Bài tập điện động lực học

NGUYÊN VĂN THUẬN - NGUYÊN QUANG HỌC

1ỈẰI TÂP
ĐlệN ĐỘNG LỰC HỌC
•

•

•

NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC s ư PHẠM


Mã số: 0 1 .0 1 .5 4 0 /1 5 0 3 . ĐH 2011


MỤC
LỤC
■
■
LỜI NÓI Đ Ầ U ............................................................................................................................ 5
C h ư ơ n g 1. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TRONG CHÂN KHÔNG......................................... 7
Hướng dẫn g iả i.....................................................................................10
C h ư ơ n g 2. TRƯỬNG ĐIỆN TỪ TRONG MÔI TRƯỜNG LIÊN T Ụ C .................. 23
Hướng dẫn g iả i.................................................................................... 26
C hư ơng 3. ĐIỆN TRƯỜNG KHÒNG ĐỒI.................................................................... 37
Hướng dẫn g iả i.................................................................................... 46
C hư ơng 4. TỪ TRƯỜNG KHÒNG ĐỔI........................................................................75
Hướng dẫn g iả i.................................................................................... 80
C hư ơng 5. TRƯỜNG ĐIỆN T ừ CHUẢN D Ừ N G ..................................................... 101

Hướng dẫn g iả i.................................................................................. 109
C hương 6

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ T ự D O .....................................................................133
Hướng dẫn g iả i...................................................................................137

C hương 7

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BỨC XẠ.................................................................. 155
Hướng dẫn g iả i...................................................................................159

C hương 8. VẬT LÍ PLASMA.......................................................................................... 173
Hướng dẫn g iả i...................................................................................177
TÀI LIỆU THAM K H Ả O ................................................................................................ 191

3



jC ò i n ói đ a u

Cuốn Bài tập Điện động lực học này nhàm phục vụ cho việc iiiánii dạy và
học tập mòn Điện độ nu lực học ờ các

trưÒTìii

Đại học Sư phạm cũng như các

trường đại học khác cỏ học mòn này. Các bài tập có phần hướim dần giái giúp cho
sinh viên làm quen với các phươiie pháp iĩiái hài tập điện độn 11 lực học. Ngoài ra,

việc siài các bài tạp này còn iỉiup cho sinh viên thuận lợi hơn khi học tập và
nghiên cứu một sổ lĩnh vực cùa vật li li thuyết hiện đại.
Các bài tạp trone cuốn sách này đà được chọn lọc đê aiảnti dạy trong
nhữne năm sần đày cho sinh viên trườn VI Đại học Sư phạm Hà Nội và một số
truờnti Đại học Sư phạm khác. Khi biên soạn chúnu tôi đà tham khảo một số bài
tập trona các siáo trình và sách bài tập về điện độna lực học của các tác giả
trong V à nsoài

nư ớ c.

Các tác già xin chán thành cam on GS.TS. Vù Văn Hùng, GS.TS. Đặrm Văn Soa,
PGS.TS- Lè Viết Hoà đã đóns 2 Óp nhiều V kiến quý báu cho cuốn sách.
Lần đầu xuất bàn. cuốn sách chăc chắn không tránh khỏi thiếu sót. các tác
ă á mong nhận được nhừnu V kiên đónđ cóp cua các đônc nshiệp và độc iziá, đê
cuốn sách được hoàn thiện hon cho nhừne làn tái ban sau.
Xin trán trọng cam ơn!
Các tác giii

5



Chương 1
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TRONG CHÂN KHÔNG
■

1.1.

Chime minh rằns cặp phương trình Maxwell thứ nhất cỏ thê thu được từ hệ thức

1.2.

Chửns minh rănn tạp họp bòn đại luợng xác định bởi

\
lập thành một vectơ bổn chiều.
>

1.3.

—>

Gọi / và p là mật độ dòns điện và mật độ điện tích trong hệ K, ị
là các đại lượng tươns ứng trona hệ K . Hệ K

và p

chuyển động với vận tốc

khôntĩ đổi V theo phương Ox đối với hệ K. Viết các công thức biến đổi cúa
vectơ / và mật độ điện tích p từ hệ K sans hệ K .
1.4.

Chứns minh ràng phươns trinh liên tục có thê thu được từ cặp phương trình
M axwell thứ hai.

1.5.

Chíms minh ràng tenxơ tniờns điện từ sẽ không thay đôi nếu thêm vào thế
bốn chiều một lượng ( ~ c a f ) . ơ đây f là một hàm vô hướng tuỳ ý cùa toạ

độ và thời gian.

1.6.

Hãy thiết lập phương trinh chuyên động bốn chiều của điện tích trong
trườns điện từ.

1.7.

Từ hàm Lagrange L = -ni c 2y j ì - p~ +CỊVẢ-CỊ(P, hãy thiết lập biểu thức
xác định năng lượng và hàm Hamilton cùa điện tích trong trường điện từ.

1.8.

Từ hàm Lagrange L = - m rc ' y ị \ - + q v A - q ( p , chứng minh rằng nếu từ
trườna không phụ thuộc thời eian và vectơ B song song với mặt phang ộc, v)
thì khi một hạt tích điện q chuyên động troníi từ trường đó, đại lượng
»

r

'

—i — + qA, không dòi. (ơ dây V, ;;/n là vận tôc, khôi lirợntì cua hạt tích

điện, A là thế vectơ cua từ trườne. /? = —).
c
7

1.9.

Ị-------,
Từ hàm Lagrange L = - m 0c 2 Ạ - /32 +CỊV A —qcp, chúng minh răng nêu từ
trirờng không phụ thuộc thời gian và có tính đối xúng trục (cụ thể là Ar = 0,
A, = 0, Aọ = A ( r , z )), thì khi một hạt tích điện (Ị chuyến động trong từ trường
đó, đại lượng - m-~' ^

không dổi. (Ở đây mo là khối lượng tĩnh của hạt /? = - ) .
c

1.10. Chứng minh rằng khi từ trường đối xứng trục ( Bx = B X= 0 ; B_ = B ( r , t ) )
biến đổi theo thời gian thì xuất hiện điện trường xoáy mà đường sức là
nhữns vòng tròn đồng tâm, có tâm nằm trên trục của từ trường.
1.11. Gọi f iÊ là vectơ lực bốn chiều tác đụntĩ lên hạt, ufl là vectơ vận tốc bốn
chiều của hạt, chứng minh rằng

1.12. Ờ trạng thái cơ bản của nguyên tử hiđrô, điện tích cùa electron (-phân bố đổi xứng cầu với mật độ điện thể tích là

trong đó a là bán kính Bohr, r là khoảng cách tính từ tâm quà cầu. Tính
cường độ điện trường bên trong nguyên tử tạo bởi electron ở điểm cách tâm
một khoảng r.
1.13. Chứng minh ràng phương trình

trong đó q là điện tích điêm đặt tại gốc toạ độ, có nghiệm là

1.14. Một phân bố điện tích sinh ra một điện trường xuyên tàm
„ e~b' E = A — ẽ,.

trong đó A và h là các hằng số.
a) Hày xác định mật độ điện tích sinh ra điện trườnu dó.
b) Tính điện tích toàn phần Q.
8


1.15. Từ phương trình điv B = 0, chứnu minh răng các đườniỉ sức từ là các đường
khép kin.
1.16. Từ phương trình dìv E = — , chirnu minh rằnu các tlườnụ sức điện xuất phát
*0
từ các điện tích đương và tận cùng ớ các điện tích âm.
1.17. Tìm phươns trình vì phân đoi với thè
ọ = q—

r
1.18. Tìm quỳ đạo của electron trons trườrm Coulomb cùa hạt nhàn.
1.19. Một electron được đưa vào tro ne một miền có điện trườim và từ trườnsi đều.
—
*

—
>

—
>

—
>

vuòns góc với nhau. Già thiết rans E = E e y, B = B e . .

a) Với vận tốc ban đầu như thề nào thi các electron sẽ chuyển độnu với vận
tổc khònc đôi?
b) Xét một chùm electron được phóng đồnvi thời vào mặt phẳng vuông sóc
với điện trườno. Liệu có một thời điêm nào khác mà khi đó tất cà các
electron lại ờ trona mặt phãne này nữa không?

1.20 . Một hạt mans điện tích dưcms. chuyèn động phi
tưcms đối tính trona miền có điện trườns và từ
tnrờns đều, vuôn« eóc với nhau, ơ một thời điểm

B

©

nào đó. vận tốc cua hạt bans v0 , v0 _LE, v0 _LB
(hình 1.1). Hỏi ở thời điẻm vectơ vận tốc cùa hạt
tạo với vectơ v0 một góc ISO và E = v(,£ thì độ

Hình 1.1

lớn vận tốc cua hạt bane bao nhiêu?
1.21

Một hạt có khối lượns m và điện tích q được sia tốc trorm một thời ìỉian bời
m ộ t đ iệ n trư ờ n g đ ều tớ i m ộ t v ậ n tố c V n ào d ó.

a) Tính xung lượng của hạt ở cuối thời 2 Ĩan cia tốc.
b) Tôc độ cua hạt ờ cuối thời gian đó bans bao nhiêu?

1.22 . Gia thiêt rang sự tồn tại cua từ tích có quan hệ với từ trường banu phươim trinh

div B = ụ uPm
ơ dây p m là mật độ từ tích.
a) Hãy tim từ trường cua một từ tích đật tại uốc toạ độ.
9


b) Khi không có từ tích, tính xoáy của điện trường được cho bời định luật Faraday

dt
Chime minh rằng định luật này không tương thích với mật độ từ tích là một
hàm cua thời gian.
c) Già thiết từ tích được bảo toàn, hãy tìm hệ thức giữa mật độ dòng từ tích
jm và mật độ từ tích p m.
d) Hãy sửa đổi định luật Faraday nêu trong phần b) đế nhận được một định
luật phù hợp với sự có mặt của một mật độ từ tích là hàm của vị trí và thời
gian. Chứng minh sự phù họp của định luật đã sửa đối đó.

HƯỚNG DẪN GIẢI
1.1.

Thay hệ thức Fụv = c ( õ /lẠ , - d vAM) vào biểu thức d aFp ỵ + õ pFya + d ỵFap
ta được
c d a ( d p A y - d yA p ) + c d p (d y Aa ~ d a A y ) + c õ r [ d a A p -

õp Aa )

Vì các toán tử nabla bốn chiều có thể hoán vị cho nhau nên biểu thức trên
đồns nhất bằng không. Do đó
d aFP r + dpFya + d r Fap = Q
Từ phương trình trên, khi cho « , / ? , / = 0,1,2,3; a * p * Ỵ , ta được

õB
. _>
rotE - - —— ; d iv 5 = 0

õt

1.2.

Nếu p là mật độ điện tích thỉ
(1)

dq = p d V

là điện tích trong yếu tố thế tích (IV. Nhân hai vế của (1) với vectơ bốn chiều
dxơ , ta có
dqdxa = p d V d x a = pdV dt

(2)

Vì dv.clt là bất biến (dVcỉt = dVữdt0, do (IV =clVữẠ - j 3 2 , dt = - f i ì = )
V I -/? 2
nên íiv.dt là một vô hướng. Ở vế trái của (2), dq là một vô hướng, dxa là


Ị a
vectơ bốn chiều, nên ờ vế phái cùa (2) /■>-—— cíinu phái là một vectơ bốn
(It
í l\ ư
chiều. Nếu đãt /" = p —— . thì / “ là môt vectơ bốn chiều. Ta có
(It

dxa
r

hay
1.3.

=p

f

p

dt

dx°

dx'

í/.Y

lit

iỉt

dt

‘p-

= { c p . p \ \ . p \ \ , . p \ \ )}== c p . p v
\

ì \

dx
dt
(
—

\

cpy j

/

Vì j “ là vectơ bốn chiều nèn nó phải biến đổi theo quy luật ị ụ = a f\, f ,
trong đó a fẤt. là ma trận bièn đòi toạ độ.
í

1

-p

0

0

0

0

Ạ -P '1

-p

a

Ạ -p'-

Ạ -p'

0

0

1

0

0

0

0

1

với p - —.
c

Từ đây ta có

p p = - Ị

2 j,
_ Ã - VP .
—-; A =
7 ’ ./ = Ậ Ỉ

1.4. Lấy dive hai vế của phươns trinh: £, cc F'v = ỹ'", ta được
e 0c d Md vF ' * = õ tlj “
Vì tenxơ F'v phản đối XÚT12 nên vế trái của phương trình trên bàng không.
Do đó ta rút ra phươne trinh liên tục ỗ /

= 0.

1.5. Thêm vào thế bổn chiêu một
n , ta có /í CẮ= A (X - õ ưfJ
' lượnu
* ^ (V- ổ CíJJ
Khi đó: Fa p = c ( õ aÁp - õ pAa ) = c ( õ a Áp - õpAa ) + õ fiõ j - d ad pf
Vì các toán tử nabla bôn chiêu có thẻ hoán vị cho nhau, nên
Kft = c ( d aAp - 0 flAa ) = c ( õ aAfi - d p Aa ) - Fafl.
Vậy, tenxơ trường điện từ bất biến đối với phép biến đối (1).

(1)


Hàm tác ilium cúa một cliện tích chuyền động tro ne trường điện từ có dạng
V
•> /— ”
s = - I m0c 2 1- J3' + (Ị(p - <1 A V

h
Hay ta có thể viết s = - j( m{)c :(Iĩ + qAadxn )

( 1)

ú
ớ dâvJ Au tính tai
. các điểm trên

dưònu
vù • tru của• hạt. Sử dụng
nguyên
c
W
w * lí tác

dụna tối thiểu đối với hàm tác dụnu (1), ta có
ỔS = - ổ j(/7f0c 2í/r + CỊẢUÍỈ.\" ) = 0
a

Dỗ dàng thấy rằniỉ í/r = - s [d x jl x “ . Lấy biến phân, ta được
c
j [ ^ 7 —
hay

+ ‘iA- ‘I S x " * ‘i SA- dx° ) = 0

Ị(mntluaổ x a + q ỏ x uílAa - q ỗ Â udxa )- \_ {m auu + q A u ) ô x a ~Ỷ = 0

(2)

(ì

Số hạnc thứ hai bànư không vì biên không thay đổi tronỉi quá trình lấy biến
phân. Thay các hệ thức sau vào sổ hạng thứ nhất cua (2)
ỔAư

(IA„ = ệ k - d x /l
" ôx1'

-N /;

Õx'

brí
_
Õ4
ft
ta đươc I m{ìduaô x a + q - —ỉj ô x uilx*1- q — tjrdx'*Ổ.X
ô.x

a* 1v

.
hav

í —
íl (/?/.,//„
(
\) —í/ í —

dAP
J í/r
° ’ \ õ^ x “
(ì L

=

0

C.X

dA«7T)
Ô.\Ji 7.

Sx adT = 0

Vì í)V' là bất kì nên biểu thức dưới dấu tích phàn phái bàng không,
y- (
hay

)

-
^ 4 ,) | / = 0

- j - ( m 0ua ) = - F apufi
(IT
c

(3)

ơ đày Fu/I = c ( ổ(xem như lực bốn chiều tác dụnu lên hạt điện tích.
Phương trình (3) là phương trình chuyển dộng bốn chiều cùa điện tích tron<’
trường điện từ.


1.7.

I-------"*
Từ L = - m ưc 2 ự l - p~ + ợ V A - q(p. ta tính xuns lượn a suy rộng cùa hạt
mang điện tích (/ tron? trườmi điện từ:
n cL
/H V
* -*
;
P = -L^. = _ p > == f + (/.4 = /7 + t/,i
ổv
v l~ />
—>

V
ờ đày ta ki hiệu p = - Y=*== là xuni: lượng cùa hạt tự do.
Nãnu lượng của hạt mane diện tích (/ tronII trườn2 điện từ là
... _

cL

H = y ^ -L =

dv

m 0c '

- ■ ■ - +ỌỌ
Ạ -p-

Vỉ hàm Hamilton cùa một hạt batm nãnsi lượnỉỉ cùa nó biểu diễn qua xung
lượns nên
H = J u r e 4 + c 2 P - q A I +q
1.8.

õ /?
*
Do từ trường khôntí phu thuòc thời sian. nuhĩa là —— = 0 nên E = 0 . Từ đó
ât
suy ra (p = c o n s t. Vi tì song song với mặt phẳns (-Y. v) nên thành phần B: - 0.
Vi vậy, ta có thể chọn A = . - 1 = 0 . A. =

z ) . Do dó

L = -! % c 2 yj] - p - + C/V.A. - lịỌ
Từ đây ta tim được
CZ

Từ phươne trinh Lagranse - Euler:
cỊ_
ílt
hay

m„v_

■

m nv s

-7 = =

,

ỉ

ĩ-

(It

CY .

= 0 , suy ra
ổr

«

+
+ <7/1 = const

13

1.9.

Vì từ tnrờng không phụ thuộc thời gian, nên E = 0, ẹ - const. Mặt khác,
A, = 0, A. = 0, Av = A ị r , z ), suy ra L = -m 0c 2a /Ĩ - /? 2 + qv^Ay - qq>
ÒL_

D o đ ó Ỉ L = J!Ị£JL

dtp

ôọ

ỉ

ỒL

c)ĩJ

Từ phươniì trình Lagrange - Euler: —r —T ~ ~ ~ = 0 , dễ dàng thấy rằng
ắ ' d ọ 5d_

nw ~

£

=

0

dt
mnr 2 (0

hay

—

+ qrA - const

C/ -Z?
1.10. Ta sừ dung phương trình M axwell, rot E = - - — Chọn hệ toạ độ trụ, trục z
ôt
trìing với 5 , ta có
1 ÔE, ÕE0 = 0
------ =------- = u;
r õỡ
õz

ÕE„ ÕE^ = 0
— :------- =- = u
õz
ôr

LJLtrF \ - L Ẽ Ề l =
rõr
° ’ r 00

ẼL
õt

g g M
õt

Hệ phương trình trên thoả mãn với Er = E_ - 0, Ee = £ ( /- ,/) • Từ phương
trinh cuối, suy ra E0 =

õB (r,t)
rcỉr + / ( / ) j , trong đó f(t) là một hàm

õt

■ í|- f

tuỳ ý cua thời gian /. Do đó, trong mặt phảng vuông ỉỉóc với trục của từ
trường, đường sức của điện trường là một hệ các vòng tròn đồng tâm nằm
trên trục của từ trường.
đ p

du

1.11. Ta có: f j i u = u „ —J- = inữu,l —

Mặt khác: u II
Vì vây

14

/ỊỊ

(I

,

>2

— {li )

c - const

— ( » ) ’ = 0 ; từ đó suy ra f i t = 0 .
(l ĩ
■f‘ "


1.12. Vì p = p ( r ) nên E = E ( r ) . Ta áp dụng phương trình Maxwell dạng tích phân

(ỊỈs
£0 I
Tích phàn được lav tro nu hình cầu bán kính /\ có tâm trùng với tâm nguyên
tư. Từ đó, ta có
-E (r)A n r = —
*0 I

>/ĩ = — j> (/; ỵ-(ỉr{
*0 0

(ve trải có dau - đ o E ngược chiều với í/ s )

Thav pp bans bièu thức của
cùa nó và lav tích phàn, ta được

-

£ •(/•) = —J y J" Ể*": ' er ; d r x

7T£0a r 0J
14 7T£0r

l

r

r )

ư

a-

e 2r"

(ơ đày ta đà áp dụns tích phàn Ị.yV V y = e a

£__2x
a

a

_2_

í/3

1.13. Ap dụnơ phương trình Maxwell
=

hay V Ỉ ^ Ĩ Ế i H

Mặt khác
f r
í
A
= v .v í 1 ì = V
U ,
{
ơ đây e

= - 4 nỏ (/•)

(2 )

r~ )

là vectơ đơn vị theo phươnc r.

Từ (2), ta có thể viết v

Suy ra V

ẽr )

( 1)

í =ổ(r)
4/Tr J

CỊỏự)
(3)

So sánh (1) và (3), ta rút ra
E = . <1 * r _ 4 ĨC£„ I-2 4 nen r '
15


1.14. a) Mặt dộ diện tích được tính theo phương trình M axwell
V£ =il
*0

=> p = eoS7E
(

-*
V Ể = A v ( e - br) ^ r + e ' brv

\

>
£s_
•>
r

/

Khi sir dụniỉ hàm Dirac
/
\

)

0

với r * 0

00

với r = 0

ta có
er

=V

r
V

1

'V

\

II

V- í l> = v .v

->

1

/

V /
V

Từ đó suy ra

be h' -* /■'

p = £«-4 — —7-c,. .e,.+4/r
o /
V

í) r

VI =_ —

-/.I/*■

A

,o

+47T£bAỔ r

V y

Do dó, sự phân bổ điện tích bao cồm một điện tích dương Ane0A ở gốc toạ
độ và một phân bố điện tích âm đối xứng cầu trong không gian bao quanh,
b) Điện tích toàn phần là
0 = ịpciv = - j —
— A n r i l r + j4/re0AỔ r ì =
0
1
\ )
=

u

(?-/’'|0T + 4;ĩ£u / Í = 0

1.15. Từ phương trình div /i = 0, nhân cá hai vế với (7Frồi lấy tích phân, ta được
ị á \ \ B d V = 0 hay $ B t l S = Q
1

V

trong dó s là mặt kín bao quanh thề lích V. Kết qua cho tháy, thông lưựim
—
4

cua vectơ cám ứng tù- B qua mặt kín s hao quanh miền V banu không. Có
hao nhiêu dường sức lìr di vào mặt s thì cũ nu có bấy nhiêu đườnu sức từ di
ra kliỏi mặt s. Như vậy. các đườnu sức lừ không có điểm bat đau cù nu như
diếm kết thúc, ch ú nu là các dườníi khép kín.


1.16. Từ phươne trình đ iv £ = — , nhân cà hai vế với d v rồi lẩy tích phân, ta
*0
được jdiv E LỈV = — I'pt iV hay vị Etỉ s = — ị p d v * 0
Y
£0 r
S
£ 0 I'
ư on s đó 5 là mặt kín bao quanh thè tích V. Thông lượng của vectơ cường độ
—*

điện trườn S E qua mặt kín 5 bao quanh thê tích í7 khác không.
- Trường họp mật độ điện tích p dương, vectơ E và vectơ pháp tuyến n
của mặt 5 họp với nhau một sóc nhọn (chiều của vectơ pháp tuyến n của
—*

mặt 5 hướna, ra nsoài. Như vậy. vectơ E hướne ra neoài mặt s. Hay nói
cách khác, các đườn« sức điện đi ra từ điện tích dươns.
- Trườnc họp mật độ điện tích p âm, vectơ E và vectơ pháp tuyến n của
mặt 5 họp với nhau một cóc tù. Như vậy, vectơ E hướng vào trong mặt s.
Hay nói cách khác, các đưònc sức đi vào điện tích âm.
1.17. Phươns trinh vi phân đổi với thè vô hướng (Ọ có dạng

Cl

= -A n q ô r \
V )

1.18. Chọn aốc toạ độ cực ( r , 0 ) tại hạt nhân. Trên cơ sở định luật bảo toàn năng
iượnơ và xung lượnc. ta có
mưc 2

Ze2

Vl - p 2

47ĩ£or

m0r 2 d 6

= const =

w

- const = mrh

sị\ - p 2 dt
ở đây e là điện tích của electron. ( - Z e ) là điện tích của hạt nhân.
( cirỴ
rìr Ỹ
,(d Q ':
v- = c i p ' - = \ ĩ L \ + r
\ dt )
dt
Khư t và p khỏi các phưcmg trình trên, ta được

f
f \_dr_ \
\r

CỈ6

z
W+- 47T£0r

-1

( 1)

moc

17


Đặt I/ = —, — = — — . Khi đó (1) trở thành
r dỡ
r- de
Ze u N

w +

1

4 7ĩ£n

+ 1 21 = -e—
dỡ,
h2

m0c

Lấy đạo hàm theo 6 , ta được
d~u
ÍỈG2

+ ỉ/ 1 -

z
\2

y^7r£0m0hc J

Ze2W

(2)

47T£0m ịh 2c 2

Đưa vào biến số mới
(,
(p = 1 - -

(

< 0

l

0 ,

a=

- )

7

^7 2
Ze

A

«

1

vAĩĩSữm0hc y

Bò qua các số hạng nhỏ bậc cao, khi đó (2) trở thành

d ll

—+ li —A,
dip1

'

Ze2W
A —■
47T£0m ịh 2c 2 ( \ - a )

Phương trình trên có nghiệm
u = /í[ l + 6 c o s^ ] - A

'l-£ '
2/
V

6

Như vậy, quỹ đạo của electron là một đườrm elip quay. Sau mỗi chu kì trục
của elip quay đi một góc a n . Neu V « c thì a -» 0 , ta có
u = A{\ + b c o s ỡ ) , A và b là hằng số
Đó là quỳ đạo elip thông thường.
1.19. a) Nếu electron chuyển động với vận tốc không đổi thì tổng hợp lực tác
dụng lên nó phái băng không, nghĩa là
( 1)

£ +£ = 0
Ta có
—
►

—
»

->

II
c

vx 5

= -e
V

Từ (1) và (2), suy ra
£ V
V = —

\ B ) V

J

í -*
vxe.
{
)

(2)


b) Gia thiết tất cả các electron lúc bát đầu phóng ụ = 0) ơ trong mặt phăng
vơr. Xét một electron ờ vị trí ban đầu (.Y 0 , v 0 , r 0 ) và tốc độ ban đầu
( Vuv, V, ,v0. ). Khi đó, các phương trình chuyên động cua nó là (xét trường

họp phi tưcmg đối tinh)
m ch^ = - e ( E + B v y)
cừ
tiv.
ììì - = e\\ B
lừ
(/V.
IU— = 0
lit

(3)
(4)
(5)

Làv

= vt + /v ( . khi đó từ (?) và (4) suy ra /H— ỉ- = - e E + ieBv
dt
E
eB
Nó có nshiệm là V = ce‘" - i — : trons đó co = - — .
B
m
E
+ i V11\, H---B
Vậy V = v0 COS(Ot -

E_
B

sin (út

+ i v0t sin (út +

'°' + B

COSù)t
B

Từ đày ta nhận được
vt ( /) = v0tcosfttf

E)

--- sin (Ot

B
V

) = v0 sin (Of +

\': ( t ) =

E

£

B

B

--- COS(út -

+ v0;/

Lảy tích phân các biêu thưctrẽn, ta có
/ V_ v0
1
E\
1
x ị t ) = - ^ s i n (Oí H— V + — cos&>/- — V,V H---co
co
B)
co
B
E
y { t ) = - — cos(ot + - V + = - s in w f-----t
+
co
(0 \
B,
B

V0 v

+ v„

co

z {t ) = z n + V')-J

'
'
2ĩĩì\
Đê . \ ị t ) = 0 thì cân phai thoa mãn diẻu kiện t = ——
O)

(/7

= 1, 2, 3,...). Do đó

tất ca các electron sẽ lại ơ trong mặt phăng yOz một lần nữa tại thời diêm

2/ni
tú

19


1.20. Ta viết phương trình chuyển
độne của hạt theo trục X như sau
(xem hình 1.1G)
dvx
ni—£■ = - cịv B
dt
trong đó m và q là khối lượng và
điện tích của hạt. Nghiệm của
phương trình này có dạng
Vv (') = v 0 ~ — y
m

( 1)

Ờ các thòi điểm t = t „ , khi vận
tốc

V

cùa hạt tạo một góc 180°

với vận tốc ban đầu v0 , ta có
(2 )

Yt( 0 = “ v
Từ (1) và (2) suy ra

(3)

y ( ‘. ) ~qBị / rm
Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có
mvị
_ / X mv1
- ^ + ‘1£ ? ( ' . ) = —

(4)

Thay (3) vào (4) và chú ý điều kiện E = V0B , ta được phương trình
v2 - 3 v 02 - 2 v v 0 = 0
Từ đó suy ra vận tốc cần tìm là:

V

= 3vp

1.21. a) Ta có
d_

mv

= qE với p = —.

ch
Từ đây ta tìm được xung lượng của hạt ở cuối thời gian gia tốc là
p=

™

= \qEdt = qEt

trong đó E là cườnt’ độ của điện trường đều.
20


b) Từ kết quà đà tìm được
m/3c

, m v —. = </£>, ta cỏ thề viết

= = qEr

hav

p

qEt

(
1
-1
[ĩ-0 :

mc

Do đó, ta có
1

( qE tx

l-/? :

mc

+1

hay

(qE l)' + ( m c ỳ
Từ đó suy ra
V

qEcỉ

- Ịic -

Ặ qE lỴ +(m cỳ
1.22. a) Xét một mặt cầu

s có bán kinh r tại

aốc toạ độ. Vi V B = f-i0p m, ta có

Jv BdV = c fBd s = A z r ' B ( r ) =
V

S

Do đó
ĩ(r) =ệ H ề ,
Anr
d (' -y\
ÔB
— V 5 = V — = -V
) )
ẽt
õt \
õt
(
\
vi V V X £ = 0 là một hang
V
)

b)

õt

(
V x£
{

°

đãniỉ thức. Mặt khác

V fi| = A ,%
ct

Như vậy, định luật Faraday khòng tương thích với một mật độ từ tích thay
đỏi theo thời gian.


c) Sự báo toàn của từ tích có thế biểu diễn như sau

(' I

S

I

Vì í ' là bất kì nên ta phải có
drp

»1

õí

+ v . / m= 0

Đày là phươnu trình liên tục đối với từ tích,
d) Neu ta sửa đổi định luật Faraday thành
ÕB
õt
và lẩy dive hai vế thì sẽ nhận được

õ
-MÒụ Jn, ~ X WB =
õt

dp
v J+ ^
V

Từ đó ta có biếu thức
dP„
• v ỉ = - /ti \J0v ư£nì =//(
• u -N
dt
õt
Nó phù hợp với phương trình thứ hai ở phần b.


Chương 2

TRƯỜNG ĐIỆN
TỪ TRONG MÒI TRƯỜNG LIÊN TỤC
■
■
2.1.

dD
./ + ■
dt

Chíme minh rằne dònu toàn phần:

không có nguồn.

V

2.2.

Một vật có độ dần điện Y và hàng số điện môi tương đối của môi trường
£ (*\ Biết rằng tại thời điểm t = 0 . mật độ điện tích khối của vật là p - p 0 .
Tìm mật độ điện tích p cùa vật ớ thời điểm bất kì.

2.3.

Viết phuơnc trình đối với thể vectơ A và thế vô hướng (p đối với trường
V£ =0

điện từ tự do
V

trons mòi trườn /

2.4.

Nghiệm lại rằns phươns trinh ÔVG'V = j ụ là dạng bốn chiều của cặp

2.5.

õD
phươnc trình M axwell vĩ mò thứ hai: rot H = J + — , div D = p.
õt
a) Hãy viết các phưcms trình M axwell, với siả thiết rằng khôns có mặt của
bât cử vật liệu điện môi hav vật liệu từ nào.
b) Neu các dấu của tất cả điện tích nguồn được đổi neược lại thì điều gì xảy
—►

—>

ra với điện trườn a E và từ trường B .
c) Nếu hệ này bị nghịch đao về khône sian. tức là X —> X = - X thì điều gì xảy
ra với mật độ điện tích p . mật độ dòng j , điện tnròng E và cảm ứne từ B .
d) Nếu hệ này bị nchịch đao về thời aian, tức là / -> t = - t thì điều gì xảy
—► —>

—>

ra với p , j , E và B.
2.6.

Hai tấm lớn (không dần điện) song song,
đặt trong không khí. cách nhau một khoảng
d và được định hướng như hình 2.1. Chúng
cùng chuyển động dọc theo trục X với vận
tốc V. Cho biết các tâm trên và dưới có mật
độ điện tích mặt đều là + ơ và-cr trong hệ
quy chiếu đứng yên cua các tấm đó. Hãy
tìm độ lớn và hướng cua điện trường và từ
trường ở giữa các tấm đó.

z

o
o
Hình 2.1

T ro n g c u ố n sách này gọi tất là h ăng số điện môi.

23


7 7/ •
át

Hai điện tích điểm với điện tích ÍỊ
dược đặt ờ đầu mút cúa một đoạn
thẳng có độ dài 21. Đoạn thẳng này
quay với vận tốc góc không đổi là
— quanh một trục vuông sóc với
đoạn thẳnu và đi qua điểm giữa của

nỏ như chi ra trong hình 2.2. Hãy
tìm momen lưỡng cực điện, momen
lường cực từ.

2 .8 . Trong hệ quy chiếu K, một trường điện từ có vectơ từ B vuông góc với

vector điện E và E < cB. Chứno minh ràng có thể tìm được hệ quy chiếu
K , trong đó chi có vectơ từ, còn vectơ diện bằng không.
2.9.

Trong hệ quy chiếu K, một trường điện từ có vectơ điện E vuông góc với
—
»

vectơ từ B và E > cB. Chứng minh rằng có thể tìm được hệ quy chiếu K ,
trong đó chỉ có vectơ điện, còn vectơ từ banc không.
—
>

—>

2 .10. Gọi E và B là điện trường và cảm ứng từ tại một điểm nào đó trong không
gian đối với một hệ quy chiếu K nào đó. Hãy xác định vận tốc của một hệ
quv chiếu khác, sao cho trong hệ này điện trường và từ trường song Sony
với nhau.
2 . 11 . Chửna minh ràng vectơ phân cực p và vectơ từ hoá M
tenxơ hạns hai bốn chiều.

lập thành một

2 . 12. Một ống dây hình xuyến có một lõi sắt tiết diện hình
vuông (hình 2.3) và hệ số từ thấm tương đối của môi
trườne
1 \ dược quấn N vòng dây sát nhau mang dòng
điện /. Hăy tìm độ lớn của vectơ từ hoá M ở mọi nơi
trong lõi sat.

Hình 2.3

2.13. Một vật dẫn diện kém được đặt trong trườnsĩ điện từ hiến thiên điều hoà theo
thời gian với tần số góc Cử. Với điều kiện nào của co thi vật đanu xét có thể
coi là vật dẫn. là điện môi?

' T ronợ cuốn sách này gọi tát là hệ số từ thâm.

24