Một số bài toán về điều kiện dãy nguyên tố trên vành Noether, địa phương

Mục lục

1

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Tính bão hòa nguyên tố

4

1.1

Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Tính b o hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . .

5

1.3

Chiều Noether và tính b o hòa nguyên tố . . . . . . . . .

9

1.4

2

3

Tính b o hòa nguyên tố của Hmd (M)

. . . . . . . . . .

Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn

11
15

2.1

Đặc trng tính b o hoà nguyên tố của Hmi (M ) . . . . . .

16

2.2

Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn . . . . . .

23

Quỹ tích không Cohen-Macaulay

27

3.1

Một số tính chất của giả giá . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2

Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá . . .

30

3.3

Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre . . .

35

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1


2

Mở đầu
Các bài toán về điều kiện d y nguyên tố đ đợc quan tâm từ những
năm 1930. Bài toán đầu tiên là xét tính catenary của các vành giao hoán.
Nhắc lại rằng một vành gọi là catenary nếu giữa hai iđêan nguyên tố

lồng nhau bất kì luôn tồn tại một d y nguyên tố b o hòa và mọi d y
nguyên tố b o hòa nh thế đều có chung độ dài. Lớp vành catenary đầu
tiên đợc khám phá bởi W. Krull từ năm 1937, ông chỉ ra rằng mọi đại
số hữu hạn sinh trên một trờng là catenary. Những công trình tiếp theo
của W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D. Ferand và M. Raynaud, L. J.
Ratliff, R. Heitmann, M. Brodmann ... về tính catenary đ làm giàu đẹp
lí thuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác
của Đại số Giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối
đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết, các phơng pháp đồng điều, các
mở rộng vành siêu việt... Phát triển lí thuyết vành catenary là lí thuyết
vành catenary phổ dụng, vành tựa không trộn lẫn và vành không trộn
lẫn. Các lí thuyết này đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong Đại số giao
hoán, nhất là trong lí thuyết vành giao hoán. Cho đến nay, việc nghiên
cứu tính catenary, tính catenary phổ dụng, tính tựa không trộn lẫn, tính
không trộn lẫn và những bài toán liên quan cho các vành vẫn rất đợc
quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới. Đặc biệt, gần đây Nguyễn
Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] đ thông qua
nghiên cứu môđun Artin đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất với giá
cực đại để đặc trng tính catenary cho các vành Noether và giá không
trộn lẫn của các môđun hữu hạn sinh.
Mục đích của đề tài này là phát triển các kết quả trên của Nguyễn Tự
Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] cho những bài toán


3

về điều kiện d y nguyên tố khác nh xét tính catenary phổ dụng, tính tựa
không trộn lẫn, tính không trộn lẫn của các vành Noether địa phơng,
đồng thời xét một số bài toán liên quan nh công thức bội liên kết cho
môđun đối đồng điều địa phơng, tính đóng của các tập giả giá và tính

đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Công cụ nghiên cứu của đề
tài là dùng những tính chất đặc thù của tất cả các môđun đối đồng điều
địa phơng với giá cực đại.
Đề tài gồm 3 chơng. Chơng I nói về tính chất b o hòa nguyên tố
của môđun Artin, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phơng với giá
cực đại nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả cho 2 chơng sau.
Chơng 2 đặc trng tính b o hòa nguyên tố cho các môđun đối đồng
điều địa phơng, từ đó xét tính catenary, catenary phổ dụng, tính không
trộn lẫn của các vành Noether địa phơng. Nh một ứng dụng, trong
Chơng 2 còn trình bày công thức bội liên kết cho các môđun đối đồng
điều địa phơng. Chơng 3 nghiên cứu tính đóng của quỹ tích không
Cohen-Macaulay thông qua các tập giả giá, qua các điều kiện Serre và
tính không trộn lẫn của vành.


Chơng 1
Tính bão hòa nguyên tố
Trong suốt chơng này, cho (R, m) là một vành Noether địa phơng với
iđêan tối đại duy nhất m, cho A là R-môđun Artin và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) là tập các iđêan
nguyên tố của R chứa I.

1.1

Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin

Trớc hết ta nhắc lại một số kết quả về lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho
các môđun Artin đợc giới thiệu bởi I. G. Macdonad [Mac]. Lí thuyết
này đợc xem nh là đối ngẫu với lí thuyết phân tích nguyên sơ cho
môđun Noether: Nhắc lại rằng, một R-môđun L đợc gọi là thứ cấp nếu

phép nhân bởi r trên L là toàn cấu hoặc lũy linh với mọi r R. Trong
trờng hợp này, tập các phần tử r R sao cho phép nhân bởi r trên L
là lũy linh lập thành một iđêan nguyên tố p của R và ta gọi L là p-thứ
cấp. Macdonald [Mac] đ chỉ ra rằng mỗi môđun Artin A đều có một
biểu diễn thứ cấp A = A1 + . . . + An trong đó Ai là pithứ cấp với mọi
i = 1, . . . , n. Trong trờng hợp các Ai là không thừa (tức là A =

j=i Aj

với mọi i = 1, . . . , n) và các iđêan nguyên tố pi là phân biệt thì biểu diễn
thứ cấp này đợc gọi là tối thiểu. Khi đó tập {p1, . . . , pn } không phụ
4


5

thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A và đợc kí hiệu bởi AttR A.
Tập AttR A đợc gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A.
1.1.1. Bổ đề. [Mac]. Tập các phần tử tối thiểu của AttR A chính là tập
các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR A. Đặc biệt,
Rad(AnnR A) =

p.
pAttR A

Ta cũng biết rằng mỗi Rmôđun Artin A có cấu trúc tự nhiên là
Rmôđun, và với cấu trúc này mỗi tập con của A là Rmôđun con
nếu và chỉ nếu nó là Rmôđun con. Điều này cho thấy các dàn môđun
con của A xét nh Rmôđun và Rmôđun là nh nhau. Do đó A là
Rmôđun Artin. Quan hệ giữa các tập AttR A và AttR A đợc cho bởi

công thức sau đây.
1.1.2. Bổ đề. (xem [Sh]). AttR A = {p R : p AttR A}.

1.2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin
Trớc hết ta xét một tính chất cơ sở của các môđun hữu hạn sinh M
nh sau: Giả sử p là iđêan nguyên tố của R chứa AnnR M . Khi đó
p Supp M và do đó Mp = 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra
(M/pM )p = Mp/pMp = 0.
Vì thế p Supp(M/pM ), tức là p AnnR (M/pM ). Vì vậy ta luôn có
AnnR (M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p AnnR M.
Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cuong và L. T. Nhan [CN]
đ xét tính chất sau đối với các môđun Artin A:
AnnR (0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p AnnR A.

()


6

Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A (xem Ví
dụ 1.2.3). Vì thế ta có định nghĩa sau đây.
1.2.1. Định nghĩa. Môđun A đợc gọi là có tính chất b o hòa nguyên
tố nếu nó thỏa m n tính chất (*).
1.2.2. Chú ý. Giả sử R là đầy đủ theo tôpô madic. Khi đó đối ngẫu
Matlis D(A) của A là R-môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng AnnR A =
AnnR D(A). Vì thế áp dụng tính chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có
AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/pD(A)) = p
với mọi iđêan nguyên tố p AnnR A = AnnR D(A). Do vậy mọi môđun
Artin trên vành địa phơng đầy đủ đều b o hoà nguyên tố.
Với mỗi số nguyên i, môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá

cực đại Hmi (M ) của M luôn là R-môđun Artin (xem [BS]).
1.2.3. Ví dụ. [CN, Ví dụ 4.4]. Tồn tại một môđun Artin trên vành
Noether địa phơng không b o hoà nguyên tố.
Chứng minh. Gọi (R, m) là miền Noether địa phơng chiều 2 đợc xây
dựng bới D. Ferrand và M. Raynaud [FR] thoả m n tính chất tồn tại một
iđêan nguyên tố nhúng q Ass R với dim R/q = 1. Khi đó Hm1 (R) là
môđun Artin và ta có đẳng cấu các Rmôđun Hm1 (R)
= Hm1 (R). Theo
[Sh1, Hệ quả 4.9]) ta suy ra q AttR Hm1 (R) . Theo Bổ đề 1.1.2 ta suy
ra q R AttR Hm1 (R) . Chú ý rằng Ass R = {p R : p Ass R}
(xem [Mat, Định lí 12]). Vì thế ta có q R Ass R. Do R là miền
nguyên nên Ass R = {0}. Do đó 0 = q R AttR (Hm1 (R)). Vì thế
AnnR Hm1 (R) =

p q R = 0.
1 (R))
pAttR (Hm


7

Chọn A = Hm1 (R). Khi đó A là Rmôđun Artin. Lấy tuỳ ý một iđêan
nguyên tố p của R sao cho p = 0 và p = m. Ta đ chứng minh ở trên
rằng AnnR A = 0. Do đó p AnnR A. Lấy 0 = x p. Xét d y khớp
x

0 R R R/xR 0.
D y này cảm sinh d y khớp dài các môđun đối đồng điều địa phơng
x

0 Hm0 (R/xR) Hm1 (R) Hm1 (R).
Suy ra Hm0 (R/xR)
= 0 :Hm1 (R) x = 0 :A x. Vì Hm0 (R/xR) là Rmôđun
có độ dài hữu hạn nên 0 :A x có độ dài hữu hạn. Do x p nên
0 :A p 0 :A x và do đó 0 :A p có độ dài hữu hạn. Vì thế AnnR 0 :A p
là iđêan mnguyên sơ, điều này chứng tỏ Ann(0 :A p) = p. Vậy A
không b o hoà nguyên tố.
Ta luôn có Supp M = {p R : p Supp M }. Vì M là hữu hạn sinh
nên Supp M = V (AnnR M ). Tơng tự, vì M là R-môđun hữu hạn sinh
nên Supp M = V (AnnR M). Do đó ta có V (AnnR M ) = {p R : p
V (AnnR (M )}. Hơn nữa, nh đ nhắc ở tiết trên, mỗi Rmôđun Artin A
đều có cấu trúc tự nhiên là Rmôđun Artin. Vì thế, rất tự nhiên chúng
ta hỏi rằng liệu đẳng thức
V (AnnR A) = {p R : p V (AnnR A}
là xảy ra cho môđun Artin A. Dới đây chúng ta chỉ rằng đẳng thức này
xảy ra khi và chỉ khi A b o hoà nguyên tố.
1.2.4. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) A b o hoà nguyên tố.
(ii) V (AnnR A) = {p R : p V (AnnR A)}.


8

Chứng minh. (i)(ii). Cho p V (AnnR A). Khi đó tồn tại một iđêan
nguyên tố tối thiểu q chứa AnnR A sao cho p q. Chú ý rằng q
AttR A. Ta có
AttR A = {p R : p AttR A}.
Vì thế q R AttR A. Suy ra q R V (AnnR A) và vì thế ta suy ra
p R V (AnnR A). Do đó
V (AnnR A) {p R : p V (AnnR A)}.

Ngợc lại, cho p V (AnnR A). Theo giả thiết (i), A b o hoà nguyên
tố. Vì thế AnnR (0 :A p) = p. Rõ ràng mọi iđêan nguyên tố chứa
AnnR (0 :A p) đều phải chứa p, do đó p là iđêan nguyên tố bé nhất chứa
AnnR (0 :A p). Theo Bổ đề 1.1.1 ta suy ra p AttR (0 :A p). Lại vì
AttR (0 :A p) = {p R : p AttR (0 :A p)}
nên tồn tại iđêan nguyên tố p AttR (0 :A p) sao cho p R = p. Vì
p AttR (0 :A p) nên p AnnR (0 :A p). Vì thế p V (AnnR A) và
p R = p, tức là
V (Ann A) {p R : p V (AnnR A)}.
(ii)(i). Cho p V (Ann A). Theo giả thiết (ii), tồn tại iđêan nguyên tố
p V (AnnR A) sao cho p R = p. Vì mọi môđun Artin A trên vành
đầy đủ R đều b o hoà nguyên tố nên ta có AnnR (0 :A p) = p. Lại do
pR p nên ta có
p AnnR (0 :A p) = AnnR (0 :A pR) AnnR (0 :A p) R = p R = p.
Suy ra Ann(0 :A p) = p.


9

1.3 Chiều Noether và tính bão hòa nguyên tố
Trong tiết này chúng ta xét mối quan hệ giữa tính b o hòa nguyên tố của
môđun Artin với chiều Noether của nó, đồng thời trình bày một số tính
chất về hệ tham số cho môđun Artin sẽ đợc dùng trong chứng minh các
kết quả của Chơng 2.
Nhắc lại rằng khái niệm chiều Krull cho môđun Artin đợc giới thiệu
bởi R. N. Roberts [Ro] năm 1975, sau đó đợc D. Kirby [K2] năm 1990
đổi tên thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull
đ quen biết cho các môđun hữu hạn sinh. Trong suốt luận văn này,
chúng tôi dùng thuật ngữ chiều Noether của Kirby [K2].
1.3.1. Định nghĩa. Chiều Noether của A, kí hiệu bởi N-dimR A, đợc

định nghĩa bằng quy nạp nh sau: Khi A = 0, ta đặt N-dimR A = 1.
Cho d 0 là một số nguyên không âm. Ta đặt N-dimR A = d nếu
N-dimR A < d là sai và với mỗi d y tăng các môđun con A0 A1 . . .
của A, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR (An /An+1 ) < d với
mọi n > n0 .
Từ định nghĩa của chiều Noether ta thấy ngay rằng N-dimR A = 0
nếu và chỉ nếu A = 0 và (A) < . Hơn nữa, nếu
0 A A A 0
là một d y khớp các Rmôđun Artin thì
N-dimR A = max{N-dimR A, N-dimR A }.
R. N. Roberts [Ro] và D. Kirby [K,K1] đ chỉ ra nhiều tính chất đẹp của
môđun Artin tơng tự nh các tính chất về chiều Krull cho các môđun
hữu hạn sinh trên vành địa phơng, đặc biệt là kết quả duới đây cho ta
03 điều kiện tơng đơng về chiều Noether cho các môđun Artin


10

1.3.2. Mệnh đề. Nếu q là iđêan sao cho (0 :A q) < thì có một đa
thức Q(n) với hệ số hữu tỷ sao cho R (0 :A qn+1 ) = Q(n) khi n 0 và
N-dimR A = deg(R (0 :A qn+1 ))
= inf{t 0 : x1, . . . , xt m : R (0 :A (x1 , . . . , xt )R) < }.
Mệnh đề 1.3.2 cho phép ta định nghĩa khái niệm hệ tham số cho
môđun Artin.
1.3.3. Định nghĩa. Một hệ (x1, . . . , xd ) gồm d = N-dim A phần tử của
m đợc gọi là hệ tham số của A nếu (0 :A (x1 , . . . , xd )R) < . Một
hệ (x1 , . . . , xi ) với i

d, các phần tử của m đợc gọi là phần hệ tham

số của A nếu ta có thể bổ sung thêm các phần tử xi+1 , . . . , xd của m sao
cho (x1 , . . . , xd ) là hệ tham số của A. Một phần tử x m đợc gọi là
phần tử tham số của A nếu có thể bổ sung thêm N-dimR A 1 phần tử
trong m để đợc một hệ tham số của A.
Từ Mệnh đề 1.3.2 ta suy ra kết quả sau đây.
1.3.4. Hệ quả. Nếu d = N-dimR A > 0 thì
N-dimR (0 :A x) N-dimR A 1, x m
và đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x là phần tử tham số của A. Tơng
tự, với i

d ta có

N-dimR (0 :A (x1 , . . . , xi ) N-dimR A i, x1 , . . . , xi m
đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x1 , . . . , xi là phần hệ tham số của A.
Kí hiệu dimR A = dim(R/ AnnR A). Khi đó N-dimR A = 0 nếu và
chỉ nếu dimR A = 0, nếu và chỉ nếu A có độ dài khác 0 và hữu hạn, nếu
và chỉ nếu R/ AnnR A là vành Artin. Trờng hợp tổng quát ta chỉ có


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....