MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
PHÒNG SAU ĐẠI HỌC

Tiểu luận giữa kỳ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
WEDDERBURN

MỤC LỤC


-2-

Trang
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị ............................................2
1.1. Một số kiến thức về môđun, radical của một vành, vành
Artin, vành đơn và vành nửa đơn
2
1.2. Vành nguyên thủy, định lý dày đặc....................................5
1.3. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp................................................10
Chương 2: Định lý Wedderburn – Artin.........................................13
Chương 3: Những ứng dụng của định lý Wedderburn - Artin .....19
Tài liệu tham khảo ...........................................................................34


-3-

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số kiến thức về môđun, radical của một vành, vành
Artin, vành đơn, vành nửa đơn.
Định nghĩa 1.1.1. M được gọi là R- môđun trung thành nếu với r ∈ R mà

Mr = (0) thì r = 0.
Cho M là một R- môđun. Ký hiệu A( M ) = {r ∈ R : Mr = (0)} .
Bổ đề 1.1.1. A(M) là iđêan hai phía của R. Hơn nữa, M là R A( M ) - môđun
trung thành.
Cho M là một R- môđun. Với mỗi r ∈ R , ta được một tự đồng cấu nhóm cộng
Tr : M → M ,Tr (m) = mr , ∀m ∈ M
Ký hiệu E(M) là tập tất cả các tự đồng cấu nhóm cộng M. Trên E(M) ta trang
bị hai phép toán cộng và nhân như sau:
Phép cộng: ∀ϕ ,ψ ∈ E ( M ),(ϕ + ψ )(m) = ϕ (m) + ψ (m), ∀m ∈ M
. )(m) = ϕ (ψ ( m)), ∀m ∈ M
Phép nhân: ∀ϕ ,ψ ∈ E ( M ),(ϕψ
Khi đó, (E(M), +, .) là một vành.
Xét ánh xạ φ : R → E ( M ),φ (r ) = Tr , ∀r ∈ R . Rõ ràng φ là một đồng cấu vành.
Kiểm tra trực tiếp ta được Kerφ = A( M ) . Do đó, theo định lý Noether ta được
R

A( M )

≅ Imφ .

Bổ đề 1.1.2. R A( M ) đẳng cấu với vành con của vành E(M).
Định nghĩa 1.1.2. Cho M là một R– môđun. Ta định nghĩa commuting của
vành R là


-4C ( M ) = {ϕ ∈ E ( M ) : Trϕ = ϕTr , ∀r ∈ R}
Định nghĩa 1.1.3. M được gọi là R– môđun bất khả quy nếu nó thỏa hai tính
chất
1) MR ≠ (0)
2) M chỉ có hai môđun con là (0) và M.

Định lý 1.1.1. (Bổ đề Schur) Nếu M là một R- môđun bất khả quy thì C(M) là
một vành chia.
Chứng minh.
Do C(M) là vành con của vành E(M) nên ta chỉ còn phải chứng minh mọi
phần tử khác không trong C(M) đều khả nghịch. Tuy nhiên, nếu 0 ≠ ϕ ∈ C ( M )
mà có ϕ −1 ∈ E ( M ) thì từ ϕTr = Trϕ ⇒ ϕTrϕ −1 = Trϕϕ −1 ⇒ Trϕ −1 = ϕ −1Tr ⇒

ϕ −1 ∈ C ( M ) . Do đó, ta chỉ cần chứng minh mọi phần tử khác không trong C(M)
đều khả nghịch trong E(M).
Với mọi 0 ≠ ϕ ∈ C ( M ) , ta có ϕ ( M ) ≠ (0) , mà M là môđun trung thành
nên ϕ ( M ) = M . Tức ϕ toàn cấu. Mặt khác, nếu Kerϕ ≠ (0) thì cũng do M là
môđun trung thành nên Kerϕ = M , suy ra ϕ = 0 (mâu thuẫn). Do đó,
Kerϕ = (0) hay ϕ là đơn cấu. Vậy ϕ là đẳng cấu. Suy ra ϕ có đồng cấu ngược

ϕ −1 ∈ E ( M ) . Đây là điều ta cần chứng minh.
Định nghĩa 1.1.4. Radical của vành R, ký hiệu J(R), là tập hợp các phần tử của
R linh hóa mọi R – môđun bất khả quy. Nếu không tồn tại R– môđun bất khả quy
thì J(R) = R.
Radical định nghĩa như trên thường được gọi là radical Jacobson.
Từ định nghĩa ta suy ra J ( R ) = IA( M ) , với M chạy khắp tập các R – môđun
bất khả quy. Mặt khác, A(M) là iđêan hai phía nên J(R) là iđêan hai phía. Tuy
nhiên, để cho tiện ta hiểu J(R) định nghĩa như trên là iđêan phải.


-5Định nghĩa 1.1.5. Một vành được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng
các iđêan phải của nó đều có phần tử tối tiều.
Chú ý. R là vành Artin nếu và chỉ nếu mọi dây chuyền giảm các iđêan phải

ρ1 ⊃ ρ 2 ⊃ L ⊃ ρ n ⊃ L đều dừng. Tức là, ∃N ∈ ¥ * , ρ n = ρ N , ∀n ≥ N .
Định nghĩa 1.1.6. Vành R được gọi là vành nửa đơn nếu J(R) = 0.

Bổ đề 1.1.3. Mọi iđêan của vành Artin nửa đơn là vành Artin nửa đơn.
Định nghĩa 1.1.7. R được gọi là vành đơn nếu R 2 ≠ 0 và R không có iđêan nào
khác ngoài 0 và chính nó.
Định lý 1.1.2 Mọi vành Artin nửa đơn đều là tổng trực tiếp hữu hạn của các
vành Artin đơn.
Chứng minh. Giả sử R là một vành Artin nửa đơn. Gọi A là một iđêan tối tiểu
của vành R.
Trước hết ta chứng minh A là vành đơn. Vì R là vành nửa đơn nên J(R) = 0. Suy
ra R không có iđêan lũy linh khác không mà A ≠ (0) nên A2 ≠ 0 .
Gọi B ≠ 0 là một iđêan của vành A. Khi đó, ABA là một iđêan của vành R
và ABA ⊂ B . Vì A là iđêan của vành Artin nửa đơn nên theo bổ đề 1.1.3 ta có A
cũng là vành Artin nửa đơn, do đó, A có đơn vị trái. Suy ra AB ≠ 0 . Vì AB là
một iđêan trái khác không của vành nửa đơn R nên AB không là iđêan lũy linh.
Suy ra ( AB ) 2 = ABAB ≠ 0 mà ABAB ⊂ ABA nên ABA ≠ (0) . Khi đó,
0 ≠ ABA ⊆ B ⊆ A

⇒ A = ABA ⇒ A ⊂ B mà B ⊂ A nên B = A .
 ABA  A  min
Tức A không có iđêan thật sự khác không. Vậy A là vành đơn.
Tiếp đến ta chứng minh R = A ⊕ R1 . Vì A là iđêan của vành Artin nửa đơn
nên tồn tại phần tử lũy đẳng e trong tâm của R sao cho A = eR = Re.


-6Vì R là vành Artin nửa đơn nên R có đơn vị 1. Khi đó, ∀x ∈ R ta có
x = xe + x (1 − e) ∈ Re + R (1 − e) ⇒ R = Re + R (1 − e) = A + R (1 − e) .
Với mọi x ∈ A ∩ R (1 − e) , ta có
 x ∈ A = Re
 x = xe

⇒
⇒ x = xe − xe = 0 ⇒ A ∩ R (1 − e) = 0

 x ∈ R (1 − e)  x = x (1 − e) = x − xe
Đặt R1 = R (1 − e) , ta được R = A ⊕ R1 , trong đó, R1 cũng là vành Artin nửa đơn.
Như vậy, ta đã chứng minh được nếu R là vành Artin nửa đơn thì R = Ao ⊕ R1 ,
trong đó, Ao là vành Artin đơn, R1 là vành Artin nửa đơn.
Do R1 là vành Artin nửa đơn nên theo lập luận trên, R1 = A1 ⊕ R2 , trong đó, A1
là vành Artin đơn, R2 là vành Artin nửa đơn. Khi đó, R = Ao ⊕ A1 ⊕ R2 .
Cứ lập luận như vậy ta sẽ được một dãy các vành Artin đơn Ai mà R = ⊕ Ai .
n

Tổng trực tiếp này là tổng hữu hạn, tức, ∃n ∈ ¥ : R = ⊕ Ai . Thật vậy, vì nếu
*

i =0

+∞

+∞

+∞

+∞

i =0

i =0

i =1

i=n

ngược lại R = ⊕ Ai thì đặt Bo = ⊕ Ai , B1 = ⊕ Ai ,.., Bn = ⊕ Ai ,..
Ta được một chuỗi giảm các iđêan của R không dừng. Điều này mâu thuẫn với
R là vành Artin.
n

Vậy R = ⊕ Ai , với Ai là các vành Artin đơn.
i =0

1.2. Vành nguyên thủy, định lý dày đặc.
Định nghĩa 1.2.1. Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có một môđun
trung thành và bất khả quy.
Định lý 1.2.1. Vành R là nguyên thủy nếu và chỉ nếu tồn tại một iđêan phải, tối
đại, chính quy ρ của R sao cho ( ρ : R) = 0 . Và khi đó, R là vành nửa đơn. Hơn
nữa, nếu vành R giao hoán thì R là một trường.


-7Cho R là một vành nguyên thủy; M là một R- môđun trung thành, bất khả
quy. Theo bổ đề Schur, ta có ∆ = C ( M ) = {ϕ ∈ E ( M ) : ϕTr = Trϕ , ∀r ∈ R} là một
vành chia (thể) với Tr : M → M , m a mr .
Khi đó, M có cấu trúc không gian véctơ trên ∆ .
Định nghĩa 1.2.2. Vành R được gọi là tác động dày đặc trong M (R dày đặc
trong M) nếu với mỗi hệ véctơ {v1 , v2 ,.., vn } ⊂ M độc lập tuyến tính trên ∆ và
bất kỳ n phần tử w1 , w2 ,.., wn trong M thì tồn tại r ∈ R sao cho wi = vi r .
Khái niệm dày đặc được hiểu theo nghĩa: với bất kỳ hệ véctơ hữu hạn độc
lập tuyến tính trên ∆ và một hệ hữu hạn bất kỳ của M thì bao giờ cũng có một
phép biến đổi tuyến tính biến hệ độc lập này thành hệ kia.
Chú ý rằng, nếu dim ∆ M = n < ∞ thì Hom∆ ( M , M ) = R .

Định lý 1.2.2. (Định lý dày đặc) Cho R là vành nguyên thủy và M là một Rmôđun trung thành bất khả quy. Nếu ∆ = C ( M ) thì R là vành dày đặc các phép
biến đổi tuyến tính của M trên ∆ .
Để chứng minh định lý ta cần chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề (*). Với V là một không gian véctơ con hữu hạn chiều của M trên ∆ thì
∀m ∈ M , m ∉V , ∃r ∈ R : Vr = (0) nhưng mr ≠ 0 .
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng quy nạp theo số chiều của V.
Nếu dim ∆ V = 0 ⇒ V = (0) , trường hợp này bổ đề (*) luôn đúng.
Giả sử bổ đề (*) đúng với mọi dim ∆ V ≤ n − 1 , ta sẽ chứng minh bổ đề (*)
đúng với dim ∆ V = n . Vì dim ∆ V = n nên có thể đặt V = Vo + < w > , trong đó,
dim ∆ Vo = n − 1 và w ∉Vo . Do dim ∆ Vo = n − 1 , nên theo giả thiết quy nạp,


-8∀x ∉Vo , ∃r ∈ R, xr ≠ 0,Vo r = (0) . Ký hiệu A(Vo ) = { r ∈ R : Vo r = (0)} ≠ ∅ . Khi đó,
∀x ∉Vo ⇒ ∃r ∈ A(Vo ), xr ≠ 0 ⇒ xA(Vo ) ≠ (0) . Nói cách khác, nếu xA(Vo ) = (0)
thì x ∈Vo . Từ đó, vì w ∉Vo nên wA(Vo ) ≠ (0) , mà wA(Vo ) là môđun con của Rmôđun bất khả quy M nên suy ra wA(Vo ) = M ; tức là M = { wa : a ∈ A(Vo )} .
Đến đây ta sẽ chứng minh bổ đề (*) bằng phản chứng. Giả sử có m ∈ M \ V (**)
mà với mỗi r ∈ R,Vr = (0) thì suy ra mr = 0. Xét tương ứng
T :M →M
wa a T ( wa ) = ma
Ta chứng minh T ∈ ∆ .
 Giả sử wa = wa′ ⇒ w(a − a′) = 0 suy ra a − a′ linh hóa w và Vo do đó,
a − a′ linh hóa toàn bộ V, tức là V (a − a′) = (0) . Suy ra m(a − a′) = 0 (do giả sử)
hay T ( wa ) = T ( wa′) . Vậy T là ánh xạ.
 T là đồng cấu (hiển nhiên).
 Để chứng minh T ∈ ∆ ta cần chứng minh ∀r ∈ R , TTr = TrT , với
Tr ( x) = xr , ∀x ∈ M . Với mọi x = wa ∈ M = wA(Vo ) , ta có:
TTr ( x ) = TTr ( wa )
ñònh nghóa T

=

ñònh nghóa Tr

=

T ( war )

ñònh nghóa T

=

mar

ñònh nghóa Tr

=

Tr (ma )

TrT ( wa ) = TrT ( x) (do a ∈ A(Vo )
⇒ TTr = TrT , ∀r ∈ R ⇔ T ∈ ∆
Khi đó, với mọi a ∈ A(Vo ) , ta có
T ∈∆

ma = T ( wa ) = TTa ( w) = TaT ( w) = T ( w)a ⇔ ( m − T ( w) ) a = 0
⇒ m − T ( w) ∈Vo ⇒ m ∈Vo + T ( w) ⊂ Vo + < w >= V ⇔ m ∈V (Mâu thuẫn với (**))

-9Vậy với V là một không gian véctơ con hữu hạn chiều của M trên ∆ thì
∀m ∈ M , m ∉V , ∃r ∈ R : Vr = (0) nhưng mr ≠ 0 . □
Chứng minh định lý 1.1.2.
Gọi v1 , v2 ,.., vn ∈ M là hệ độc lập tuyến tính trên ∆ ; w1 , w2 ,.., wn ∈ M là một hệ
tùy ý. Ta sẽ chứng minh ∃t ∈ R sao cho wi = vit . Ký hiệu Vi là không gian véctơ
con của M sinh bởi v j với j ≠ i ; tức Vi = v j , j ≠ i suy ra Vi hữu hạn chiều. Vì
{vi } độc lập tuyến tính nên vi ∈ Vi . Khi đó, theo bổ đề (*), ∃ri ∈ R sao cho
Vi ri = (0) và vi ri ≠ 0 . Suy ra vi ri R ≠ (0) , mà M là R– môđun bất khả quy,
vi ri R ≤ M nên vi ri R = M . Từ đó ∃si ∈ R sao cho vi ri si = wi . Đặt ti = ri si ∈ R , ta
n

được wi = viti và Viti = Vi ri si = (0) . Lại đặt t = ∑ ti ∈ R , ta được
i =1

vit = vit1 + L + viti + L + vit n = viti = wi
Tức là R dày đặc trong M. □
Định lý 1.2.3. Cho R là một vành nguyên thủy. Thì với một vành chia ∆ hoặc R
đẳng cấu với vành các ma trận vuông cấp n trên ∆ ( ∆ n ) hoặc với mỗi số
nguyên dương m, tồn tại vành con Sm của R sao cho có ánh xạ toàn cấu từ Sm
lên ∆ m .
Chứng minh. Vì R là vành nguyên thủy nên có một R- môđun trung thành bất
khả quy V. Khi đó, theo định lý dày đặc, R dày đặc trong không gian vectơ V
trên ∆ . Có hai trường hợp có thể xảy ra
Thứ nhất, dimV V = n < +∞ thì R = HomV(V ,V ) ≅ ∆ n hay R ≅ ∆ n .
Thứ hai, dimV V = +∞ . Gọi v1 , v2 ,.. là hệ vô hạn các véctơ độc lập tuyến
tính của V trên ∆ và ký hiệu Vm = v1 , v2 ,.., vm

∆

và Sm = { r ∈ R : Vm r ⊂ Vm }

- 10 thì Vm là không gian vectơ con của V, Sm là vành con của R.
Vì v1 , v2 ,.. là hệ vô hạn các véctơ độc lập tuyến tính của V trên ∆ nên v1 , v2 ,.., vm
cũng độc lập tuyến tính trong V. Với mọi ϕ ∈ Hom∆ (Vm ,Vm ) thì {ϕ (vi )}i =1,m là
một hệ trong V. Theo định lý dày đặc ∃r ∈ R, vi r = ϕ (vi ) . Do đó, ta có toàn cấu

φ : Sm → Hom∆ (Vm ,Vm ) ≅ ∆ m
r a ϕ : Vm → Vm
vi a ϕ (vi ) = vi r
Hơn nữa,

{

}

Kerφ = { r ∈ S m : φ (r ) = 0} = r ∈ S m : ϕ (vi ) = vi r = 0, i = 1, m
= { r ∈ Sm : Vm r = (0)} := Wm
Theo định lý Noether,

Sm

Wm

≅ ∆m . □

Định nghĩa 1.2.2. Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu aRb = 0, a, b ∈ R thì
a = 0 hoặc b = 0.
Bổ đề 1.2.1. Cho R là một vành. Các điều sau là tương đương:
1) R là vành nguyên tố.

2) Linh hóa tử bên phải của iđêan phải khác không của R phải bằng không.
3) Linh hóa tử bên trái của iđêan trái khác không của R phải bằng không.
4) Nếu A, B là hai iđêan của vành R mà AB = 0 thì A = 0 hoặc B = 0.
Bổ đề 1.2.2. Mọi vành nguyên thủy đều là vành nguyên tố.
Chứng minh. Vì R là vành nguyên thủy nên tồn tại R- môđun M trung thành và
bất khả quy. Giả sử aRb = 0 ta sẽ chứng minh a = 0 hoặc b = 0.
Giả sử a ≠ 0 . Có hai khả năng có thể xảy ra
Một là, aR ≠ 0 . Đặt ρ = aR ta có M ρ là môđun con của môđun bất khả
quy M nên M ρ = 0 hoặc M ρ = M . Nếu M ρ = 0 thì vì M là môđun trung thành


- 11 nên ρ = 0 (mâu thuẫn). Do đó M ρ = M . Khi đó Mb = ( M ρ )b = M ( aR)b
= M (aRb) = M (0) = 0 . Mà M là môđun trung thành nên suy ra b = 0.
Hai là, aR = 0 . Đặt ζ = {r ∈ R : rR = 0} . Khi đó, ζ ≠ 0 vì 0 ≠ a ∈ ζ và vì
b ∈ R nên ζ b = 0 . Ta có M ζ là môđun con của môđun bất khả quy M nên suy
ra M ζ = 0 hoặc M ζ = M . Nếu M ζ = 0 thì vì M là môđun trung thành nên

ζ = 0 (mâu thuẫn). Do đó, M ζ = M . Khi đó Mb = ( M ζ )b = M (ζ b) = 0 . Mà M
là môđun trung thành nên suy ra b = 0.
Vậy R là vành nguyên tố. □
Bổ đề 1.2.3. Một phần tử khác không trong tâm của vành nguyên tố R thì không
là ước của không trong R. Đặc biệt, tâm của vành nguyên tố là miền chính. Do
đó, tâm của vành nguyên thủy cũng là miền chính.
Cho R là một vành tùy ý. Ký hiệu E(R) là vành các tự đồng cấu nhóm
cộng R, tức E ( R ) = { f : ( R, +) → ( R, +) : f − ñoàng caáu}
Với mỗi a ∈ R , ta định nghĩa hai đồng cấu đặc biệt
Ta : R → R
r a ra

và

La : R → R
r a ar

Rõ ràng Ta , La ∈ E ( R) . Ký hiệu B ( R) = {Ta , Lb : a, b ∈ R} . Kiểm tra trực
tiếp ta được B(R) là vành con của vành E(R). Ta gọi B(R) là vành con nhân của
vành E(R).

1.3. Tích trực tiếp con (tổng trực tiếp con) trên vành.
Cho họ các vành Rγ , γ ∈ I . Tập hợp

∏

γ ∈I

Rγ = { f : I → U γ ∈I Rγ / f (γ ) ∈ R, ∀γ ∈ I }

được gọi là tích trực tiếp (hoặc tổng trực tiếp) của vành Rγ , γ ∈ I .


- 12 Với

∏

γ ∈I

Rγ được định nghĩa: ( f + g )(γ ) = f (γ ) + g (γ ) ; ( fg )(γ ) = f (γ ) g (γ ).

Khi đó ta gọi π γ là phép chiếu từ

∏

γ ∈I

Rγ lên Rγ .

Định nghĩa 1.3.1. Vành R được gọi là tổng trực tiếp con của họ vành { Rγ } γ ∈I
nếu tồn tại đơn cấu ∅ : R → ∏ γ ∈I Rγ sao cho: Rφπ γ = Rγ , γ ∈ I .
Bổ đề 1.3.1. Cho R là vành và ∅γ : R → Rγ là đồng cấu từ vành R lên Rγ
Đặt U γ = ker ∅γ .
Khi đó R là tổng trực tiếp con của Rγ khi và chỉ khi ∩γ U γ = 0 .
Định nghĩa 1.3.2. Vành R được gọi là tổng trực tiếp con bất khả quy nếu giao
các ideal khác 0 của R thì bằng 0.
Bổ đề 1.3.2. Mọi vành có thể xem là tổng trực tiếp con của tổng trực tiếp con
của vành bất khả quy.
Chứng minh. Với a ∈ R , gọi U a là ideal tối đại của R với phần bù chứa a (theo
bổ đề Zorn thì U a luôn tồn tại). Rõ ràng ∩0≠ a∈R U a = (0) . Khi đó R là tổng trực
tiếp con của vành R U a . Với a + U a ≠ 0 ∈ R U , khi đó R U a là tổng trực tiếp
a

con bất khả quy.

□

Bổ đề 1.3.3: Nếu vành R không có ideal lũy linh khác không thì R là tổng trực
tiếp con của vành nguyên tố.
Chứng minh. Cho a ∈ R là phần tử không lũy linh. Gọi Wa là ideal tối đại của
R với phần bù chứa a n . Nếu A,B là 2 ideal của R sao cho AB ⊂ Wa ,
A ⊄ Wa , B ⊄ Wa thì a n1 ∈Wa + A, a n2 ∈Wa + B . Khi đó:

- 13 a n1 + n2 ∈ (Wa + A)(Wa + B ) ⊂ Wa + AB ⊂ Wa (mâu thuẫn).
Vậy Wa là ideal nguyên tố của R, vì a chạy trên R nên ∩Wa là ideal lũy linh do
đó bằng 0 suy ra R là tổng trực tiếp con của vành nguyên tố Ra . □
Định lý 1.3.1. Vành R là nữa đơn khi và chỉ khi tồn tại một đẳng cấu từ R vào
tổng trực tiếp con của vành nhuyên thủy
Hệ quả: Vành nửa đơn giao hoán là tổng trực tiếp con của trường.


- 14 -

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN - ARTIN
Định lý 2.1. (Định lý Wedderburn – Artin) Cho R là vành Artin đơn thì R đẳng
cấu với Dn , trong đó Dn là vành các ma trận vuông cấp n trên vành chia D.
Hơn nữa, n là duy nhất còn D được xác định sai khác một đẳng cấu. Ngược lại,
với mọi vành chia D, Dn là vành Artin đơn.
Chứng minh.
⇒) Giả sử R là một vành Artin đơn. Trước hết ta chứng minh R là vành nguyên
thủy bằng cách chứng minh R là vành vừa đơn vừa nửa đơn. Vì R là vành Artin
nên J(R) là lũy linh, tức là tồn tại n ∈ ¥ sao cho J ( R ) = ( 0 ) . Mặt khác, R là
n

vành đơn nên R 2 ≠ (0) , mà R 2 là iđêan hai phía của vành đơn R nên
R 2 = R ≠ (0) ⇒ R n = R ≠ (0), ∀n ∈ ¥ , tức R không lũy linh. Do đó, J ( R ) ≠ R ,
mà J(R) là iđêan hai phía của vành đơn R nên J ( R ) = (0) , tức R là vành nửa
đơn. Như vậy, R vừa là vành đơn, vừa là vành nửa đơn nên R là vành nguyên
thủy.
Do R là vành nguyên thủy nên có M là một R- môđun trung thành, bất khả quy.
Khi đó theo bổ đề Schur thì D = C ( M ) = {ϕ ∈ E ( M ) : ϕTr = Trϕ , ∀r ∈ R} là một
vành chia. Theo định lí dày đặc ta có R dày đặc các phép biến đổi tuyến tính trên

vành chia D.
Ta sẽ chứng minh R ≅ Dn bằng cách chỉ ra rằng dim ∆ M = n < +∞ . Giả sử trong
M có hệ vô hạn các phần tử v1 , v2 ,.., vn ,.. độc lập tuyến tính trên D.
Ký hiệu ρ m = {r ∈ R : vi r = 0, i = 1,2,.., m} . Khi đó, ta có ρ m là iđêan phải của R.
Lấy r ∈ ρ m+1 ⇒ rvi = 0, ∀i = 1, m + 1 ⇒ rvi = 0, ∀i = 1, m

⇒ r ∈ ρ m . Suy ra


- 15 -

ρ m+1 ⊆ ρ m . Ngoài ra, R là vành nguyên thủy, M là R – môđun trung thành, bất
khả quy nên R dày đặc trong D– không gian véctơ M. Khi đó, ∃ro ∈ R sao cho
vi ro = 0, ∀i = 1, m còn vm+1ro = vm+1 . Vì vi ro = 0, ∀i = 1, m nên ro ∈ ρ m , còn
vm+1ro = vm+1 ≠ 0 nên ro ∉ ρ m+1 . Do đó ρ m ⊃ ρ m+1 , ∀m = 1,2,... .
Như vậy ta có dãy giảm nghiêm ngặt, không dừng các iđêan phải của R

ρ1 ⊃ ρ 2 ⊃ L ⊃ ρ n ⊃ L
Điều này không thể xảy ra vì R là vành Artin. Vậy M là không gian véctơ hữu
hạn chiều trên D. Khi đó, giả sử dim ∆ M = n < +∞ thì vì R dày đặc trong M trên
D nên R ≅ HomD ( M , M ) ≅ Dn .
Tiếp đến ta chứng minh n là duy nhất, còn D xác định duy nhất sai khác
một đẳng cấu. Giả sử rằng R ≅ Dn và R ≅ Fm , trong đó D, F là vành chia. Ta sẽ
chứng minh m = n và F ≅ D .
Vì R ≅ Dn và R ≅ Fm nên Fm ≅ Dn . Giả sử ϕ : Dn → ∆ m là đẳng cấu, xét
phần tử
1 0 L 0 
 0 0L 0÷
÷∈ D
e=

M MO M ÷ n

÷
 0 0L 0
Ta có e2 = e , tức e là lũy đẳng. Do đó, vì eDe ≅ D - là vành chia, nên theo định
lý 1.3.4 ta có ρ =< e > là iđêan phải tối tiểu của vành Dn . Vì ϕ là đẳng cấu nên
< ϕ (e) > cũng là iđêan phải tối tiểu của vành Fm . Đặt f = ϕ (e) , bằng cách thay
đổi cơ sở nên ma trận của f có dạng
 Ir

0
M

0

0L 0
÷
0L 0 ÷
MO M ÷
÷
0L 0 


- 16 Trong đó, I r là ma trận đơn vị cấp r. Vì < f = ϕ (e) > là iđêan phải tối tiểu của
vành Fm nên r = 1. Suy ra
1 0 L 0 
 0 0L 0÷
÷
f =
 M MO M ÷


÷
 0 0L 0
ϕ

Khi đó, D ≅ eDne ≅ fFm f ≅ F ⇔ D ≅ F . Mà eDm là không gian véctơ m chiều
trên D, f ∆ n là không gian véc tơ n chiều trên ∆ nên m = n.
⇐) Giả sử D là vành chia, ta chứng minh Dn là vành Artin đơn.
Đầu tiên ta chứng minh Dn là vành đơn. Vì Dn là vành có đơn vị nên Dn2 ≠ (0) .
Gọi A là một iđêan hai phía khác không của Dn . Khi đó,
∃(aij ) n×n ≠ (0)n×n ,( aij ) n×n ∈ A ⇒ ∃akr ≠ 0 .
Ký hiệu:
0
0

M
Eij = 
0
M

0

0 L 0L 0 
0 L 0L 0 ÷
÷
M MO M÷
÷
0 L 1L 0 ÷
M MO M÷
÷

0 L 0L 0 

là ma trận có phần tử ở dòng i cột j bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0. Suy ra
Eij ∈ Dn .
Do A là iđêan hai phía của Dn nên ta có
 aij

0
E1i ( aij )n×n E j1 = 
M

0

0L 0 
÷
0L 0 ÷
∈A
MO M÷
÷
0L 0 ÷



- 17  1
 akr 0 L 0  

÷ akr
0
0
L

0
÷ 0
⇒ E11 = 
 M MO M÷

÷ M
0
0
L
0

 0



0 L0 ÷
÷
0 L 0 ÷∈ A
÷
MO M÷
0 L0 ÷


Lập luận tương tự ta được E22 , E33 ,.., Enn ∈ A ⇒ E = E11 + E22 + L Enn ∈ A . Suy ra
∀D ∈ Dn thì D = E.D ∈ A . Khi đó Dn ⊂ A . Vậy A = Dn , tức là Dn không có
iđêan hai phía khác (0) và Dn nên Dn là vành đơn.
Tiếp theo ta chứng minh Dn là vành Artin. Ta có Dn là D không gian véctơ với
phép nhân ngoài
(aij ) n×n d = (aij d )n×n , ∀( aij ) n×n ∈ Dn , d ∈ D
Hơn nữa, dim D Dn = n 2 . Thật vậy, xét hệ véctơ { Eij } i , j =1,n . Với rij ∈ D, i, j = 1, n ,

ta có
n

∑E r

i , j =1

Suy ra

{E }

ij ij

ij i , j =1, n

= (0)n×n ⇔ (rij ) n×n = (0) n×n ⇔ rij = 0, ∀i, j = 1, n
độc lập tuyến tính. Hơn nữa, ∀(aij ) n×n ∈ Dn ta có

n

(aij ) n×n = ∑ Eij aij , tức { Eij }
là hệ sinh. Do đó, { Eij } i , j =1,n là cơ sở của Dn .
i , j =1, n
i , j =1

Vậy ta được dim D Dn = n 2 .
Kế tiếp ta chứng minh nếu ρ là một iđêan phải của Dn thì ρ cũng là D- không
gian véctơ con của Dn . Thật vậy, vì ρ là một iđêan phải của Dn nên ta có

- 18 ( aij ) + (bij ) ∈ ρ , ∀( aij ),(bij ) ∈ ρ

 d 0L 0


0 d L 0÷


÷
( aij ).d = (aij ) M MO M ÷∈ ρ , ∀( aij ) ∈ ρ , ∀d ∈ D


÷

0 0L d 
Suy ra ρ là D- không gian véctơ con của Dn .
Khi đó, xét dãy giảm các iđêan phải của Dn , ρ1 ⊇ ρ 2 ⊇ L ⊇ ρ n ⊇ L (*),
vì ∀n , ρ n là các không gian véctơ con của không gian Dn , mà Dn hữu hạn
chiều nên dãy (*) phải dừng. Nghĩa là, Dn là vành Artin.
Vậy Dn là vành Artin đơn. □
Định lý Wedderburn – Artin có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong nhiều
trường hợp đặc biệt của vành Artin. Định lý 1.1.2 khẳng định rằng bất kỳ vành
Artin nửa nguyên thủy nào cũng là tổng trực tiếp hữu hạn của các vành Artin
đơn, kết hợp với định lý Wedderburn – Artin ta có định lý sau.
(1)
(k )
Định lý 2.2. Nếu R là một vành Artin nửa nguyên thủy thì R ≅ ∆ n1 ⊕ ... ⊕ ∆ nk
(i )
trong đó ∆ ni là vành các ma trận ni × ni trên vành chia ∆ (i ) .

Trong trường hợp đặc biệt đối với các R đại số đơn hữu hạn chiều trên trường
đóng đại số F thì R được phân tích rõ ràng hơn.
Định nghĩa 2.1. Cho đại số A trên trường F, a ∈ A được gọi là đại số trên
trường F nếu có đa thức khác không p ( x) ∈ F [ x ] sao cho p (a ) = 0 . Đại số A
được gọi là đại số trên trường F nếu mọi phần tử a thuộc A đều là đại số trên
trường F.
Chú ý: Nếu A hữu hạn trên trường F thì A đại số trên trường F.


- 19 Bổ đề 2.1. Cho F là trường đóng đại số. Nếu D là đại số chia có tính chất đại số
trên trường F thì D trùng với F.
Với bổ đề 2.1 cùng với định lý Wedderburn và định lý 2.2 ta có định lý sau.
Định lý 2.3. Cho F là một trường đóng đại số và A là một đại số nửa đơn hữu
hạn chiều trên F. Khi đó A = Fn1 ⊕ Fn2 ⊕ ... ⊕ Fnk .
Chứng minh
Ta có A là đại số hữu hạn chiều trên trường F nên A là artin. Suy ra A là đại số
artin nửa đơn.
Theo định lý 1.1.2 ta có A = R1 ⊕ R2 ⊕ ... ⊕ Rk với R1 ,..., Rk là artin đơn.
( i)
Với mọi i = 1, k ta có Ri đại số artin đơn nên theo định lý 2.2 ta có Ri ≅ ∆ ni với
i
i
∆ ( ) là đại số chia hữu hạn chiều trên trường F. theo bổ đề 2.1 suy ra ∆ ( ) = F và

( )
do đó Ri ≅ ∆ ni ≅ Fni .
i

Vậy A = Fn1 ⊕ Fn2 ⊕ ... ⊕ Fnk . Ta có điều phải chứng minh. □
Ta có tâm của tổng trực tiếp là tổng trực tiếp các tâm, ngoài ra ta cũng có tâm

của Fni là một chiều trên F (vì tâm là FI ni với I ni là ma trận đơn vị ni × ni ). Vì
thế k = dim F Z A và nói theo cách khác thì ta có hệ quả sau.
Hệ quả: Cho F là một trường đóng đại số và A là một đại số nửa đơn hữu hạn
chiều trên F. Khi đó số các thành phần tổng trực tiếp của A bằng số chiều các
tâm của A trên F.
Định lý 2.4. G là nhóm hữu hạn có cấp o(G ) , F là trường đóng đại số có đặc số
0 hoặc p không là ước của o(G ) thì F (G ) = Fn1 ⊕ Fn2 ⊕ ... ⊕ Fnk .


- 20 -

CHƯƠNG 3: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ
WEDDERBURN – ARTIN
Như chúng ta đã biết, định lý Wedderburn đã mô tả rõ ràng cấu trúc của vành
Artin đơn và nửa đơn, điều này cho chúng ta nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
của đại số. Một trong những ứng dụng lớn của nó là nghiên cứu sự biểu diễn ma
trận của các nhóm hữu hạn mà chúng ta đã có trình bày sơ lược phía trước. Ở
đây ta sẽ đưa ra một ứng dụng khác của định lý Wedderburn là chứng minh bài
toán của Burnside về nhóm các ma trận.
Chúng ta sẽ bắt đầu với một định lý rất thú vị, định lý này cũng do Wedderburn
đưa ra trong một bài báo của ông.
Định lý 3.1. Cho A là một đại số hữu hạn chiều trên một trường F và A có một
cơ sở gồm toàn các phần tử lũy linh trên F. Khi đó A là lũy linh.
Chứng minh.
Trước hết, ta có nhận xét: do A là đại số hữu hạn chiều nên A cũng là một đại số
Artin.
Trường hợp 1: F là đóng đại số.


- 21 Ta sẽ chứng minh A lũy linh bằng quy nạp theo số chiều của A.

Dim A = 1. Khi đó A = u1F , do u1 lũy linh nên A lũy linh.
Giả sử mọi đại số B trên F có dim B < n và B, có một cơ sở gồm các phần tử lũy
linh trên F, đều lũy linh. Xét đại số A trên F có dim A = n, A có một cơ sở {u1,
u2, …, un} với ui lũy linh, i ∈1, n . Với J ( A ) là radical của A, ta sẽ chứng minh
A = J ( A ) bằng phản chứng. Thật vậy:
A
Giả sử A ≠ J ( A ) thì J ( A ) = ( 0 ) . Vì nếu J ( A ) ≠ ( 0 ) thì J ( A ) ≠ ( 0 ) và thỏa
dim A

J ( A)

< n; A

J ( A ) có một cơ sở là { ui + J ( A ) } gồm các phần tử lũy linh.

Theo giả thiết qui nạp, ta có

A

J ( A ) lũy linh. Điều này vô lí vì

A

J ( A ) là đại

số nửa đơn Artin, nên nó không thể có ideal lũy linh khác (0).
Như vậy J ( A ) = ( 0 ) , ta có A là đại số nửa đơn trên một trường đóng đại số F.
Theo định lí 1.1.2 thì A = A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ Ak , với Ai là đại số đơn, i ∈1, k . Nếu
k > 1 thì A1 là đại số con thực sự của A, dim A1 < n và trong A1 có một cơ sở
gồm các phần tử lũy linh { p1 ( ui ) } (p1 là đồng cấu chiếu tự nhiên từ A vào A1).

Theo giả thiết qui nạp thì A1 là lũy linh. Khi đó, A có một ideal khác không lũy
linh, trái với điều kiện A là nửa đơn.
Vậy k = 1, A = A1 , nên A là đại số đơn.
Như vậy, A là một đại số đơn hữu hạn chiều trên một trường đóng đại số F, nên
theo định lí 2.3 thì tồn tại số nguyên m để A ≈ Fm . Do A có cơ sở là các phần lũy

{

linh nên Fm có một cơ sở a1 , a2 ,..., am2

}

gồm các phần tử lũy linh. Ta cũng gọi

ma trận của ai là ai, i ∈1, m 2 . Khi đó trai = 0 (do ai lũy linh) và


- 22 m

tr  ∑ ai fi ÷ = 0, f i ∈ F (*).
 i =1

2

1
0
Mặt khác, phần tử b = 
 ..

0

0
0
..
0

...
...
..
...

0
0
 của Fm phải được biểu diễn qua một tổ
.. 

0

{

}

hợp tuyến tính nào đó của cơ sở a1 , a2 ,..., am2 .
Mà trb = 1 ≠ 0 , trái với (*). Mâu thuẫn.
Vậy J ( A ) = A . Khi đó A là lũy linh (do trong đại số Artin, J ( A ) là lũy linh).
Ta có điều phải chứng minh.
Trường hợp 2: F không đóng đại số.
Gọi F là bao đóng đại số của F. Ta có F là một F – đại số, nên ta có thể xem
A = A ⊗ F F là một F - module. Hơn nữa ta dễ kiểm tra được A là một vành,
nên A là một F - đại số. Hơn nữa, A hữu hạn chiều trên F thì A hữu hạn chiều

trên F , và A có một cơ sở { ui ⊗ 1} gồm các phần tử lũy linh.
Theo trường hợp 1, ta có A là lũy linh. Khi đó A ≅ A ⊗ 1 ⊂ A nên A cũng lũy
linh.
Vậy ta đã chứng minh xong định lí. □
Tổng quát hơn, thay vì xem xét các đại số trên một trường, chúng ta sẽ xem xét
các đại số trên một vành giao hoán tùy ý. Herstein, Procesi và Small đã chỉ ra
rằng:
Cho A là một đại số hữu hạn sinh trên một vành giao hoán C. Nếu A có một tập
các phần tử sinh gồm toàn các phần tử lũy linh thì A lũy linh.
Kết quả này đã đẩy định lý Wedderburn đến một giới hạn của hướng nghiên cứu
này. Bây giờ ta xem xét một hướng khác. Ta có câu hỏi sau: “Cho R là một vành


- 23 Artin mà mọi phần tử đều là tổng của một số các phần tử lũy linh nào đó. Liệu R
có lũy linh không?” Câu hỏi này đã được Kaplansky đặt ra và được Harris phủ
định.
Chúng ta áp dụng kết quả này vào trong đại số nhóm. Lấy G là một nhóm cấp
pm, p là số nguyên tố và F là một trường đặc số p. Chúng ta dễ dàng thấy rằng
F(G) không phải là vành nửa đơn, nhưng chính xác căn Jacobson của nó là gì?
Định lí sau đây sẽ cho chúng ta biết điều đó.
Định lý 3.2: Nếu G là nhóm có cấp là p m (p là số nguyên tố) và F là một
trường đặc số p thì căn Jacobson của F(G) có số chiều là p m − 1 , có một cơ sở
là { g − 1: g ∈ G} . Cụ thể J ( F ( G ) ) = { ∑ α i gi ∈ F ( G ) : ∑ α i = 0} .
Chứng minh.
Đặt U = { ∑α i g i ∈ F ( G ) : ∑α i = 0} . Ta kiểm tra được U là một ideal của F(G),
đồng thời U cũng là một không gian vectơ trên F, có số chiều là p m − 1 và có
một cơ sở là { g − 1: g ∈ G} .
Với mọi g ∈ G : ( g − 1)

pm

pm

= ∑ C ipm g i ( −1)

p m −i

m

= g p −1 = 1−1 = 0 .

i =0

⇒ g − 1 lũy linh, ∀g ∈ G ⇒ U có một cơ sở gồm các phần tử lũy linh.
⇒ U lũy linh, nên U ⊂ J ( F ( G ) ) .
Mặt khác do số chiều của U là p m − 1 , nên U là ideal tối đại của F(G). Vậy ta
phải có U = J ( F ( G ) ) . Ta có điều phải chứng minh. □
Định lý Weddernburn cũng là một công cụ hữu dụng trong việc nghiên cứu
nhóm các ma trận. Nhắc lại rằng, một tập hợp S gồm các phép biến đổi tuyến
tính trên không gian vector V được gọi là bất khả quy nếu không có không gian
con tầm thường của V là bất biến với S. Ngược lại S được gọi là khả quy. Nếu S


- 24 là tập hợp gồm các ma trận vuông cấp n trên một trường thì S là khả quy nếu tồn
tại ma trận khả nghịch P sao cho
a 
a
PaP −1 =  11 12 ÷
 0 a22 
Với mọi a ∈ S ; trong đó a11 , a12 , a22 là các ma trận vuông cấp nhỏ hơn n. Một

nửa nhóm các ma trận được hiểu là một tập hợp khác rỗng các ma trận có tính
chất đóng với phép nhân ma trận.
Định lý 3.3. Cho S là một nửa nhóm bất khả quy của các ma trận vuông cấp n
trên trường F. Giả sử rằng vết của a, ký hiệu tr a, chỉ lấy k giá trị khác nhau khi
2

a chạy khắp trong S. Khi đó S có nhiều nhất k n phần tử.
Chứng minh.
Lấy F là bao đóng đại số của F, khi đó S ⊂ F ⊂ F . Không mất tính tổng quát,
ta có thể giả sử F là trường đóng đại số.
Đặt A = { ∑ f i ai | f i ∈ F , ai ∈ S } là tập hợp được sinh ra bởi S trên F. Vì S là nửa
nhóm nên A là một đại số con của Fn. Hơn nữa, do S là bất khả quy nên A bất
khả quy và trung thành trên V, với V là một tập hợp n-bộ trên F. Do đó C ( A )
giao hoán tử của A trên V là một đại số chia được hữu hạn chiều trên F, nên nó
chính là F. Theo định lý Wedderburn, ta có A ≅ Fn .
Do S sinh ra A ≅ Fn trên F nên phải có các ma trận a1 , a2 ,..., an2 ∈ S lập thành
một cơ sở của Fn trên F. Nếu x ∈ S thì tr a1 x, tr a2 x,..., tr an2 x là một n2-bộ gồm
các phần tử lấy trong k giá trị khác nhau của vết các ma trận trong S. Do chỉ có
2

2
k n n -bộ như thế nên chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng mỗi hệ phương trình

tr a1 x = b1 , tr a2 x = b2 ,..., tr an2 x = bn2 ( bi ∈ F ) chỉ có nhiều nhất là một nghiệm


- 25 trong Fn. Do đây là hệ phương trình tuyến tính nên chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng
hệ phương trình thuần nhất tương ứng có duy nhất một nghiệm x = 0.
Do {ai} là một cơ sở của Fn nên nếu tr ai x = 0, ∀i = 1, n 2 thì tr yx = 0, ∀y ∈ Fn . Vì
công thức tính vết của một ma trận là một dạng song tuyến tính không suy biến

nên từ điều này ta suy ra x = 0. Định lý đã được chứng minh. □
Kết quả trên đưa chúng ta tiếp cận một cách tự nhiên đối với các nhóm ma trận
trên các trường có đặc số 0.
Định lý 3.4. Cho G là một nhóm nhân các ma trận cấp n trên trường F có đặc
số 0. Giả sử có một số nguyên N sao cho a N = 1, ∀a ∈ G . Khi đó G là nhóm hữu
hạn.
Chứng minh.
Do F ⊂ F , bao đóng đại số của F và G ⊂ Fn ⊂ Fn nên không mất tính tổng
quát, chúng ta có thể giả sử F là trường đóng đại số.
Chúng ta sẽ chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp theo n.
+ Nếu n = 1 thì G là nhóm con nhân gồm các phần tử khác 0 của F. Do
phương trình x N = 1 có nhiều nhất là N nghiệm trong F nên G phải là nhóm hữu
hạn.
+ Giả sử định lý đúng cho mọi nhóm nhân trong Fm với m < n và lấy
G ⊂ Fn thỏa mãn các giả thiết của định lý. Nếu a ∈ G thì từ a N = 1 ta suy ra tất
cả các nghiệm đặc trưng của phương trình là các căn bậc N của đơn vị, do đó chỉ
có hữu hạn phần tử. Vì tr a là tổng của các nghiệm đặc trưng của nó nên chúng
chỉ có thể nhận hữu hạn k giá trị khác nhau. Do đó, nếu G là một nhóm ma trận
2

bất khả quy thì theo định lý 3.3 ta có G chỉ có nhiều nhất là k n phần tử. Vậy G
là nhóm hữu hạn. Nếu G là nhóm khả quy thì bằng một phép thay đổi cơ sở
chúng ta có thể giả sử mỗi a ∈ G có dạng