Các bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phân

TRẦN THỊ T H A N H H À -N G U Y Ễ N TRI TỐT

CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC
PHƯUNG TRÌNH, BẤT PHƯ0NG TRÌNH MŨ VẢ LOGARIT,
TÍCH PHÂN
(Tiái bản lần thứ nhất)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM



PHƯƠNG TRlNH, BẤT PHƯƠNG TRlNH Mũ VẢ LOGARIT, TÍCH PHẢN

3

MỤC LỤC
T rang

LỜI NÓI Đ Ầ U ................................................................................................5

Phần I
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
I-

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.................................7
1.1.

PHƯƠNG TRÌNH M Ũ .................................................................... 8
1.1.1. Phương pháp đưa về cùng cơ s ố ....................................... 8
1.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ.................................................. 13

1.1.3. Phương pháp logarit hoá (lấy logarit hai vế).................... 28
1.1.4. Phương pháp đoán nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó
là duy nhất..........................................................................36

1.2.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ........................................................43

II - PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT....................60
2.1.

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT........................................................ 61
2.1.1. Phương pháp đưa về cùng cơ s ố ......................................61
2.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ.................................................. 67
2.1.3. Phương pháp đoán nghiệm rối chứng minh nghiệm đó
là duy nhất.........................................................................80

2.2.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT...............................................83

III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT............................................ 94

Phần II
TÍCH PHÂN
I -

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH........................ 108
11

ĐỊNH

NGHĨA.................................................................... 108

1.2.

TÍNH CHẤT.................................................................................109

13.

BẢNG NGUYÊN HÀM c ơ BẢN.................................................109
1.3.1. Nguyên hàm củacác hàm số sơ cấp thường gặp ........ 109
1.3.2. Nguyên hàm của hàm hợp...............................................110


_____________________________ _ i .

1.4.

'-'J

Qỳ__________ CÁC BAITOAN CHỌN Lgc

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

.......111

1.4.1. Dùng bảng nguyên hàm cơ bản........................................ 111
1.4.2. Phương pháp đổi biến.....;..........113
1.4.3. Phương pháp tích phân từng phần..................................116

1.4.4. Tích phản hàm hữu tỷ ............

............... 120

- TÍCH PHÂN XÁC Đ ỊN H ........................................................................... 126
2.1.

ĐỊNH N G H ĨA ...................................................................................126

2.2.

TÍNH CHẤT ..............................................

2.3.

...................127

PHƯƠNG PHÁP TlNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ............ ........127
2.3.1. Phương pháp đổi biến số.................................................... 127
2.3.2. Phương pháp tích phân từng phần.................................. 140

2.3.

CÁC DẠNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH THƯỜNG G Ặ P ...............153
2.3.1. Tích phân hàm phân thức................................................... 153
2.3.2. Tích phân hàm căn thức..................................................... 166
2.3.3. Tích phân hàm lượng giác................................................... 179
2.3.4. Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đ ố i..................... 195

PHƯONG TRlNH, BẤT PHUONG TRlNH Mũ VÀ LOGARIT, TÍCH PHAN

5

J 2 ờ in ó i Ể ẳu

Bộ sách Các bài toán chọn lọc gồm các cuốn:
• Lượng giác và hình giải tích;

• Phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phân;
• Tam thức bậc hai;
• Khảo sát, vẽ đồ tliị hàm số và các bài toán liên quan.
Với mong muốn giúp các em học sinh hệ thống lại các kiến thức cơ bản,
chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp THPT cũng như thi vào các trường đại
học. cao đảng, chúng tôi tập hợp các nội dung cơ bản của môn Toán THPT
thành các chủ đề. Với mỗi chủ để chúng tôi có tóm tắt lý thuyết, đưa ra một
số phương pháp giải các bài toán thòng qua lòi giải chi tiết của các bài giải
mầu. cuối cùng là bài tập tự giải để các em tự luyện. Đề toán thì nhiều,
nhưng tựu trung lại một đề toán tổng hợp chỉ là tổ hợp của một số dạng toán
cơ bán. Nắm vững các dạng toán cơ bản sẽ giúp các em giải tốt các bài tập.
Nội dung bộ sách phù hợp với chương trình Toán trung học phổ thông và
đáp ứng yêu cầu thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hiện nay.
Đế khai thác tốt bộ sách, dé nghị bạn đọc nên thực hiện theo trình tự sau:
1. Đọc kỹ phần lý thuyết.
2. Nghiên cứu sâu kỹ thuật giải bài tập.
3. Tự giải các bài tập.
Bộ sách là kết quả thực tế giảng dạy nhiều nãm ở các trường THPT,
mong rằng sẽ giúp bạn đọc lự trang bị cho mình những kiến thức vững vàng
để có kết quả cao trong các kỳ thi, đổng Ihời phát huy kiến thức của mình đế
có nhiều cách giải hay. Chúng tôi hy vọng bộ sách là tài liệu hữu ích cho các

em học sinh phổ thông và các em học sinh ôn thi đại học và cao đẳng, đổng
thời cũng là tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp đế giảng dạy.


6

CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

Các tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, đặc biệt là Phó
giáo sư, Tiến sĩ Vũ Dương Thụy đã động viên, giúp đỡ và có nhiều ý kiến
đóng góp quý báu cho bộ sách.
Các tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp cúa bạn đọc để
bộ sách ngày càng hoàn thiện hơn. Thư góp ý xin gửi về Công ty
Cổ phần Sách Đại học - Dạy nghề, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,
25 Hàn Thuyên, Hà Nội.
CÁC TÁC GIẢ


P h in I
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
I - PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Trước hết cần nhắc lại:
1. Vói ứ * 0 ; n 6 N , ta có:
•

an — ạ x a x . . . x a x ạ , a° = 1;
n lần

• a

2.

=

1

a
Với a > 0; m, 11 e N , ta có:
m
. a~'
■
• a

-V"
3.

Với a > 0, b > 0; m, n e N , ta có:
• a"'a" = am +
m

an

í ì \ m _ mìĩìl .
= a b ;
a


CÁC BÀITOẤN CHỌN LỌC

8

Chú ỷ: - Nếu a > 1 thì à" > a1' khi và chỉ khi m > n\
- Nếu a < 1 thì am > ứ" khi và chỉ khi m < n .

1.1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
C ác phương pháp thường dùng đ ể giải phương trình mũ là: đưa về
cùng cơ số; đặt ẩn pliụ; logarit hoá; đoán nghiệm rồi chứng minh
nghiệm đó là duy nhất.
Nếu f(x) đơn điệu (tức là chỉ đồng biến hoặc ch i nghịch biến) thì
f(x ) = f (y ) <& X = y .V ậ y :
• Nếu 0 < a * 1 thì aA = aB <í=> A = B\
• Nếu 0 < a * 1 và A, B > 0 thì loga A — loga B

A = B.

1.1.1. Phương pháp đưa vể cùng cơ số
Dẫn phư ơng trình vê dạn g m à m ỗi v ế của phư ơn g trình ch ỉ gồm
m ột s ố h ạng có cơ s ố g iốn g nhau.
Bài 1: Giải phương trình
2 * 2-ĩx + 2 _ ^

Giải
V ế trái (VT) của phương trình là một luỹ thừa có cơ số 2, biến đổi
4 ớ vế phải (VP) thành luỹ thừa cơ số 2 ta được phương trình
- 3j-Ị-2 _/^2.
<=>

X2 - 3x + 2 = 2
X2 -

3x = 0

x= 0
X = 3

Vậy phương trình có nghiệm là X = 0 và X = 3.
Bài 2: Giải phương trình
^3at—1

ọX +2


PHƯƠNG TRlNH, BẤT PHƯƠNG TRlNH MO VA LOGARIT, TÍCH PHAN

9

Giải
Biến đổi hai vế về cùng cơ số 3 ta được phương trình
^3jc—1 _^2(.*+2)
33jr_1 = 32jr+4
<*=> 3x - 1 = Ix + 4
=>■ X = 5.
Vậy X = 5 là nghiệm của phương trình.

Bài 3: Giải phương trình
2 = 1 6 n/ Ĩ .

2

(*)

Giải
Ta thấy VP đưa được về cơ số 2 giống như VT, suy ra
5—
X2- 6*x —
(*)

I
. —
2 = 2 .22

<=>

2

<^>

jr2-6-r——
?
2
2 =22

<Í4>

X - 6 x ---- ——

2 _(■

x2 - 6 x
X —

5

9

2

2

-7 = 0

—1

[jr= 7
Vậy x = - \ và X = 7 là nghiệm của phương trình.
Bài 4: Giải phương trình

3

(*)


1

CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

Giải
Điều kiện: X2 + 5x - 6 > 0 =>

~ ^

X> 1

Hai vế của phương trình có cơ sô' giống nhau, suy ra
(*)

<=> \jx 2 + 5x —6 = x + 2
X2 + 5x - 6 = (x + 2)2 (điều kiện Jt > - 2 )
<=> JC2 + 5* - 6 = JC2 + 4X + 4
=>

X = 10.

Kết hợp vói các điều kiện ta được JC= 10 là nghiệm của phương trình.

Bài 5: Giải phương trình
3 2 JC~ 7 = 0 ,2 5 .1 2 8 *-3 .
Giải
Điều kiện: X

7; X 5É 3.

Ta thấy 32; 0,25 và 128 đều đưa được về luỹ thừa của cơ số 2. Vậy

5jr+ 2 5

7 at+1 19

2 Jr~ 7 = 2 *-3
5*+25

<=>

2 X~1 = 2
5-T+25

2 J -7 = 2

7-r + l 19—2 ^ + 6

* -3
5 at+125

*~3

5 jc + 25 _ 5jf + 125
—7

<=>

—3

(5 a- + 25)( jc —3) = (5 jc + 125)( —7)


11

PHƯƠNG TRlNH. BẤT PHUONG TRlNH MO VẢ LOGARIT, TÍCH PHẢN

10jc —75 = 9 0 * — 875

-8 0 * = -8 0 0

=»

X = 10.

Kết hợp với điều kiện, JC= 10 là nghiệm của phương trình.
Bài 6: Giải phương trình
4^(0,125)'r~3 = 2 ^ + * .

(* )

Giải
Điều kiện:

X >

-1.
vT—3 3 _yjx-ị-ỉ
—2

<=> 4

^
^

1

x-3

W.r+1

2 2 2 - U - 3 )= 2V^+ĩ
2 ^ —1 + 3 __ 'ỵỵỊX-\-\

25~x = 2 ^ ’
<=> 5 -

X

- \J x + 1 (điều kiện JC < 5 )

o

JT2 - 10* + 25 = X +

^

Jt2 - 1 Lc + 24 = 0
11-5

2

1

= 3

11 + 5

8

Kết hợp với các điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là X = 3.


12

CÁC BẢI TOÁN CHỌ

Bài 7: Giải phương trình
i x ĩ + x _ị_2l ~ * 2 — 2 (jf+1)2 + 1

Giải
(*)

<*=>■ 2 2 (jr

+Jr) + 2 1~ 'r

= 2 (x + 1 )

+1

^ 2 2(x2+x) + 2 l - x 2 = 2 x2+2x+l + l

2 2(*2 +x) + 2 1_Jf2 - 2*2+2jc+1 - 1 = 0
■. 2 2^ 2

-|- 2 1~'r2 —2 2^ 2

2 1 -*2 _1 = 0

1 2 2(jf2 +Ar) ị_|_ 2 2 (* 2 +-t )' - 1 = 0
-

"

^ - 2 1 -*2 Ị22(jc2 +x) - 1 j + 2 2(*2 +JC) - 1 = 0
2 2(Jt2 +Jf)
^2(
=>■

+ at)

-

11-2

1 -JC 2

= 0

-1 = 0

2 1--*2 - 1 = 0
• Với 2 2u2+jr)- l = 0 < ^ 2 2(jr2+jf) = l
O x 2 +Jt = 0
=>

Jt = 0

x= -l
Với

2

l-x 2

^ l ~ x 2 = 0 ^ x 2 —l
=>x = ± l .
Vậy nghiệm của phương trình là jc = 0 v à * = ± l .


13

PHƯƠNG TRlNH, BẤT PHƯONG TRlNH MO VẢ LOGARIT, TÍCH PHAN

1.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Nếu trong phương trình có nhiều biểu thức giống nhau thì lấy một
biểu thức làm ẩn mới (gọi là ẩn phụ) đ ể đưa vê phương trình quen thuộc.
a) Phương trình mà mỗi v ế của nó gồm các số hạng chứa ẩn có
cơ s ố khác nhau: đưa các s ố hạng đó về cùng cơ số rồi đặt ẩn phụ.

Bài 1: Giải phương trình
5* -i + 53-* = 26.

(* )

Giải
Phương trình đã cho tương đương vói

Đặt 5X= t > 0, phương trình trờ thành
- + —
5
t

- 26 = 0

<=> r2- 130í + 625 = 0
'1=5
t2 = 125
• Với / = 5 ta có 5* = 5 => x = 1.
• Với t = 125 ta có 5* = 125 =>■ X = 3.
Vậy X - 1 và X = 3 là nghiệm của phương trình.
Bài 2: Giải phương trình
2 .1 6 * - 15.4' - 8 = 0.

Giải
Đưa hai số hạng chứa ẩn về cùng cơ số 4 ta được phương trình
2 .4 ^ - 15.4* - 8 = 0.

(*)


14

Đặt 4x = t > 0, phương trình (*) trở thành
2t2 — 15/ —8 = 0

Với t = 8

=ỉ> 4* = 8
O ' 22x = 2 3

Vậy nghiệm của phương trình là X = —.

Bài 3: Giải phương trình
2*2 —X _ 22+*—Jt

= 3.

Giải
Biến đổi để hai số hạng chứa ẩn có số mũ giống nhau ta được
2 X2- X _ 4 2 x - x 2

^

2X

= 3

- 4 .2 _ u _jr) = 3
3 =0.

„

Đặt 2

r2 — r

= r > 0, phương trình (*) trở thành

- -3 =0
t

r2 - 3/ - 4 = 0
ÍJ — —1 (loại)
t2 — 4


PHƯƠNG TRlNH, BẤT PHUONG TRlNH Mũ VẢ LOGARIT, TÍCH PHẢN

Với t = 4 ta được
2**-* = 4
<=>
•<=>

<=>

X

- x -2 = 0
xl = - !
*2 = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm là -Vj = —1 và x2 = 2.

Bài 4: Giải phương trình
25* - 6.5' + 5 = 0.

Giải
(*)

52j' - 6 . 5 j + 5 = 0.

Đặt 5' = t > 0, phương trình trở thành
t2 - 6f + 5 = 0
/, = 1
r2 — 5
, V d i r = 1 => 5X= ì => x = 0.
• Với / = 5 = > 5 jr = 5 = > j c = l .
Vậy nghiệm của phương trình là

X

= 0 và

X

Bài 5: Giải phương trình
2

8' - 2

3 at+3

*

+ 12 = 0 .

= 1.

16

Giải
Điều kiện:

X Ỷ

0.
(*) <=> 8* - 2

*

+ 12-0

2

(£+1)

& 8* - 8

*

2

+ 1 2 == 0
]_
+12

=

0.

J.
Đật 8* = t > 0 , phương trình trở thành
t2 - 8/ + 12 = 0

' 1=2
í2 = 6
1
• Với r = 2 = > 8 ^ = 2

=1
X

=> JC= 3.
• Với t = 6 => 8* = 6
<=> - = logg 6
=>■ Jf =
V ậ y

n g h iệ m

củ a

log8 6

log6 8.

p h ư ơ Ẹ g tr ìụ b i ầ

X =F 3 v à X =

lo g 6 8 .


1'

PHƯONG TRlNH, BẤT PHƯƠNG TRlNH Mũ VÀ L06ARIT. TÍCH PHẢN

Bài 6: Giải phương trình
^ x —yỊx2 —5 _ 12 2 X - l - ^ X 2- 5 + 8 = 0

Giải
Điều kiện: X

> \Ỉ5

(*)

;X
2

< —y / s .

2(x-y[7^5)

2

x —\ x —5

+

8 = 0.

Đặt 2 x - \ l x 2- 5 — t > 0 , ta được ptyơng trình
í2 - 6/ + 8 = 0

í, = 2
ĩ2 — 4
• Vói t = 2 => 2x~J*r~* = 2
<=> X —yỊx2 —5 = 1
-<=> JC—1 = yjx2 —5 (điều kiện JC> 1)
x2 -

2

í

+ 1 = x2 - 5

<=> -2x = -6
=>

X

• Với / = 4 =^2
2
&

= 3.

-V ? + 5 = ^

í- y jx 2 +5 _ ,

X - 2 = y ịx 1

—5 (điẻu kiện ;t > 2)

^ -4 *+ 4 =^ - 5


18

-4 x = -9
9

=» JC= — .

4
Vây nghiêm của phương trình là

X

= 3 và

X —

—.
4

ố) Phương trình m à cơ s ố của s ố h ạng này kh ông p h ả i là l
thừa của cơ sô' sô' hạng kia: đ ể có cơ sô' g iốn g nhau ta p h ả i chia l
v ế cho cùng m ột s ố đ ể xuất hiện cơ s ố chung rồi đặt ẩn phụ.

Bài 7: Giải phương trình
3.4* - 2.6* = 9*.
Giải
Ta thấy 4, 6 và 9 không thể biến đổi về luỹ thừa của cùng một
số nào đó. Vì vậy chia hai vế cho 9* ta được
Iậ \ x

-2

1

=

2x

-1 = 0 .

Đặt

2 'x
3

= t > 0 , phương trình trở thành
3/ - 2í - 1 = 0
'1 = 1

(loại)
'2 ì*

Với / = 1

,3 J
=>

= 1

= 0.

Vậy phương trình có ^ g~n gh iệm X = 0.


PHƯƠNG TRlNH, BẤT PHƯDNG TRlNH Mũ VA LOGARIT, TÍCH PHẨN

Bài 8: Giải phương trình
3.1 6 '+ 2.8 1 '= 5.36'.
Giòi
16; 81 và 36 không thể đưa về luỹ thừa của cùng một cơ số đượ<
Vì vậy chia hai vế cho 81* ta được

Biến đổi về cùng cơ số — ta đuơe
9
—
9
Đặt

9

-5 —
9

= t > 0 , ta được phương trình
3/2 - 5f + 2 = 0

• Với t =
=> X

= 0.

l f x _ 2
3

“ 3


20

& 2x = I
1
=>JC= - f .

2

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0;

X — —.

Bài 9: Giải phương trình
25*+ I0x = 22x+l.
Giải
Biến đổi để sô' mũ của các số hạng giống nhau ta được

(*)

<=> 25* + 10* = 2.4'.

Chia hai vế cho 4Xta được
/ 2 5 'JC

2'

+

m
(5 ''

—2 = 0

-2

=

0.

Đặt —I = / > 0 , ta được phương trình
r + t- 2=0
Í! = 1

t2 — —2 (loại)

Với t = 1

= 1

=>
Vậy

X

X -

0.

= 0 là nghiệm của phương trình.


PHUONG TRỈNH, BẤT PHƯONG TRlNH MO VA LOGARIT, TÍCH PHẢN

Bài 10: Giải phương trình
125Jt + 50Jt = 2ìr+1

G iã
Biến đổi để sô' mũ của các sô' hạng giống nhau ta đuợc
125* + 50* = 2.8*.

Chia hai vế cho 8* ta được

Đặt — = t > 0 , ta được phương trình
t3 + t2 - 2 = 0
/3 - 1 + /2 - 1 = 0
<=>

(r-ÌX ^ + H -l) + (r-l)(r+1) = 0
ự - l ) ( i ỉ + 2t + 2) = 0

r - l = 0=>r = l
=>

2
t + 2t + 2 = 0 (vô nghiệm)

=> X = 0.
Vậy nghiệm của phương trình là X = 0.

Bài 11: Giải phương trình
32 * _ g yC + J x + 4 _ ọ gy]x + 4 _ Q

21


22

Giải
Điểu kiện:

X

> - 4.

Biến đổi để cơ sô' giống nhau ta được phương trình
g

'jx + 'J X+A

ọ

^2

\

X

-4

_

Q

Chia hai vế cho 3jr+'/-r+4 ta được
^ 2 x —x —\ f x + 4

_

^

g

9

3 V

Ĩ +

ọ

> ^ 2 y J x + 4 ~ JC — ^ J x + 4

4

- A T _

Đặt

8

=

0

ta được phương trình

t- - - 8 = 0
t
O’

í2 - 8í - 9 = 0
/j = —1 (loại)

r2 = 9

Với í = 9

Q

=> 3-r~'/*+4 = 9 = 32
<=> x

-y jx

+ 4 =2

—2

= Vx + 4

jt2 -

4 a- + 4 =

x

(điều kiện X > 2)

+4

JC2 —5jc = 0
Jf = 0 (loại)
Jf = 5

Vậy nghiệm của phương trình là X = 5.


ph ư ơ n g t r in h , bất p h u o n g

TRlNH m o

v ả lo g a r it , t íc h phan

Bài 12: Giải phương trình
^ 2 x2 + 6 x - 9

|^ j r 2 + 3 jr-5 _ 2

+ 6 jr - 9

Giải
'T '

'

i2 .r

Ta có: 3

+ 6 jr — 9

=3

2 X

+ 6 jt— 1 0 + 1

_2 32.1’ + 6-*—10

_3
_

^2-t +6jc—9

-ị2(x2 + Ì X - 5 )

3 Q * 2 + 3 jt—5 .

^2jt2+6jt-10 + 1
= 5.52u2+3-r_5)
= 5.25

Chia hai vế cho 25

X

X

+ 3 jt—5

3jr-5

,

la được

+ 3 jr - 5

= 15

-

<=>

Đật

5

\ 2 ( at 2 + 3 j t - 5 )

3 .5,

- 1 5 —0 .

= t > 0 , ta được phương trình


4=> JC2 + 3jc - 5 = - 1
JC2 + 3x - 4 = 0
X = 1

x = -4
Vậy nghiệm của phương trình là

X

= 1; X

Bài 13: Giải phương trình
8' + 18* = 2.27'.
Giải
Chia hai vế cho 2 T ta được
8

18Ì*
—

<2ỸX A i Ỵ
3

2

=

2 =0

.V *

Đặt

0

= t > 0 , ta được phương trình