Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú

I. TÓM TẮT
Trong việc dạy học đại số lớp 8 theo phương pháp dạy học tích cực hiện
nay, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là việc rất cần thiết không thể
thiếu được cho mỗi bài học, tiết học và xuyên suốt toàn bộ chương trình dạy và
học ở các cấp học đặc biệt là cấp Trung học cơ sở. Việc rèn luyện kỹ năng giải
toán giúp học sinh chủ động nắm bắt kiến thức, hiểu bài sâu hơn, phát huy được
khả năng bản thân, sự sáng tạo và hình thành phương pháp học tập tốt hơn. Vì
vậy, việc rèn luyện những kĩ năng giải toán đại số lớp 8 là rất cần thiết cho việc
học tập đồng thời cũng chuẩn bị kĩ năng cho việc tiếp thu kiến thức ở các lớp
trên.
Có rất nhiều kĩ năng cơ bản cần phải luyện cho học sinh trong quá trình
dạy môn đại số lớp 8 và một trong những kỹ năng quan trọng đó là “Rèn luyện
kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các
bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú”. Đây là kĩ năng rất cơ bản, cần
thiết khi học môn đại số lớp 8, nó giúp học sinh có thể dựa vào các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích và giải quyết nhiều dạng toán khác
nhau trong xuyên suốt chương trình đại số lớp 8.
Trong thực tế, đa số học sinh chưa thành thạo kĩ năng vận dụng các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải toán, phần lớn học
sinh lúng túng trong cách nhận dạng, áp dụng. Với kinh nghiệm ít ỏi của bản
thân tích luỹ được trong quá trình giảng dạy, tôi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài:
“Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
vào giải các bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú”
Trong nghiên cứu này, tôi xin đưa ra một số giải pháp giải quyết vấn đề
cụ thể mà bản thân đã áp dụng thành công trong việc giảng dạy những năm học
vừa qua, và được kiểm nghiệm rõ hơn trong năm học 2016 - 2017.
II. GIỚI THIỆU
1. Hiện trạng
Môn toán là môn học tư duy, là cửa ngõ cho mọi môn khoa học khác, nó
cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức quan trọng nhưng không phải ai cũng
biết được điều đó.

Qua việc dạy học trên lớp và dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy các em
nhớ và vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các
toán đại số lớp 8 còn chưa linh hoạt, mắc rất nhiều sai sót.
Nguyên nhân cụ thể:
- Học sinh lười học lý thuyết toán, bài tập thực hiện còn mang tính chất đối phó.
- Học sinh chưa vận dụng được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử vào bài toán cụ thể một cách linh hoạt.
- Quá trình tự học, tự đọc sách soạn bài của các em còn hạn chế.
1


- Giáo viên giảng dạy trên lớp theo trình tự bài học, chưa mở rộng và ít rèn
luyện kỹ năng cho học sinh, việc quan tâm đến học sinh yếu kém chưa sát xao.
Kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử của
học sinh là rất quan trọng, việc rèn luyện kỹ năng này là rất cần thiết trong quá
trình học tập môn đại số sau này. Trong quá trình dạy học tôi tăng cường rèn
luyện kỹ năng nhớ, vận dụng được các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử vào các bài toán đại số lớp 8.
2. Giải pháp thay thế
Xuất phát từ việc học sinh hay phàn nàn toán đại số 8 là khó nhớ, việc
giải toán là rất khó khăn, gây ra cho các em sự nhàm chán môn học. Từ đó tôi
dùng giải pháp thay thế cho cách giảng dạy thông thường như sau:
+ Giải pháp thay thế thứ nhất: Hệ thống hóa các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử qua từng bài dạy, đưa vào một số các kỹ năng vận dụng các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán đại số lớp 8
(có phụ lục 1 kèm theo).
+ Giải pháp thay thề thứ hai: Tôi dùng dữ liệu điện tử và thiết kế bài toán có
thảo luận nhóm nhỏ để nâng cao hiệu quả, kỹ năng cho các em học sinh.
Trong các bài học tôi cho học sinh đọc sách và hướng dẫn cụ thể mạch
kiến thức ở phần hướng dẫn về nhà, sau khi lên lớp các em sẽ được hướng dẫn

chi tiết theo nhóm nhỏ và các em thảo luận tìm ra rội dung bài học mới. Điều
này giúp các em hiểu bài và nhận biết vì sao sai, học sinh yếu không tự ti mà
mạnh dạng đưa ra ý kiến để các bạn cùng tháo gỡ, nên các em cùng tiến bộ rất
nhanh.
+ Giải pháp thay thế thứ ba: Quan tâm đến mọi đối tượng học sinh nhất là học
sinh còn yếu toán nhằm động viên và khích lệ việc học tập các em..
Việc học yếu toán là vấn đề nan giải, các em học chậm nhưng được quan
tâm các em đã cố gắng vươn lên, việc được động viên và quan tâm của giáo viên
và học sinh là điều khchsleej cho học sinh yếu học tập và tiến bộ rõ nhất là
trong thaisddooj học tập bộ môn toán đại số 8.
3. Vấn đề nghiên cứu
Làm thế nào để học sinh có kĩ năng nhận dạng và vận dụng linh hoạt các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải bài tập đại số
toán 8?
4. Giả thuyết nghiên cứu
Ứng dụng công nghệ thông tin, sử dụng tư liệu điện tử, dạy học đại số 8
theo hướng tích hợp, dạy học theo nhóm nhỏ và quan tâm đến học sinh yếu kém
, bổ sung phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để nâng cao kỹ năng vận
dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán
đại số lớp 8.

2


III. PHƯƠNG PHÁP
1. Khách thể nghiên cứu
Hai lớp được tham gia nghiên cứu là lớp 8/4 và 8/5 Trường THCS Trần
Phú năm học 2016 - 2017 có nhiều điểm tương đồng nhau về giới tính, trình độ.
Cụ thể như sau:
Bảng 1: Giới tính của học sinh hai lớp 8/4 và 8/5 trong năm học 2016 - 2017.

Lớp

Số học sinh các nhóm
Tổng số

Nam

Nữ

Lớp 8/4

32

17

15

Lớp 8/5

34

21

13

+ Lớp thực nghiệm: 8/5

+ Lớp đối chứng: 8/4

2. Thiết kế nghiên cứu

Trong quá trình dạy và kiểm tra đánh giá tôi sử dụng thang đo thái độ
giữa lớp thực nghiệm (lớp 8/5) và lớp đối chứng (lớp 8/4) trong năm học 2016 2017 để kiểm chứng tính tích cực học tập của học sinh qua việc học tập môn Đại
số lớp 8 bằng phiếu điều tra, đây là điều tra trước tác động để minh chứng thái
độ học tập của 2 lớp là tương đương không có sự chênh lệch đáng kể.
PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ 1: (Đánh dấu x vào 1 trong 5 ý kiến).
Lớp thực nghiệm trước tác động (8/5- Tổng số học sinh 34)
STT

Nội dung

Đồng
ý

Rất
đồng
ý

Bình
thường

Không
đồng ý

Rất
không
đồng ý

1

Kiến thức đại số 8 quá khó tiếp

thu.

12

3

11

8

0

2

Tôi không thích học tiết đại số 8.

8

3

9

10

4

3

Tôi thường xuyên đọc sách giáo
khoa đại số 8 trước khi đến lớp.

9

5

9

6

5

4

Tôi ưu tiên học môn toán 8 trước
các môn học khác.

7

4

12

8

3

5

Tôi thường phát biểu xây dựng
bài trong tiết đại số 8 và hoàn

thành tốt bài tập về nhà.

8

5

11

8

2

3


Lớp đối chứng (8/4 - tổng số học sinh 32)

STT

Nội dung

Đồng
ý

Rất
đồng
ý

Bình
thường

Không
đồng ý

Rất
không
đồng ý

1

Kiến thức đại số 8 quá khó tiếp
thu.

11

3

10

7

1

2

Tôi không thích học tiết đại số 8.

7

3

8

9

5

3

Tôi thường xuyên đọc sách giáo
khoa đại số 8 trước khi đến lớp.

6

5

8

7

6

4

Tôi ưu tiên học môn toán 8 trước
các môn học khác.

7

4

10

8

3

5

Tôi thường phát biểu xây dựng
bài trong tiết đại số 8 và hoàn
thành tốt bài tập về nhà.

6

5

9

8

4

Qua phiếu điều tra tôi nhận thấy:
- Trước tác động: thái độ học tập của hai lớp tương đương nhau .
Để tiến hành công tác nghiên cứu trình độ hai lớp phải tương đương nhau.
Tôi đã dùng bài kiểm tra trước tác động đối với 2 lớp (Phần phụ lục 3). Dùng
công thức average(), mode(); median() và dùng phép kiểm chứng Ttest kiểm
chứng sự chênh lệch điểm số trước khi tác động, kiểm chứng để xác định các
nhóm tương đương.

Qua bài kiểm tra trước tác động (đề phần phụ lục) cho thấy điểm trung
bình của hai lớp có sự khác nhau, do đó tôi dùng phép kiểm chứng T – Test để
kiểm chứng sự chênh lệch điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động.
Kết quả:
Bảng 2: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Đối chứng

Thực nghiệm

TBC

6.0

5.8

Mode

6.5

6.0

Trung vị

6.3

6.0
0.749636187

p=

4


P = 0.749636187 > 0,05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai
nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi
là tương đương.
Sử dụng thiết kế 2: Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm
tương đương.
Bảng 3: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Nhóm

Kiểm tra trước tác
động

Tác động

Kiểm tra sau
tác động

Thực nghiệm

O1

Dạy học có sử dụng Tư
liệu điện tử, có tác động
rèn luyện kỹ năng vận
dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành
nhân tử, dạy học vận
dụng chia nhóm nhỏ và

quan tâm đến học sinh
yếu kém.

Đối chứng

O2

Dạy học bình thường

O3

O4

Ở thiết kế này tôi đã sử dụng phép kiểm chứng T – Test độc lập
3. Quy trình nghiên cứu
* Chuẩn bị bài của giáo viên
Để tiến hành kiểm chứng tính hiệu qủa của bài giảng trong dạy học luyện
tập môn toán 8, tôi đã tiến hành giảng dạy ở một số nội dung bài dạy với cùng
một nội dung như nhau nhưng giảng dạy bằng hai phương pháp khác nhau:
- Ở lớp đối chứng tôi thiết kế bài dạy, quá trình dạy học chuẩn bị như bình
thường.
- Ở lớp thực nghiệm tôi thiết kế bài luyện tập sử dụng tư liệu điện tử, có
sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và tác động phương pháp rèn kỹ năng vận
dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. (phụ lục 1). Sử dụng
xuyên suốt phương pháp thảo luận nhóm nhỏ để học sinh tự tìm hiểu rút ra kiến
thức cho bản thân, quan tâm đến các đối tượng học sinh nhất là học sinh yếu
kém.
* Tiến hành thực nghiệm
Thời gian tiến hành thực nghiệm trên một số tiết dạy theo kế hoạch dạy
học nhà trường, kế hoạch dạy học bộ môn, theo phân phối chương trình và thời

khoá biểu để đảm bảo tính khách quan.

5


Bảng 4: Thực nghiệm trên môn Đại số 8.
Tiết theo PPCT

Tên bài dạy

9

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt
nhân tử chung.

10

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
dùng hằng đẳng thức.

11

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
nhóm hạng tử.

12

Luyện tập.

13

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp
nhiều phương pháp.

14

Luyện tập.

24

Rút gọn phân thức.

45

Phương trình tích.

- Trong mỗi giáo án thực nghiệm điều có sự tác động đến mỗi đối tượng học
sinh, có thảo luận nhóm để nâng cao khả năng tiếp thu của mỗi học sinh, có bài
tập nâng cao đánh giá sự thông minh của các em. Đây là điểm mới trong hệ
thống và nội dung nghiên cứu đã tác động đến quá trình học của lớp thực
nghiệm. Trong suốt quá trình nghiên cứu học sinh học tập có hứng thú hơn đối
với bộ môn đại số 8.
4. Đo lường và thu thập dữ liệu
* Tiến hành kiểm tra sau tác động để đo lường, minh chứng (phần phụ lục 3)
Sau khi dạy xong các bài dạy trên, tôi đã tiến hành kiểm tra thu bài và tiến hành
công tác chấm bài.

6

* Tiến hành làm phiếu điều tra sau tác động để minh chứng thái độ học tập của 2
lớp.
PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ 1: (Đánh dấu x vào 1 trong 5 ý kiến).
Lớp thực nghiệm sau tác động (8/5- Tổng số học sinh 34)
ST
T

Nội dung

Đồng
ý

Rất
đồng
ý

Bình
thường

Không
đồng ý

Rất
không
đồng ý

1

Kiến thức đại số 8 quá khó tiếp
thu.

5

3

8

11

7

2

Tôi không thích học tiết đại số 8.

4

1

5

16

8

3

Tôi thường xuyên đọc sách giáo
khoa đại số 8 trước khi đến lớp.

14

6

7

4

3

4

Tôi ưu tiên học môn toán 8 trước
các môn học khác.

15

7

5

3

4

5

Tôi thường phát biểu xây dựng
bài trong tiết đại số 8 và hoàn
thành tốt bài tập về nhà.

15

6

5

4

4

Đồng
ý

Rất
đồng
ý

Bình
thường

Không
đồng ý

Rất
không
đồng ý

Lớp đối chứng (8/4 - tổng số học sinh 32)

STT

Nội dung

1

Kiến thức đại số 8 quá khó tiếp
thu.

9

3

7

10

3

2

Tôi không thích học tiết đại số 8.

6

4

6

11

5

3

Tôi thường xuyên đọc sách giáo
khoa đại số 8 trước khi đến lớp.

8

5

7

8

4

4

Tôi ưu tiên học môn toán 8 trước
các môn học khác.

8

6

6

7

5

5

Tôi thường phát biểu xây dựng
bài trong tiết đại số 8 và hoàn
thành tốt bài tập về nhà.

6

7

10

5

4

7


Qua phiếu điều tra tôi nhận thấy:
- Sau tác động: thái độ học tập của lớp 8/5 có tiến bộ hơn so với lớp 8/4.
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
1. Phân tích dữ liệu
Bảng 5: So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động.
Đối chứng

Thực nghiệm

ĐTB

6.0

7.3

Mode

8.3

10.0

Trung vị

6.5

7.8

1.726429593

1.917888861

Độ lệch chuẩn
Giá trị P của T- Test

0.003125762

Chênh lệch giá trị TB chuẩn (SMD)

0.804712189

Sau tác động kiểm chứng chênh lệch giữa ĐTB bằng T – Test, so sánh
chênh lệch giá trị TB chuẩn 0,8 ≤ SMD = 0.804712189 ≤ 1 cho thấy ảnh hưởng
lớn. Quả trình thực nghiệm tác động có kết quả tốt. Xem thử độ chênh lệch kết
quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn ĐTB nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên
mà do kết quả của tác động.
Theo kết quả ta thấy giá trị p = 0.003125762 < 0,05 điều này chứng tỏ dữ liệu
mà ta thu thập được là có giá trị, có ý nghĩa. Hay nói một cách khác là kết quả
dữ liệu (số liệu) thu thập được không bị tác động của ngẫu nhiên và nó có giá trị
đối với nội dung, giả thiết ta đang nghiên cứu. Nghĩa là nó có tính khách quan,
dữ liệu mô tả chính xác nội hàm của đối tượng ta khảo sát.
So sánh độ chênh lệch giá trị trung bình chuẩn. Điều đó cho thấy mức độ
ảnh hưởng của việc sử dụng phương pháp tác động trong bài luyện tập có tác
động đến kết quả học tập của nhóm.
2. Bàn luận
Điểm trung bình của nhóm thực nghiệm cao hơn so với nhóm đối chứng.
Phân tích độ chênh lệch điểm số của hai nhóm cho thấy kết quả nhóm thực
nghiêm cao hơn. Xem xét điểm trung bình của hai lớp đối chứng và thực nghiệm
có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm trung bình cao hơn lớp đối
chứng. Phân tích độ chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của bài kiểm tra
0,8 ≤ SMD = 0.804712189 ≤ 1. Kết luận về mức độ ảnh hưởng của tác động rất
lớn. Dùng phép kiểm chứng T – Test điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
của hai lớp p = 0.003125762 < 0.05 kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm
8


trung bình của hai nhóm không phải là ngẫu nhiên mà do tác động mà có, cho
kết quả nghiêng về nhóm thực nghiệm.
* Hạn chế:

Với việc sử dụng tư liệu điện tử trong dạy học ở các tiết đại số lớp 8 là rất
hiệu quả, nhưng để sử dụng được đòi hỏi người dạy phải biết sử dụng công nghệ
thông tin, biết thiết kế bài giảng sao cho sinh động, hấp dẫn, phát huy được trí
lực, tính tự giác, tích cực của học sinh.
Việc sử dụng phương pháp thảo luận nhóm nhỏ cần sự hợp tác giữa các
thành viên nhóm và cần cơ sở vật chất trường phù hợp chuẩn đào tạo.
V. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
- Học sinh lớp 8 có được kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử trong giải các bài toán đại số 8.
- Tạo được hứng thú học tập môn toán đại số 8.
2. Khuyến nghị
Giáo viên cần quan tâm và thực sự để tâm vào mỗi bài dạy và trong các
bài tập đại số 8, cần phải thực hiện tốt các bước hướng dẫn, người học sinh phải
thực hiện tích cực chủ động theo các bước của người thầy thì chắc chắn bài tập
sẽ đạt kết quả cao.
Hiệu trưởng

Vạn Bình, ngày 05 tháng 3 năm 2017
Người viết

Hồ Quốc Vương

9


VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 – Sách giáo khoa toán 8 – nhà xuất bản giáo dục.
2 – Chuyên đề đại số 8 nâng cao và phát triển – Vũ Hữu Bình – nhà xuất bản
giáo dục.

3 – Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm đại số 8 – TS. Nguyễn Văn Lộc – nhà
xuất bản giáo dục.
4 - Ôn Luyện Theo Chuẩn Kiến Thức Kĩ Năng Toán 8 - Nguyễn Đức
Tấn, Nguyễn Anh Hoàng – nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

10


VII. PHỤ LỤC
PHỤ LỤC 1. KĨ NĂNG CẦN RÈN LUYỆN
A. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
I. Mét sè kh¸i niƯm c¬ b¶n:
1. §a thøc: Đa thức là một tổ ng củ a nhữ ng đơn thứ c . Mỗ i đơn thứ c trong
tổ ng gọi là một hạng tử của đa thứ c đó .
VÝ dơ :
BiĨu thøc: f(x) = 5x 3 - x 2 + 3x + 7 lµ mét ®a thøc cđa biÕn (Èn) x.
BiĨu thøc: g(y) = 7y 2+ 3y - 6 lµ mét ®a thøc cđa biÕn (Èn) y.
BiĨu thøc: h(x,y) = 5x 3 y - 3x2 y2- 2y 3 + 7 lµ mét ®a thøc cđa hai biÕn (Èn) x
vµ y.
2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư:
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư (hay thõa sè) lµ biÕn ®ỉi ®a thøc ®ã thµnh
mét tÝch cđa c¸c ®¬n thøc vµ ®a thøc cã bËc nhá h¬n.
VÝ dơ :
a) x2 – xy + x – y =(x – y)(x + 1).
b) x 5 + x 4 + 1 = (x 2 + x + 1)(x 3 – x + 1).
II. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
§Ĩ ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư cã rÊt nhiỊu ph¬ng ph¸p kh¸c
nhau, nhng chóng ta thêng sư dơng mét sè ph¬ng ph¸p th«ng dơng nh sau:
- §Ỉt nh©n tư chung.
- Sư dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.

- Nhãm c¸c h¹ng tư.
- Phèi hỵp nhiỊu ph¬ng ph¸p.
- T¸ch mét h¹ng tư thµnh hai hay nhiỊu h¹ng tư.
- §ỉi biÕn sè (hay ®Ỉt Èn phơ).
- Thªm bít cïng mét h¹ng tư.
Trõ mét sè trêng hỵp c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n, cßn ®èi víi nhiỊu bµi to¸n
nhÊt lµ nh÷ng bµi to¸n phøc t¹p, cã bËc cao ta ph¶i vËn dơng tỉng hỵp c¸c ph¬ng
ph¸p trªn mét c¸ch linh ho¹t ®Ĩ gi¶i.
1. Ph¬ng ph¸p ®Ỉt nh©n tư chung:
a) Ph¬ng ph¸p:
+ Tríc hÕt, ta t×m nh©n tư chung cã mỈt trong tÊt c¶ c¸c h¹ng tư cđa ®a thøc.
+ Ph©n tÝch mçi h¹ng tư cđa ®a thøc thµnh tÝch cđa nh©n tư chung vµ mét nh©n tư
kh¸c.
+ §a nh©n tư chung ra ngoµi dÊu ngc. C¸c h¹ng tư trong dÊu ngc lµ th¬ng
cđa phÐp chia c¸c h¹ng tư cđa ®a thøc cho nh©n tư chung.
b) VÝ dơ: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư
1) A = 5x 2 y – 10xy 2
2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y)
11


3) C = (y 2 z)(2x 2 y yz) (4yx 2 + yz 2 )(z y 2 ) + 6x 2 z(y 2 z).
Giải :
1) A = 5x 2 y 10xy 2
Ta thấy các hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, ta có
A = 5x 2y 10xy 2 = 5xy.x 5xy.2y = 5xy(x - 2y).
2) B = 2x(3y 7z) + 6y(7z 3y)
Đổi dấu hạng tử 6y(7z 3y) = - 6y(3y 7z), ta có thừa số (3y 7z)
chung: B = 2x(3y 7z) + 6y(7z 3y) = 2x(3y 7z) - 6y(3y - 7z)
= (3y 7z)( 2x 6y) = (3y 7z).2(x 3y) = 2(3y 7z)(x 3y).

3) C = (y 2 z)(2x 2 y yz) (4yx 2 + yz 2 )(z y 2 ) + 6x 2 z(y 2 z)
Đổi dấu (4yx 2 + yz 2)(z y 2) = (4yx 2 + yz 2)( y 2 z), ta có thừa số
(y2 z) chung:
C = (y 2 z)(2x 2 y yz) (4yx 2 + yz 2 )(z y 2 ) + 6x 2 z(y 2 z)
= (y 2 z)(2x 2y yz) + (4yx 2 + yz 2)( y 2 z) + 6x 2z(y 2 z)
= (y 2 z)[( 2x 2y yz ) + (4yx 2 + yz 2) + 6x 2z]
= (y 2 z)[ 2x 2y + 4yx 2 + 6x 2z] = (y 2 z)[ 2xy 2 + 4yx 2 + 6x 2z]
= (y 2 z)[ 2x 2(y + 2y + 3z)] = (y 2 z)[ 2x 2(3y + 3z)]
= (y 2 z) 2x 2 .3(y + z)
= 6x 2 (y2 z)(y + z).
2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:
a) Phơng pháp:
Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất hiện các
hằng đẳng thức (nếu có thể). Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân
tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
1) D = x 2 x +

1
4

2) E = 9(x + 5) 2 (x +7) 2

3) F = x3 + 9x2 27x + 27

4) G = 8 27a3b6

Giải:
Ta thấy mỗi hạng tử của đa thức trên đều không có nhân tử chung nên
không thể phân tích các đa thức đó thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử

chung. Mặt khác ta thấy các biểu thức đêù có dạng hằng đẳng thức. Vì thế
có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích các đa thức đó
thành nhân tử.

1
1) D = x x +
4

2

2

= x 2.x. 1 + 1 ữ = x 1 ữ
2 2
2
2) E = 9(x + 5) 2 (x + 7) 2 = [3(x + 5)] 2 (x + 7) 2
= [3(x+5) + x +7][3(x+5) (x+7)] = (4x + 22)(2x + 8)
= 4(2x + 11)(x + 4)
2

2

3) F = - x3 + 9x2 27x + 27 = ( x)3 + 3.3.( x)2 + 3.( x).32 + 33
12


= (-x +3)3.
4) G = 8 27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2- 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4).
3. Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử:
a) Phơng pháp:

Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các đơn
thức, ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. Trong mỗi nhóm
này, ta áp dụng liên tiếp các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng
thức để tiếp tục phân tích.
Lu ý: Thờng thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau
b) Ví dụ :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
1) x2 xy + x y 2) x 2 - 2xy - z 2 + y 2 + 2zt t 2
3) 9 x 2 + 2xy y 2
Giải:
Ta thấy các hạng tử đều không có thừa số chung cũng không thấy có
dạng hằng đẳng thức. Vì thế ta sẽ nhóm hạng tử với nhau để làm xuất hiện
nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức để phân tích tiếp:
1) x2 xy + x y
* Cách 1: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba
với hạng tử thứ t ta có: x2 xy + x y = (x2 xy) + (x y)
= x(x y) + (x y) =(x y)(x + 1).
* Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với
hạng tử thứ t, ta có :
x2 xy + x y = (x2 + x) (xy + y) = x(x + 1) y(x + 1)
= (x + 1)(x y).
Nhận xét : ở ví dụ trên ta đã nhóm các hạng tử thích hợp để sử dụng phơng pháp đặt nhân tử chung. Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm
khác nhau những hạng tử thích hợp.
2) x 2 - 2xy - z 2 + y 2 + 2zt t 2
Nhóm hạng tử thứ nhất, thứ hai với hạng tử thứ t , hạng tử thứ ba, thứ
năm với hạng tử thứ sáu để có dạng hằng đẳng thức và tiếp tục phân tích, ta
có :
x 2 - 2xy - z 2 + y 2 + 2zt t 2 = (x 2 2xy + y 2 ) (z 2 2zt + t) 2
= (x y) 2 (z t) 2
= (x y + z t)(x y z + t).

3) 9 x2 + 2xy y2 = 9 (x2 2xy + y2 ) = 32 (x y2)
=(3 + x y)( 3 x + y)
Nhận xét : Trong cách giải trên, ta đã nhóm 3 hạng tử cuối của đa thức và đa vào
trong dấu ngoặc đằng trớc có dấu để phân tích đa thức bằng phơng pháp
dùng hằng đẳng thức.
4. Ph ơng pháp phối hợp các ph ơng pháp :
a) Phơng pháp:
Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp,
ta nên chú ý chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên nh sau :
13


Bớc 1: Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung hay
không?

Có nhân tử chung: áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung. Sau đó
ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với bớc 1 và tiếp
tục thực hiện đến kết quả cuối cùng.

Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bớc 2.
Bớc 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng phơng
pháp hằng đẳng thức. Nếu không thì chuyển qua bớc 3.
Bớc 3: Dùng phơng pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiện hằng đẳng
thức hoặc nhân tử chung.
b) Ví dụ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
1) 2x2 + 4x + 2 2y2
2) 2a2 12ab + 18b2
3) 5x3z 10x2z 5xz3 5xy2z + 5xz + 10xyz2 .
Giải:

1)
Ta thấy các hạng tử đều có thừa số chung, ta đặt thừa số chung ra ngoài và
tiếp tục phân tích đa thức ở trong ngoặc:
2x2 + 4x + 2 2y2

= 2(x2 + 2x + 1 y2)

Đặt nhân tử chung

= 2 [(x2 + 2x + 1) y2] Nhóm các hạng tử thích hợp của đa thức
trong ngoặc.
= 2[(x + 1)2 y2]

Xuất hiện hằng đẳng thức

= 2(x + 1 y)(x + 1 + y) Dùng hằng đẳng thức
Nh vậy thứ tự u tiên là: Đặt nhân tử chung dùng hằng đẳng thức
nhóm hạng tử.
Vậy 2x2 + 4x + 2 2y2 = 2(x + 1 y)(x + 1 + y).
2)
2a2 12ab + 18b2
Cách giải tơng tự câu a):
2a2 12ab + 18b2 = 2(a2 6ab + 9b2) = 2(a 3b)2
3)
5x3z 10x2z 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2
= 5xz(x2 2x z2 y2 + 1 + 2yz)
= 5xz[ (x2 2x + 1) (y2 2yz + z2)]
= 5xz[(x 1)2 (y z)2] = 5xz(x 1 y + z)(x 1 + y z).
5. Phơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử:
a) Phơng pháp:

Có một số đa thức không có nhân tử chung cũng không có dạng hằng đẳng
thức nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó. Vì thế ta nên tách một hạng tử
thành hai hoặc nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phơng
pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích: x2 6x + 8
Nhận xét:
14


Đa thức trên không chứa thừa số chung. Không có dạng một hằng đẳng
thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi đa thức này thành
đa thức có nhiều số hạng hơn sau đó nhóm các hạng tử lại với nhau một cách
phù hợp:
Cách 1: Tách số hạng thứ hai
x2 6x + 8 = x2 2x 4x + 8 = x(x 2) 4( x 2)
= (x )(x 4).
Cách 2: Tách số hạng thứ 3
x2 - 6x + 8 = x2 6x + 9 1 = (x 3)2 1
= ( x 3 1)(x 3 + 1) = (x 4)( x 2).
2
Cách 3: x 6x + 8 = x2 4 6x + 12
= ( x 2)(x + 2) 6(x 2) = (x 2)(x 4)
Cách 4: x2 6x + 8 = x2 16 6x + 24 = ( x 4)(4 + x) 6(x 4)
= (x 4)( x + 4 6) = (x 4) ( x 2).
2
Cách 5 : x 6x + 8 = x2 4x + 4 2x + 4 = (x 2)2 2( x 2)
= (x 2)( x 2 2) = ( x 2)(x 4).
Mặc dù có nhiều cách tách nhng thông dụng nhất là cách sau:
* Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp

nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm
nh sau:
+ Tìm tích ac
+ Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành 2 hạng tử bậc nhất.
Ví dụ 2: 4x2 4x 3
Ta có tích: ac = 4.( 3) = 12
Phân tích : 12 = 1.12 = 1.( 12) = 2.6 = 3.4 = 3.( 4)
Chọn 2 thừa số có tổng là : 4 đó là 2 và (6)
4x2 4x 3 = 4x2 + 2x 6x 3 = 2x(2x + 1) 3(2x + 1)
= (2x + 1)(2x 3)
* Cách 2: Tách hạng tử thứ ba thành 2 hạng tử rồi đa đa thức về dạng
hiệu hai bình phơng.
4x2 4x 3 = 4x2 4x +1 4 = ( 2x 1) 22
= ( 2x 1 2)( 2x 1 + 2) = (2x + 1)(2x 3)
Ví dụ 3: 3x2 8x + 4 = 4x2 8x + 4 x2 = (2x 2)2 x2
= ( 2x 2 x)(2x 2 + x) = (x 2)(3x 2)
Ví dụ 4: Phân tích x 2 5x + 6
Nhận xét : Đa thức trên có dạng a x 2 + bx + c ta phải tách

15


m + n = b
bx = mx + nx . Trong đó
mn = ac
x 2 - 5x + 6 = x2 + x 6x + 6 = (x 2 + x) (6x + 6)
= x(x + 1) 6(x +1) = (x + 1)(x 6).

Qua các ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạng khác
thờng nhằm mục đích:
+ Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (theo cách
1).
+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng (cách 2)
Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ngời
ta thờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức.
6. Phơng pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ):
a) Phơng pháp:
Trong một số bài toán, ta nên đa một biến phụ vào để việc giải bài toán đợc gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để đa về dạng tam thức bậc hai rồi sử
dụng các phơng pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích.
b) Ví dụ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12
2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 24
3) g(x) = 4x( x + y)( x + y + z)( x + z) + y2x2
Giải:
1)
f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12
Đặt x2 + x + 1 = y x2 + x + 2 = y + 1
f(x) = y(y + 1) 12 = y2 + y 12 = y2 3y + 4y 12
= y(y 3) + 4(y 3) = (y 3)(y + 4)
Thay y = x2 + x + 1 , ta đợc: f(x) = (x2 + x 2)(x2 + x + 5)
Đến đây ta phân tích tiếp:
x2 + x 2 = x2 x + 2x 2 = x(x 1) + 2(x 1) = (x 1)(x + 2)
2

2

2

x2 + x + 5 = x2 + x + 1 ữ 1 ữ + 5 = x + 1 ữ + 19
2
4
2 2

2

2

1
1 19 19

Vì

x + ữ 0x, x R nên x + ữ +
2
2
4
4


Và x2 + x + 5 không thể phân tích đợc nữa.
Kết quả: f(x) = (x 1)(x + 2)(x2 + x +5).
2)
h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 24
= (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) 24
= (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) 24
Đặt y = x2 + 5x + 4 x2 + 5x + 6 = y + 2 và ta đợc:
16

h(x) = y(y + 2) 24 = y2 + 2y 24 = y2 - 4y + 6y 24
= y(y 4) + 6(y 4) = (y 4)(y +6)
Thay y = x2 +5x + 4 , ta đợc:
h(x) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)
Kết quả: h(x) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10).
3)
g(x) = 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) + y2z2
= 4x(x + y + z)(x + y)( x + z) + y2z2
= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2
Đặt : x2 + xy + xz = m, ta có:
g(x) = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2
Thay m = x2 + xy + xz, ta đợc :
g(x) = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
Kết quả: g(x) = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
Dạng đặc biệt
Xét Q(x) = ay2 + by + c. Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b
2
thì ay + by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a)
(*).Nếu a = 1 thì y2 + by + c = (y + m)(y + n). Trong trờng hợp này a, b, c
nguyên thì trớc hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt đối của m
và n nhỏ hơn b. Sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b.


Đa thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c
Cách giải: đặt biến phụ y = x2 và áp dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x2 , ta có: Q(y) = 6y2 + 19y + 15
Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19

Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:
6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3)
= (2y + 3)(3y + 5)
Do đó : P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)
Đa thức dạng: P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d
Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc
y2 = x2 + (a + b) x
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) 15 thành nhân tử.
Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d.
Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) 15
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) 15
Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành
Q(y) = y(y + 2) 1 = y2 +2y 15 = y2 3y + 5y 15
= y(y 3) + 5( y 3) = (y 3)(y + 5)
Do đó: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)
17


Tổng quát: Nếu đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2)
rồi biến đổi nh trên.
Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2
Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x + 2)( 3x 5)( x 9)( 9x + 10) + 24x 2 thành
nhân tử.
Giải: Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2
P(x) = (9x2 9x 10)(9x2 + 9x 10) + 24x2
Đặt y = (3x +2)(3x 5) = 9x2 9x 10 thì P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) = 24x2
Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn đợc m = 6x , n = 4x

Ta đợc: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x)
Do đó: P(x) = ( 9x2 3x 10)(9x2 5x 10).
Đa thức dạng : P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = 1
Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi
sử dụng HĐT(*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 9x2 3x + 2 thành nhân tử.
Giải:
Đặt y = x2 1 suy ra y2 = x4 2x2 + 1
Biến đổi P(x) = 2(x4 2x2 + 1) + 3x3 5x2 3x
= 2(x2 1)2 + 3x( x2 1) 5x
Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy 5x2
Tìm m, n sao cho m.n = - 10x2 và m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x
Ta có: Q(y) = 2y2 + 3xy 5x2 = 2y2 2xy + 5xy 5x2
= 2y(y x) + 5x(y x) = ( y x)( 2y 5x)
Do đó: P(x) = (x2 x 1 )(2x2 + 5x 2).
Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2
Cách giải: Đặt biến phụ y = x 2 + d/b và biến đổi(x) về dạng chứa hạng tử
2
y + bxy rồi sử dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử.
Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e = 4 đặt y = x2 2 suy ra y2 = x4 4x2 + 4
Biến đổi P(x) = x4 4x2 + 4 x3 6x2 + 2x
= (x2 2)2 x(x2 2) 6x2
Từ đó Q(y) = y2 xy 6x2
Tìm m, n sao cho m.n = - 6x2 và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x
Ta có: Q(y) = y2 + 2xy 3xy 6x2
= y(y + 2x) 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y 3x)
Do đó: P(x) = (x2 + 2x 2)(x2 3x 2).
18

* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách
trên.
Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c
Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng
mx4 + nx2 + p
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x 3)4 + ( x 1) 4 16 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x 2 lúc đó P(x) trở thành
Q(y) = (y 1)4 + ( y + 1) 4 16 = 2y4 + 12y2 14 = 2(y2 + 7)( y2 1)
= 2(y2 + 7)(y 1)(y + 1)
Do đó: P(x) = 2(x2 4x + 11)(x 3)(x 1).
7. Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
a) Phơng pháp :
Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng
đẳng thức rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp
tục phân tích. Thông thờng hay đa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi
thêm bớt.
b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) a3 + b3 + c3 3abc 2) x5 1 3) 4x4 + 81
4) x8 + x4 + 1
Giải: Các hạng tử của các đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có
một dạng hằng đẳng thức nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Vì vậy ta phải
biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng các
phơng pháp phân tích đã biết.
1) a3 + b3 + c3 3abc
Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp
a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 (3a2b +3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 +c3 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2 3ab]
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 ac bc + c2 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab ac bc)
2) x5 1
Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng phơng pháp nhóm:
x5 1 = x5 x + x 1
= (x5 x) + (x 1)
= x(x4 1) + ( x 1)
= x(x2 1)(x2 + 1) + (x - 1)
= x(x +1)(x 1)(x2 + 1) + ( x 1)
= (x 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1].
3) 4x4 + 81
Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạng hằng
đẳng thức:
19


4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 36x2
= ( 2x2 + 9)2 (6x)2 = (2x2 + 9 6x)(2x2 + 9 + 6x)
4) x8 + x4 + 1
Ta sẽ thêm và bớt x4 sau đó nhóm các hạng tử sử dụng các hằng đẳng thức để
phân tích tiếp:
x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 x4 = (x4 + 1)2 x4
= (x4 + 1 x2)(x4 + 1 + x2)
=(x4 x2 + 1)(x4 + 2x2 x2 + 1)
=(x4 x2 + 1)[(x2 + 1)2 x2 ]
=( x4 x2 + 1)(x2 + 1 + x2)(x2 + 1 x2)
= (x4 x2 + 1)(2x2 + 1).
B. ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử
I. Các bài toán liên quan
1. Bài toán giải phơng trình:
a) Phơng pháp giải: Đối với các phơng trình bậc cao từ bậc hai trở lên

việc áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là rất quan trọng.
Vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì đợc dạng phơng trình tích A.B = 0 khi và chỉ
khi A = 0 hoặc B = 0.
Khi đó các đa thức A và B có số mũ nhỏ hơn nên sẽ giúp các em giải các phơng
trình đợc sẽ dễ dàng hơn .
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
x 3 + 9x 2 + 11x - 21=0
(1)
Đây là phơng trình bậc 3 cha đợc học cách giải. Cũng từ suy nghĩ
phân tích VT của phơng trình thành nhân tử đợc thì phơng trình coi nh giải
xong.
Nhận xét : Phơng trình (1 )thuộc về dạng ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có a + b
+c+d=0
Để phân tích VT thành nhân tử ta làm nh sau : Tách thành hạng tử thứ
hai trở đi thành hai hạng tử , sao cho hạng tử đầu có hệ số là đối của hạng
tử liền trớc . Từ đó ta phân tích đợc đa thức ở VT của phơng trình trên nh
sau:
Giải: x 3 + 9x 2 + 11x 21 = x3 x 2 + 10x 2 10x + 21x 21
= x2 (x 1) + 10x(x 1) + 21(x 1)
= (x 1).(x 2 + 10x + 21) = (x 1)(x + 7)(x + 3).
Vậy phơng trình (1) trở thành phơng trình: (x 1)(x + 7)(x + 3) = 0
Suy ra: hoặc x 1 = 0 hoặc x + 7 = 0 hoặc x + 3 = 0
Phơng trình có 3 nghiệm là: x =1; x = 7; x = 3.
Ví dụ 2: Giải phơng trình: ( 4x + 3)2 25 = 0
Giải: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đa phơng
trình về dạng. 8(2x 1)( x+ 2) = 0

20

1

2x 1 = 0
x
=



2
x+2=0


x = 2
x = 1/2 hoặc x = 2.

Ví dụ 3: Giải phơng trình: 3x2 + 5x - 2 = 0
Giải: áp dụng phơng pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân tử đa
phơng trình về dạng ( 3x 1)( x + 2) = 0


1

3
x

1
=
0

x
=


3
x+2=0

x = 2


x=

1
hoặc x = 2.
3

2. Bài toán giải bất phơng trình
a) Phơng pháp giải: Để giải các bất phơng trình bậc cao hoặc các bất phơng trình có chứa ẩn ở mẫu là một việc không dễ chút nào.
Đối với các bất phơng trình bậc cao ta nên phân tích vế có chứa ẩn thành
nhân tử để đa bất phơng trình về dạng bất phơng trình tích.
Đối với các bất phơng trình có chứa ẩn ở mẫu ta nên phân tích tử và mẫu
thành nhân tử để rút gọn biểu thức sau đó giải bất phơng trình sẽ đơn giản hơn. (
A.B < 0) hoặc (A.B > 0) hay bất phơng trình thờng
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình
x2 + x 12 > 0 (*)
Giải: Ta thấy vế trái của BPT là một đa thức bậc hai, ta sẽ phân tích
x2 + x 12 = x2 3x + 4x 12 = (x 3)( x + 4)
việc giải BPT (*) sẽ đa về giải BPT :
(x 3)( x + 4) > 0

x 3 > 0

x >3
x + 4 > 0


x 3 < 0
x < 4

x + 4 < 0
Vậy x > 3 hoặc x < 4.
Ví dụ 2: Giải bất phơng trình

2x + 10
<0
x 2 + 7x + 10

(**)

Giải: Ta có : 2x + 10 = 2(x + 5);
x2 + 7x + 10 = x2 + 2x + 5x + 10 = x(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2)(x + 5)

21




2x + 10

2(x + 5)
2
=
=
x 2 + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) x + 2

Việc giải BPT (**) đa về giải BPT

2
<0
x+2

Vì 2 > 0 x 2 < 0 x < 2
Vậy x < 2.
Ví dụ 3: Giải bất phơng trình3x2 10x 8 > 0
Giải: Ta có : 3x2 10x 8 = 3x2 -12x + 2x 8
= (3x2 -12x) + (2x 8) = 3x(x 4) + 2( x 4)
= (x 4)(3x + 2).
Đến đây việc giải BPT đa về giải BPT: ( 3x + 2)( x 4) > 0


2
3x + 2 > 0
x > 3


x>4
x 4 > 0
x > 4

2.

x
<

3x
+
2
<
0
2

x <
3

x 4 < 0
3


x < 4



Vậy x <

2
hoặc x > 4.
3

3. Bài toán rút gọn biểu thức.
a) Phơng pháp giải: Dựa trên cơ sở của tính chất cơ bản của phân thức
đại số, chúng ta phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử để xuất hiện nhân tử
chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân
tử nằm ở dới mẫu.
Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành
nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa
các kiến thức phát triển trí thông minh.
b) Ví dụ:
x 2 + y 2 z 2 + 2xy
x 2 y 2 + z 2 + 2xz
Giải: Ta phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử:
Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau A =

Tử: x 2 + y 2 z 2 + 2xy = (x 2 + 2xy + y 2 ) z 2
= (x + y)2 - z2 = (x + y + z)(x + y z)
Mẫu: x 2 y 2 + z 2 + 2xz = (x 2 + 2xz + z 2 ) y 2
= (x + z)2 - y2 = (x + y + z)(x - y + z).
A=

x 2 + y 2 z 2 + 2xy (x + y + z)(x + y - z) (x + y - z)
=
=
x 2 y 2 + z 2 + 2xz (x + y + z)(x - y + z) (x - y + z)
22


Vậy A =

(x + y - z)
.
(x - y + z)

a 3 b3 + c3 + 3abc
Ví dụ 2: Rút gọn phân thức sau: B =
(a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2
Giải: Ta xét tử: a 3 b3 + c3 + 3abc

= (a b)3 + c3 + 3abc + 3a 2 b 3ab 2
= (a b + c) (a b) 2 + (a b)c + c 2 + 3ab(a b + c)
= (a b + c)(a 2 + b 2 + c 2 2ab + ac bc + 3ab)
= (a b + c)(a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac bc)
Mẫu: (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2 = 2(a 2 + b 2 + c 2 ) + 2(ab + ac bc)
= 2(a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac bc)
2
2
2
a 3 b3 + c3 + 3abc
= (a b + c)(a + b + c + ab + ac bc)
B=
2(a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac bc)
(a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2

Vậy B =

a b+c
.
2

Ví dụ 3: Rút gọn phân thức sau :

x 3 y xy3 + y3 z yz 3 + z 3 x xz 3
C= 2
x y xy 2 + y 2 z yz 2 + z 2 x zx 2
Giải: Phân tích tử: x 3 y xy3 + y3z yz 3 + z 3 x xz 3 = (x - y)(x - z)(y - z)(x + y+ z)

Mẫu: x 2 y xy 2 + y 2 z yz 2 + z 2 x zx 2 = (x - y)(x z)(y z)

x 3 y xy3 + y3 z yz 3 + z 3 x xz 3 = (x- y)(x - z)(y - z)(x + y+ z)
C= 2
(x -y)(x - z)(y - z)
x y xy 2 + y 2 z yz 2 + z 2 x zx 2
Vậy C = (x + y + z).
4. Bài toán chứng minh về chia hết
a) Phơng pháp giải: Ta sẽ phân tích đa thức đã cho thành một tích trong
đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết cho số cần chứng minh.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (2n - 1) 3 - ( 2n - 1) luôn luôn
chia hết cho 8.
Giải:
Ta có: A = (2n 1)3 ( 2n 1)
= (2n - 1)[(2n - 1)2 - 1] = (2n - 1)(2n - 1 + 1)(2n - 1 - 1)
= (2n 1)2n (2n 2) = 4n (n 1)(2n 1).
23


Với mọi số nguyên n ta luôn có :
+ Nếu n chẵn thì n M2 4n M8 A M8 .
+ Nếu n lẽ thì (n 1) M2 4(n 1) M8 A M8 .

(2n 1)3 ( 2n 1) luôn luôn chia hết cho 8 với n .
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng x Z ta có biểu thức:
P = ( 4x + 3) 2 25 chia hết cho 8
Giải:
Phân tích P = ( 4x + 3) 2 25 = (4x + 3 25)(4x + 3 + 25)
= (4x 22)(4x + 28) = 2(2x 11).4(x + 7)
= 8 (2x 11)(x + 7).
P = 8( 2x 11)( x + 7) M8.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: n Z thì biểu thức

n n 2 n 3 là số nguyên
+ +
3 2 6

2
3
2n
+
3n
+
n
HD: Biến đổi biểu thức về dạng
và chứng minh ( 2n + 3n2 + n3)
6

chia hết cho 6.
Giải: Ta có:

n n 2 n 3 = 2n + 3n 2 + n 3 ;

+ +
3 2 6
6

2n + 3n2 + n3 = n(2 + 3n + n2) = n( n + 1)( n + 2).
Mà n(n + 1)(n +2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp. Vì vậy ít nhất có một thừa số
chia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên tích này chia hết cho 6
2
3
Vậy n Z thì biểu thức n + n + n là số nguyên.

3

2

6

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi n N, 45n 3 45n 45n +1 chia hết cho 45.
Giải: Ta có : 45n 3 45n 45n +1 = 45(n 3 n 45n )
Ta có: 45 M
M45

45(n 3 n 45n ) M45

Vậy 45n 3 45n 45n +1 chia hết cho 45.
Kết luận: Trên đây là 4 dạng toán điển hình thờng áp dụng kỹ năng phân
tích đa thức thành nhân tử để giải. Ngoài 4 dạng này còn có một số bài tập khác
nh : tính nhẩm, tính giá trị biểu thức, giải hệ phơng trình cũng vận dụng phơng
pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Với những bài tập vận dụng này đã giúp
học sinh phát triển t duy, óc sáng tạo tìm tới phơng pháp giải toán nhanh hơn,

thông minh hơn. Qua những bài tập này giúp học sinh biết vận dụng các phơng
pháp thích hợp để giải bài tập một cách chính xác và nhanh nhất.

24


PHỤ LỤC 2. Giáo án các tiết dạy trước và sau tác động, bảng điểm trước và sau
tác động của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm.
+ Giáo án lớp đối chứng:
Tuần 5
Tiết 9 :

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

Ngày soạn:15/9/2016
I. MỤC TIÊU:
a. Kiến thức: - Học sinh nêu lên được thế nào là phân tích đa thức thành nhân
tử. HS trình bày được PTĐTTNT bằng p2 đặt nhân tử chung
b. Kỹ năng: - Tìm được các nhân tử chung và đặt nhân tử chung. Biết cách
vận dụng phương pháp đặt nhân tử chung vào các dạng toán tìm x, chia hết …
c. Thái độ: - Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận. Có tinh thần hợp tác
trong học toán.
d. Năng lực: Rèn luyện cho các em năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao
tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tính toán.
II. CHUẨN BỊ :
*Giáo viên: Bảng phụ.. Bài tập in sẵn
* Học sinh: Bài tập về nhà. Thuộc các hằng đẳng thức đã học
III. TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC:
Tg

6’

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS
1/ Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

25

Ghi bảng