Lược đồ vô hướng hóa pascoletti serafini và độ nhạy nghiệm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ THUẬN

LƯỢC ĐỒ VÔ HƯỚNG HÓA
PASCOLETTI-SERAFINI VÀ ĐỘ NHẠY NGHIỆM
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI, 2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ THUẬN

LƯỢC ĐỒ VÔ HƯỚNG HÓA
PASCOLETTI-SERAFINI VÀ ĐỘ NHẠY NGHIỆM
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khóa luận

TS. Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN

Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, các thầy cô gióa khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình
học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận
tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn
Tuyên, người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn
em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này.
Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi nhưng sai sót và hạn
chế. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô
giáo và toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Trần Thị Thuận

iii


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn
Tuyên khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài
nào khác.
Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Trần Thị Thuận

Mục lục

Lời mở đầu

1

1

3

Bài toán tối ưu véctơ
1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.

12

Bài toán tối ưu véctơ (VOP) . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini và độ nhạy nghiệm 15
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Sự tương đương giữa bài toán véctơ và bài toán vô hướng .

17

2.3. Độ nhạy nghiệm của bài toán toán tối ưu véctơ . . . . . .

23

Tài liệu tham khảo

30

v


Lời mở đầu
Vô hướng hóa là công cụ mạnh trong tối ưu véctơ , nó thay thế một
bài toán tối ưu véctơ bởi một họ các bài toán tối ưu vô hướng. Kĩ thuật
này không chỉ cho phép nghiên cứu định tính bài toán tối ưu mà còn cho
phép ta có thể sử dụng các phương pháp giải số cho các bài toán tối ưu
vô hướng. Một cách vô hướng cổ điển là xét bài toán tổng có trọng của
các hàm mục tiêu, hay tổng quát hơn là xét bài toán tối ưu vô hướng ở

đó hàm mục tiêu là hợp của hàm mục tiêu và một phiếm hàm tuyến tính
(một nhân tử) được lấy trong nón đối ngẫu của nón sinh thứ tự. Một cách
khác đó là xét điều kiện tối ưu bậc nhất, ở đó các nhân tử Lagrange đóng
vai trò là các tham số vô hướng hóa. Năm 1984, dựa trên một ý tưởng mới,
Pascoletti-Serafini [2] véctơ của bài toán được xét được tích hợp trong hệ
ràng buộc. Hàm mục tiêu của bài toán bổ trợ của Pascoletti-Serafini là
một số thực biểu diễn độ lớn của khả năng di chuyển của một véctơ được
lấy từ phần trong tương đối của nón sinh thứ tự. Áp dụng cho bài toán tối
ưu véctơ , bài toán bổ trợ Pascoletti-Serafini là một bài toán quy hoạch
tuyến tính chính vì vậy nó có thể giải quyết được bằng các thuật toán
như thuật toán điểm trong hoặc thuật toán đơn hình Dantzig. Đặc trưng
này là một điểm quan trọng trong việc sử dụng sử dụng phương pháp của
Pascolettin-Serafini cho bài toán tối ưu véctơ tuyến tính.
Lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini được Helbing [3, 4] sử dụng
để đưa ra một thuật toán lặp cho bài toán tối ưu véctơ phi tuyến tính và
để giải quyết các bài toán quy hoạch toàn phương véctơ . Sau đó, StemaKarwat [5] đã khảo sát tính liên tục, tính Lipschitz, tính khả vi theo tham
số của nghiệm của bài toán vô hướng trong lược đồ vô hướng hóa PascolettiSerafini. Gần đây, bằng cách sử dụng lược đồ vô hướng hóa này, Eichfelder
đã phát triển trong một các bài báo [6, 7] và trong một cuốn sách [8] một
phương pháp giải với một điều khiển tham số cải biên cho bài toán tối ưu
véctơ tuyến tính. Phương pháp này đã được áp dụng cho các bài toán đa
mục tiêu hai mức và cho một số bài toán trong y học.
Mục đích của khóa luận này là trình bày một số tính chất cơ bản
1


của lược đồ Pascoletti-Serafini cho bài toán tối ưu véctơ tổng quát. Một số
đặc trưng về độ nhạy nghiệm của bài toán tối ưu véctơ với hàm mục tiêu
khả vi liên tục đến cấp hai cũng được khảo sát.
Các kết quả chính trong khóa luận được trình bày trên cơ sở bài báo
[2] của Pascoletti và Serafini.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm
hai chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Nội dung chính của
chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi và bài
toán tối ưu véctơ
Chương 2 trình bày về lược đồ vô hướng hóa Pascolettin-Serafini.
Mục 2.1 trình bày một số tính chất của lược đồ vô hướng hóa PascolettinSerafini cho bài toán tối ưu véctơ. Mục 2.3 trình bày về độ nhạy nghiệm
của bài toán tối ưu véctơ ứng với tham số nhiễu nhỏ của bài toán bổ trợ.
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm
Tác giả

Trần Thị Thuận

2


Chương 1
Bài toán tối ưu véctơ
1.1.

Một số khái niệm cơ bản

Giả sử E là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.
Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu:
∀x1 , x2 ∈ A; ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.
Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Hình tam giác, hình tròn
trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach
là tập lồi...
Định nghĩa 1.2. Giả sử A ⊂ X. Tương giao của tất cả các tập lồi chứa
A được gọi là bao lồi của tập A, kí hiệu là coA.

Nhận xét 1.1. a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi bé nhất chứa A;
b) A lồi khi và chỉ khi A = coA.
Định nghĩa 1.3. Tập C ⊂ E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
C được gọi là nón có đỉnh tại x0 , nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.4. Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu C là một
tập lồi, nghĩa là:
∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C.


Ví dụ 1.2. Các tập sau đây trong Rn :
{ξ1 , ξ2 , ..., ξn ∈ Rn : ξi ≥ 0, i = 1, ..., n}
(nón orthant không âm)
{ξ1 , ξ2 , ..., ξn ∈ Rn : ξi > 0, i = 1, ..., n}
(nón orthant dương)
là các nón lồi có đỉnh tại 0. Đó là nón lồi quan trọng trong Rn .
Ngoài ra, nếu cho D ⊆ Rm là một nón lồi, nón cực dương của D được
xác định bởi:
D∗ := {x∗ ∈ Rm :< x∗ , x >≥ 0, ∀x ∈ D} .
Cho a, b ∈ Rm , a ≥D b khi và chỉ khi a − b ∈ D; a ≥ 0 khi và chỉ khi
m
m
ai ≥ 0, i = 1, ..., m. Kí hiệu Rm
+ := {x ∈ R : x ≥ 0} và cho g : X → R .

Hàm g được gọi là D- giống lồi trên S ⊆ X khi và chỉ khi :
∀x1 , x2 ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃x ∈ S.
sao cho
(1 − α)g(x1 ) + αg(x2 ) − g(x) ∈ D.
Điều này được biết đến trong [13] rằng g là một hàm D- giống lồi khi và

chỉ khi tập g(S) + D là lồi.
Định nghĩa 1.5. Tập A ⊂ Rn được gọi là tập affine, nếu
(1 − λ)x + λy ∈ A(∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R)
Định nghĩa 1.6. Tương giao của tất cả các tập affine chứa tập A ⊂ Rn
được gọi là bao affine của A và kí hiệu là af f A.
Định nghĩa 1.7. Phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phần trong của
A trong af f A (bao affine); kí hiệu là riA. Các điểm thuộc riA được gọi là
điểm trong tương đối của tập A.

4


Nhận xét 1.2.
intA := {x ∈ Rn : ∃ > 0, x + B ⊂ A} ,
riA := {x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A} ,
trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn .
Tiếp theo chúng ta sẽ đi xem xét một số nón thường gặp
Cho C là nón lồi trong không gian véctơ tôpô E. Kí hiệu l(C) :=
C ∩ (−C) (phần tuyến tính của C); clC (bao đóng của C); một tập con
A ⊆ E, Ac là phần bù của A trong E, nghĩa là Ac = E\A.
Định nghĩa 1.8. Chúng ta nói nón C là:
(a) Nhọn nếu l(C) = 0;
(b) Nón sắc nếu bao đóng của nó là nhọn;
(c) Nón có giá chặt nếu C\l(C) là được chứa trong một nửa không gian
mở thuần nhất;
(d) Nón đúng nếu (clC) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương
clC + C\l(C) ⊆ C\l(C).
Ví dụ 1.3. theo định nghĩa 1.8
1. Cho Rn là không gian Euclide n-chiều. Khi đó, nón orthant không
âm Rn+ gồm tất cả các vectơr của Rn với toạ độ không âm là nón lồi, sắc,

đóng, có giá chặt và là nón đúng.
Tập {0} cũng là một nón, nhưng là nón tầm thường.
Tập là hợp của 0 và các véctơ với toạ độ đầu tiên dương là một nón
đúng, nhọn, có giá chặt nhưng không là nón sắc.
Bất kì nửa không gian đóng thuần nhất là nón đúng, có giá chặt
nhưng không là nón nhọn.
2. Cho Ω là không gian vectơr gồm tất cả dãy x = {xn } số thực. Cho
C = {x ∈ Ω : xn ≥ 0, ∀n}, thì C là nón nhọn, lồi. Tuy nhiên, ta chưa biết
nón C là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trên không
gian này.

5


3. Nón thứ tự từ điển: Cho
1

|xn |p ) p , 1 ≤ p < ∞.

lp = x ∈ Ω : x = (

Kí hiệu C là hợp của 0 và các dãy mà số hạng đầu tiên khác không của
dãy là dương. Đây là một nón lồi, còn gọi là nón thứ tự từ điển. Nó là nón
nhọn nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giá chặt.
Mệnh đề 1.1. Nón C là đúng khi và chỉ khi một trong các các điều kiện
sau thoả mãn:
(a) C là đóng;
(b) C\l(C) là mở, khác rỗng;
(c) C là hợp của 0 và giao của các nửa không gian mở và nửa không gian
đóng trong E.

Chứng minh. (a) Hiển nhiên,
(b) Nếu C\l(C) mở thì intC = ∅ và intC = C\l(C). Do đó, ta có
clC + C\l(C) = (clC) + intC ⊆ C,
hay C là nón đúng.
(c) Giả sử C = {0} ∪ (∩ {Hλ : λ ∈ Λ}), ở đây Hλ là nửa không gian đóng
hoặc mở trong E. Nếu tất cả Hλ là đóng thì điều này tương đương với
C là đóng. Do đó, ta có thể giả sử ít nhất một nửa không gian là mở thì
l(C) = {0} và b ∈ C\l(C) khi và chỉ khi b ∈ Hλ , ∀λ ∈ Λ. Hơn thế nữa, ta
thấy a ∈ clC khi và chỉ khi a ∈ clHλ , ∀λ ∈ Λ nên clHλ + Hλ ∈ Hλ .
Vậy Hλ là mở hoặc đóng thì a + b ∈ C, a ∈ C, b ∈ C\l(C). Mệnh đề
được chứng minh.
Định nghĩa 1.9. Cho một nón C trong không gian E. Một tập B ⊆ E
sinh ra nón C và viết C = cone(B) nếu
C = {tb : b ∈ B, t ≥ 0} .
Hơn nữa, nếu B không chứa 0 và với mỗi c ∈ C, c = 0, tồn tại duy nhất
b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb thì B được gọi là cơ sở của C. Khi B là một
tập hữu hạn, cone(conv(B)) được gọi là một nón đa diện.
6


Nhận xét 1.3. Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều một nón có cở sở
là lồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng. Tuy nhiên nó không
đúng trong không gian vô hạn chiều.
Mệnh đề 1.2. Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cơ sở
lồi, đóng bị chặn là nón đóng, nhọn vì vậy nó là nón đúng.
Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra rằng C là đóng. Cho {cα } là một lưới từ
C hội tụ tới c. Do B là một cơ sở nên tồn tại một lưới {bα } từ B và một
lưới {tα } các số dương mà cα = tα bα . Dễ thấy tα là bị chặn. Thật vậy, giả
sử ngược lại limtα = ∞. Vì E là không gian Hausdorff nên lưới bα =

cα
tα

hội tụ tới 0. Hơn thế nữa B là đóng, dẫn tới mâu thuẫn: 0 = limbα ∈ B.
Bằng cách này, ta có thể giả sử {tα } hội tụ tới điểm to ≥ 0. Nếu to = 0 thì
từ tính bị chặn của B, limtα bα = 0. Do đó c = 0 và hiển nhiên c ∈ C. Nếu
to > 0,ta có thể giả sử tα > , ∀α, > 0. Từ bα =
nữa B đóng nên véctơ

c
to

cα
tα

hội tụ tới

c
to

và hơn

∈ B. Do đó c ∈ C và C đóng nên C nhọn là hiển

nhiên.

1.2.

Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự

Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được định nghĩa
bởi một tập con B của tập hợp tích E × E. Điều này có nghĩa là một phần
tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B.
Định nghĩa 1.10. Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E. Ta nói quan
hệ này là:
(a) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;
(b) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;
(c) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B,(y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;
(d) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈
E, x = y;
(e) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian véctơ thực nếu (x, y) ∈ B
suy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0;
(f) Đóng trong trường hợp E là không gian véctơ tôpô, nếu nó là đóng như
một tập con của không gian tích E × E.
7


Để làm rõ định nghĩa này chúng ta xem xét một số ví dụ cổ điển
sau. Cho E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta định
nghĩa quan hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z,...)
1. (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi.
2. (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau.
3. (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ.
Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ. B2
không phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ. B3 là phản xạ,
không bắc cầu, đối xứng, không đầy đủ.
Định nghĩa 1.11. Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản
xạ, bắc cầu.
Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong một
không gian véctơ thì tập

C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B}
là một nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì C là nhọn. Ngược
lại, mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi
BC = {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C}
là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu C là nhọn thì BC là không
đối xứng.
Bây giờ, chúng ta sẽ xét một vài thứ tự sinh ra bởi các nón lồi. Đôi
khi chúng ta viết:
x ≥C y thay cho x − y ∈ C;
hoặc x ≥ y nếu nó chắc chắn là quan hệ hai ngôi được định nghĩa
bởi C;
x >C y nếu x ≥C y và không phải là y ≥C x,
hay là x ∈ y + C\l(C). Khi intC = 0, x

C

y nghĩa là x >K y với

K = {0} ∪ intC.
Ví dụ 1.4. 1. Cho Rn và tập C = Rn+ . Thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến
tính, đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ. Cho x = (x1 , ..., xn ) , y =
8


(y1 , ..., yn ) ∈ Rn :
x ≥C y khi và chỉ khi xi ≥ yi với i = 1,..., n;
x >C y khi và chỉ khi xi ≥ yi với i = 1,..., n và ít nhất một bất đẳng
thức là ngặt;
x ≥C y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1,..., n.
2. Trong R2 . Nếu C = R1 , 0 thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến

tính, đóng và đối xứng. Trong trường hợp này x ≥C y khi và chỉ khi hai
thành phần của các véctơ trùng nhau. Thứ tự này không đầy đủ.
3. Nón thứ tự từ điển là một quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tính
đầy đủ trong lp .

1.3.

Điểm hữu hiệu

Cho E là không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự (≥) được sinh
bởi một nón lồi C.
Định nghĩa 1.12. Cho A là một tập con khác rỗng của E. Ta nói rằng:
(a) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A
tương ứng với C nếu y ≥ x, ∀y ∈ A;
Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IM in (A | C);
(b) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương
ứng với C nếu x ≥ y, y ∈ A thì y ≥ x;
Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là M in(A | C);
(c) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếu
tồn tại một nón lồi K = E với intK ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ M in(A | K);
Tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A được kí hiệu là P rM in(A | C);
(d) Giả sử intC = ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với
C nếu x ∈ M in(A | {0} ∪ intC);
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W M in(A | C).
Ví dụ 1.5. Cho:
A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≤ 0 ∪ {(x, y) : x ≥ 0, 0 ≥ y ≥ −1} ;

9

B = A ∪ {(−2, −2)}.
Nếu cho C = R2+ , ta có:
IM in(B) = P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = {(−2, −2)};
IM in(B) = ∅,
P rM in(A) = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, 0 > x, 0 > y ,
M in(A) = P rM in(A) ∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)},
W M in(A) = M in(A) ∪ {(x, y) : y = −1, x ≥ 0}.
Bây giờ cho C = (R1 , 0) ⊆ R2 . Ta có :
IM in(B) = ∅,
P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = B,
IM in(A) = ∅,
P rM in(A) = M in(A) = W M in(A) = A.
Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3. Cho A ⊆ E thì :
(a) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;
(b) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x + l(C) hoặc tương đương:
∃y ∈ A sao cho x > y. Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ M in(A) khi và chỉ khi
A ∩ (x − C) = {x};
(c) Khi C = E, x ∈ W M in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅ hoặc
tương đương với ∃y ∈ A sao cho x

y.

Mệnh đề 1.4. Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:
P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A).
Hơn nữa, nếu IM in(A) = ∅ thì IM in(A) = M in(A) và nó là tập
một điểm khi C là nhọn.
Chứng minh. Lấy x ∈ P rM in(A). Nếu x ∈ M in(A) có y ∈ A và x − y ∈
C\l(C). Lâý nón lồi K, K = E với intK ⊆ C\l(C) và x ∈ M in(A | K).
Thì x − y ∈ intK ⊆ K\l(K). Điều này mâu thuẫn với x ∈ M in(A | K)

suy ra P rM in(A) ⊆ M in(A).
Lấy x ∈ M in(A). Nếu x ∈ W M in(A) theo Mệnh đề 1.3 tồn tại
y ∈ A sao cho x − y ∈ intC. Do C = E, intC ⊆ C\l(C) nên ta có x − y ∈
C\l(C).Điều này mâu thuẫn với x ∈ M inA. Vậy M in(A) ⊆ W M in(A).
10


Rõ ràng IM in(A) ⊆ M in(A). Nếu IM in(A) = ∅, cho x ∈ IM in(A)
thì x ∈ M in(A). Cho y ∈ M in(A) thì y ≥ x vì vậy x ≥ y. Lấy một điểm
bất kì z ∈ A có z ≥ x vì x ∈ IM in(A) suy ra z ≥ y là y ∈ IM in(A). Do
đó IM in(A) = M in(A). Ngoài ra, nếu C là nhọn x ≥ y và y ≥ x chỉ có
thể xảy ra trường hợp x = y. Vậy IM inA là tập một điểm.
Định nghĩa 1.13. Cho x ∈ E. Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt
A tại x và kí hiệu Ax .
Mệnh đề 1.5. Cho x ∈ E với Ax = ∅. Ta có :
(a) IM in(Ax ) ⊆ IM inA nếu IM inA = ∅;
(b) M in(Ax ) ⊆ M inA (tương tự cho W M in).
Chứng minh. (a) Cho y ∈ IM in(Ax ) và z ∈ IM inA có Ax ⊆ y + C và
A ⊆ z + C. Thì z ∈ Ax và z − y ∈ l(C) suy ra
A ⊆ z + C = y + z − y + C = y + l(C) + C = y + C.
Do đó y ∈ IM inA.
(b) Giả sử y ∈ M in(Ax ). Theo Mệnh đề 1.4 có Ax ∩ (y − C) ⊂ y + l(C)
suy ra y − C ⊆ x − C nên
A ∩ y − C ⊆ A ∩ (y − C) ∩ (x − C) ⊆ Ax ∩ (y − C) ⊆ y + l(C).
Do đó y ∈ M inA.
Chứng minh tương tự cho W M in.
Nhận xét 1.4. Quan hệ P rM in(Ax ) ⊆ P rM inA nói chung không đúng
trừ một số trường hợp đặc biệt.

1.4.

Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.14. Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm( tương
ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I; β > α.
Định nghĩa 1.15. Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng Cđầy đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα − clC)c : α ∈ I} (tương ứng
{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } là một lưới giảm trong A.
11


Định lý 1.1. Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng
trong E. Thì M in(A | C) = ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ
và khác rỗng.
Chứng minh. Nếu M in(A | C) = ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một
nhát cắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm. Ngược lại, cho Ax khác rỗng
là một nhát cắt C- đầy đủ của A. Theo Mệnh đề 1.5 thì ta chỉ cần chứng
minh M in(Ax | C) = ∅. Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm trong A.
Vì A = ∅ suy ra P = ∅. Với a, b ∈ P ta viết a

b nếu b ⊆ a. Rõ ràng ( )

là quan hệ thứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều có cận trên.
Thật vậy, giả sử {aλ ; λ ∈ Λ} là một xích trong P . Gọi B là tập tất cả các
tập con hữu hạn B của Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm và đặt
aB = ∪ {aα ; α ∈ B} .
Và
ao = ∪ {aB : B ∈ B} .
Thì ao là một phần tử của P và ao

aα với mọi α ∈ Λ nghĩa là ao

là một cận trên của xích này. Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớn
nhất của P , kí hiệu là a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P . Bây giờ, giả sử ngược lại
M in(Ax | C) = ∅. Chúng ta sẽ chứng minh {(xα − clC)c : α ∈ I} phủ Ax .
Ta chỉ ra với mỗi y ∈ Ax có α ∈ I mà (xα − clC)c chứa y. Giả sử phản
chứng y ∈ xα − clC, ∀α ∈ I. Vì M in(Ax | C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z. Do
tính đúng của C nên x − α >C z, (α ∈ I). Thêm z vào lưới a∗ ta thấy rằng
lưới này không thể lớn nhất, dẫn tới mâu thuẫn. Vậy định lí được chứng
minh.

1.5.

Bài toán tối ưu véctơ (VOP)

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là một
ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian véctơ tôpô thực được
xắp thứ tự bởi nón lồi C.

12


Xét bài toán (VOP)
Min F (x)
với ràng buộc x ∈ X.
Một điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của
(VOP) nếu F (x) ∩ M in(F (X) | C) = ∅, ở đó F (X) là hợp của các tập
F (x) trên X. Các phần tử của M in(F (x) | C) được gọi là giá trị tối ưu
của (VOP). Tập các điểm hữu hiệu của (VOP) được kí hiệu là S(X; F ).
Thay thế IM in, P rM in, W M in cho M in(F (X) | C) chúng ta có các khái
niệm IS(X; F ), P rS(X; F ) và W S(X; F ).

Nhận xét 1.5. Nếu ta thay nón C bằng nón −C, thì bài toán (V OP )
được gọi là bài toán Max.
Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu
của (VOP) được trình bày trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6. Cho (VOP), chúng ta có các bao hàm thức sau:
P rS(X; F ) ⊆ S(X; F ) ⊆ W S(X; F ).
Hơn nữa, nếu IS(X; F ) = ∅ thì IS(X; F ) = S(X; F ).
Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.4
Bổ đề 1.1. Giả sử C là lồi, X là tập compac khác rỗng và F là C- liên
tục trên trong X với F (x) + C là C- đầy đủ, đóng với mọi x ∈ X thì F (X)
là C- đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C đầy đủ. Điều này
có nghĩa là có một lưới giảm {aα : α ∈ I} của F (X) sao cho {(aα −cl(C))c :
α ∈ I} là phủ của F (X). Lấy xα ∈ X với aα ∈ F (xα ). Không mất tính
tổng quát, giả sử lim xα = x ∈ X. Khi đó, với mỗi lân cận V của F (x)
trong E có một chỉ số β ∈ I sao cho
aα ∈ V + C, ∀α ≥ β.
Do {aα } là dãy giảm, nên
aα ∈ aδ + C, ∀δ ≥ α.
13


Từ đây suy ra:
aα ∈ cl(F (x) + C) = F (x) + C, ∀α.
Dẫn tới mâu thuẫn: F (x) + C không thể là C- đầy đủ.

14


Chương 2

Lược đồ vô hướng hóa
Pascoletti-Serafini và độ nhạy
nghiệm
2.1.

Đặt bài toán

Cho tập X và một ánh xạ đơn trị F : X → Y , Y = Rm là không gian
Euclide m chiều, Λ ⊂ Y là một nón lồi đóng nhọn. Bài toán Max tương
ứng với bộ {X, Y, Z, Λ} là
(P) MaxΛ {F (x) | x ∈ X}
Như thường lê, ta gọi X, Y, F, Λ lần lượt là tập quyết định, không gian mục
tiêu, hàm mục tiêu và nón sinh thứ tự.
Định nghĩa 2.1. (i) Một điểm u ∈ X là nghiệm hữu hiệu (hay Λ-tối ưu)
của (P) nếu không tồn tại x ∈ X thỏa mãn F (x) − F (u) ∈ Λ\{0}.
(ii) Một điểm u ∈ X là nghiệm hữu hiệu địa phương của (P) nếu tồn tại
một lân cận U của u sao cho
(F (U ) − F (u)) ∩ Λ = {0}.
Nếu F (x) − F (u) ∈ Λ\{0}, thì ta nói “x trội hơn u”. Vì vậy, một
điểm u là nghiệm hữu hiệu của (P) nếu nó không thể trội hơn được.
Định nghĩa 2.2. Phần trong tương đối của một tập Λ ⊂ Rm , kí hiệu ri Λ,

15


được định nghĩa như sau:
riΛ = {u ∈ Λ | ∀h ∈ L(Λ), ∃ε > 0, sao cho : u + εh ∈ Λ},
ở đó, L(Λ) = Λ − Λ được gọi là bao aphin của Λ.
Nhận xét 2.1. Phần trong tương đối của Λ trùng với phần trong đại số
◦

của tập này, ở đó phần trong đại số Λ được định nghĩa như sau:
◦

Λ = {u ∈ Λ | ∀h ∈ L(A), ∃ε > 0, sao cho: u + δh ∈ Λ, ∀δ ∈ [0, ε]}
◦

◦

Thật vậy, hiển nhiên ta thấy rằng Λ ⊂ ri Λ. Ta đi chứng minh ri Λ ⊂

Λ.
Lấy u ∈ ri Λ tùy ý. Với h ∈ L(Λ) tùy ý nên tồn tại ε > 0 sao cho
u + εh ∈ Λ. Ta sẽ đi chứng minh, với mọi 0 < δ < ε suy ra được u + δh ∈ Λ.
Ta có:
u + δh = λu + (1 − λ)(u + εh)= (1 − δε )u + δε (u + εδ).

◦

Vì u ∈ Λ và u + εh ∈ Λ nên u + δh ∈ Λ. Do đó ri Λ ⊂ Λ.
Ta được điều cần phải chứng minh.
Nhận xét 2.2. Điểm biên tương đối của Λ được định nghĩa như sau:
◦

∂Λ = Λ\ Λ
◦

Định nghĩa 2.3. Một điểm u ∈ X là nghiệm hữu hiệu yếu (hay Λ-tối ưu)
◦
của (P) nếu không tồn tại x ∈ X thỏa mãn F (x) − F (u) ∈ Λ \{0}

Tập nghiệm hữu hiệu và tập nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P)
tương ứng được kí hiệu là E(P) và E w (P).
Với mỗi cặp (p, q) ∈ Y × L(Λ), bài toán bổ trợ Pascoletti-Serafini
tương ứng với cặp (p, q) được cho bởi:
P(p, q)

max {ξ | (ξ, x, λ) ∈ R × Λ, F (x) = p + ξq + λ}.

Tập nghiệm của bài toán này được kí hiệu là Sol(P(p, q)).

16


2.2.

Sự tương đương giữa bài toán véctơ và bài toán
vô hướng

Định lý 2.1. Với mỗi nghiệm yếu x của (P), bộ ba (0, x, 0) là nghiệm của
◦

P(p, q) với p = F (x) và q ∈ Λ.
◦

Chứng minh. Ta có: p = F (x), q ∈ Λ và bài toán bổ trợ:
P(p, q) Max{ξ | (ξ, x, λ) ∈ R × Λ, F (x) = p + ξq + λ}.
Từ đó ta suy ra bài toán:
P(p, q)

max{ξ | (ξ, x, λ) ∈ R × Λ, ξq ∈ −Λ}.

Ta lại có (0, x, 0) là một điểm chấp nhận được của P(p, q), hơn nữa từ
◦

ξq ∈ −Λ nên ta có −ξq ∈ Λ, q ∈ Λ ⊂ Λ. Do đó ξ ≤ 0. Vậy (0, x, 0) là
nghiệm của bài toán P(p, q)
Định lý 2.2. Với mỗi nghiệm (ξ, x, λ) của P(p, q) thì x là nghiệm hữu
hiệu yếu của (P) và λ ∈ ∂Λ.
Chứng minh. Nếu x không là nghiệm hữu hiệu yếu của (P), thì tồn tại
x ∈ X và λ ∈ Λ0 sao cho F (x ) = F (x) + λ . Do (ξ, x, λ) là nghiệm của
◦

P(p, q), nên F (x ) = p + ξq + λ + λ. Bây giờ ta có λ + λ ∈ Λ và tồn tại
◦
ε > 0 sao cho λ + λ − εq ∈ Λ. Vì vậy, từ F (x ) = p + (ε + ξ)q + λ + λ − εq,
ta suy ra (ε + ξ, x , λ + λ − εq) là một điểm chấp nhận được của bài toán
P(p, q)(mâu thuẫn giả thiết). Do đó x là nghiệm hữu hiệu yếu của (P).
◦

Cuối cùng, nếu λ ∈
/ ∂Λ thì λ phải nằm trong Λ. Thế thì tồn tại
ε > 0 sao cho (ε + ξ, x, λ − εq) là một điểm chấp nhận được của bài toán
P(p, q)(mâu thuẫn giả thiết).
Vậy x là nghiệm hữu hiệu yếu của (P) và λ ∈ ∂Λ.
Định lý 2.3. Cho (ξ, x, λ) là một nghiệm của bài toán P(p, q). Khi đó,
x trội hơn x nếu và chỉ nếu tồn tại một số khác không λ ∈ ∂Λ sao cho
(ξ, x , λ + λ ) là một nghiệm của bài toán P(p, q).
Chứng minh. Nếu x trội hơn x, thì tồn tại một số khác không λ ∈ Λ sao
cho
F (x ) = F (x) + λ ,

17


nghĩa là, F (x ) = p+ξq +(λ+λ ). Rõ ràng, (ξ, x , λ+λ ) là nghiệm hữu hiệu
◦

◦

của (P). Từ Định lí 2.2, ta suy ra λ + λ ∈ ∂Λ. Nếu λ ∈ Λ, thì λ + λ ∈ Λ.
Do đó, λ ∈ ∂Λ.
Điều ngược lại là hiển nhiên.
Ba định lí tiếp theo trình bày mối liên hệ giữa nghiệm địa phương
của bài toán tối ưu véctơ với nghiệm các bài toán bổ trợ. Ta giả sử rằng,
X là một không gian tôpô.
◦

Định lý 2.4. Nếu x là Λ-tối ưu địa phương, thì bộ ba (0, x, 0) là một
◦
nghiệm địa phương của bài toán P (F (x), q) đối với mỗi q ∈ Λ.
Chứng minh. Giả sử rằng điểm chấp nhận được z = (0, x, 0) không phải là
một nghiệm địa phương của bài toán P (F (x), q). Khi đó, trong bất kì lân
cận Uξ × Ux × Uλ của z, tồn tại một điểm chấp nhận được
z = (ξ , x , λ ) với ξ > 0.
◦

Khi đó, F (x ) = F (x) + ξ q + λ . Vì ξ q + λ ∈ Λ và Ux là lân cận tùy ý của
◦

x, nên x không thể là Λ-tối ưu địa phương.

Định lý 2.5. Nếu F liên tục và z = (ξ, x, λ) là một nghiệm địa phương
◦

của bài toán P(p, q), thì x là Λ-tối ưu địa phương và λ nằm trên biên ∂Λ
của Λ.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Chọn một lân cận Uξ ×
Ux × Uλ của z và một lân cận U0 của 0 trong Y sao cho
λ + U0 + U0 ⊂ Uλ .
Từ F là liên tục, ta suy ra tồn tại một lân cận W của x thỏa mãn
F (W ) ⊂ F (x) + U0 .
◦

Do đó, nếu x không là Λ-tối ưu địa phương, tồn tại x ∈ W ∩ Ux sao cho
F (x ) = F (x) + λ ,

18


với
◦

λ ∈ U0 ∩ Λ,
nghĩa là
F (x ) = p + ξq + λ + λ
và
◦

λ + λ ∈ Λ.
Bằng cách chọn > 0 sao cho
− q ∈ U0

và ξ + ∈ Uξ

◦

và λ + λ − q ∈ Λ,

ta có
F (x ) = p + (ξ + ε)q + (λ + λ − εq)
và
λ + λ − εq ∈ λ + U0 + U0 ⊂ Uλ .
Vì vậy, (ξ + , x , λ + λ − q) là một điểm chấp nhận được và điều này mâu
thuẫn với tính tối ưu của z. Tương tự như trong chứng minh của Định lí
2.2, ta có λ ∈ ∂Λ.
Định lý 2.6. Giả sử F là liên tục và (ξ, x, λ) là một nghiệm địa phương
của bài toán P(p, q).Khi đó, trong một lân cận bất kì của x, tồn tại x sao
cho x trội hơn x nếu và chỉ nếu trong bất kì lân cận của (ξ, x, λ), tồn tại
(ξ, x , λ + λ ) cũng là một nghiệm của bài toán P(p, q) với λ = 0, λ ∈ ∂Λ.
Chứng minh. Cho Uξ × Ux × Uλ là một lân cận của (ξ, x, λ). Khi đó F (x) +
Uλ − λ là một lân cận của F (x). Do tính liên tục của F , ta suy ra tồn tại
một lân cận Vx của x sao cho
F (Vx ) ⊂ F (x) + Uλ − λ.
Do đó, tồn tại x ∈ Vx ∩ Ux và một số khác không λ ∈ Λ ∩ (U2 − λ) thỏa
mãn
F (x ) = F (x) + λ .
Do đó,
λ + λ ∈ Uλ ,
19

và (ξ, x , λ + λ) là nghiệm của bài toán P(p, q). Hơn nữa, như trong chứng
minh của Định lí 2.3, ta có
λ ∈ ∂Λ.
Điều này khẳng định chiều đảo của định lý. Chiều thuận của định lý là
tầm thường và nó không đòi hỏi giả thiết về tính liên tục của F .
◦

Như ta biết rằng không phải nghiệm Λ-tối ưu cũng là Λ- tối ưu. Do
đó, để có thể mối liên hệ giữa nghiệm Λ-tối ưu và nghiệm của bài toán
P(p, q) cần phải khảo sát thêm. Định lý sau chỉ ra rằng nghiệm chặt của
◦

P(p, q) là đủ để đặc trưng nghiệm Λ-tối ưu của bài toán (P).
Định lý 2.7. Một điểm x là Λ- tối ưu nếu và chỉ nếu:
(i) x tương ứng với một nghiệm (ξ, x, λ) của bài toán P(p,q) với q ∈ Λ0
nào đó;
(ii) (∂Λ − λ) ∩ ∂Λ ∩ (F (X) − F (x)) = {0}.
Chứng minh. Từ Định nghĩa của điểm Λ- tối ưu và Định lý 2.1, ta dễ dàng
chứng minh được phần thuận của định lý. Ta chứng minh phần đảo bằng
phản chứng. Giả sử x không phải là Λ-tối ưu. Khi đó tồn tại x và một số
khác không λ ∈ Λ sao cho:
F (x ) = F (x) + λ .
Do đó
F (x ) = p + ξq + λ + λ .
Từ Định lí 2.2 ta có
λ ∈ ∂Λ.
Ta sẽ chỉ ra cả λ và λ + λ đều thuộc ∂Λ. Thật vậy, giả sử
◦

λ ∈ Λ;

thì tồn tại ε > 0 sao cho (ξ + ε, x , λ + λ − εq) là điểm chấp nhận được,
mâu thuẫn với tính tối ưu của (ξ, x, λ). Bằng các lập luận tương tự ta cũng
chỉ ra rằng
λ + λ ∈ ∂Λ.
20