ĐỀ THI HỌC KỲ 2 TOÁN 7 TPHCM

ĐỀ SỐ 1: QUẬN 1, NĂM 2015 – 2016
Bài 1: (2 điểm) Điều tra về điểm kiểm tra HKII môn toán của các học sinh lớp 7A, người điều tra có kết quả
sau:
7
7
8

9
6
8

5
10
10

5
5
9

5
9
8

7
8
7

6
9
7

9
10
8

9
9
8

4
10
6

5
10
6

7
8
8

8
7
8

7
7
10

a) Lập bảng tần số, tính số trung bình cộng
b) Tìm mốt của dấu hiệu

(

)

3

2
1 
2a 2 b xy 2  − ab  x 3 y 2
 2 

Bài 2: (1,5 điểm) Cho đơn thức
(a, b là hằng số khác 0)
a) Thu gọn rồi cho biết phần hệ số và phần biến A
b) Tìm bậc của đơn thức A
1
1
1
1
P( x ) = x 2 + 7x 5 − 4 − x +
Q( x ) = x 2 + x + 2 − 7x 5
4
2
4
2
Bài 3: (2,5 điểm) Cho hai đa thức
và
a) Tính M(x) = P(x) + Q(x), rồi tìm nghiệm của đa thức M(x)
b) Tìm đa thức N(x) sao cho: N(x) + Q(x) = P(x)

A( x ) = x 2 − 5mx + 10m − 4
Bài 4: (0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để đa thức
có hai nghiệm mà
nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
ˆC
AB
Bài 5: (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A, tia phân giác của
cắt AC tại D
a) Cho biết BC = 10cm, AB = 6cm, AD = 3cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CD
b) Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh ∆ABD = ∆EBD và ∆BAE cân
c) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng AB và DE. So sánh DE và DF
d) Gọi H là giao điểm của BD và CF. K là điểm trên tia đối của tia DF sao cho DK = DF, I là điểm trên đoạn
thẳng CD sao cho CI = 2DI. Chứng minh rằng ba điểm K, H, I thẳng hàng


BÀI GIẢI
Bài 1: (2 điểm) Điều tra về điểm kiểm tra HKII môn toán của các học sinh lớp 7A, người điều tra có kết quả
sau:
7
7
8

9
6
8

5
10
10

5
5
9

5
9
8

7
8
7

6
9
7

9
10
8

9
9
8

4
10
6

5
10

6

7
8
8

8
7
8

7
7
10

a) Lập bảng tần số, tính số trung bình cộng

Giải:
Giá trị (x)
4
5
6
7
8
9
10

Tần số (n)
1
5
4

9
10
7
6
N = 42

Tích (x.n)
4
25
24
63
80
63
60
Tổng: 319

Số trung bình cộng

X=

319
≈ 7,60
42

b) Tìm mốt của dấu hiệu

Giải:

M0 = 8
Mốt của dấu hiệu

2a b( xy
2

)

2 2

3

 1  3 2
 − ab  x y
 2 

Bài 2: (1,5 điểm) Cho đơn thức
a) Thu gọn rồi cho biết phần hệ số và phần biến A
Giải:
2a b( xy
2

)

2 2

Ta có

3

 1  3 2
 − ab  x y
 2 

= 2a 2 b.x 2 y 4 .

−1 3 3 3 2
a b .x y
8

 −1 
=  2. . a 2 .a 3 . b.b 3 . x 2 .x 3 . y 4 .y 2
 8 
−1 5 4 5 6
=
a b x y
4

(

Phần hệ số của A là:

)(

−1 5 4
a b
4
x 5 y6

Phần biến của A là:

)(

)(

)

(a, b là hằng số khác 0)


b) Tìm bậc của đơn thức A

Giải:

Bậc của đơn thức A là: 5 + 6 = 11

1
1
P( x ) = x 2 + 7x 5 − 4 − x +
4
2

Bài 3: (2,5 điểm) Cho hai đa thức
và
a) Tính M(x) = P(x) + Q(x), rồi tìm nghiệm của đa thức M(x)
Giải:
Ta có M(x) = P(x) + Q(x)
1
1 1
1
= x 2 + 7x 5 − 4 − x + + x 2 + x + 2 − 7x 5
4
2 4

2
1
1
1 5
= 7x 5 − 7x 5 + x 2 + x 2 − x + x − 4 + +
4
4
2 2
1 2
= x −1
2
Ta có

1
1
Q( x ) = x 2 + x + 2 − 7x 5
4
2

M( x ) = 0
1 2
x −1 = 0
2
1
⇒ x2 =1
2
⇒ x2 = 2
⇒

⇒x= 2

hoặc

x=− 2

x= 2
x=− 2
Vậy nghiệm của đa thức M(x) là
hoặc
b) Tìm đa thức N(x) sao cho: N(x) + Q(x) = P(x)
Giải:
Ta có N(x) + Q(x) = P(x)
⇒ N ( x ) = P ( x ) − Q( x )

1 1
1
1

=  x 2 + 7x 5 − 4 − x +  −  x 2 + x + 2 − 7x 5 
2 4
2
4

1
1 1
5
= x 2 + 7x 5 − 4 − x + − x 2 − x − + 7x 5
4
2 4
4

1
1
1 5
= 7x 5 + 7x 5 + x 2 − x 2 − x − x − 4 + −
4
4
2 4
19
= 14x5 − 2x −
4
Bài 4: (0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để đa thức
nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
Giải:
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của đa thức A(x) thỏa x2 = 2x1

A( x ) = x 2 − 5mx + 10m − 4

có hai nghiệm mà


Do x1, x2 là hai nghiệm của đa thức A(x) nên thỏa:
x 12 − 5mx 1 + 10m − 4 = 0
x 22 − 5mx 2 + 10m − 4 = 0
và
2
2
⇒ x 1 − 5mx 1 + 10m − 4 = x 2 − 5mx 2 + 10m − 4
⇒ x 12 − 5mx 1 − x 22 + 5mx 2 = 0
⇒ x 12 − 5mx 1 − ( 2x 1 ) + 5m.( 2x 1 ) = 0
2

⇒ x 12 − 5mx 1 − 4x12 + 10mx 1 = 0
⇒ −3x 12 + 5mx 1 = 0

⇒ x 1 ( − 3x 1 + 5m ) = 0
⇒ x1 = 0
⇒ x1 = 0

Với

hoặc

− 3x 1 + 5m = 0

x1 =
hoặc

x1 = 0 ⇒

5m
3

10m − 4 = 0 ⇒ 10m = 4 ⇒ m =

2
5

2

5m  5m 

5m
25m 2 25m 2
x1 =
⇒
+ 10m − 4 = 0 ⇒
−
+ 10m − 4 = 0
 − 5m.
3
3
9
3
 3 

Với
⇒ 25m 2 − 75m 2 + 90m − 36 = 0 ⇒ −50m 2 + 90m − 36 = 0 ⇒ 25m 2 − 45m + 18 = 0
⇒ ( 5m − 6 )( 5m − 3) = 0
⇒ 5m − 6 = 0

5m − 3 = 0
hoặc
⇒ 5m = 6
5m = 3
hoặc
6
3
⇒m=
m=
5
5

hoặc

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn bài toán là:

2
3
m = ;m =
5
5
ˆC
AB

m=
và

6
5

Bài 5: (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A, tia phân giác của
cắt AC tại D
a) Cho biết BC = 10cm, AB = 6cm, AD = 3cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CD
Giải:


Ta có ∆ABC vuông tại A
⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2
(định lý Pytago)
2
2
2

10 = 6 + AC
100 = 36 + AC 2
AC 2 = 100 − 36 = 64
AC = 64 = 8cm
Ta có

CD = AC − AD = 8 − 3 = 5cm

b) Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh ∆ABD = ∆EBD và ∆BAE cân

Giải:

Xét ∆DAB và ∆DEB có:
ˆ B = DEˆB = 90 0
DA

(vì ∆ABC vuông tại A, DE

⊥

BC)


ˆ A = DBˆE
DB
⇒
⇒
⇒

(vì BD là phân giác

ˆC
AB

)

BD: chung
∆DAB = ∆DEB (ch.gn)
BA = BE (2 cạnh tương ứng)

∆BAE cân tại B
c) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng AB và DE. So sánh DE và DF
Giải:

Ta có ∆DAB = ∆DEB (do trên)
⇒
DE = DA (1) (2 cạnh tương ứng)
Ta có ∆DAF vuông tại F
⇒
DF > DA (2) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
⇒
Từ (1) và (2)
DF > DE
d) Gọi H là giao điểm của BD và CF. K là điểm trên tia đối của tia DF sao cho DK = DF, I là điểm trên đoạn
thẳng CD sao cho CI = 2DI. Chứng minh rằng ba điểm K, H, I thẳng hàng
Giải:


∆BCF có CA và FE là 2 đường cao cắt nhau tại D
⇒

D là trực tâm của ∆BCF
⇒
⊥
BH CF
∆BCF có BH vừa là đường cao vừa là đường phân giác
⇒
∆BCF cân tại B và BH cũng là đường trung tuyến
Xét ∆CFK có:
CD là trung tuyến (vì DK = DF nên D là trung điểm của FK)
2
CI
CI
2DI
2DI 2
CI = CD
=
=
=
=
3
CD CI + DI 2DI + DI 3DI 3
(vì CI = 2DI nên
)
⇒
I là trọng tâm của ∆CFK
⇒
KI đi qua trung điểm của CF
Mà H là trung điểm của KF (vì BH là đường trung tuyến ∆BCF)
Vậy K, I, H thẳng hàng