KỈ THUẬT GIẢI NHANH MÔN TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO

Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)

CASIO
Biên soạn: Đào Trọng Anh – FB: Đào Trọng Anh
(mọi ý kiến đóng góp về tài liệu liên hệ: 0973038256)
(Bài giảng nội bộ. Nghiêm cấm dùng với mục đích thương mại)

DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN
1.1. Giới hạn đến 1 số:
Phương pháp: Nhập biểu thức và ấn CALC:
x2  4x  3
VD1. Tính giới hạn: lim
x 1
4x  5  3
Quy trình:
x2  4 x  3
1. Nhập:
2. Ấn CALC và điền 1,000001
4x  5  3
Đáp án là: 3
VD2. Tính lim
x 2

3. Kết quả:

x3  2 x 2  4 x  8
x 4  8 x 2  16

Quy trình:

x3  2 x 2  4 x  8

x 4  8 x 2  16
1
Đáp án là:
4
1. Nhập:

VD3. Tính lim

x 3

2. Ấn CALC và điền 2,000001

3. Kết quả:

x  3  2x
x2  3x

Quy trình:
x  3  2x
2. Ấn CALC và điền 3, 0000001
x 2  3x
4. Ấn 0, 222222222222222222222 và ấn =
2
Đáp án là: 
9

1. Nhập:

3. Kết quả:

1.2. Giới hạn đến vô cùng:
Phương pháp: Nhập biểu thức và ấn CALC:
VD1. Tính giới hạn: lim

x 



x 2  2 x  1  3 x3  x  1



Quy trình:
1. Nhập: x2  2 x  1  3 x3  x  1
Đáp án là: 1

VD1. Tính giới hạn: lim

x 

2. Ấn CALC và điền 1000000

4x2  2x  1  2  x
9 x 2  3x  2 x

Quy trình:
1

3. Kết quả:

Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)
1. Nhập:

4 x2  2x  1  2  x
9 x 2  3x  2 x

2. Ấn CALC và điền  1000000

3. Kết quả:

Đáp án là: 3

LUYỆN TẬP
1. lim

x2  5 x  4

x 4

x5 3

x2  4 x  4 x2  3
x 1

2. lim

x 

3. lim

x 



x3  2 x2  x  1  x



A. 32

B. 20

C. 16

D. 18

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

A. 3

B. 2

C. 

D. 

DẠNG 2. TÍNH TÍCH PHÂN
Không có gì đặc biệt chỉ là bấm máy thôi.
Làm sao để máy tính ra nhanh.
Tốt nhất các em nên có 2, 3 cái máy tính.
e

VD1. Tính tích phân: I 

ln x

 x(2  ln x)

2

dx

1

A.

1
3
 ln
3
2

1

3
B.   ln
3
2

1
3
C.   2ln
3
2

2
3
D.   ln
3
2

QUY TRÌNH:
e

Máy tính thứ nhất bấm tính: I 

ln x

 x(2  ln x)

2

dx

1

-

Nếu lâu ra kết quả để đấy làm câu khác. Máy tính 2 dùng làm câu khác

-

Nếu đã ra kết quả
o

Để nguyên máy tính 1.

o

Lấy Máy tính 2 bấm từng kết quả từ đáp án : C  B  D  A

o

Xem đáp án nào giống máy tính 1 thì chọn

o

Đáp án câu trên là B.

NHÀ CÓ 1 MÁY TÍNH THÌ ĐI MƯỢN THÊM 1-2 CÁI ĐI NHÉ.

VD2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hình : y   x 2  2 x  1 và y  2 x 2  4 x  1
QUY TRÌNH:
Bước 1. Giải:  x 2  2 x  1  2 x 2  4 x  1  x  0, x  2

2

Bước 2. Nhập vào :

 ( x

2

 2 x  1)  (2 x 2  4 x  1) dx

0

Bước 3. Kết quả là 4
2


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)
Nếu đợi thấy lâu thì dùng máy tính 2 làm câu khác rồi quay lại.

a

VD3. Tìm a  0 sao cho

x

 xe 2 dx  4
0

Điền vào chỗ trống………..

QUY TRÌNH:
X

X

Các em nhập  Xe 2 dx vào máy tính
0

Thầy đoán chắc a cùng lắm là từ 1 đến 10. Các em ấn CALC để thử nhé.
Bên phải CALC khi X  2 . Vậy đáp án là a = 2.

LUYỆN TẬP:
3

x

1. Tính tích phân:

3

x 2  1dx

0

58
A.
15

B.

11
21

C.

45
14

D.

31
13

C.

11 

2 3

D.

8 

15 4


2

2. Tính tích phân I 

  cos

3

x  1 cos 2 xdx

0

11 
A.

2 3

B.

1 

2 4

2

3. Tính tích phân

 ( x  2) ln xdx
1

5
A. 2 ln 2 
4

B. 2 ln 2 

5
4

C. 2 ln 2 

5
4

D. 2 ln 2 

5
4

4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y  (e  1) x và y  (1  e x ) x .
e
e
e
e
A.  1
B.   1
C.   1
D.  1
2
2
2
2

DẠNG 3. TÍNH ĐẠO HÀM

Chỉ là bấm máy thôi.
VD1. Cho hàm số: y 

2x  1
. Giá trị y '(0) bằng:
x 1

A.  1

QUY TRÌNH:
Nhập

d  2x  1 
như hình bên: (ấn nút Shift + tích phân)


dx  x  1  x  0

3

B. 0

C. 3

D.  3


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)

Đáp án là: 3

VD2. Cho hàm số: f ( x ) 

x2
x2  5

. Tính f '( 2)

QUY TRÌNH:
Làm như trên. Đáp án là

1
3

Các em tự luyện tập với các ví dụ sau:
1. Cho y  x 3  4 x 2  8 x  1 . Tính y '( 5)
A. 102
B. 107
C. 100
x2  4x  3
2. Cho y 
. Tính y '(4)
x2
6
4
7
A.
B.
C.
11

3
8
3. Cho y  x ln x . Tính y '(e)
A. 2
B. 3
C. 2

D. 101

D.

7
12

D. 4

DẠNG 4. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
VD1. Giải phương trình lượng giác: sin 3 x  sin x  cos 3 x  cos x

 x  k
A.  
 x   k

8

 
 x  2  k
B. 
 x    k
8



 
 x  2  k 2
C. 
 x    k

4

 
 x  2  k
D. 
 x    k

4

QUY TRÌNH:
Bước 1. Nhập: sin 3 x  sin x  cos 3 x  cos x
Bước 2. Ấn CALC rồi nhập

   
, , , ,  ,… Ấn “=”. Kết quả bằng 0 là nghiệm, khác 0 là loại. Các em tính
4 2 4 8

toán dần dần loại nghiệm đi nhé.
Khoan đã. Nhớ đổi Shift + Mode + 4 chuyển sang rad trước nhé. Không là không thấy đáp án nào đúng :))

Đáp án câu này là B nhé.
Đây là câu trong đề mẫu.

Các em tự luyện tập với ví dụ 2.
Trong trường hợp 4 có 2 đáp án đều thỏa mãn thì ấn CALC thêm với nghiệm ứng với k  10,11,...

VD2. Giải phương trình lượng giác: sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x

4


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)



 x   8  k
A. 
 x    k 2

3
3

 
 x  2  k
B. 
 x    k

4

 
 x  2  k 2
C. 
 x    k 2


3
3

2
 
x  3  k 3
D. 
 x     k 2

2

QUY TRÌNH: làm như trên
Đáp án là C

LUYỆN TẬP:
1. Giải phương trình lượng giác:
A.


 k
6

B.

3(1  cos 2 x )
 cos x
2 sin x



 k
3

C. 


 k
3

D. 


 k
6

2. Phương trình: sin 3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin 2 x cos x có nghiệm là

 k

x   4  2
A. 
 x    k

3

 k

x  4  2
B. 
 x     k


3

3. Giải phương trình lượng giác:



 x   6  k 2
A. 
 x     k 2

18
3

3 k

x  4  2
D. 
 x     k

3

 k

x   4  2
C. 
 x     k

2

3 cos 2 x  2 cos x(sin x  1)  0



 x  6  k 2
B. 
 x     k 2

18
3



 x  3  k 2
C. 
 x    k 2

18
3



 x  6  k 2
D. 
 x    k 2

18
3

DẠNG 5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

VD1. Phương trình: 4 x

x  0
A. 
x  2

2

x

 2x

 x  1
B. 
x  1

2

 x 1

 3 có nghiệm là:

x  0
C. 
x 1

x  1
D. 
x  2

QUY TRÌNH:
Bước 1. Nhập 4 x

2

x

 2x

2

 x 1

 3  SOLVE (các em ấn Shift + CALC, dưới nút shift)

Sẽ ra X  0

Bước 2. Replay, đóng mở ngoặc rồi chia biểu thức trên cho X:
Sẽ ra X  1

4

x2  x

 2x

2

 x 1



3 :X

Đáp án là C

VD2. Cho phương trình: log 4 (3.2 x  8)  x  1 có hai nghiệm x1 , x2 . Tìm tổng x1  x2
Giải: Trước tiên chuyển về:
5


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)
3.2 x  8  4 x1

QUY TRÌNH:
SOLVE hai lần như trên nhé.
Ra x  2 hoặc x  3
Một số máy tính đểu không ra nhé.
Đáp án điền vào là 5.

VD3. Phương trình log 2 (3x  2)  3 có nghiệm là:
A. x  2

B. x 

10
3

C. x 

11
3

D. x  3

QUY TRÌNH:
Bước 1. Nhập log 2 (3x  2)  3
Bước 2. Shift + SOLVE: Kết quả như bên phải:
Bước 3. Nhập X và ấn dấu bằng

CÁC CÂU KHÁC CŨNG LÀM VẬY NHÉ

LUYỆN TẬP
1. Phương trình 3x  7 x  48 x  38 có có hai nghiệm x1 , x2 . Giá trị của x12  x22 là
Điền vào chỗ trống………..

2. Giải phương trình: 8.3x  3.2 x  24  6 x
x  1
A. 
x  3

x  0
B. 
x  3

x  5
C. 
x  2

x  6

D. 
x  5

3. Cho phương trình log 22 x  5 log 2 x  4  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tích x1 x2
A. 22

4. Phương trình
1

x  5
A. 
x  1

25

B. 16

C. 32

D. 36

1
2

 1 có nghiệm là:
4  log 5 x 2  log 5 x

1

 x  25

B. 
x  1

125

x  5
C. 
 x  25

 x  125
D. 
 x  25

DẠNG 6. XÁC SUẤT
Dạng này không có cách giải nhanh đâu nhé. Chủ yếu là tư duy trong đầu.
6


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)
VD1. Trong một hộp có 5 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Lấy ra 4 viên bất kỳ. Xác suất để 4 viên bi được chọn
có đủ hai màu là:
A.

8
15

4
11

B.

C.

8
11

D.

31
33

Cách làm là lấy tổng trừ đi trường hợp chỉ có 1 màu:
1

C54  C64
4
11

C



31
33

Đáp án là C.
Phần này thầy nhắc lại là không có Casio nào hết nhé. Chủ yếu tư duy trong đầu rồi bấm máy tính ra.
CÁC EM LUYỆN TẬP VỚI CÁC BÀI TẬP SAU NHÉ.
BT1. Trong một lớp gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng
làm bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.

A.

441
562

B.

443
506

C.

506
607

D.

500
597

BT2. Cho 2 hộp chứa bi. Hộp thứ nhất có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 2 bi đỏ và 4 bi
trắng. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất để lấy ra hai viên bi cùng màu.
A.

50
65

B.

31

35

C.

19
26

D.

10
21

BT3. Một hộp chứa 16 thẻ đánh số từ 1 đến 16. Chọn ngẫu nhiên 2 thẻ. Tính xác suất để tích hai thẻ nhân với
nhau là số chẵn.
A.

20
27

B.

23
30

C.

23
27

D.

DẠNG 7. TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
TRƯỚC TIỄN CÁC EM CẦN BIẾT 1 SỐ LỆNH LIEN QUAN ĐẾN VECTƠ
1) Mode + 8: chuyển sang môi trường vectơ.
2) Mode + 8 + 1 + 1 : Nhập dữ liệu cho vectơ A
3) Mode + 8 + 2 + 1: Nhập dữ liệu cho vectơ B
4) Mode + 8 + 3 + 1: Nhập dữ liệu cho vectơ C
5) Shift + 5 + 1 : Nhập dữ liệu lại cho các vectơ A, B, C
6) Shift + 5 + 2 : Truy cập dữ liệu các vectơ A, B, C
7) Shift + 5 + 3/4/5 : Trích xuất vectơ A, B, C ra ngoài màn hình
8) Shift + 5 + 6: Vectơ kết quả phép tính
9) Shift + 5 + 7: Tích vô hướng
7

10
23


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)
10) VctAVctB: tích có hướng (Nhập liền nhau không dấu)
11) Abs: độ dài vectơ/giá trị tuyệt đối.

VD1. Cho A(1; 0;1), B (2; 2; 2), C (5; 2;1), D (4; 3; 2) . Tính thể tích tứ diện ABCD:
Điền vào chỗ trống: …..
Giải:
QUY TRÌNH:
Bước 1. Mode 8

  
Bước 2. Nhập thông số cho các vectơ AB , AC , AD

Bước 3. Ra ngoài màn hình nhập: (1:6)xAbs ((VctAVctB )VctC ) Rồi ấn “=”
Kết quả điền là 4 nhé.

Phần này các em mày mò thêm nhé. Thầy diễn giải chi tiết thì dài quá, còn hướng dẫn các câu khác nữa.

VD2. Tính khoảng cách từ điểm A(1;2;1) đến đường thẳng  :

A.

5 5
2

B.

5 5
3

C.

5 5
4

D.

x  2 y 1 z 1


1
2

2

5

QUY TRÌNH:
Bước 1. Mode 8

u , AM 



Bước 2. Công thức sẽ là d ( A,  ) 
u

Vectơ chỉ phương u   (1; 2; 2)

M ( 2;1; 1)    AM  (3; 1; 2)


Bước 3. Lấy máy tính nhập các thông số cho u   (1; 2; 2) và AM  (3; 1; 2)
Bước 4. Nhập Abs(VctAVctB):AbsVctA
5 5
Kết quả là 3.72677… 
3

VD4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
x 1 y  3 z  4
x  2 y 1 z 1
d1 :





và d 2 :
2
1
2
4
2
5
8


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)

11
A.

5

B. 3 5

C.

5
5

5

D.

QUY TRÌNH:


 

+ Bước 1. Mode 8. Công thức sẽ là d (d1 , d 2 ) 

u1 , u2  .M1 M 2
 
u1 , u2 



+ Bước 2. Nhập dữ liệu u1  (2;1; 2) , u2  (4; 2; 5) vào vectơ A và vectơ B

Lấy hai điểm M 1 (1; 3; 4), M 2 (2;1; 1) và nhâp nốt M 1 M 2  (3; 4; 5) vào vectơ C

+ Bước 3. Nhập Abs((VctAVctB)  VtcC) : Abs(VctAVctB)
+ Bước 4. Đáp số là 4.9193349.... 

11
5

ĐÁP ÁN A

LUYỆN TẬP 4
BT1. Tính thể tích tứ diện ABCD với A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 0;1), D( 2;1; 1) ..
A. 1

B. 2

C.

1
3

D.

1
.
2

D.

1
.
6

BT2. Tính thể tích tứ diện ABCD với A(1; 6; 2), B (4; 0; 6), C (5; 0; 4), D(5;1;3) ..
A.

1
3

B.

2
3

C. 3

BT3. Tính khoảng cách từ điểm A( 1;3; 4) tới d :
A.

854
2

B.

454
14

x 1 y z  2


-3 ;-4 ;-6
2
3
1

C.

854
14

D.

874
14

D.

8

 x  1  2t

BT4. Tính khoảng cách từ điểm A(0; 1; 3) tới d :  y  2
 z  t


A.

3

B. 14

BT5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

A.

14
42

B.

13
4

C.

6

x  1  t
x y 1 z  6

d1 : 

và d 2 :  y  2  t
1
2
3
z  3  t


C.

21
24

D.

22
16

DẠNG 8. SỐ PHỨC
VD . Cho số phức z  (2  i)(1  i)  1  3i . Môđun của số phức z là :
A. 2 5

B. 13

C. 4 2
9

D. 2 2


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)
QUY TRÌNH:
+ Bước 1. Mode 2.
+ Bước 2. Nhập (2  i)(1  i)  1  3i  Ấn dấu "="
+ Bước 3. Nhập Abs(Ans)
+ Bước 4. Kết quả như hình bên
Chưa đầy 10s ra kết quả.

VD1. Cho số phức z thỏa mãn z  (1  i ) z  5  2i

A.2 2

Môdun của z là

B. 5

C. 10

D. 2

QUY TRÌNH:
+ Bước 1. Mode 2.
Chúng ta đặt z  x  yi

+ Bước 2. Nhập: ( x  yi )  (1  i )( x  yi )  5  2i
+ Bước 3. CALC với X = 1000, Y= 100. Ta được kết quả như sau:
Phân tích kết quả:
2095  2000  100  5  2 x  y  5

998  1000  2  x  2

2 x  y  5  0  x  2
Bấm máy giải hệ: 

. Môđun z là
x  2  0
y 1

22  12  5

Các em tự thực hành với ví dụ sau

VD2. Cho z  thỏa mãn (1  i ) z  (2  i ) z  4  i . Tìm phần thực của z.
Điền vào chỗ trống…….
Đáp án là z  2  i . Phần thực là 2.

VD3. Tìm số phức z thỏa mãn (1  i ) 2 (2  i ) z  8  i  (1  2i ) z
A. 3  5i

B. 1  i

C. 2  3i

D.  2  4i

Cái này đơn giản nhé.
QUY TRÌNH:
+ Bước 1. Nhập (1  i ) 2 (2  i ) X  8  i  (1  2i ) X
+ Bước 2. CALC nhập 4 đáp án vào xem cái nào đúng. CALC dùng được cho cả số phức.

VD4. Tìm tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  2  i  z  3i
A. y   x  1

B. y  x  1

C. y   x  1

D. y  x  1

10


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)

Quy trình đặt z  x  yi .
Nhập X  Yi  2  i  X  Yi  3i rồi thử CALC. Kết quả ra 0 là đúng.
Với đáp án C. Ta CALC với X  100, Y  101 được 2, 828.... Như vậy C sai.
Với đáp án B. Ta CALC với X  100, Y  99 được 0. Như vậy B là đáp án đúng

LUYỆN TẬP:
1. Cho z  (2  4i)  2i(1  3i ) . Tìm số phức liên hợp của z.
A. 6  8i
B. 6  8i
C. 8  6i

2. Cho số phức z thỏa mãn (3  4i) z 
A. 3

B. 4

3. Cho số phức z thỏa mãn (1  2i) z 
A.

3
2

B.

D. 8  6i

5i
 (1  i ) z  10  34i . Tìm phần ảo của z
1 i
C. 1
D. 2
2i
 (3  i) z . Tính môđun của z.
1 i

2
2

C.

3

4. Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn z  (2  i ) z  3  5i
A. 2
B. 4
C. 2

D.

2

D. 4

5. Tìm môđun của số phức z thỏa mãn (2  3i) z  (4  i) z  (1  3i) 2
A.

B.

29

C. 26

20

DẠNG 9. HÀM SỐ
VD1. Phương trình x 3  3 x  m 2  m có 3 nghiệm phân biệt khi:
A.m  21

B.  2  m  1

C. m  1

D.  1  m  2

Nguyên lý: Thay m. Bấm máy tính giải xem có 3 nghiệm hay không

QUY TRÌNH:
Ví dụ khi thay m = 10 ta được
x 3  3 x  110  0

Giải bằng chế độ Mode + 5 + 4 chỉ ra 1 nghiệm thực là

Như vậy loại được A rồi nhé
Các em tự thay với:
11

D.

23


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)
m  1000  Có 1 nghiệm  Loại C
m  3  Có 1 nghiệm  Loại C.

Đáp án: B

VD2. Hàm số y  ( m  1) x 4  (m 2  2m) x 2  m 2 có ba điểm cực trị khi giá trị của m là
 m  1
A. 
1  m  2

m  0
B. 
1  m  2

 1  m  1
C. 
m  2

0  m  1
D. 
m  2

NGUYÊN LÝ:
Hàm số có 3 cực trị khi PT y '  4( m  1) x 3  2(m 2  2m) x  0 có ba nghiệm phân biệt.

QUY TRÌNH:
Bước 1. Mode + 5 + 4
Bước 2. Thử với m  100 . Ta thấy PT có 1 nghiệm thực là x  0 . Loại C, D.
Bước 3. Thử với m  1 . Ta thấy PT có ba nghiệm x  0, x  

3
. Loại A
2

Đáp án: B

VD3. Hàm số y  x 3  5 x 2  3x  1 đạt cực trị khi :
x  0
A. 

 x  10

3

x  0
B. 
 x   10

3

x  3
C. 
x  1

3

 x  3
D. 
x   1

3

NGUYÊN LÝ:
Cực trị phải là nghiệm của PT y '  0
QUY TRÌNH:
Bước 1. Nhẩm nhanh hệ số và nhập: Mode + 5 + 3
Bước 2. Nhập hệ số 3, -10, 3

Bước 3. Nhìn màn hình
Biết chọn đáp án nào rồi chứ.

VD4. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  mx tại điểm có hoành độ x  1 song song với
đường thẳng d : y  7 x  100 .
Điền vào chỗ trống
QUY TRÌNH:
Bước 1. Nhập 3Y 2  6Y  X  7 (nghĩ xem tại sao lại thế nhé)
Bước 2. Shift + SOLVE
Bước 3. Màn hình hỏi Y ? thì nhập 1 . Ấn = = =
12


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)
Bước 4. Kết quả là như bên phải
Điền -2 vào nhé
VD5. Tìm m để hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x  1
QUY TRÌNH:
Bước 1. Nhập 3Y 2  6Y  X
Bước 2. Shift + SOLVE
Bước 3. Màn hình hỏi Y ? thì nhập 1. Ấn = = =
Biết điền gì rồi chứ ?

LUYỆN TẬP
1. Hàm số y  x 3  3x 2  24 x  7 đạt cực tiểu tại:
A. x  4

B. x  2

C. x  2

D. x  4

C. x  1

D. x  2

1
4
2. Hàm số y  x3  x 2  3 x  đạt cực đại tại:
3
3

A. x  1

B. x  2

3. Tìm m để hàm số y  x 3  3mx 2  3(2m  1) x  2 đạt cực đại tại x  0
A. m 

1
2

B. m  

1
2

C. m  1

D. m  1

4. Tìm m để (C): y  2 x 3  6 x 2  1 và d : y  mx  1 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

9

m

A.
2

 m  0

9

m

B.
2

 m  0

9

m

C.
2

 m  0

9

m


D.
2

 m  0

DẠNG 10. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
VD1. Tìm giá trị lớn nhất của f ( x )  x 3  3 x 2  9 x  35 trên đoạn [-1;1] :
A.40

B.21

C. 50

D. 35

QUY TRÌNH:
B1. MODE 7 (table)
B2. Nhập f ( x)  X 3  3 X 3  9 X  35
B3. Ấn "=" và nhập Start = -1, End = 1 và Step = 0,2
B4. Tra bảng và tìm giá trị lớn nhất.
KẾT QUẢ: Ta thấy giá trị lớn nhất là gần 40 như hình bên.
Đáp án là 40.
VD2. Tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x)  ( x  6) x 2  4 trên [0;3]
A. 5

B. 15

C. 12

D. 5

QUY TRÌNH:
B1. MODE 7 (table)
13


Video hướng dẫn và tài liệu CĐ khác có tại FB: Đào Trọng Anh (Nhập SĐT 0973038256 để tìm kiếm)
B2. Nhập f ( x )  ( X  6) X 2  4
B3. Ấn "=" và nhập Start = 0, End = 3 và Step = 0,4
B4. Tra bảng và tìm giá trị nhỏ nhất.
Ta thấy f ( x ) sao động khá nhiều xung quanh giữa 11 và 12
Vậy Giá trị nhỏ nhất là 12
ĐÁP ÁN C.

VD3. Tìm giá trị nhỏ nhất của y  x 
A. 9

B.2

C. 6

9
trên đoạn [  1; 2] .
x2

D. 4

QUY TRÌNH:
B1. MODE 7 (table)

B2. Nhập f ( x )  X 

9
X 2

B3. Ấn "=" và nhập Start = -1, End = 2 và Step = 0,3
B4. Tra bảng và tìm giá trị nhỏ nhất.
Biết đáp án rồi chứ.

CÁC EM ẤN NÚT “THEO DÕI” FACEBOOK THẦY
ĐỂ XEM NHIỀU TÀI LIỆU & VIDEO HỌC TOÁN HAY NHÉ

Facebook: Đào Trọng Anh
/>
14


CHUYÊN TOÁN 10-11-12-LT H
Ph§m

ào Thanh Tú (Xem chi ti∏t m∞t trong)

TÓM TçT Lfi THUYòT

1
1.1

Công th˘c l˜Òng giác
Hª th˘c cÏ b£n
1

•1 + tan2 x =
cos2 x
cos x
• cot x =
sin x

• sin2 x + cos2 x = 1
sin x
• tan x =
cos x

1.2

• tan(a ± b) =

• cos(a ± b) = cos a cos b ⌥ sin a sin b

• cos 2x = cos2 x

sin2 x = 2 cos2 x

1=1

• tan 2x =

2 sin2 x

1

2 tan x

tan2 x

Công th˘c nhân ba

• cos 3x = 4 cos3 x

1.5

tan a ± tan b
1 ⌥ tan a tan b

Công th˘c nhân ôi

• sin 2x = 2 sin x cos x

1.4

1
sin2 x
• tan x. cot x = 1
•1 + cot2 x =

Công th˘c cÎng

• sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a

1.3

ÑI S» - GIÉI TÍCH

• sin 3x = 3 sin x

3 cos x

4 sin3 x

Công th˘c h§ b™c

• cos2 x =

1 + cos 2x
2

• sin2 x =

1

1

cos 2x
2


1.6

Công th˘c tính theo t = tan x2

• sin x =

1.7

2t
1 + t2

• cos x =

1 t2
1 + t2

a+b
a b
cos
2
2
a+b
a b
• cos a + cos b = 2 cos
cos
2
2

1
[cos(a
2
1
• sin a cos b = [sin(a
2

t2

a+b
a b
sin
2
2
a+b
a b
2 sin
sin
2
2

• sin a

sin b = 2 cos

• cos a

cos b =

• sin a sin b =

b) + cos(a + b)]

1
[cos(a
2

p

⇣
2 cos x

•(sin x ± cos x)2 = 1 ± sin 2x
• sin6 x + cos6 x = 1

b)

cos(a + b)]

b) + sin(a + b)]

MÎt sË công th˘c khác

• sin x + cos x =

2

1

Công th˘c tích thành tÍng

• cos a cos b =

1.9

2t

Công th˘c tÍng thành tích

• sin a + sin b = 2 sin

1.8

• tan x =

⇡⌘
4

• sin x

cos x =

p

⇣
2 sin x

• sin4 x + cos4 x = 1

3 sin2 2x
4

⇡⌘
4
sin2 2x
2

Các l˛ thuy∏t v∑ §o hàm

2.1
1.

‡nh nghæa và các tính chßt
‡nh nghæa. Cho hàm sË y = f (x) xác ‡nh trên kho£ng (a, b), x0 2 (a, b), x0 +
x 2 (a, b), n∏u tÁn t§i giÓi h§n (h˙u h§n)
lim

f (x0 +

x!0

x)
x

f (x0 )

˜Òc gÂi là §o hàm cıa f (x) t§i x0 , kí hiªu là f 0 (x0 ) hay y 0 (x0 ), khi ó
f 0 (x0 ) = lim

f (x0 +

x!0

2. Các qui t≠c tính

x)
x

§o hàm.

(a) [f (x) ± g(x)]0 = f 0 (x) ± g 0 (x).
2

f (x0 )

= lim

x!x0

f (x)
x

f (x0 )
x0


(b) [f (x).g(x)]0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
(c) [kf (x]0 = kf 0 (x) vÓi k 2 R.
✓
◆0
f 0 (x)g(x) f (x)g 0 (x)
f (x)
(d)
=
vÓi g(x) 6= 0.
g(x)
[g(x)]2
(e) yx0 = yu0 .u0x vÓi y = y(u), u = u(x).

2.2

B£ng các §o hàm cÏ b£n
§o hàm cıa hàm sÏ cßp

§o hàm cıa hàm hÒp u = u(x)

• (c)0 = 0 vÓi c 2 R
• (x↵ )0 = ↵.x↵
✓ ◆0
1
•
=
x

1
x2

• (u↵ )0 = ↵.u↵
✓ ◆0
1
•
=
u

1 0

u

u0

u2

p
1
• ( x)0 = p
2 x

p
u0
• ( u)0 = p
2 u

• (ex )0 = ex

• (eu )0 = eu .u0

• (ax )0 = ax ln a

• (au )0 = au . ln a.u0

• (sin x)0 = cos x

• (sin u)0 = u0 . cos u

• (cos x)0 =

sin x

• (cos u)0 =

• (tan x)0 =

1
cos2 x

• (tan u)0 =

u0
cos2 u

• (cot u)0 =

u0 .

• (cot x)0 =

2.3

1

1
sin2 x

u0 . sin u

1
sin2 u

Vi phân

Cho hàm sË y = f (x) xác ‡nh trên (a, b) và có §o hàm t§i x 2 (a, b). Gi£ s˚ x là
sË gia cıa x sao cho x + x 2 (a, b). Tích f 0 (x) x ˜Òc gÂi là vi phân cıa hàm sË
3


f (x) t§i x, ˘ng vÓi sË gia

3

x, k˛ hiªu là df (x) hay dy. Nh˜ v™y dy = df (x) = f 0 (x)dx.

L˛ thuy∏t kh£o sát hàm sË

3.1

Tính Áng bi∏n - ngh‡ch bi∏n cıa hàm sË

Gi£ s˚ hàm f (x) có §o hàm trên kho£ng (a; b), khi ó:
1. f 0 (x) > 0, 8x 2 (a, b) thì f (x) Áng bi∏n trên kho£ng (a, b).
2. f 0 (x) < 0, 8x 2 (a, b) thì f (x) ngh‡ch bi∏n trên kho£ng (a, b).
3. f (x) Áng bi∏n trên kho£ng (a, b) thì f 0 (x) > 0, 8x 2 (a, b).
4. f (x) ngh‡ch bi∏n trên kho£ng (a, b) thì f 0 (x) 6 0, 8x 2 (a, b).

3.2

C¸c tr‡ cıa hàm sË

Gi£ s˚ hàm f (x) có §o hàm trên kho£ng (a; b) và x0 2 (a; b)
(
f 0 (x) > 0, 8x 2 (x0 h; x0 )

1. N∏u
thì x0 là i∫m c¸c §i cıa f (x).
f 0 (x) < 0, 8x 2 (x0 ; x0 + h)
(
f 0 (x) < 0, 8x 2 (x0 h; x0 )
2. N∏u
thì x0 là i∫m c¸c ti∫u cıa f (x).
f 0 (x) > 0, 8x 2 (x0 ; x0 + h)
(
f 0 (x0 ) = 0
3. N∏u
thì x0 là i∫m c¸c §i cıa f (x).
f 00 (x0 ) > 0
(
f 0 (x0 ) = 0
4. N∏u
thì x0 là i∫m c¸c ti∫u cıa f (x).
f 00 (x0 ) < 0

3.3

Giá tr‡ lÓn nhßt - nh‰ nhßt cıa hàm sË

1. Xét trên mÎt o§n:
(a) Tìm xi 2 [a, b], i = 1, 2, . . . , n là các i∫m t§i ó có §o hàm b¨ng 0 ho∞c
không xác ‡nh.
(b) Tính f (a), f (b), f (xi ), vÓi i = 1, 2, . . . , n.
(c) So sánh ∫ suy ra giá tr‡ lÓn nhßt và giá tr‡ nh‰ nhßt.
2. Xét trên mÎt kho£ng : Dùng b£ng bi∏n thiên ∫ kh£o sát hàm sË.

4


3.4

˜Ìng tiªm c™n

Kí hiªu (C) là Á th‡ cıa hàm sË y = f (x).
1.

˜Ìng tiªm c™n

˘ng.

N∏u mÎt trong các i∑u kiªn sau x£y ra
2
lim f (x) = +1
+
6 x!x0
6 lim f (x) = 1
6
6 x!x+
0
6
6 lim f (x) = +1
6 x!x0
4
lim f (x) = 1
x!x0

thì ˜Ìng thØng x = x0 là tiªm c™n ˘ng cıa (C).
2.

˜Ìng tiªm c™n ngang.
N∏u

lim f (x) = y0 ho∞c

x!+1

c™n ngang cıa (C).

3.5

lim f (x) = y0 thì ˜Ìng thØng y = y0 là tiªm

x! 1

Các b˜Óc kh£o sát hàm sË y = f (x)

1. Tìm t™p xác ‡nh cıa hàm sË.
2. S¸ bi∏n thiên
(a) Chi∑u bi∏n thiên
i. Tính y 0 .
ii. Tìm các nghiªm cıa ph˜Ïng trình y 0 = 0 và các i∫m t§i ó y 0 không
xác ‡nh.
iii. Xét dßu y 0 và suy ra chi∑u bi∏n thiên cıa hàm sË.
(b) Tìm các i∫m c¸c tr‡ (n∏u có).
(c) Tìm các giÓi h§n vô c¸c, các giÓi h§n t§i +1, 1 và t§i các i∫m mà
hàm sË không xác ‡nh. Suy ra các ˜Ìng tiªm c™n ˘ng và ngang (n∏u

có).
(d) L™p b£ng bi∏n thiên
3. V≥ Á th‡: Tính thêm tÂa Î mÎt sË i∫m ∞c biªt, l™p b£ng giá tr‡ và d¸a vào
b£ng bi∏n thiên ∫ v≥ Á th‡.

5


3.6

T˜Ïng giao cıa hai Á th‡

1. Biªn lu™n sË nghiªm cıa ph˜Ïng trình b¨ng

Á th‡.

Gi£ s˚ (C1 ) là Á th‡ cıa hàm sË y = f (x) và (C2 ) là Á th‡ cıa hàm sË y = g(x).
Khi ó sË nghiªm cıa ph˜Ïng trình f (x) = g(x) t˜Ïng ˘ng vÓi sË giao i∫m
cıa (C1 ) và (C2 ).
2. Ti∏p tuy∏n vÓi

Á th‡ cıa hàm sË.

(a) D§ng 1.
Vi∏t ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n cıa Á th‡ hàm sË y = f (x):
i.
ii.
iii.
iv.
v.

T§i
T§i
T§i
T§i
T§i

mÎt
i∫m
i∫m
giao
giao

i∫m (x0 ; y0 ) trên Á th‡.
có hoành Î x0 trên Á th‡.
có tung Î y0 trên Á th‡.
i∫m cıa Á th‡ vÓi trˆc tung.
i∫m cıa Á th‡ vÓi trˆc hoành.

Ph˜Ïng pháp gi£i: Tìm ı các giá tr‡ x0 ; y0 = f (x0 ) và f 0 (x0 ). Khi ó,
ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n cıa Á th‡ hàm sË y = f (x) t§i (x0 ; y0 ) là
y

y0 = f 0 (x0 )(x

x0 )

(b) D§ng 2.
Vi∏t ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n cıa Á th‡ hàm sË y = f (x) bi∏t ti∏p tuy∏n
song song ho∞c vuông góc vÓi ˜Ìng thØng y = ax + b. Ph˜Ïng pháp gi£i

nh˜ sau
i. Tính y 0 = f 0 (x).
ii. N∏u ti∏p tuy∏n song song vÓi ˜Ìng thØng y = ax + b thì hª sË góc
cıa ti∏p tuy∏n b¨ng a, t˘c là gi£i ph˜Ïng trình f 0 (x) = a ∫ tìm x0 .
N∏u ti∏p tuy∏n vuông góc vÓi ˜Ìng thØng y = ax + b thì hª sË góc
1
1
cıa ti∏p tuy∏n b¨ng
, t˘c là gi£i ph˜Ïng trình f 0 (x) =
∫ tìm
a
a
x0 .
iii. Tính y0 = f (x0 ).
iv. Thay vào ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n y y0 = f 0 (x0 )(x x0 ).
(c) D§ng 3.
Vi∏t ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n i qua mÎt i∫m cho tr˜Óc ∏n Á th‡ hàm
sË y = f (x). Ph˜Ïng pháp s˚ dˆng i∑u kiªn ti∏p xúc: Á th‡ hàm sË
y = f (x) và ˜Ìng thØng y = g(x) ti∏p xúc t§i i∫m có hoành Î x0 khi
x0 là nghiªm cıa hª
(
f (x) = g(x)
f 0 (x) = g 0 (x)
6


4

Các l˛ thuy∏t v∑ nguyên hàm

4.1

Nguyên hàm và các tính chßt

1. Cho hàm sË f (x) xác ‡nh trên kho£ng K ✓ R. Hàm sË F (x) gÂi là nguyên
hàm cıa hàm f (x) trên kho£ng K n∏u
F 0 (x) = f (x), 8x 2 K.
2. MÂi hàm sË liên tˆc trên kho£ng K ✓ R ∑u có nguyên hàm trên o§n ó.
3. N∏u F (x) là mÎt nguyên hàm cıa hàm sË f (x) trên kho£ng K ✓ R thì vÓi mÈi
h¨ng sË C, hàm sË G(x) = F (x) + C cÙng là mÎt nguyên hàm cıa f (x) trên
K. Ng˜Òc l§i, n∏u F (x) là mÎt nguyên hàm cıa hàm sË f (x) trên K thì mÂi
nguyên hàm cıa f (x) trên K ∑u có d§ng F (x) + CR vÓi C là mÎt h¨ng sË. Kí
hiªu h tßt c£ các nguyên hàm
R cıa hàm sË f (x) là f (x)dx, Âc là tích phân
bßt ‡nh cıa f (x). Khi ó f (x)dx = F (x) + C vÓi C 2 R.
4. Các tính chßt cÏ b£n
R
(a) f 0 (x)dx = f (x) + C vÓi C là h¨ng sË th¸c.
R
R
(b) kf (x)dx = k f (x)dx vÓi k là h¨ng sË th¸c.
R
R
R
(c) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx.

4.2

Ph˜Ïng pháp tính nguyên hàm

R
1. Ph˜Ïng pháp Íi bi∏n sË.
R N∏u f0 (u)du = F (u) + C và u = u(x) là hàm
sË có §o hàm liên tˆc thì f (u(x))u (x)du = F (u(x)) + C.
2. Ph˜Ïng pháp tích phân t¯ngR ph¶n. N∏u hai hàm sË u =Ru(x) và v = v(x)
có §o hàm liên tˆc trên K thì u(x)v 0 (x)du = u(x)v(x)
u0 (x)v(x)du.

4.3

B£ng các nguyên hàm cÏ b£n
Nguyên hàm cıa hàm sÏ cßp
•
•

R
R

Nguyên hàm cıa hàm hÒp u = u(x)

0dx = C

•

dx = x + C

•

R
R

7

0du = C
du = u + C


•
•
•
•
•
•
•
•

5

R

x↵ dx =

x↵+1
+C
↵+1

•

R 1
dx = ln |x| + C
x

•

ex dx = ex + C

•

R
R
R
R
R
R

ax dx =

ax
+C
ln a

•

cos xdx = sin x + C

•

sin xdx =

cos x + C

•

1
dx = tan x + C
cos2 x

•

1
dx =
sin2 x

•

cot x + C

R

u↵ du =

u↵+1
+C
↵+1

R 1
du = ln |u| + C
u
R
R
R

R
R
R

eu du = eu + C
au du =

au
+C
ln a

cos udx = sin u + C
sin udu =

cos u + C

1
du = tan u + C
cos2 u
1
du =
sin2 u

cot u + C

Các l˛ thuy∏t v∑ tích phân

5.1
1.

Tích phân và các tính chßt
‡nh nghæa. Cho hàm sË f (x) liên tˆc trên o§n [a, b]. Gi£ s˚ F (x) là mÎt
nguyên hàm cıa f (x) trên o§n [a, b]. Hiªu sË F (b) F (a) ˜Òc gÂi là tích
phân t¯ a ∏n b (hay tích phân xác ‡nh trên [a, b]) cıa hàm sË f (x). K˛ hiªu
Z b
là
f (x)dx. Khi ó
a

Z

b

f (x)dx = F (x)
a

Tr˜Ìng hÒp a = b ta ‡nh nghæa
Z b
Z a
nghæa
f (x)dx =
f (x)dx.
a

Z

a
a

b

8

b
a

= F (b)

F (a)

f (x)dx = 0. Tr˜Ìng hÒp a > b ta ‡nh


2. Các tính chßt cıa tích phân.
Z b
Z b
(a)
kf (x)dx = k
f (x)dx vÓi k là h¨ng sË.
(b)
(c)

Z
Z

a

a

b

[f (x) ± g(x)]dx =

a
b

f (x)dx =
a

Z

c

Z

b

f (x)dx ±

a

f (x)dx +
a

Z

b

Z

b

g(x)dx.
a

f (x)dx vÓi a < c < b.

c

(d) Tích phân không phˆ thuÎc vào ch˙ dùng làm bi∏n sË trong dßu tích
phân, t˘c là
Z b
Z b
f (x)dx =
f (t)dt = · · ·
a

5.2

a

Ph˜Ïng pháp tính tích phân

1. Ph˜Ïng pháp

Íi bi∏n sË

(a) Gi£ s˚ hàm sË x = '(t) có §o hàm liên tˆc trên o§n [↵, ] sao cho
'(↵) = a, '( ) = b và a 6 '(t) 6 b, 8t 2 [↵, ]. Khi ó
Z

.

b

f (x)dx =
a

Z

b

f ('(t))'0 (t)dt

a

(b) Gi£ s˚ hàm sË u = u(x) có §o hàm liên tˆc trên o§n [a, b] sao cho
↵ 6 u(x) 6 , 8x 2 [a, b]. N∏u f (x) = g(u(x))u0 (x), 8x 2 [a, b], trong ó
g(u) liên tˆc trên o§n [↵, ] thì
Z

.

b

f (x)dx =
a

Z

u(b)

g(u)du
u(a)

2. Ph˜Ïng pháp tích phân t¯ng ph¶n. N∏u u = u(x) và v = v(x) là hai hàm
sË có §o hàm liên tˆc trên o§n [a, b] thì
Z

b

u(x)v 0 (x)dx = [u(x)v(x)]

a

Z

b
a

b

u0 (x)v(x)dx

a

ho∞c
Z

b

udv = [uv]
a

9

b
a

Z

b
a

vdu .


5.3

Ÿng dˆng cıa tích phân

1. Tính diªn tích cıa hình phØng
(a) Diªn tích hình phØng giÓi h§n bi Á th‡ cıa hàm sË y = f (x), hai ˜Ìng
thØng x = a, x = b và trˆc Ox là
y
y = f (x)
S=

Z

b

Z

|f (x)|dx

a

O

a

b
a

|f (x)|dx
x

b

(b) Diªn tích hình phØng giÓi h§n bi Á th‡ cıa hai hàm sË y = f (x), y = g(x)
và hai ˜Ìng thØng x = a, x = b là
y
y = f (x)
S=

Z

b

|f (x)

a

g(x)|dx
y = g(x)

O

a

b

x

2. Tính th∫ tích cıa v™t th∫ tròn xoay
(a) Gi£ s˚ hình phØng giÓi h§n bi các ˜Ìng y = f (x), y = 0 (trˆc Ox), x =
a, x = b khi quay quanh trˆc Ox t§o thành mÎt v™t th∫ tròn xoay. Th∫
Z b
tích cıa v™t th∫ ó là V = ⇡
[f (x)]2 dx.
a

(b) Xét ˜Ìng cong có ph˜Ïng trình x = g(y) liên tˆc vÓi mÂi y 2 [a; b]. N∏u
hình giÓi h§n bi các ˜Ìng x = g(y), x = 0 (trˆc Oy), y = a, y = b quay
quanh trˆc Oy thì th∫ tích cıa v™t th∫ tròn xoay t§o thành xác ‡nh bi
Z b
V =⇡
[g(y)]2 dy.
a

10


6

Ly tha v logarit

6.1

Ly tha

1. Ly tha vểi sậ m nguyờn dẽng. Vểi a 2 R, n 2 N ta cú
an = a.a
. . . a}
| {z

n tha sậ

2. Ly tha vểi sậ m nguyờn õm. Vểi a 6= 0, n 2 N ta cú
a

n

=

1
an

3. Ly tha vểi sậ m 0. Vểi a 6= 0 ta cú a0 = 1.

4. Cn bc n.
Cho sậ thác b v sậ nguyờn dẽng n = 2. Khi ú
(a) Sậ a ềc gi l cn bc n ca b nu an = b, k hiêu a =
p
(b) Khi n lƠ thỡ tn tĐi duy nhòt n b vểi mi b 2 R.

p
n

b.

(c) Khi n chặn thỡ

i. Nu b < 0 thỡ khụng tn tĐi cn bc n ca b.
p
ii. Nu b = 0 thỡ cú mẻt cn n 0 = 0.
p
p
iii. Nu b > 0 thỡ cú hai cn n b v n b.
5. Ly tha vểi sậ m hu tứ. Vểi a > 0, m, n 2 Z, n > 2, ta cú
m

an =

p
n

am

6. Ly tha vểi sậ m vụ tứ. Cho a > 0, l mẻt sậ vụ tứ v (rn ) l mẻt dóy

sậ hu tứ sao cho lim rn = a, khi ú a = lim arn .
n!+1

n!+1

7. Cỏc tớnh chòt. Cho a > 0, b > 0, ,


2 R, khi ú

a
= a .
a
a
a
(b) (ab) = a .b ;
= ; (a ) = a .
b
b
(c) Nu a > 1 thỡ a > a () > .
(a) a .a = a+ ;

(d) Nu 0 < a < 1 thỡ a > a () < .
11