Các bài toán tìm tập hợp điểm

Các bài toán tìm tập hợp điểm

Bài 1: Cho đ-ờng tròn (O; R) và tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp đ-ờng
tròn (O; R) Kẻ đ-ờng kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Mx
là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MC.
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của của góc BMx.
b) Gọi K là giao thứ hai của đ-ờng thẳng DC với đ-ờng tròn (O). Tứ giác
MIKD là hình gì? vì sao?
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M di động
trên cung nhỏ AC thì G luôn nằm trên một đ-ờng tròn cố định.
d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đ-ờng thẳng AD với đ-ờng tròn (O). P là
giao điểm thứ hai của phân giác góc IBM với đ-ờng tròn. Chứng minh rằng, đ-ờng
thẳng DP luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.
H-ớng dẫn:
a)

Góc

AMB

=
D

x

(1/2)sđAB (góc nội tiếp

A

(O) chắn AB )
Góc AMx = 180độ -

G
M

N

Góc AMC = 180độ (1/2)sđcungABC

O

=

(1/2)sđcungAC
=(1/2)sđcungAB

K
B

C

Vậy: Góc AMB =
Góc AMx hay MA là tia

I

phân giác của Góc BMx
b) +Tam giác MCD cân => Góc MCD = Góc MDC = (1/2)Góc BMC ( góc
ngoài của tam giác)
lại có Tam giác ABC cân => I là điểm chính giữa của cung BC => Góc IMC =
Góc IMB = (1/2)Góc BMC

vậy Góc MCD = Góc IMC => IM song song với CD


+ Góc MCD = Góc MDC = Góc BMI => BI = MK =>Góc MIK = Góc IMB
=> IK song song với MD
Vậy MIKD là hình bình hành.
c) D thuộc đ-ờng tròn (A; AC)
Gọi N là điểm trên AI sao cho NA = (1/3)AI.=> NG = (2/3)AD = (2/3)AC =
hs
=> G thuộc đ-ờng tròn (N; (2/3)AC)
---------------------------Bài 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đ-ờng tròn (O; R). Gọi D là điểm chính
giữa của cung BC không chứa A. Vẽ đ-ờng tròn qua D và tiếp xúc với AB tại B.
Vẽ đ-ờng tròn qua D và tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai của hai
đ-ờng tròn này.
a) Chứng minh 3 điểm B, C, E thẳng hàng.
b) Một đ-ờng tròn tâm K di động luôn đi qua A và D, cắt AB, AC theo thứ tự
tại M và N. Chứng minh rằng BM = CN.
c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.

A

M

K

I
E
B

C

D

N
y

x

H-ớng dẫn:


a) + góc BED = góc DBx = góc ACB
+ góc CED = góc DCy = góc ABD
=> góc BEC = gócABD + gócACD = 180 độ.
=> B, E, C thẳng hàng.
b) cung BD = cung DC => góc BAD = góc CAD => cung DN = cung DM
=> DM = DN
cung BD = cung DC => DB = DC
góc DCN = góc DBM
=> Tam giác BMD = tam giác CND => BM = CN.
c) Tính đ-ợc DI = 2KD sin2 (A/2) =>(DI/DK) =2 sin2(A/2) =hs
K thuộc trung trực của AD => I thuộc đ-ờng thẳng vuông góc với AD cắt AD
tại P sao cho (DP/DA )=sin2(A/2)
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động
trên các cạnh AB, AC sao cho AM = CN.
a) Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố
định khác A.
b) Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
A

M

H-ớng dẫn:

I

a) Đ-ờng cao AH cắt đ-ờng tròn ngoại
tiếp tam giác AMN tại P
P

=> tam giác AMP = tam giác CNP =>

N

PA = PC
=> P là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC => P cố định.

C

B
H

b) Tâm I của đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN nằm trên đ-ờng trung trực
của AP.


Bài 4. Tìm quỹ tích đỉnh C các tam giác ABC có AB cố định, đ-ờng cao BH
bằng cạnh AC.
E

C

H

H-ớng dẫn:
Kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với AB tại A,
trên đó lấy E sao cho AE = AB

A

=> tam giác ACE = tam giác BHA
=> góc ACE = 90 độ => C thuộc cung chứa góc 90 độ dựng trên AE.

Bài 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, góc A =450, góc B = góc C = 900.
a) Chứng minh rằng BD cố độ dài không đổi.
b) Gọi E là giao của BC và AD, F là giao của DC và AB. Chứng minh EF có
độ dài không đổi.
c) Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

B


F
B

H

C
O
J

H-ớng dẫn:
a) góc B = góc D = 90 độ

A

=> B, D thuộc đ-ờng tròn

D

E

I

đ-ờng kính AC
góc A = 45 độ => BD = R
2 = hs.

b) Tam giác CDE vuông cân => CD = ED
tam giác ADF vuông cân => DA = DF
=>Tam giác ACD = tam giác FED
=> EF = AC = hs
c) Trung trực của AF cắt trung trực của AE tại J, cắt (O) tại H và I
=> H, I là điểm chính giữa của hai cung AC => H, I cố định.
góc HJI = góc BCD = 135 độ
=> J thuộc cung chứa góc 135 độ dựng trên HI.
Bài 6: Cho đoạn thẳng AB cố định. Một điểm M di động trên đoạn AB. Dựng
về cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đ-ờng thẳng AB các hình vuông AMDE,
MBGH. Gọi O, O' t-ơng ứng là tâm các hình vuông trên.
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn OO'.

b) Chứng minh rằng AH và EG đi qua giao điểm N khác M của các đ-ờng tròn
ngoại tiếp các hình vuông AMDE và MBGH.
c) Chứng minh rằng đ-ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 7: Cho hai đ-ờng tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và D có các đ-ờng
kính AOB và AO'C vuông góc với nhau tại A. Một đ-ờng thẳng d đi qua A và cắt


các nửa đ-ờng tròn không chứa điểm D của (O), (O') t-ơng ứng tại các điểm M,
N khác A.
a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác CAN đồng dạng.
b) Tìm quỹ tích giao điểm P của OM và O'N khi d di động.
c) Tiếp tuyến M của (O) cắt AD tại I. Chứng minh rằng: IM2 = IA. ID.
d) Tìm vị trí của cát tuyến d để cho tiếp tuyến tại M của (O) và tiếp tuyến tại
N của (O') cắt nhau tại một điểm thuộc đ-ờng thẳng AD.
d) Xác định vị trí của d sao cho tứ giác MNCB có diện tích lớn nhất. Tìm giá
trị lớn nhất đó theo R và R'.
I

H-ớng dẫn

M

A

a) Tam giác AMB
và tam giác CAN đồng

N

dạng

O'

O

b) góc PMA + góc
PNA = góc OAM + góc
O'AN = 90 độ
=> góc OPO' =90

P
B

C

D

độ => P thuộc đ-ờng
tròn đ-ờng kính OO'
c) Tam giác IMA và tam giác IDM đồng dạng
=> IM2 = IA.ID
d) t-ơng tự câu c giả sử tiếp tuyến tại N của (O') cắt AD tại I' => I'M2 = I'A.I'D
. Vậy I trùng I' <=> IM = I'N <=> I thuộc trung trực của NM
Vậy khi I là giao của AD và trung trực của MN thì tiếp tuyến tại M của (O) và
tiếp tuyến tại N của (O') cắt nhau tại một điểm thuộc đ-ờng thẳng AD.
e) diện tích Tứ giác BMNC lớn nhất <=> (SBMA +SANC)min <=> (SBMA)min <=>
(BM.AM)min lại có: BM2 + AM2 = R2 vậy: BM.AM
<=> d tạo với AB một góc 45 độ

R2

dấu bằng khi BM = AM
2


Khi đó diện tích tứ giác BMNC là:





1
R.R' R 2 R' 2 .
2

Bài 8: Một điểm A đi động trên nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính BC cố định. Đ-ờng
thẳng qua C song song với BA cắt đ-ờng phân giác ngoài của góc BAC của tam
giác ABC tại D. Tìm quỹ tích D.
D
j
E
A

B

O

C

H-ớng dẫn
AD cắt (O) tại E => E cố định

lại có góc CDE = 45 độ
Vậy D thuộc cung chứa góc 45 độ dựng trên CE.

Bài 9: Cho đ-ờng tròn (O; R) cố định và đ-ờng thẳng d cắt (O; R) tại hai điểm
A, B cố định. Một điểm M di động trên d và ở bên ngoài đoạn AB. Vẽ các tiếp
tuyến MP và MN với (O; R). Gọi N, P là hai tiếp điểm.
a) Chứng minh rằng khi M di động, đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn
đi qua hai điểm cố định.
b) Tìm quỹ tích tâm I của đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
c) Trình bày cách dựng điểm M sao cho tam giác MNP là tam giác đều.
H-ớng dẫn:


a) Giả sử (I) cắt AB tại H khác M => góc OHM = 90 độ => HA = HB hay H
cố định. Vậy (I) đi qua O và H cố định.
b) IO = IH => I thuộc trung trực của OH.
c) Tam giác MNP đều <=> góc OMN = 30 độ <=> OM = 2ON = 2R Vậy M
thuộc (O; 2R)

P

O
I
A

d

B
H

M
N

Bài 10: Cho hình vuông ABCD cố định. Một điểm I di động trên cạnh AB (I
khác A và B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đ-ờng thẳng CI cắt đ-ờng thẳng AE tại M.
Đ-ờng thẳng BM cắt đ-ờng thẳng DE tại F. Tìm quỹ tích điểm F.


E

H-ớng dẫn:
Trên BC lấy G sao cho AI = BG => AI
vông góc với ED
M

áp dụng định lí Meleneut trong tam giác

F

AEB với 3 điểm thẳng hàng C, I, M có

lại có

CB CD IB


CE CE BE

B

A

CB IA ME
1 1
CE IB MA

I

thay vào (1) =>

ME BE BE
=> MB song song với AG hay


MA IA BG

G

góc DFB vuông
Vậy F thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính BD (
D

cung nhỏ AB ).

C

Bài 11: Cho đ-ờng tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đ-ờng tròn. Điểm
M l-u động trên tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với
(O; R). Gọi tiếp điểm là B.
a) Tìm quỹ tích tâm các đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMB.

b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMB.

B

O
H

E

H-ớng dẫn:
a) Đ-ờng tròn ngoại
tiếp tam giác AMB là
đ-ờng tròn đ-ờng kính
OM
=> E thuộc trung trực của OA

A

M


b) Tứ giác AOBH là hình thoi => AH = R. Vậy H thuộc đ-ờng tròn (A; R) (
thuộc nửa mặt phẳng bờ xy chứa B)
Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đ-ờng tròn tâm O. Đ-ờng phân giác của
góc A cắt đ-ờng tròn tại điểm D. Một đ-ờng tròn (L) thay đổi nh-ng luôn đi qua
hai điểm A và D. (L) cắt hai đ-ờng thẳng AB, AC ở giao điểm thứ hai là M, N (có
thể trùng với A).
a) Chứng minh rằng: BM = CN.
b) Tìm quỹ tích trung điểm K của MN.
H-ớng dẫn:

A

a) góc BAD = góc DAN => DB =
DC; DM = DN

L

lại có góc MBD = góc NCD; góc

M

BMD = góc NCD => góc BDM = góc
CDN

K
C

B

vậy tam giác BDM = tam giác CDN
D

=> BM = CN.

N

b) T-ơng tự câu c bài 2

Bài 13: Cho góc vuông xOy. Một chiếc êke ABC tr-ợt trong mặt phẳng của

góc xOy sao cho đỉnh B di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh C di chuyển trên cạnh Oy
và đỉnh góc vuông A di chuyển trong góc xOy. Tìm quỹ tích điểm A.
x

H-ớng dẫn:

B
A

Tứ giác OBAC nội tiếp => góc yOA =
góc CBA =
Vậy A thuộc tia tạo với tia Oy một góc
( phần nằm trong góc xOy )

O

C

y


Bài 14: Cho đ-ờng tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài
đ-ờng tròn. Vẽ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC bất kì (A, B, C trên (O; R)). Gọi
H là trực tâm của tam giác ABC. Khi cát tuyến PBC quay quanh P.
a) Tìm quỹ tích điểm đối xứng của O qua BC.
b) Tìm quỹ tích điểm H.
A
K

H

O
C

B

P

O'

H-ớng dẫn:
a) ta có PO' = PO = hs; P cố định => O' thuộc đ-ờng tròn ( P; PO)
b) Tứ giác OO'HA là hình bình hành vẽ hình bình hành AOPK => K cố định.
=> HO'PK cũng là hình bình hành => HK = O'P = OP = hs. Vậy H thuộc đ-ờng
tròn (K; OP).
Bài 15: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đ-ờng thẳng d quay quanh O cắt
hai cạnh AD và BC lần l-ợt tại E và F ( E và F không trùng với các đỉnh của hình
vuông). Từ E, F lần l-ợt vẽ các đ-ờng thẳng song song với DB, AC chúng cắt nhau
tại I.
a) Tìm quỹ tích I.
b) Từ I vẽ đ-ờng thẳng vuông góc với EF tại H. Chứng tỏ H thuộc một đ-ờng
cố định và đ-ờng thẳng IH đi qua một điểm cố định.
Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên cạnh BC. Vẽ
PQ song song với AC ( Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB ( R thuộc AC). Tìm
quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR.


Bài 17: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B t-ơng ứng thuộc tia Ox, Oy sao
cho OA = OB. Một đ-ờng thẳng d đi qua A và cắt OB tại M nằm giữa O và B. Từ
B hạ đ-ờng thẳng vuông góc với AM cắt AM tại H và cắt đ-ờng thẳng OA tại I.
a) Chứng minh rằng OI = OM và tứ giác OMHI nội tiếp.

b) Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh rằng OK = HK.
c) Tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB.
Bài 18: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O) và M di động trên cung
BC.
a) Trên tia đối của tia CM, lấy đoạn CE = MB. Tìm tập hợp các điểm E khi M
di động.
b) Trên tia đối của tia MC, lấy đoạn MF = MB. Tìm tập hợp các điểm F khi M
di động.
Bài 19: Cho hai đ-ờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một
cát tuyến (d) bất kì qua B cắt (O0 tại C và (O') tại C'. Tìm tập hợp trung điểm I của
đoạn CC' khi d quay quanh B.
Bài 20: Cho hai đ-ờng thẳng xx' và yy' vuông góc với nhau tại O và một điểm
P cố định. Một góc vuông đỉnh P quay quanh P. các cạnh của góc vuông này cắt
xx' tại A và yy' tại B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
Bài 21: Trên mỗi bán kính OM của đ-ờng tròn (O) lấy đoạn OI bằng khoảng
cách từ M đến đ-ờng kính cố định AB. Tìm tập hợp các điểm I.
Bài 22: Cho đ-ờng tròn (O) cố định và một dây AB cố định. Trên cung nhỏ
AB, ta lấy điểm C di động. Tìm tập hợp tâm I của đ-ờng tròn nội tiếp tam giác
ABC.


Bài 23: Cho đ-ờng tròn (O) và một dây AB cố định. Kể một dây AC. Trên
đ-ờng thẳng AC lấy hai điểm M, M' sao cho CM = CM' = CB, M nằm ngoài đ-ờng
tròn. Tìm tập hợp các điểm M và M' khi C vạch cung AB.
Bài 24: Cho đ-ờng tròn (O; R), 2 điểm B, C cố định trên (O) và một điểm A
di động trên (O). Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác ABC.
Bài 25: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao
cho hình chiếu của M trên ba cạnh của tam giác là ba điểm thẳng hàng.
Bài 26: Cho đoạn thẳng AB và M là điểm tuỳ ý trên đoạn AB. Dựng trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ là đ-ờng thẳng AB các hình vuông ANCD và BMEF. Các

đ-ờng tròn ngoại tiếp chúng tâm P và Q cắt nhau tại M và N.
a) Chứng minh rằng: AE, BC đi qua N.
b) Chứng minh rằng: MN đi qua một điểm cố định khi M di động.
c) Tìm tập hợp trung điểm I của PQ khi M di động.
Bài 27: Cho đ-ờng tròn (O; R) và một điểm P cố định trong đ-ờng tròn không
trùng với O. Qua P dựng dây cung APB, các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau
tại M. Tìm tập hợp các điểm M khi dây AB quay quanh P.

Bài 32: Hai đ-ờng tròn (O) và (O') giao nhau tại A và B. Một cát tuyến di động
qua A cắt (O) tại C và (O') tại D. Tìm tập hợp tâm I của các đ-ờng tròn nội tiếp
tam giác BCD.

Bài 33: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O; R) có AB = AC = R 2
a) Tính độ dài BC theo R
b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đ-ờng thẳng AM cắt đ-ờng thẳng
BC tại D. Chứng minh rằng AM.AD luôn luôn là hằng số
c) Chứng minh tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một
đ-ờng cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.


A

H-ớng dẫn:
a) BC là đ-ờng kính của
(O).
b) Tam giác AMC đồng
dạng với tam giác ACD =>
AM.AD = AC2 = R 2 .
c) góc ACM = góc MDC =
1/2 sđ cung CM => AC là tiếp

tuyến của ( I ) => IC vuông
góc với AC cố định => I thuộc
đ-ờng thẳng qua C và vuông
góc với CA.

M
I

B

O

C

D

Bài 34: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đ-ờng thẳng (d) quay quanh O
cắt AD, BC tại E, F. Từ E, F lần l-ợt vẽ các đ-ờng thẳng song song với DB, AC
chúng cắt nhau tại I.
a) Chứng minh rằng I thuộc một đ-ờng thẳng cố định
b) Từ I kẻ IH vuông góc với EF tại H. Chứng minh H thuộc một đ-ờng cố
định và IH đi qua một điểm cố định.
K

A

I

B

F
E

D

O

H

C