Bài giảng tín hiệu và hệ thống Đại Học Bách Khoa Hà Nội

ET 2060
Khái niệm cơ bản về tín hi ệu và hệ thống
TS. Đặng Quang Hiếu

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông
2011-2012
Tín hiệu hàm mũ thực
x(t) = Ce
at
, x[n] = Ce
an
, C , a ∈ R
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
x(t) = 3e
−2t
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4
x(t) = e
t
0
1

2
3
4
0 10 20 30 40
x[n] = 3e
−n/10
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40
x[n] = e
n/10
Ví dụ: Xét mạch điện có tụ C và điện trở R mắc nối tiếp. Vẽ điện
áp v(t) trên tụ C, nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V
0
.
Tín hiệu hì nh sin
x(t) = sin(ω
0
t + φ)
Tuần hoàn với chu kỳ T =
2π
ω
0
→ Tín hiệu rời rạc?
1
-1
1 2 3 4 5

t
x(t)
Ví dụ: Cho mạch điện gồm tụ C và cuộn cảm L mắc nối tiếp. Vẽ
điện áp v(t) trên tụ C, nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V
0
.
Tín hiệu hàm mũ phức (liên tục)
Với C và a là số phức: C = |C |e
jθ
và a = r + jω
0
, ta có:
x(t) = |C |e
rt
e
j(ω
0
t+θ)
= |C |e
rt
cos(ω
0
t + θ) + j|C|e
rt
sin(ω
0
t + θ)
1
-1
1 2 3 4 5

t
Re{x(t)}
đường bao |C|e
rt
Ví dụ trong mạch điện?
Tín hiệu hàm mũ phức (rời rạc)
Với C và a là số phức: C = |C |e
jθ
và a = r + jω
0
, ta có:
x[n] = |C |e
rn
e
j(ω
0
n+θ)
= |C |e
rn
cos(ω
0
n + θ) + j|C |e
rn
sin(ω
0
n + θ)
Nhận xét về e
j(ω
0
n+θ)

:
◮
Không phải lúc nào cũng tuần hoàn (tùy theo giá trị của ω
0
),
chu kỳ?
◮
Chỉ cần xét ω
0
trong đoạn [0, 2π], khi nào tần số thấp / cao?
Minh họa x [n] = e
j(ω
0
n)
1
-1
10 20 30 40 50
n
Im{x[n]}
ω
0
= 0.8π
1
-1
10 20 30 40 50
n
Im{x[n]}
ω
0
= 1.8π

Hàm nhảy đơn vị
u(t) =

1, t ≥ 0
0, t còn lại
u[n] =

1, n ≥ 0
0, n còn lại
1
t
u(t)
1
n
u[n]
Ví dụ trong mạch điện?
Hàm xung đơn vị (rời rạc)
δ[n] =

1, n = 0
0, n còn lại
1
n
δ[n]
Quan hệ với hàm nhảy đơn vị?
δ[n] = u[n] − u[n − 1]
u[n] =
∞

k= 0

δ[n − k]
Với tín hiệu x[n] bất kỳ?
x[n] =
∞

k= −∞
x[k]δ[n − k]
Hàm delta Dirac (liên tục)
δ(t) = 0, ∀t = 0

∞
−∞
δ(t)dt = 1
t
x(t)
1
t
δ(t)
Một số tính chất:
δ(t) =
d
dt
u(t), u(t) =

t
−∞
δ(τ )dτ
x(t
0
) =


∞
−∞
x(t)δ(t − t
0
)dt
δ(at) =
1
a
δ(t)
Hàm dốc đơn vị (ramp)
r(t) =

t, t ≥ 0
0, t còn lại
r[n] =

n, n ≥ 0
0, n còn lại
t
u(t)
n
u[n]
Hệ thống
x[n]
T
−→ y[n]
x(t) y(t)
hệ thống liên tục
x[n] y[n]

hệ thống rời rạc
Ghép nối các hệ thống
đầu vào đầu ra
hệ thống 1 hệ thống 2
+
đầu vào đầu ra
hệ thống 1
hệ thống 2
+
đầu vào đầu ra
hệ thống 1
hệ thống 2
Tính ổn đị nh của hệ thống
Một hệ thống T ổn định (BIBO stable) nếu đầu ra bị chặn
|y(t)| < ∞, ∀t
khi đầu vào bị chặn
|x(t)| < ∞, ∀t
Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống
y[n] = r
n
x[n]
với |r| > 1.
Thuộc tính nhớ
◮
Hệ thống gọi là không có nhớ (memoryless) nếu đầu ra chỉ
phụ thuộc vào đầu vào ở thời điểm hiện tại.
◮
Hệ thống gọi là có nhớ nếu đầu ra phụ thuộc vào đầu vào ở
thời điểm quá khứ hoặc tương lai.
Ví dụ: Xét thuộc tính nhớ của các hệ thống

(a) y[n] = x[n] − x[n − 1] + 2x[n + 2]
(b) i(t) =
1
R
v(t)
Tính nhân quả
Hệ thống gọi là nhân quả (causal) nếu như đầu ra (thời điểm hiện
tại) chỉ phụ thuộc đầu vào thời điểm hiện tại hoặc quá khứ.
Ví dụ: Xét tính nhân quả của các hệ thống
(a) y[n] = x[n] − x[n − 1] + 2x[n + 2]
(b) i(t) =
1
L

t
−∞
v(τ)dτ
Tính bất biến theo thời gian
Hệ thống gọi là bất biến theo thời gian (time invariant) nếu như
đầu vào dịch đi một khoảng thời gian thì đầu ra cũng bị dịch thời
gian giống hệt như vậy.
x[n]
T
−→ y[n] thì x[n − n
0
]
T
−→ y[n − n
0
] ∀n, n

0
Ví dụ: Hệ thống sau có bất biến theo thời gian không?
y[n] = nx[n]
Tính tuyến tính
Hệ thống T gọi là tuyến tính (linear) nếu với các cặp đầu vào /
đầu ra: x
1
(t), y
1
(t) và x
2
(t), y
2
(t) thì ta cũng có cặp đầu vào /
đầu ra như sau
ax
1
(t) + bx
2
(t)
T
−→ ay
1
(t) + by
2
(t), ∀a, b const
Ví dụ: Các hệ thống sau có tuyến tính không?
(a) y(t) = tx(t)
(b) y(t) = x
2

(t)
Tính khả nghịch
Một hệ thống gọi là khả nghịch (invertible) nếu như có thể khôi
phục được đầu vào từ đầu ra của nó (các đầu vào phân biệt sẽ có
các đầu ra phân biệt).
x(t) x(t)y(t)
T
T
−1
Ví dụ: Các hệ thống sau có khả nghịch không, nếu có, tìm hệ
thống nghịch đảo
(a) y[n] =

n
k= −∞
x[k]
(b) y(t) = x
2
(t)
Bài tập về nhà
◮
Làm các bài tập cuối chương 1
◮
Viết chương trình Matlab để vẽ các dạng tín hiệu cơ bản
ET 2060
Biến đổi z
TS. Đặng Quang Hiếu

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông

2011-2012
Giới thiệu về biến đổi z
Xét hệ thống LTI với đầu vào x[n] = z
n
y[n] = H(z)z
n
trong đó,
H(z) =
∞

n=−∞
h[n]z
−n
◮
Do Ragazzini và Zadeh giới thiệu vào năm 1952.
◮
Tương đương với biến đổi Laplace trong hệ thống liên tục
◮
Chập trên miền n ≡ tích trên miền z
◮
Phân tích, đánh giá hệ thống LTI
Định nghĩa biến đổi z
n z
z
z
−1
Biến đổi z:
x[n]
z
←−−→ X (z)

trong đó z là biến số phức z = re
jω
, và
X (z) =
∞

x=−∞
x[n]z
−n
Ví dụ: Tìm biến đổi z của
(a) x[n] = δ[n]
(b) x[n] = u[n]
Liên hệ với biến đổi Fourier
◮
Biến đổi Fourier là biến đổi z xét trên vòng tròn đơn vị
z = e
jω
.
X (e
jω
) = X (z)|
z=e
jω
◮
Biến đổi z là biến đổi Fourier của x[n]r
−n
X (z) =
∞

n=−∞

x[n](re
jω
)
−n
= FT{x[n]r
−n
}
◮
Miền hội tụ (ROC) là những giá trị của z trên mặt phẳng
phức sao cho X (z) < ∞ (tức là tồn tại biến đổi Fourier của
x[n]r
−n
). Điều kiện hội tụ:
∞

n=−∞
|x[n ]r
−n
|dt < ∞
Ví dụ
Tìm biến đổi z và vẽ miền hội tụ cho các trường hợp sau:
(a) x[n] = 2δ[n − 2] + δ[n] − 3δ[n + 1]
(b) x[n] = a
n
u[n]
(c) x[n] = −a
n
u[−n − 1]
(d) x[n] = 2
n

u[n] − 3
n
u[−n − 1]
(e) x[n] = cos(ω
0
n)u[n ]
X (z ) hữu tỷ. Các điểm cực và không
X (z) =
N(z)
D(z)
=
b
0
+ b
1
z + · · · + b
M
z
M
a
0
+ a
1
z + · · · + a
N
z
N
◮
Các điểm không (zeros) z
0r

: X (z
0r
) = 0 → nghiệm của N(z)
◮
Các điểm cực (poles) z
pk
: X (z
pk
) = ∞ → nghiệm của D(z)
Ví dụ: Cho dãy x[n ] = a
n
rect
N
[n].
(a) Tìm biến đổi z và miền hội tụ.
(b) Tìm các điểm cực, điểm không và vẽ trên mặt phẳng phức.
Các tính chất của ROC
(i)
Nếu X(z) hội tụ khi z = z
0
thì cũng hội tụ ∀z : |z| = |z
0
|. Do
vậy ROC có dạng vành khăn: r
1
< |z| < r
2
.
(ii) ROC không chứa các điểm cực
(iii) Nếu x[n] có chiều dài hữu hạn thì ROC sẽ là cả mặt phẳng

phức (có thể bỏ đi 0 hoặc ∞).
(iv) Nếu x[n] là dãy một phía (trái hoặc phải) thì ROC?
(v) Nếu x[n ] là dãy hai phía thì ROC?
(vi) Nếu X (z) hữu tỷ với các điểm cực z
pk
?
Biến đổi z ngược
Áp dụng biến đổi Fourier ngược:
x[n]r
−n
=
1
2π

2π
X (re
jω
)e
jωn
dω
Ta có:
x[n] =
1
2πj

C
X (z)z
n−1
dz
trong đó, C là đường cong khép kín nằm trong ROC.

Các tính chất
◮
Tuyến tính
◮
Dịch thời gian: x[n − n
0
]
z
←−−→ z
−n
0
X (z)
◮
Co dãn trên miền z: a
n
x[n]
z
←−−→ X (z/a)
◮
Đảo trục thời gian: x[−n]
z
←−−→ X (1/z)
◮
Liên hợp phức: x
∗
[n]
z
←−−→ X
∗
(z

∗
)
◮
Chập: x
1
[n] ∗ x
2
[n]
z
←−−→ X
1
(z)X
2
(z)
◮
Đạo hàm trên miền z: nx[n]
z
←−−→ −z
dX (z)
dz
◮
Định lý giá trị đầu: Nếu tín hiệu nhân quả (x[n] = 0, ∀n < 0)
thì
x[0] = lim
z→∞
X (z)
◮
Tương quan, tích?
Biến đổi z ngược: Khai triển thành chuỗi lũy thừa
Cho trước X (z) và ROC, khai triển X (z) thành chuỗi lũy thừa có

dạng
X (z) =
∞

n=−∞
c
n
z
−n
hội tụ trong ROC đã cho. Khi đó, x[n] = c
n
, ∀n.
Nếu X (z) là hàm hữu tỷ, khai triển thường được thực hiện bằng
phép chia đa thức (long-division).
Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của
X (z) =
1 + 2z
−1
1 − 2z
−1
+ z
−2
khi
(a) x[n] là dãy nhân quả
(b) x[n] là dãy phản nhân quả
Khai triển thành các phân thức tối giản (1)
X (z) =
N(z)
D(z)
=

b
0
+ b
1
z + · · · + b
M
z
M
a
0
+ a
1
z + · · · + a
N
z
N
Xét M < N, khai triển X (z) về dạng
X (z) =
N

k= 1
A
k
z − z
pk
trong đó z
pk
là các cực đơn của X (z) và
A
k

= (z − z
pk
)X (z)


z=z
pk
Nếu M ≥ N thì chia đa thức: X (z) = G (z) +
N
′
(z)
D(z)
với M
′
< N.
Ví dụ: Cho biến đổi z
X (z) =
1
1 − 1.5z
−1
+ 0.5z
−2
Tìm x[n]?
Khai triển thành các phân thức tối giản (2)
Trường hợp điểm cực bội z
pk
bậc ℓ, khai triển của X (z) phải chứa
các phân thức tối giản sau:
A
1k

z − z
pk
+
A
2k
(z − z
pk
)
2
+ · · · +
A
ℓk
(z − z
pk
)
ℓ
◮
Phương pháp tính A
ik
?
◮
Biến đổi ngược của
1
(z−z
pk
)
m
?
Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của
X (z) =

z
(z −
1
2
)
2
(z − 1)
Trường hợp nghiệm phức?
Tự đọc!
Hàm truyền đạt H(z ) của hệ thố ng LTI rời rạc
x[n] y[n]h[n]
y[n] = x[n] ∗ h[n]
Biến đổi z cả hai vế, áp dụng tính chất chập, ta có hàm truyền đạt
của hệ thống:
H(z) =
Y (z)
X (z)
X (z) Y (z)H(z)
Hàm truyền đạt (2)
Hệ thống LTI được biểu di ễn bởi phương trình sai phân tuyến tính
hệ số hằng
y[n] = −
N

k= 1
a
k
y[n − k] +
M


r=0
b
r
x[n − r ]
Biến đổi z cả hai vế, rút gọn
H(z) =

M
r=0
b
r
z
−r
1 +

N
k= 1
a
k
z
−k
→ Hệ thống cực - không (pole-zero system).
◮
Nếu a
k
= 0, 1 ≤ k ≤ N → hệ thống FIR gồm toàn điểm
không và một điểm cực bội bậc M tầm thường tại gốc.
◮
Nếu b
r

= 0, 1 ≤ r ≤ M → hệ thống IIR gồm toàn điểm cực
và một điểm không bội bậc N tầm thường tại gốc.
Hệ thống LTI nhân quả và ổn định
◮
Nhân quả: ROC{H(z)} nằm ngoài vòng tròn và có chứa ∞.
◮
Ổn định: ROC{H(z)} chứa vòng tròn đơn vị (z = e
jω
).
◮
Nhân quả, ổn định, H(z) hữu tỷ: Tấ t cả các đi ểm cực của
H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị.
◮
Tiêu chuẩn ổn định Jury, Schur-Cohn: Kiểm tra xem liệu tất
cả các nghiệm của một đa thức có nằm trong vòng tròn đơn
vị không. Thường được thực hiện trên máy tính.
Hàm truyền đạt và sơ đồ khối của hệ thống
Hãy viết phương trình sai phân của hệ thống LTI được biểu diễn
bởi sơ đồ dưới đây
X (z) Y (z)
z
−1
z
−1
−1
−2
2 3
z
−1
0.5

−1
Biến đổi z một phía
X
+
(z) = ZT
+
{x[n]} =
∞

n=0
x[n]z
−n
Các tính chất tương tự như biến đổi z hai phía, ngoại trừ:
◮
Trễ
ZT
+
{x[n − k]} = z
−k
[X
+
(z) +
k

n=1
x[−n]z
n
], k > 0
ZT
+

{x[n + k]} = z
−k
[X
+
(z) −
k− 1

n=0
x[n]z
−n
], k > 0
◮
Định lý giá trị cuối
lim
n→∞
x[n] = lim
z→1
(z − 1)X
+
(z)
Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Ví dụ: Giải phương trình sai phân (tìm y[n], n ≥ 0):
y[n] − 3y[n − 1] + 2y[n − 2] = x[n]
với đầu vào x[n] = 3
n−2
và các điều kiện đầu:
y[−2] = −
4
9
, y[−1] = −

1
3
Bài tập Matlab
1.
Sử dụng hàm zplane để vẽ cực và không của một hệ thống
LTI rời rạc.
2. Dùng hàm residuez để thực hiện biến đổi z ngược trong
trường hợp X (z) là một hàm hữu tỷ.
3. Viết chương trình kiểm tra tính ổn định của hệ thống theo
tiêu chuẩn Jury, Schur-Cohn
ET 2060
Hệ thống LTI
TS. Đặng Quang Hiếu

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông
2011-2012
Outline
Phép chập
Các tính chất của phép chập trong hệ thống LTI
Biểu diễn hệ thống LTI
Phép chập (1)
Xét hệ thống LTI rời rạc
x[n]
T
−→ y[n]; y [n] = T {x[n]}
Biểu diễn đầu vào x[n] theo hàm xung đơn vị
x[n] =
∞


k= −∞
x[k]δ[n − k]
và áp dụng tính chất tuyến tính, ta có:
y[n] =
∞

k= −∞
x[k]T {δ[n − k]}
Phép chập (2)
Với h[n] là đá p ứng của hệ thống T khi đầu vào là hàm xung đơn
vị, h[n] = T {δ[n]} (h[n] gọi là đáp ứng xung của hệ thống)
δ[n] h[n]
T
và áp dụng tính chất bất biến theo thời gian, ta có:
y[n] =
∞

k= −∞
x[k]h[n − k] := x[n] ∗ h[n]
Đầu ra y[n] được t ính bằng phép chập (convolution) của đầu vào
x[n] và đáp ứng xung h[n] của hệ thống.
Các bước để tính phép chập
Cách tính y(n
0
)
y[n
0
] =
∞


k= −∞
x[k]h[n
0
− k]
Thực hiện trên đồ thị!
1. Lấy đối xứng qua trục tung: h[k] → h[−k]
2. Dịch theo trục hoành: Dịch h[−k] đi n
0
để được dãy
h[n
0
− k], trá i / phải?
3. Nhân hai dãy: v
n
0
[k] = x[k]h[n
0
− k]
4. Tính tổng: Cộng tất cả các phần tử (khác không) của dãy
v
n
0
[k] thì được y [n
0
]
Tính phép chập bằng đồ thị (1)
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
x[k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4

k
h[k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
h[−k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
v
0
[k]
y [0] = 0.75 + 1
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
h[−1 − k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
v
−1
[k]
y [−1] = 1
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
h[1 − k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
v
1
[k]
y [1] = 0.5 + 0.75 + 1
Tính phép chập bằng đồ thị (2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4
n
x[n]
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4
n
h[n]
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4
n
y [n]
Tính phép chập bằng đồ thị (3)
Ví dụ: Hệ thống đáp ứng xung h[n] = rect
N
[n] := u[n] − u[n − N],
hãy tìm đầu ra y[n] khi có đầu vào như sau:
x[n] =

n+3
4
, −3 ≤ n ≤ 1
0, n còn lại
Một số nhận xét:
◮
Nếu x[n] là dãy có chiều dài hữu hạn L: x[n] = 0,
∀n /∈ [N
1
, N
1
+ L − 1], và h[n] là dãy có chiều dài hữu hạn M:
h[n] = 0, ∀n /∈ [N
2

, N
2
+ M − 1]. Hãy xác định chiều dài hữu
hạn của y[n]?
◮
Nếu x[n] hoặc h[n] dịch đi một đoạn N mẫu thì y[n] thay đổi
như thế nào?
◮
Khi h[n] = δ[n]?
◮
Tính trên Matlab?
Phép chập cho tí n hiệu liên tục (1)
Biểu diễn đầu vào theo hàm xung đơn vị
x(t) =

∞
−∞
x(τ)δ(t − τ)dτ
Gọi h(t) là đáp ứng xung của hệ thống, áp dụng tính chất tuyến
tính + bất biến theo thời gian, ta có mối quan hệ:
y(t) =

∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτ := x(t) ∗ h(t)
Ví dụ: Cho mạch điện RC nối tiếp với RC = 1[s], hãy tính điện áp
y(t) trên tụ khi điện áp giữa hai đầu mạch điện là xung vuông:
x(t) = u(t) − u(t − 2)
Gợi ý: Đáp ứng xung của hệ thống là h(t) = e
−t

u(t)
Phép chập cho tí n hiệu liên tục (2)
1
2
τ
x(τ )
1
τ
h(τ )
1
τ
h(t
0
− τ )
1
τ
v
t
0
(τ )
y (t
0
)
1
2
t
y (t)