Tài liệu toán A2 đại học

1/5/2016

TOÁN CAO CẤP A2 ĐẠI HỌC
(ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Số tiết: 45
Chương 1. Ma trận – Định thức
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
Chương 3. Không gian vector
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Chương 5. Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương

Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2
– ĐH Công nghiệp TP. HCM.

2. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2
– NXB ĐHQG TP. HCM.
3. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2
– NXB Giáo dục.
4. Lê Sĩ Đồng – Toán cao cấp Đại số Tuyến tính
– NXB Giáo dục.
5. Bùi Xuân Hải – Đại số tuyến tính
– ĐH KHTN TP. HCM.
6. Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright
– Fundamental Methods of Mathematical Economics.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

§1. Ma trận

§2. Định thức

…………………………………………………

§1. MA TRẬN
(Matrix)
1.1. Các định nghĩa
a) Định nghĩa ma trận
• Ma trận A cấp m ´ n trên  là 1 hệ thống gồm
m ´ n số aij Î  (i = 1, m; j = 1, n ) và được sắp
thành bảng gồm m dòng và n cột:

1


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æa
çç 11 a12
çç a
a22
A = çç 21
çç ... ...
çç
çèam 1 am 2

... a1n ö÷
÷

... a2n ÷÷÷
÷.
... ... ÷÷÷
÷
... amn ø÷÷

• Các số aij được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i
và cột thứ j .

• Cặp số (m, n ) được gọi là kích thước của A.

• Khi m = 1, ta gọi:
A = (a11 a12 ... a1n ) là ma trận dòng.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æa ö
çç 11 ÷÷
÷
• Khi n = 1, ta gọi A = ççç ... ÷÷ là ma trận cột.
çç ÷÷÷
çèam 1 ÷ø
• Khi m = n = 1, ta gọi:
A = (a11 ) là ma trận gồm 1 phần tử.
• Ma trận O = (0ij )m´n có tất cả các phần tử đều bằng 0
được gọi là ma trận không.
• Tập hợp các ma trận A trên được ký hiệu là
M m ,n ( ) , để cho gọn ta viết là A  (aij ) mn .

 Chương 1. Ma trận – Định thức

• Ma trận vuông

 Khi m = n , ta gọi A là ma trận vuông cấp n .
Ký hiệu là A = (aij )n .

 Đường chéo chứa các phần
tử a11, a22 ,..., ann được gọi
là đường chéo chính của
A = (aij )n ,
đường chéo còn lại được gọi
là đường chéo phụ.

æ1
çç
çç5
çç
çç7
çç
çè3

2 3 4ö÷
÷
6 7 8÷÷÷
÷
6 5 4÷÷÷
÷
2 1 0÷÷ø

2

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

• Các ma trận vuông đặc biệt
 Ma trận vuông có tất cả các
phần tử nằm ngoài đường
chéo chính đều bằng 0 được
gọi là ma trận chéo (diagonal
matrix).
Ký hiệu: diag(a11, a22 ,..., ann ).

æ
ö
çç-1 0 0÷÷
çç 0 5 0÷÷
÷÷
çç
çç 0 0 0÷÷÷
è
ø

 Ma trận chéo cấp n gồm tất cả
æ1
çç
các phần tử trên đường chéo
ç
chính đều bằng 1 được gọi là I 3 = çç0

çç
ma trận đơn vị cấp n (Identity
çè0
matrix). Ký hiệu là: I n .

0 0ö÷
÷÷
1 0÷÷
÷÷
0 1÷ø÷

 Chương 1. Ma trận – Định thức

 Ma trận ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử
nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng
0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).
æ 3 0 0ö
æ1 0 -2ö
÷÷
÷÷
çç
çç
÷÷
÷
ç
ç
÷
=
B
4

1
0
A = çç0 -1 1 ÷
çç
÷÷
÷
çç
çç
÷÷
÷÷
1
5
2
0
0
0
÷ø
çè
çè
ø÷

 Ma trận vuông cấp n có tất cả
các cặp phần tử đối xứng
nhau qua đường chéo chính
bằng nhau (aij = a ji ) được
gọi là ma trận đối xứng.

æ 3 4 -1ö
÷÷
çç

çç 4 1 0 ÷÷
÷÷
çç
çç-1 0 2 ÷÷÷
è
ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Ma trận bằng nhau
Hai ma trận A = (aij ) và B = (bij ) được gọi là bằng
nhau, ký hiệu A = B , khi và chỉ khi chúng cùng
kích thước và aij = bij , "i, j .

æ1 0 -1ö
æ1 x y ö
÷÷
÷÷
çç
VD 1. Cho A = ççç
và
B
=
÷
çç2 u 3 ÷÷.
çèz 2 t ÷ø
è
ø
Ta có:
A = B  x = 0; y = -1; z = 2; u = 2; t = 3 .

3


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1.2. Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng và trừ hai ma trận
Cho hai ma trận A = (aij )m´n và B = (bij )m´n , ta có:

A  B = (aij  bij )m´n .
æ-1 0 2 ö æ2 0 2ö æ1 0 4 ö
÷÷ ç
÷ ç
÷
VD 2. ççç
÷÷ + çç5 -3 1÷÷÷ = çç7 0 -3÷÷÷;
2
3
4
èç
ø èç
ø çè
ø
æ-1 0 2 ö æ2 0 2ö æ-3 0 0 ö
÷÷ ç
÷÷ ç
÷÷

çç
çç 2 3 -4÷÷ - ççç5 -3 1÷÷ = ççç-3 6 -5÷÷.
è
ø è
ø è
ø
Nhận xét
Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Phép nhân vô hướng
Cho ma trận A = (aij )m´n và l Î  , ta có:

lA = (laij )m´n .

VD 3.

æ-1
-3 ççç
èç-2
æ2
çç
çç-4
è

0 ö÷ æç3
÷=ç
0 -4÷÷ø èçç6
æ1

6 4ö÷
÷÷ = 2 çç
çç-2
0 8÷ø
è
1

0 ö÷
÷;
0 12÷÷ø
3 2÷ö
÷.
0 4÷÷ø

-3

Chú ý
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép
cộng ma trận.
• Ma trận -1.A = -A được gọi là ma trận đối của A.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

c) Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A = (aij )m´n và B = (bjk )n´p , ta có:

AB = (cik )m´p .
n

Trong đó, cik = å aijbjk

j =1

(i = 1, m; k = 1, p).

æ-1ö
çç ÷÷
÷
VD 4. Thực hiện phép nhân 1 2 3 ççç 2 ÷÷.
çç ÷÷÷
çè-5÷ø
æ-1ö
çç ÷÷
÷
Giải. 1 2 3 ççç 2 ÷÷ = (-1 + 4 - 15) = (-12).
çç ÷÷÷
çè-5÷ø

(

(

)

)

4


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ 1 -1 0ö
÷÷
VD 5. Thực hiện phép nhân 1 2 ççç
÷.
çè-1 0 3÷ø
æ 1 -1 0ö
÷÷
Giải. 1 2 ççç
÷ = -1 -1 6 .
çè-1 0 3÷ø

(

(

)

)

(

)

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ
0 ö÷
æ 1 1 -1ö çç 2

÷÷
÷÷ ç
ç
VD 6. Tính çç
çç 1 -1÷÷.
÷
÷÷
çè-2 0 3 ÷ø çç
çè-1 3 ÷÷ø
æ
0 ÷ö æ
æ 1 1 -1ö çç 2
4 -4÷ö
÷÷
÷÷ ç
ç
÷.
Giải. çç
çç 1 -1÷÷ = ççç
÷
÷÷ çè-7 9 ø÷÷
çè-2 0 3 ÷ø çç
çè-1 3 ÷÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Tính chất
Cho các ma trận A, B,C Î M m ,n () và số l Î  .
Giả thiết các phép nhân đều thực hiện được, ta có:
1) (AB )C = A(BC ) ;

2) A(B + C ) = AB + AC ; 3) (A + B )C = AC + BC ;
4) l(AB ) = (lA)B = A(lB ); 5) AI n = A = I m A .

æ1 0 -1ö
æ-1 -2 1ö
÷÷
÷÷
çç
çç
÷
÷
ç
ç
÷
VD 7. Cho A = çç2 -2 0 ÷ và B = çç 0 -3 1÷÷.
÷
÷÷
çç
çç
÷
çè3 0 -3÷ø÷
çè 2 -1 0÷ø÷
Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA.

5


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 8. Thực hiện phép nhân:
æ 1 -1 2öæ 0
1
3 öæ
2 -1 2 öæ
-1ö
çç
÷÷÷ çç
÷÷÷ çç
÷÷÷ çç ÷÷÷
A = ççç 2 -3 0÷÷ ççç-1 -2 1 ÷÷ ççç1 0 -2÷÷ ççç 1 ÷÷.
÷÷ ç
÷÷ ç
÷÷ ç ÷÷
çç
ç
0 ÷øè
÷ çç3 1
÷ çç-2÷ø÷
èç-1 1 4÷÷øèç 2 -1 -3÷øè
Nhận xét
Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

 Lũy thừa ma trận
Cho ma trận vuông A Î M n ().
• Lũy thừa ma trận A được định nghĩa theo quy nạp:
A0 = I n ; A0 = A ; Ak +1 = Ak .A, "k Î  .

• Nếu $k Î  \ {0; 1} sao cho Ak = (0ij )n thì A được
gọi là ma trận lũy linh.
Số k Î , k ³ 2 bé nhất sao cho Ak = (0ij )n được
gọi là cấp của ma trận lũy linh A .
0 1 0
VD 9. Ma trận A   0 0 1  là lũy linh cấp 3.


0 0 0



 Chương 1. Ma trận – Định thức

Tính chất
1) (0n )k = 0n ; (I n )k = I n , "k Î 

2) Ak +m = Ak .Am , "A Î M n (), "k, m Î 
3) Akm = (Ak )m , "A Î M n (), "k, m Î  .
Chú ý
1) Nếu A = diag (a11, a22 ,..., ann ) Î M n () thì:
k
k
k
Ak = diag(a11
, a22
,..., ann
).

2) Nếu A, B Î M n () thỏa AB = BA (giao hoán) thì

các hằng đẳng thức quen thuộc cũng đúng với A , B .
Khi AB ¹ BA thì các hằng đẳng thức đó không còn
đúng nữa.

6


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ1 -1ö
÷
VD 10. Cho f (x ) = 2x 3 - 4x 2 và A = ççç
÷÷.
çè0 1 ÷ø
Tính f (A) + I 2 .
æ2 0ö
÷÷
2011
VD 11. Cho A = ççç
÷÷ , giá trị của (I 2 - A) là:
1
0
çè
ø
æ-1 -1ö
æ-1 1ö
æ 0 -1ö
æ-1 0ö

÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
; B. ççç
; C. ççç
; D. ççç
A. ççç
÷
÷
÷
÷.
÷
÷
÷
1ø
çè 0
çè-1 0ø
çè-1 1 ø
çè-1 1÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 12. Tìm ma trận D = (ABC )5 , trong đó:
æ-2 1ö
æ3 0 ö
æ0 1ö
÷÷
÷÷
÷÷

A = ççç
, B = ççç
, C = ççç
÷
÷
÷.
çè 1 0÷ø
çè8 -1÷ø
çè1 2÷ø

æcos a - sin aö
÷÷
VD 13. Cho ma trận A(a) = ççç
÷.
çè sin a cos a ÷ø
n

Hãy tìm ma trận éëêA(a)ùûú , "n Î  ?

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 14. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp 40 có các
phần tử aij = (-1)i + j . Phần tử a25 của A2 là:
A. a25 = 0 ; B. a25 = -40 ; C. a25 = 40 ; D. a25 = -1.
VD 15. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp 100 có
các phần tử aij = (-1)i .3 j . Phần tử a 34 của A2 là:

35
(1 - 3100 );
4

35
C. a 34 = (3100 - 1);
2

A. a 34 =

35 100
(3 - 1);
4
5
3
D. a 34 = (1 - 3100 ).
2

B. a 34 =

7


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

d) Phép chuyển vị (Transposed matrix)
Cho ma trận A = (aij )m´n .
Khi đó, AT = (a ji )n´m được gọi là ma trận chuyển vị
của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).

æ1

4 ö÷

ç
÷
æ1 2 3ö
÷÷  AT = ççç 2 5 ÷÷ .
ç
ç
VD 16. Cho A = ç
÷÷
÷
ç
5 6ø÷
çç
çè4
÷
çè 3 6 ÷÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Tính chất
1) (A + B )T = AT + BT ;
2) (lA)T = l.AT ;
3) (AT )T = A ;
4) (AB )T = BT AT ;
5) AT = A  A là ma trận đối xứng.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ 1 -1ö

÷÷
çç
æ 0 1 -2ö
÷
÷
2 ÷÷, B = ççç
VD 17. A = ççç 0
÷÷.
çè-1 0 -3÷ø
çç
÷÷÷
çè-3 -2÷ø
a) Tính (AB )T .
b) Tính BT AT và so sánh kết quả với (AB )T .

8


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
(Gauss – Jordan)
Cho ma trận A = (aij )m´n (m ³ 2). Các phép biến đổi
sơ cấp (PBĐSC) dòng e trên A là:
di «dk
¾ A¢ .
1) (e1 ) : Hoán vị hai dòng cho nhau A ¾ ¾
d ld

i
i
¾¾
 A¢¢ .
2) (e2 ) : Nhân 1 dòng với số l ¹ 0 , A ¾¾

3) (e3 ) : Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần
di di +ldk
dòng khác, A ¾¾
¾ ¾¾
 A¢¢¢ .
Chú ý
di  mdi +ldk
¾¾¾
B.
1) Trong thực hành ta thường làm A ¾¾
2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên
cột của ma trận.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 18. Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận
æ
ö
æ1 - 2
3 ö÷
çç2 1 -1÷÷
çç
÷÷

÷÷
ç
ç
A = çç1 -2 3 ÷ về B = çç0 1 -7 / 5÷÷.
÷÷
÷÷
çç
çç
0 ÷÷ø
çè3 -1 2 ÷÷ø
çè0 0

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1.4. Ma trận bậc thang
• Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng
0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).
• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòng
trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.
• Ma trận bậc thang là ma trận khác không cấp m ´ n
(m, n ³ 2) thỏa hai điều kiện:

1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dòng
khác 0;
2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải
phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó.

9

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 19. Các ma trận bậc thang:
æ1 0 2 ö
÷÷
çç
çç0 0 3÷÷,
÷÷
çç
çç0 0 0÷÷÷
è
ø

æ 1 0 ... 0 ö
÷÷
æ0 1 2 3ö
çç
÷÷
çç
çç 0 1 ... 0 ÷÷
çç0 0 4 5÷÷,
÷
ç
çç
÷÷÷ I n = çç... ... ... ...÷÷÷ .
÷÷
çç
çç0 0 0 1÷÷

è
ø
çç 0 0 ... 1 ÷÷
è
ø

Các ma trận không phải là bậc thang:
æ0 0 0ö
æ0 2 7 ö
æ1 3 5 ö
÷÷
÷÷
÷÷
çç
ç
ç
çç3 1 4÷÷, ççç0 3 4÷÷, ççç0 0 4÷÷.
÷÷
÷÷
÷÷
çç
çç
çç
÷
÷
÷
ççè0 0 5÷÷ø
ççè0 0 5÷÷ø
ççè2 1 3÷÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

 Ma trận bậc thang rút gọn
Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có
phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là
phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó.
æ1 3 0 0ö
æ0 1 0 3ö
÷÷
÷÷
çç
çç
÷
÷
ç
ç
÷
VD 20. I n , A = çç0 0 1 0÷ , B = çç0 0 1 2÷÷
÷
÷÷
çç
çç
÷
çè0 0 0 1÷ø÷
çè0 0 0 0÷ø÷

là các ma trận bậc thang rút gọn.

æ1 2 3ö
÷÷

Ma trận C = ççç
÷ không là bậc thang rút gọn.
çè0 0 1÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1.5. Ma trận khả nghịch
a) Định nghĩa
• Ma trận A Î M n () được gọi là khả nghịch nếu tồn
tại ma trận B Î M n () sao cho:
AB = BA = I n .

• Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.
Ký hiệu B = A-1 . Khi đó:
A-1A = AA-1 = I n ; (A-1 )-1 = A.
Chú ý
Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất
và A cũng là ma trận nghịch đảo của B .

10


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ2 5ö
æ 3 -5ö
÷÷
÷÷

VD 21. A = ççç
và B = ççç
÷
÷÷ là hai ma trận
÷
1
3
1
2
çè
çè
ø
ø
nghịch đảo của nhau vì AB = BA = I 2 .
æ 0 0 1ö
÷÷
çç
÷
VD 22. Cho biết ma trận A = ççç0 1 0÷÷ thỏa:
÷÷
çç
çè1 0 0÷÷ø
A3 - A2 - A + I 3 = O3 . Tìm A-1 ?

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Chú ý
1) Nếu ma trận A có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì
không khả nghịch.
2) I -1 = I ; (AB )-1 = B -1A-1 .

3) Nếu ac - bd ¹ 0 thì:
-1
æ
ö
æ c -b ö
1
÷÷
çça b ÷÷ =
. ççç
÷.
ççd c ÷÷
d
a
ac
bd
÷
ç
è
ø
è
ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ2 5ö
æ2 1ö
÷÷
÷÷
VD 23. Cho A = ççç

và B = ççç
÷
÷÷.
÷
1
3
3
2
çè
çè
ø
ø
-1
Thực hiện phép tính: a) (AB ) ;
b) B -1A-1 .
æ19 12ö
÷÷
Giải. a) Ta có: AB = ççç
÷ và 19.7 - 11.12 = 1
çè11 7 ÷ø

11


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ5 -3ö
æ-4 1ö

÷÷
÷÷
, B = ççç
VD 24. Cho hai ma trận A = ççç
÷
÷÷.
÷
3
2
2
3
èç
ø
èç
ø
Tìm ma trận X thỏa AX = B .
Giải. Ta có:
AX = B  A-1AX = A-1B  X = A-1B .

æ-2 3öæ-4 1ö æ-2 -7 ö
÷÷ç
÷ ç
÷
Vậy X = - ççç
÷÷çç-2 3÷÷÷ = çç-2 -12÷÷÷.
3
5
èç
øèç
ø èç

ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi
sơ cấp trên dòng (tham khảo)
Cho A Î M n () khả nghịch, ta tìm A-1 như sau:
Bước 1. Lập ma trận A I n (ma trận chia khối) bằng

(

)

cách ghép ma trận I n vào bên phải của A.

Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa
A I n về dạng I n B .
æ1 -1 0 1ö
÷÷
çç
Khi đó: A-1 = B .
çç0 -1 1 0÷÷
÷÷
VD 25. Tìm nghịch đảo của A = çç
.
çç0 0 1 1÷÷÷
çç
÷÷
èç0 0 0 1÷ø

(

)

(

)

 Chương 1. Ma trận – Định thức

(

Giải. Ta có: A I 4

)

æ
çç1 -1 0 1 1
çç0 -1 1 0 0
= çç
çç0 0 1 1 0
çç
çè0 0 0 1 0

æ1
çç
çç0
d3 d3 -d4
ç
¾¾

¾
¾
¾

ç
d2 d3 -d2
çç0
d1 d1 +d2 -d4
çç
çè0

0 0 0ö÷
÷÷
1 0 0÷÷
÷÷
0 1 0÷÷
÷
0 0 1÷÷ø÷

0 0 0 1 -1 1 -2ö÷
÷÷
1 0 0 0 -1 1 -1÷÷
÷÷ .
0 1 0 0 0 1 -1÷÷
÷
0 0 1 0 0 0 1 ÷÷÷ø
I4
A-1



……………………………………………………………………

12


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

§2. ĐỊNH THỨC
2.1. Định nghĩa
a) Ma trận con cấp k

Cho A = (aij ) Î M n ().
n

• Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm
trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma
trận con cấp k của A.

• Ma trận M ij có cấp n - 1 thu được từ A bằng cách
bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con
của A ứng với phần tử aij .

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ1 2 3ö
÷÷
çç

÷
ç
VD 1. Ma trận A = çç4 5 6÷÷ có các ma trận con ứng
÷÷
çç
çè7 8 9÷÷ø với các phần tử aij là:
æ5 6ö
æ4 6ö
æ 4 5ö
÷÷
÷÷
÷
, M 12 = ççç
, M 13 = ççç
M 11 = ççç
÷
÷
÷÷÷,
÷
÷
8
9
7
9
7
8
èç
ø
èç
ø

èç
ø
æ2 3ö
æ1 3ö
æ1 2ö
÷÷
÷÷
÷
, M 22 = ççç
, M 23 = ççç
M 21 = ççç
÷
÷
÷÷,
8
9
7
9
7
8
÷
÷
÷
çè
çè
çè
ø
ø
ø
æ2 3ö

æ1 3ö
æ1 2ö
÷÷
÷÷
÷÷
, M 32 = ççç
, M 33 = ççç
M 31 = ççç
÷
÷
÷.
çè5 6÷ø
çè4 6÷ø
çè4 5÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Định thức (Determinant)
Định thức của ma trận vuông A Î M n (), ký hiệu
det A hay A , là 1 số thực được định nghĩa:
 Nếu A = (a11 ) thì detA = a11 .

æa
a ö÷
 Nếu A = ççç 11 12 ÷÷ thì detA = a11a22 - a12a21 .
çèa21 a22 ÷ø

 Nếu A = (aij )n (cấp n ³ 3 ) thì:

det A = a11A11 + a12A12 + ... + a1n A1n

trong đó, Aij = (-1)i + j det M ij và số thực Aij được
gọi là phần bù đại số của phần tử aij .

13


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Chú ý
1) det I n = 1, detOn = 0 .
a11 a12 a13

2) Tính a21 a22 a23 .
a 31 a 32 a 33

a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a 31 a 32 a 33

hoặc

(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ
đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt).

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 2. Tính định thức của các ma trận sau:
æ1 2 -1ö
÷÷
çç
æ3 -2ö
÷÷
çç3 -2 1 ÷÷.
=
,
B
A = ççç
÷÷
÷
çç
çè1 4 ÷ø
÷÷
çç2 1
1
÷ø
è
VD 3. Tính định thức của ma trận:
æ0 0 3 -1ö
÷÷
çç
÷
ççç4 1 2 -1÷÷
÷÷.
A=ç

çç3 1 0 2 ÷÷
÷÷
çç
çè2 3 3 5 ø÷

 Chương 1. Ma trận – Định thức

2.2. Các tính chất cơ bản của định thức

Cho ma trận vuông A = (aij ) Î M n (), ta có các
n

tính chất cơ bản sau:

a) Tính chất 1

( )

det AT = det A.
1

VD 4.

2
-1

3

2

1

2

-2 1 = 3 -2
1

1

2

1

-1
1 = -12 .
1

14


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Tính chất 2
Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì
định thức đổi dấu.
1
3 2
1 -1 1

-1 1 1
VD 5. 2 -2 1 = - 2 -2 1 = -2 2 1 .
3
1 2
-1 1 1
1
3 2
Hệ quả. Nếu định thức có ít nhất 2 dòng (hoặc 2 cột)
giống nhau thì bằng 0.
x x2 x3
3 3 1

VD 6.

2 2 1 = 0;

1 y2

y5 = 0.

1 1 7

1 y2

y5

 Chương 1. Ma trận – Định thức

c) Tính chất 3
Nếu nhân 1 dòng (hoặc 1 cột) với số thực λ thì

định thức tăng lên λ lần.
3.1 0 3.(-1)

VD 7.

2

1

-2

3

1

7

1 0 -1
= 3 2 1 -2 ;
3 1

x3

x +1 x

7

1 x

x3

x + 1 y y 3 = (x + 1) 1 y y 3 .
z3

x +1 z

1 z

z3

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Hệ quả
1) Nếu định thức có ít nhất 1 dòng (hoặc 1 cột)
bằng 0 thì bằng 0.
2) Nếu định thức có 2 dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với
nhau thì bằng 0.
x

VD 8.

x

2

x

3

0

1

6

0

y = 0;

2

0 y

2

- 6 -9
2

-8 - 3

-3 = 0 .
12

15


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

d) Tính chất 4
Nếu định thức có 1 dòng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần
tử là tổng của 2 số hạng thì ta có thể tách thành tổng
2 định thức.
VD 9. x + 1 x - 1 x
1 -1 0
x x x
x

y

y3 = x

y

y3 + x

1

z

z3

z

z3

cos2 x
2

sin x
2

sin x

2 3

1

sin2 x

5 6 + cos x
8 9

1 z

2 3

2

y y3 ;
z3

1 2 3

5 6 = 1 5 6.
1 8 9
8 9

2

cos x

 Chương 1. Ma trận – Định thức

e) Tính chất 5
Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng
(hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác.
VD 10. Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về
1 2 3
dạng bậc thang: D = -1 2 -1 .
2

3

4

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Chú ý

1
Phép biến đổi 0

2
4

3 d 4d +d 1 2
3
3

2
2 ===== 0 4

0 -1 - 2

3
2 là sai

0 0 -6

vì dòng 3 (trước khi thay đổi) đã nhân với số 4.

16


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

x

2 2

VD 11. Sử dụng tính chất 5 để tính D = 2 x 2 .
2 2 x

 Chương 1. Ma trận – Định thức

2.3. Định lý (khai triển Laplace)

Cho ma trận vuông A = (aij ) Î M n (), ta có các
n

khai triển Laplace của định thức A:
a) Khai triển theo dòng thứ i
n

det A = ai 1Ai 1 + ai 2Ai 2 + ... + ain Ain = å aij Aij .
j =1

i+j

Trong đó, Aij = (-1)

det(M ij ).

b) Khai triển theo cột thứ j
n

det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj = å aij Aij .
i =1

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1 0 0 2
2 0 1 2
VD 12. Tính định thức
bằng hai cách
1 3 2 3
3 0 2 1

khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2.
VD 13. Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy tính
1 1
1 2
định thức

2 -1 1 3
.
1 2 -1 2
3 3
2 1

17


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Các kết quả đặc biệt cần nhớ
1) Dạng tam giác
a11 a12 ... a1n
0 a22 ... a2n
...
0

...
0

... ...
... ann

=

a11
a21

0
a22

...
...

0
0

= a11a22 ...ann .

... ... ... ...
an 1 an 2 ... ann

2) Dạng tích: det(AB ) = det A. det B.

3) Dạng chia khối
A  B
   = det A. detC , với A, B, C Î M n ().
On  C

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1

VD 14. Tính det A =

VD 15. Tính det B =

2

3

4

0 -2 7

19

0

0

3

0

0

0

0 -1

0 0 3 4
3 -2 7 19
1
0

2
0

3 7
8 -1

.

.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ1 1 -1öæ2 1 4ö
÷÷ ç
÷÷
çç
÷÷ çç
÷
ç
VD 16. Tính detC = çç2 0 3 ÷ çç2 1 3÷÷ .
÷
÷÷
çç
÷÷ çç

÷ ç1 2 1ø÷÷
èç1 2 -3øè
T

æ
öæ
öæ
ö
çç1 1 -1÷÷ çç2 1 4÷÷ çç-3 1 4÷÷
÷÷ ç
÷÷ ç
ç
VD 17. Tính det D = çç2 0 3 ÷ çç2 1 3÷ çç 0 1 2÷÷÷ .
÷÷ ç
÷÷ ç
÷÷
çç
÷÷ çç 1 2 1ø÷÷
çè1 2 -3÷÷øèçç1 2 1øè

18


1/5/2016

Chng 1. Ma trn nh thc

VD 18. Phng trỡnh

x 1 0

1 x 0

0
0

2 x x -2
3 8 2 x

= 0 cú nghim

ộx = 1
l: A. x = 1; B. x = 1; C. x = -1; D. ờờ
.
ờởx = 2

Chng 1. Ma trn nh thc

2.4. ng dng nh thc tỡm ma trn nghch o
a) nh lý
Ma trn vuụng A kh nghch khi v ch khi:
det A ạ 0.

VD 19. Giỏ tr ca tham s m ma trn
T
ổm 1 ửổm
0 ửữ ổỗm - 1 0 ửữ
ữữ ỗ
ỗ
ữữ
ữữ ỗ

A = ỗỗ
ữỗ
m 2 ữữứ
ỗố 0 m ữứốỗỗ 1 m - 1ứữ ỗỗố 1
kh nghch l:
ộm = 0
A. ờờ
;
ờởm = 1

ỡ
ùm ạ 0
B. ùớ
;
ù
m ạ1
ù
ợ

C. m ạ 0 ;

D. m ạ 1.

Chng 1. Ma trn nh thc

b) Thut toỏn tỡm A1

Bc 1. Tớnh detA. Nu det A = 0 thỡ kt lun A
khụng kh nghch. Ngc li, ta lm tip bc 2.
Bc 2. Lp ma trn (Aij ) , Aij = (-1)i + j det M ij .

n

Suy ra ma trn ph hp (adjunct matrix) ca A l:
T
adjA = ộờ(Aij ) ựỳ .
nỷ
ở
Bc 3. Ma trn nghch o ca A l:
1
A-1 =
.adjA.
det A

19


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của:
æ1 2 1 ö
÷÷
çç
÷
ç
A = çç1 1 2÷÷.
÷÷
çç
çè3 5 4ø÷÷

æ1 2 1ö
÷÷
çç
÷
ç
VD 21. Cho ma trận A = çç0 1 1÷÷. Tìm A-1 .
÷÷
çç
çè1 2 3÷ø÷

 Chương 1. Ma trận – Định thức

2.5. Hạng của ma trận
a) Định thức con cấp k
Cho ma trận A = (aij )

m´n

. Định thức của ma trận con

cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A.
Định lý
Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều
bằng 0 thì các định thức con cấp k + 1 cũng bằng 0.

b) Hạng của ma trận (rank of matrix)
Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A
được gọi là hạng của ma trận A .
Ký hiệu là r (A).

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Chú ý
• Nếu A = (aij )

m´n

khác 0 thì 1 £ r (A) £ min{m, n }.

• Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r (A) = 0 .

c) Thuật toán tìm hạng của ma trận
• Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang.

• Bước 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính
là hạng của ma trận đã cho.
• Đặc biệt
Nếu A là ma vuông cấp n thì:
r (A) = n  det A ¹ 0.

20


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 22. Điều kiện của tham số m để ma trận
æm -1 -2ö

÷÷
çç
÷
ç
A = çç 0 3
2 ÷÷ có hạng bằng 3 là:
÷÷
çç
1 ÷ø÷
çè 0 1
A. m ¹ 1; B. m ¹ -1; C. m ¹ 1;

D. m ¹ 0 .

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ1 -3 4 2ö
÷÷
çç
÷
ç
VD 23. Cho A = çç2 -5 1 4÷÷. Tìm r (A).
÷÷
çç
çè3 -8 5 6ø÷÷
æ
ö
çç2 1 -1 3 ÷÷
çç0 -1 0
0 ÷÷÷

÷ . Tìm r (A).
VD 24. Cho A = çç
çç0 1
2
0 ÷÷÷
çç
÷÷
çè0 -1 1 -4÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Chú ý
Ta có thể hoán vị cột của ma trận rồi đưa về bậc thang.
VD 25. Giá trị của tham số m để ma trận
æm + 1
1
3÷ö
çç
÷÷
ç
A = çç 2
m + 2 0÷÷ có r (A) = 2 là:
÷÷
çç
1
3÷÷ø
çè 2m

ém = -2
ém = -1

; B. m = 1; C. m = -2 ; D. êê
.
A. êê
êëm = 1
êëm = 0

21


1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 26. Tùy theo giá trị m , tìm hạng của ma trận:
æ-1 2 1 -1 1 ö
÷÷
çç
çç m -1 1 -1 -1÷÷
÷÷.
A = çç
çç 1 m 0 1
1 ÷÷÷
÷
çç
2 2 -1 1 ÷ø÷
çè 1

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
§1. Hệ phương trình tổng quát
§2. Hệ phương trình thuần nhất

……………………………………………………………

§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT
1.1. Định nghĩa
Hệ gồm n ẩn x i (i = 1,2,..., n ) và m phương trình:
ì
ï
a11x 1 + a12x 2 + ... + a1n x n = b1
ï
ï
ï
ïa21x 1 + a22x 2 + ... + a2n x n = b2
(I )
í
ï
..........................................
ï
ï
ï
a x + am 2x 2 + ... + amn x n = bm
ï
ï
î m1 1
trong đó, hệ số aij , bj Î  (i = 1,..., n; j = 1,..., m ) ,

được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

æa

ö
çç 11 ... a1n ÷÷
÷
Đặt: A = ççç ... ... ... ÷÷ = (aij ) ,
m´n
÷÷
çç
çèam 1 ... amn ø÷÷

(

B = b1 ... bm

)

T

(

và X = x 1 ... x n

)

T

lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và
ma trận cột ẩn.
Khi đó, hệ (I ) trở thành AX = B .

(

• Bộ số a = a1 ... an

)

T

(

hoặc a = a1; ...; an

)

được gọi là nghiệm của (I ) nếu Aa = B .

22


1/5/2016

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 1. Cho hệ phương trình:
ì
ï
x 1 - x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 4
ï
ï
ï
í2x 1 + x 2 + 4x 3 = -3

ï
ï
2x - 7x 3 = 5.
ï
ï
î 2
Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận:
æ ö
æ1 -1 2 4ö ççx 1 ÷÷ æ 4 ö
÷÷ ç ÷÷ ç ÷÷
çç
÷ çx ÷ ç ÷
ç
4 0÷÷ çç 2 ÷÷ = ççç-3÷÷
ççç2 1
÷÷ ççx 3 ÷÷ ç ÷÷
çèç0 2 -7 0÷ø÷ çç ÷÷ çèç 5 ÷ø÷
èçx 4 ø÷

và a = (1; -1; -1; 1) là 1 nghiệm của hệ.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

1.2. Định lý Crocneker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B . Gọi ma trận
æa
ö
çç 11 a12 ... a1n b1 ÷÷
÷
mở rộng là A = A B = ççç ... ... ... ... ... ÷÷.

÷÷
çç
çèam 1 am 2 ... amn bm ÷÷ø
Định lý
Hệ AX = B có nghiệm khi và chỉ khi r (A) = r (A).

(

)

Trong trường hợp hệ AX = B có nghiệm thì:
 Nếu r (A) = n : kết luận hệ có nghiệm duy nhất;
 Nếu r (A) < n : kết luận hệ có vô số nghiệm
phụ thuộc vào n - r tham số.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số
nghiệm của hệ phương trình:
ìïx + my - 3z = 0
ï
í
ïï (1 - m 2 )z = m - 1.
î
VD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình:
ìïmx
+ 8z - 7t = m - 1
ïï
ïï3x + my + 2z + 4t = m
ïí

ïï
mz + 5t = m 2 - 1
ïï
5z - mt = 2m + 2
ïïî
có nghiệm duy nhất là:
A. m ¹ 0 ; B. m ¹ 1; C. m ¹ 1; D. m ¹ 5 .

23


1/5/2016

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát
a) Phương pháp ma trận (tham khảo)
Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B , với A là
ma trận vuông cấp n khả nghịch.
Ta có:
AX = B  X = A-1B.
VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng
phương pháp ma trận:
ì
ï
2x + y - z = 1
ï
ï
ï
í y + 3z = 3

ï
ï
2x + y + z = -1.
ï
ï
î

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

b) Phương pháp định thức (hệ Cramer)
Cho hệ AX = B , với A là ma trận vuông cấp n .
• Bước 1. Tính các định thức:
a11 ... a1 j ... a1n

D = det A = ... ... ...
an 1 ... anj

a11 ... b1

... ... ,
... ann

... a1n

D j = ... ... ... ... ... , j = 1, n
an 1 ... bn ... ann
(thay cột thứ j trong D bởi cột tự do).

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

• Bước 2. Kết luận:
 Nếu D ¹ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất:
D
x j = j , "j = 1, n.
D

 Nếu D = D j = 0, "j = 1, n thì hệ có vô số nghiệm
(ta thay tham số vào hệ và tính trực tiếp).
 Nếu D = 0 và $D j ¹ 0, j = 1, n thì hệ vô nghiệm.

24


1/5/2016

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức:
ì
ï
2x + y - z = 1
ï
ï
ï
y + 3z = 3
í
ï
ï
2x + y + z = -1.
ï

ï
î
ì
ï(m + 1)x + y = m + 2
VD 6. Hệ phương trình ïí
ï
x + (m + 1)y = 0
ï
î
có nghiệm khi và chỉ khi:
B. m ¹ -2  m ¹ 0 ;
A. m = -2 ;
C. m ¹ 0 ;
D. m ¹ -2 .

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

c) Phương pháp ma trận bậc thang
(phương pháp Gauss)
Xét hệ phương trình tuyến tính AX = B .

(

)

• Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B về dạng bậc

thang bởi PBĐSC trên dòng.
• Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.
Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:

 có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;
 có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó;

(

)

 có 1 dòng dạng 0...0 b , b ¹ 0 thì hệ vô nghiệm.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:
ì
ï
2x + y - z = 1
ï
ï
ï
y + 3z = 3
í
ï
ï
2x + y + z = -1.
ï
ï
î
VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính:
ìï5x - 2x + 5x - 3x = 3
ïï 1
2

3
4
ïí4x + x + 3x - 2x = 1
2
3
4
ïï 1
= - 1.
ïï2x 1 + 7x 2 - x 3
î

25