dTkm = M kϕ m + N k ∆dsm + Qk γ mtb ds
Theo (1) ta có:
dAkm = − dTkm = −  M kϕ m + N k ∆dsm + Qk γ mtbds 
Akm = −  Σ ∫ M kϕ m + Σ ∫ N k ∆sm + Σ ∫ Qk γ mtbds 
(3)
Chú ý: - dấu ∫ cho đoạn nội lực có 1 biểu thức.
- dấu Σ cho số đoạn.
Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

γ mtb ds
ds


4.1 CƠNG KHẢ DĨ CỦA HỆ ĐÀN HỒI
4. Cơng khả dĩ của nội lực (tt)
Biểu diễn biến dạng của “m” theo nguyên nhân gây ra
chúng:
 Biến dạng do nội lực Mm , Nm , Qm:
Mm

ds 
EJ

Nm

p
∆dsm =
ds 

EF

Q

γ mtb , p = µ m ds 
GF 

ϕ mp =

(4)

µ - hệ số do τ phân bố không đều theo chiều cao tiết
diện (xem chứng minh trong sách). µ > 1, trị số tùy hình
dạng tiết diện.

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.1 CƠNG KHẢ DĨ CỦA HỆ ĐÀN HỒI
4. Cơng khả dĩ của nội lực (tt)
Biểu diễn biến dạng của “m” theo nguyên nhân gây ra
chúng:
 Biến dạng do nhiệt độ:
ϕm
t

∆ds = α t ds




m
m
t − t1

ϕ mt = α 2
ds  (5)
h

tb

γm = 0

Thế (4) & (5) vào (3):
t
m

với

m
c

h

α t1m ds

m
1

t mc

t 2m

ds

α t mc ds

α t 2m ds

Mm
Nm
Qm

Akm = −  Σ ∫ M k
ds + Σ ∫ N k
ds + Σ ∫ Qk µ
ds
EJ
EF
GF

α

+ Σ ∫ M k ∆t m ds + Σ ∫ N kα t cm ds 
h

m
m

∆ t m = t 2 − t1

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

(6)


4.1 CƠNG KHẢ DĨ CỦA HỆ ĐÀN HỒI
5. Cơng thức chi tiết công khả dĩ (tt)
Thế (2), (6), (1):

∑P ∆
k

(7)

km

Mm
Nm
Qm
= Σ∫ Mk
ds + Σ ∫ N k
ds + Σ ∫ µQk
ds
EJ
EF
GF
α
+Σ ∫ M k ∆t m ds + Σ ∫ N kα t cm ds
h

Công thức (7) áp dụng cho hệ thanh thẳng hoặc có độ
h 1
≤
cong nhỏ
với h là chiều cao tiết diện, R là bán kính
R 5
cong của trục thanh.

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.2 CÁC ĐỊNH LÝ TƯƠNG HỖ
1. Định lý công khả dĩ tương hỗ (Betti, 1872)
Định lý:
Công khả dĩ của ngoại lực “k” trên chuyển vị của “m”
tương hỗ bằng công khả dĩ của ngoại lực “m” trên chuyển
vị của “k”.
ΣPk ∆ km = ΣPm ∆ mk
Chứng minh:
Nk Nm
Qk Qm 
 Mk Mm
∑ Pk ∆ km = Σ ∫ EJ ds + Σ ∫ EF ds + Σ ∫ µ GF ds 


Nm Nk
Qm Qk 
 Mm Mk
∑ Pm ∆ mk = Σ ∫ EJ ds + Σ ∫ EF ds + Σ ∫ µ GF ds 




Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.2 CÁC ĐỊNH LÝ TƯƠNG HỖ
1. Định lý công khả dĩ tương hỗ (Betti, 1872) (tt)
Thí dụ:
P

“k”

∆R
∆P

“m”
R

− P ∆ P = M ϕ − R∆ R

Tkm

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

Tmk

ϕ
M

4.2 CÁC ĐỊNH LÝ TƯƠNG HỖ
2. Định lý chuyển vị đơn vị tương hỗ (Maxwell, 1864)
Khái niệm:
Chuyển vị đơn vị là chuyển vị do nguyên nhân (lực)
bằng 1 gây ra.
Công thức:
δ km = δ mk
 Chứng minh:
Pk = 1
“k”
δmk
Xét hệ ở 2 trạng thái như hình vẽ,
chỉ chịu Pk = Pm = 1. Áp dụng ĐL
Pm = 1
Betti:
“m”

ΣPkδ km = ΣPmδ mk

δkm

Vì Pk =Pm=1 nên có cơng thức trên.

Ý nghĩa: áp dụng trong phương pháp lực tính HST.
Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.2 CÁC ĐỊNH LÝ TƯƠNG HỖ
3. Định lý phản lực đơn vị tương hỗ (Rayleigh, 1875)
 Khái niệm: phản lực đơn vị là phản lực do nguyên nhân

(chuyển vị gối tựa) bằng 1 gây ra.
 Qui ước dấu: Chiều dương của chuyển vị & phản lực
phải tương ứng (cùng hướng lên như trong hình vẽ: rkm –
∆k , rmk – ∆m ).

rkm = rmk

 Định lí:
“k”

∆k =1

rmk
“m”

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

∆m =1

rkm


4.2 CÁC ĐỊNH LÝ TƯƠNG HỖ
3. Định lý phản lực đơn vị tương hỗ (Rayleigh, 1875) (tt)
Chứng minh:
“k”
∆k =1
Trên hình chỉ thể hiện phản
lực có thể sinh cơng khả dĩ
rmk

trên chuyển vị cưỡng bức của
“m”
gối tựa tương ứng. Áp dụng
∆m =1
ĐL Betti:
rkm
rkm ∆ m = rmk ∆ k
Vì các chuyển vị cưỡng bức gối tựa đều bằng 1 nên
có ngay công thức trên.
Ý nghĩa:
Áp dụng trong phương pháp chuyển vị.
Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.2 CÁC ĐỊNH LÝ TƯƠNG HỖ
4. Định lý chuyển vị & phản lực đơn vị tương hỗ (Gvozdiev,
1927)
Xét hệ ở 2 trạng thái như hình vẽ.Trạng thái “k” chỉ có
chuyển vị gối tựa ∆k=1, trạng thái “m” chỉ có lực tập trung
Pm=1. Các phản lực và chuyển vị đơn vị có dấu chấm ở phía
trên là để phân biệt bản chất của nguyên nhân tác dụng so
với định lí Maxwell và Rayleigh.
“k”

∆k =1

“m”

Pm =1

r&km
Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

δ& mk


4.2 CÁC ĐỊNH LÝ TƯƠNG HỖ
4. Định lý chuyển vị & phản lực đơn vị tương hỗ (Gvozdiev,
1927) (tt)
 Định lí:
r&km = δ& mk
 Chứng minh: Áp dụng ĐL Betti ta có:

Tkm = 0
Tkm = r&km ∆ k + δ&mk Pm = Tmk = 0

Vì ∆ k = Pm = 1 nên có cơng thức trên.
 Ý nghĩa: Áp dụng trong phương pháp hỗn hợp.
“k”

∆ k =1

“m”

Pm =1

r&km
Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

δ& mk

4.3 CÔNG THỨC MAXWELL-MOHR
1. Trường hợp tổng quát
Xét 1 kết cấu thật bất kì, chịu các tác động P, t, ∆. như trên hình
vẽ. Cần tìm chuyển vị tại 1 tiết diện theo 1 phương nào đó là ∆km.
Để có thể áp dụng công thức (7) của nguyên lý công khả dĩ cần có
2 trạng thái:
 “m”: trạng thái thực, chịu P, to, ∆ . Cần tìm ∆km.
 “k”: trạng thái “bịa”, đặt Pk = 1, tương ứng với ∆km.

“m”

“k”

Nội lực Mm , Nm , Qm

∆ km

tm

Nội lực M k ,N k ,Qk

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

Rki

Pm

Pk =1

4.3 CÔNG THỨC MAXWELL-MOHR
1. Trường hợp tổng quát (tt)
Áp dụng (7)

Mm
N
Q
ds + Σ ∫ N k m ds + Σ ∫ Qk µ m ds
EJ
EF
GF
α
+ Σ ∫ M k ∆ t m ds + Σ ∫ N kα tcm ds
h
M
N
Q
= − ∑ Rki ∆ im + ∑ ∫ M k m ds + ∑ ∫ N k m ds + ∑ ∫ Qk µ m ds
EJ
EF
GF
α
+ ∑ ∫ M k ∆t m ds + ∑ ∫ N kα t cm ds
h

1.∆ km + ∑ Rki ∆ mi = Σ ∫ M k

∆ km

“m”

“k”

tm

Nội lực Mm , Nm , Qm
∆ km
Pm

Nội lực M k ,N k ,Qk

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

Rki

Pk =1


4.3 CÔNG THỨC MAXWELL-MOHR
2. Các trường hợp riêng
 Dầm và khung chịu tải trọng
Bỏ qua ảnh hưởng của N & Q đến chuyển vị so với M:
∆ km = ∑ ∫

Mk Mm
ds
EJ

(sẽ đơn giản hoá tiếp tục)

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh


4.3 CÔNG THỨC MAXWELL-MOHR
2. Các trường hợp riêng
 Dàn chịu tải trọng: M =Q = 0
Nk Nm
N N
ds = ∑ k m ∫ ds
EF
EF
N N
=∑ k m L
EF

∆ km = ∑ ∫
∆ km

Thí dụ:
Tìm chuyển vị ngang
∆ km = 0

“m”
+P

0
0

P

Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

“k”

1
Pk =1


4.3 CÔNG THỨC MAXWELL-MOHR
2. Các trường hợp riêng
 Hệ tĩnh định chịu chuyển vị cưỡng bức
Nội lực = 0
⇒

∆ km = − ∑ Rki ∆ mi

i
i
∆
R
>
0
( k
cùng chiều với
m)
Thí dụ:

∆ km = − [ −1.b + Lϕ ] = b + Lϕ

L

Pk =1

“m”

“k”

a
b
ϕ
Chương 4: Chuyển vị của hệ thanh

L
1