Một số phương pháp giải phương trình vi tích phân fredholm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Phạm Thị Uyên

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN FREDHOLM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Phạm Thị Uyên

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN FREDHOLM

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2016


i

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán– Trường Đại Học Sư
Phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian em theo
học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Khuất Văn
Ninh – Giảng viên khoa Toán- Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người
trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho em trong
suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót,em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn
sinh viên và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Phạm Thị Uyên


ii

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên
cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu đã
ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài
"Một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân Fredholm"
là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có
sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.
Hà Nội,04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Phạm Thị Uyên


Mục lục
Lời mở đầu

iii

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

vi

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1

1.1 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

1

Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . .

1

1.2 Công thức tính gần đúng tích phân xác định . . . . . . .

2

1.2.1

Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2

Công thức parabol . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2

Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4 Phương pháp giải hệ phi tuyến . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.1

Phương pháp lặp đơn . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.2

Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5.1

Khái niệm chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2

Phạm Thị Uyên

PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM

12

2.1 Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm . . . . .

12

2.2 Các phương pháp giải tích phương trình vi-tích phân tuyến
tính Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.1

Phương pháp tính toán trực tiếp . . . . . . . . .

14

2.2.2

Phương pháp phân tích Adomian . . . . . . . . .

18

2.2.3

Phương pháp chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3 Giải số phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm .

30

2.4 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3 PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN PHI TUYẾN FREDHOLM

48

3.1 Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm . . . . . .

48

3.2 Các phương pháp giải tích phương trình vi-tích phân phi

tuyến Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2.1

Phương pháp tính toán trực tiếp . . . . . . . . .

50

3.2.2

Phương pháp chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.3 Phương trình vi-tích phân phi tuyến thuần nhất Fredholm 58
3.3.1

Phương pháp tính toán trực tiếp . . . . . . . . .

59

3.4 Giải số phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm . .

61

3.5 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Cùng với sự
phát triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán học
chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng.
Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liên
quan đến việc giải phương trình vi - tích phân. Phương trình vi- tích
phân Fredholm là một trong những phương trình có nhiều ứng dụng
không chỉ đối với nội tại môn toán( giải phương trình vi phân thỏa mãn
điều kiện biên hay điều kiện ban đầu, giải bài toán liên quan đến phương
trình đạo hàm riêng,...) mà còn ứng dụng rộng rãi vào các ngành vật lý,
cơ học, kĩ thuật,...
Phương trình vi-tích phân Fredholm có thể giải bằng các phương pháp
khác nhau. Trong đó, phương pháp giải tích và phương pháp số là hai

phương pháp chủ yếu cho nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích hay
nghiệm thu được dưới dạng bảng số. Trong quá trình giải,ta có thể kết
hợp sử dụng phần mềm lập trình tính toán Maple vào để giải phương
trình một cách nhanh chóng, hiệu quả.
Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu" Một số phương
pháp giải phương trình vi-tích phân Fredholm" nhằm có điều kiện tiếp
tiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức của mình và ứng dụng trong
giải toán đại học
2. Mục đích và nhiêm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp để giải phương trình vi-tích phân tuyến
iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

tính Fredholm và phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm.
3. Phương pháp nghiên cứu
+Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.
Luận văn gồm ba chương.
Chương 1 " Kiến thức chuẩn bị." Chương này nhắc lại một số kiến
thức về tích phân xác định, công thức tính gần đúng tích phân xác định,
sai phân và các tính chất của sai phân, phương pháp giải hệ phi tuyến,
chuỗi số.
Chương 2 "Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm" Mục đích
chương này là giới thiệu về phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm và một số phương pháp giải phương trinh vi-tích phân tuyến tính
Fredholm.
Chương 3 "Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm" Mục đích

chương này là giới thiệu về phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm và một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân phi tuyến
Fredholm.
Luận văn được trình bày trên cơ sở các tài liệu tham khảo được liệt
kê trong phần Mục lục.Đóng góp của tác giả thể hiện ở chỗ, giải các
phương trình vi-tích phân, các ví dụ minh họa cho các phương pháp giải
tích cũng như giải số.
Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy Khuất Văn Ninh đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình làm luận văn

iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô của khoa Toán
đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại
trường. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn
nên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không
thể tránh khỏi có những sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý của
thầy cô và các bạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 04/05/2016
Tác giả khóa luận

Phạm Thị Uyên

v

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
tổng xích ma
∆k f

sai phân cấp k của f tại x

lim

giới hạn
chuẩn

≈

xấp xỉ

J(x)

ma trận Jacobi

u(n) (x) đạo hàm cấp n của u(x)
b

tích phân cận từ a tới b

a

K(x, t) hạch
α

alpha

β

beta

λ

lam đa

∞

vô cùng

ξ

xi

σ

xích ma

vi


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tích phân xác định,
công thức tính gần đúng tích phân xác định, định nghĩa sai phân và các
tính chất sai phân, chuỗi số

1.1
1.1.1

Tích phân xác định
Định nghĩa tích phân xác định

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f (x) xác định và bị chặn trong khoảng
đóng [a, b], chia [a, b] thành những khoảng nhỏ bởi phân điểm ℘, trong
mỗi khoảng nhỏ [xi−1, xi] lấy một điểm ξi tùy ý: xi−1 ≤ ξi ≤ xi,
i = (1, 2, . . . , n)
và lập tổng
σ :=

n
i=1 f (ξi)∆xi

với ∆xi := xi − xi−1, i = 1, n
Dĩ nhiên tổng σ định nghĩa theo công thức trên là một số xác định; số
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

đó phụ thuộc số khoảng nhỏ n, phụ thuộc ξi , chọn tùy ý trong [xi−1, xi]
và phụ thuộc cách chọn phân điểm ℘
Nếu khi n tăng vô hạn (n → ∞) sao cho max λi := λ, λ → 0; với
1≤i≤n

λi := ∆xi (1, n), σ có giới hạn(hữu hạn) I, và giới hạn I này không phụ
thuộc vào cách chọn phân điểm ℘

lim σ = I

λ→0
(n→∞)

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) lấy trên khoảng
b

đóng [a, b] và kí hiệu là
b

I=

f (x)dx;
a

f (x)dx
a

Khi đó ta cũng nói rằng hàm số f (x) khả tích trên [a, b], [a, b] là khoảng
lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân, x là biến số lấy

tích phân và f (x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân

1.2
1.2.1

Công thức tính gần đúng tích phân xác định
Công thức hình thang

Định nghĩa 1.2. Giả sử ta phải tính tích phân xác định của hàm f (x)
được cho bằng bảng hoặc biểu thức giải tích nhưng không biết nguyên
hàm của nó. Do đó không thể áp dụng khái niệm nguyên hàm để tính.
Còn nếu ta dùng định nghĩa tích phân là
n−1

lim

n→∞

f (xi)∆(xi)
i=1

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

thì phải thực hiện rất nhiều các tính toán
Trong trường hợp này ta tính gần đúng tích phân xác định thông qua

đa thức nội suy P (x) của nó, tức là:
b

I=

b

f (x)dx ≈
a

P (x)dx
a

Ta chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau với các điểm chia
xi : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, xi = a + ih (i = 0, n); h =

b−a
n

Khi đó ta có

xn−1

x1

x0

a

f (x)dx

f (x)dx + · · · +

f (x)dx +

f (x)dx =

xn

x2

x1

b

Thay f(x) trên [xi−1, xi], i = 1, n bằng đa thức nội suy bậc nhất của nó
x1

x1

x1
x0

[y0

P (x)dx =

f (x)dx ≈

x0

x0

x − x1
x − x0
+ y1
]dx
x0 − x1
x1 − x0

x − x0
⇒dx=hdt Khi x = x0 thì t = 0, khi x = x1 thì t = 1
h
1
x1
t2 1
t2 1
P (x)dx =
[y0 (1 − t) + y1 t]hdt = h[y0 (t − )|0+y1 |0 ]
Vậy
2
2
0
x0
xi+1
h
f (x)dx ≈ (yi + yi+1)
Tương tự ta có:
2
xi

Vậy
b
h
f (x)dx ≈ [y0 + yn + 2(y1 + · · · + yn−1)] := Sn
(1.1)
2
a
Đặt t =

Công thức (1.1) nói trên được gọi là công thức hình thang
Đặt r = |I − Sn |

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

Đánh giá sai số người ta chứng minh được sai số
M
r ≤ h2 (b − a) với M = max|f (x)|
12
1.2.2

Công thức parabol

Định nghĩa 1.3. Chia đoạn [a, b] thành 2n phần bằng nhau với bước
b−a
h=

. Trên mỗi đoạn [x2i−2, x2i] (i = 1, n) ta thay f (x) bằng đa
2n
thức nội suy Largrange P (x) bậc hai với các mốc nội suy x2i−2, x2i−1, x2i

(x − x2i−1)(x − x2i)
(x2i−2 − x2i−1)(x2i−2 − x2i)
(x − x2i−2)(x − x2i−1)
(x − x2i−2)(x − x2i)
+ y2i
+ y2i−1
(x2i−1 − x2i−2)(x2i−1 − x2i)
(x2i − x2i−2)(x2i − x2i−1)

f (x)

P (x) = y2i−2

Từ đó,
x2i

x2i

P (x)dx =

f (x)dx
x2i−2

x2i−2

h

(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i )
3

Vậy
n

b

x2i

f (x)dx

f (x)dx =
a

i=1
n

i=1

x2i−2

h
(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i)
3

b−a
(y0 + 4y1 + 2y2 + · · · + 4y2i−1 + y2i)
6n
b−a

[y0 + y2n + 2(y2 + · · · + y2n−2) + 4(y1 + · · · + y2n−1]
=
6n

=

:= Sn

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

Đặt r = |I − Sn |
Đánh giá sai số: Người ta chứng minh được r ≤ M
với M = max|f (4) (x)|, x ∈ [a, b]

1.3
1.3.1

h4
(b − a)
180

Sai phân
Định nghĩa

Định nghĩa 1.4. Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X, h là

hằng số lớn hơn 0. Biểu thức ∆f (x) = f (x + h) − f (x) được gọi là sai
phân cấp 1 của f (x) tại điểm x. Biểu thức
∆2f (x) = ∆[∆f (x)] = [f (x + 2h) − f (x + h)] − [f (x + h) − f (x)] =
∆f (x + h) − ∆f (x) được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x
Tương tự, ta có ∆k f = ∆[∆k−1f ] được gọi là sai phân cấp k của f tại x
1.3.2

Tính chất của sai phân

∆k [f ± g] = ∆k f ± ∆k g,
∆k [λf (x)] = λ∆k [f (x)],
∆n[Pn (x)] = const, ∆m [Pn (x)] = 0, khi m>n, Pn là đa thức cấp n của x,
f (x + nh) =
∆nf (x) =

n
n i
i=0 Ci ∆ f (x),
n
i i
i=0 (−1) ∆ f [x

+ (n − i)h].

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4

Phạm Thị Uyên

Phương pháp giải hệ phi tuyến

Cho hệ phương trình phi tuyến


f1(x1, x2, .., xp) = 0





 f2(x1, x2, .., xp) = 0


.............




 f (x , x , .., x ) = 0
p 1 2
p

(1.2)

Ở đây fi và các đạo hàm riêng của chúng cho đến bậc hai được giả thiết
là liên tục và giới nội.

1.4.1

Phương pháp lặp đơn

Áp dụng đối với những hệ đã đưa được về dạng sau đây

hoặc dạng véctơ:



x1 = g1 (x1, x2, .., xp)





 x2 = g2 (x1, x2, .., xp)


.............




 x = g (x , x , .., x )
p
p 1 2
p

x = ϕ(x), ϕ = (g1 , .., gp).

(1.3)

(1.4)

Giả sử x0 = (x1 , ..., xp ) là xấp xỉ đầu tiên còn các xấp xỉ tiếp theo xây
(0)

(0)

dựng theo công thức

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

(m+1)

= g1 (x1 , x2 , ..., x(m)
p )

(m+1)

= g2 (x1 , x2 , ..., x(m)
p )

x1

x2

(m)

(m)

(m)

(m)

........................................
x(m+1)
= gp (x1 , x2 , ..., x(m)
p
p )

(1.5)

x(m+1) = ϕ(x(m)), m = 0, 1, 2, ...

(1.6)

(m)

(m)

Hoặc ở dạng véctơ:

Nếu các dãy véctơ x(m) = (x1 , x2 , ..., xp ) hội tụ đến véctơ x∗ =
(m)

(m)

(m)

(x∗1, x∗2, ..., x∗p) còn các hàm gi (x) liên tục, thì véctơ x∗ là nghiệm của
(1.3). Để có được điều kiện hội tụ của phương pháp lặp. Ta đưa vào trong
không gian véctơ p-chiều một chuẩn nào đó. Ký hiệu S ≡ S(x0, δ) =
(x ∈ Rp : x − x0

δ)

Định lý 1.1. Giả sử đối với phương trình (1.4) các điều kiện sau được
thõa mãn
1)
ϕ(x ) − ϕ(x ) ≤ q x − x

, ∀x , x ∈ S(x0, δ),

(1.7)

(1 − q)δ.

(1.8)

Trong đó 0 < q < 1.
2)
ϕ(x(0)) − x(0)

Khi đó phương trình (1.4) có nghiệm duy nhất trong hình cầu S, dãy (1.6)
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

hội tụ đến x∗ , và sai số của phương pháp được đánh giá bởi bất đẳng thức
qm
ϕ(x(0)) − x(0) .
1−q

(1.9)

Sự hội tụ của phương pháp lặp được coi là tối ưu khi q

1
. Ta nêu ra
2

x

(m)

−x

∗

điều kiện đủ để điều kiện (1.7) được thỏa mãn. Giả sử

S = S(x0, δ) =

(0)

x : x − x(0) = max xi − xi
1 i p

δ .

(1.10)

Giả thiết rằng ở trong hình cầu S các hàm gi (i = i, p) có đạo hàm riêng
∂gi
thỏa mãn bất đẳng thức
∂gk
p

q = max

1 i p

max
0

x−x

δ

k=1

∂gi(x)
∂xk

< 1,

(1.11)

Khi đó (1.7) được thỏa mãn.
Đặc biệt nếu có
∂gi
∂gi
∂gi
+
+ .......... +
< 1, i = 1, p,
∂x1
∂x2
∂xp
thì (1.11) được thỏa mãn và trong S phương pháp lặp đơn


x(k+1) = ϕ(x(k))

k

0.

hội tụ đến nghiệm của hệ phương trình (1.2).

8

(1.12)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4.2

Phạm Thị Uyên

Phương pháp Newton

Phương pháp Newton áp dụng để giải hệ phương trình
fi(x1, x2, ..., xp) = 0 (i = 1, 2, 3, ..., p)
hay hệ ở dạng vectơ:

F (x) = 0,

(1.13)

trong đó F (x) = (f1(x), f2(x), ..., fp(x)).
Giả sử fi (x), i = 1, p là các hàm khả vi liên tục. Ta xét ma trận Jacobi
J(x) của các hàm fi (x), i = 1, p.








J(x) = 






∂f1(x) ∂f1(x)
∂f1(x)
...
∂x1
∂x2
∂xp 

∂f2(x) 
∂f2(x) ∂f2(x)

...
∂x1
∂x2
∂xp 


...
...
...
... 


∂fp(x) ∂fp(x)
∂fp(x) 
...
∂x1
∂x2
∂xp

(1.14)

Giả sử cho trước xấp xỉ đầu tiên x(0) , thay vì giải phương trình (1.13)
ta giải phương trình sau

F (x(0) ) + J(x(0))(x − x(0) ) = 0.

(1.15)

Nếu detJ(x(0) ) = 0 thì (1.14) có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu là x(1) . Để
cho thuận lợi ta giải (1.14) đối với ẩn ∆x(0) = x − x(0) , sau đó nếu x(m)
tìm được thì x(m+1) tính theo công thức

x(m+1) = x(m) + ∆x(m) ,
9

(1.16)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

còn vectơ số gia ∆x(m) = (∆x1 , ∆x2 , ..., ∆xp ) tìm được từ phương
(m)

(m)

(m)

trình: F (x(m) ) + J(x(m) )∆x(m)) = 0 hay

f1(x

(m)

∂f1(x(m) ) (m)
∂f1(x(m) ) (m)
∆x1 + ... +
∆xp = 0
)+
∂x1
∂xp

...............................................................
fp(x(m) ) +

... ...

(1.17)

∂fp(x(m) ) (m)
∂fp(x(m)) (m)

∆x1 + ... +
∆xp = 0
∂x1
∂xp

Phương pháp Newton sẽ hội tụ nếu các xấp xỉ ban đầu x(0), được
chọn tốt và ma trận J(x) là không suy biến. Hơn thế nữa, tốc độ hội tụ
là tốc độ bình phương.

1.5
1.5.1

Chuỗi số
Khái niệm chuỗi số

Cho dãy số (ak )∞
k=1. Biểu thức
∞

ak = a1 + a2 + ..... + an + ....

(1.18)

k=1

được gọi là một chuỗi số, ak là số hạng thứ k hay số hạng tổng quát của
chuỗi (1.17)
Đặt
S1 = a1 ;
S2 = a1 + a2 ;

···
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

Sn = a1 + a2 + · · · + an ;
···
Sn được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.18)
Định nghĩa 1.5. Chuỗi số

∞
k=1 ak

được gọi là hội tụ(hay phân kì) nếu

dãy các tổng riêng Sn hội tụ(tương ứng phân kỳ). Trong trường hợp hội
tụ ta đặt

∞

ak = lim Sn
n→∞

k=1

Kết luận Chương 1
Nội dung chính của Chương 1 là nêu một số kiến thức về

1. Tích phân xác định.
2. Công thức tính gần đúng tích phân xác định.
3. Sai phân và tính chất của sai phân.
4. Phương pháp giải hệ phi tuyến.
5. Một số kiến thức về chuỗi số.

11


Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH
PHÂN TUYẾN TÍNH
FREDHOLM
Chương này trình bày về phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm và một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính
Fredholm.

2.1

Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm

Trong quá trình làm toán ta gặp trường hợp phương trình mà trong đó
vừa xuất hiện toán tử vi phân vừa xuất hiện toán tử tích phân. Phương
trình đó là loại phương trình vi-tích phân Fredholm. Phương trình vi-tích
phân tuyến tính Fredholm là phương trình với tích phân có dạng
b
(n)

u (x) = f (x) +

K(x, t)u(t)dt, u(k) (0) = bk , 0 ≤ k ≤ (n − 1) (2.1)

a

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

trong đó, K(x, t) là hàm liên tục theo hai biến (x, t) ∈ [a, b] × [a, b]
gọi là hạch(hay nhân) của phương trình và cho trước, u(x) là hàm cần
tìm, u(n)(x) là đạo hàm cấp n của u(x) đối với biến x. u(0), u (0), . . . ,
u(n−1)(0) là điều kiện biên ban đầu. Phương trình vi-tích phân tuyến tính
Fredholm được đặc trưng bởi một hay nhiều đạo hàm u (x), u (x), . . .
ngoài dấu tích phân. Có rất nhiều phương pháp để giải phương trình
vi-tích phân tuyến tính Fredholm.
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu về phương trình vi-tích phân
tuyến tính Fredholm trong đó hạch tách được, nghĩa là hạch K(x, t) có
thể biểu diễn bởi một tổng hữu hạn
K(x, t) =

n
k=1 gk (x)hk (t)

Chúng ta sẽ giải phương trình với một số hạch K(x, t) có dạng
K(x, t) = g(x)h(t)
Các trường hợp khác có thể nghiên cứu và giải tương tự. Và người ta
chia các phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm thành hai nhóm sau:
1) Các phương pháp giải tích, đó là các phương pháp tìm nghiệm dưới

dạng biểu thức giải tích
2) Phương pháp giải số, đó là phương pháp tìm nghiệm dưới dạng bảng
số
Ta giả thiết phương trình vi-tích phân Fredholm đã thỏa mãn các điều
kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Phạm Thị Uyên

Các phương pháp giải tích phương trình vi-tích
phân tuyến tính Fredholm

Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến ba phương pháp đó là phương
pháp tính toán trực tiếp, phương pháp phân tích Adomian, phương pháp
chuỗi.

2.2.1

Phương pháp tính toán trực tiếp

Để giải phương trình (2.1) bằng phương pháp này, ta đặt
b

α=

h(t)u(t)dt
a

Khi đó, phương trình (2.1) trở thành

u(n) (x) = f (x) + αg(x)

(2.2)

Ta lấy tích phân hai vế phương trình (2.2) từ 0 đến x
Sử dụng điều kiện, chúng ta có thể tìm hàm u(x) phụ thuộc vào hằng
số α và biến số x
Điều này có nghĩa là

u(x) = v(x; α)

(2.3)

Từ (2.3) ta thế vào vế phải của phương trình tích phân (2.1), ta giải
phương trình và xác định giá trị cho hằng số α.
Điều này dẫn tới u(x) là nghiệm chính xác thu được bằng cách thay giá
trị α vào phương trình (2.3)
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Uyên

Ví dụ 2.2.1. Giải phương trình vi-tích phân Fredholm sau
1

u (x) = 1 + x +

tu(t)dt, u(0) = 0

(2.4)

0

Phương trình (2.4) có thể được viết là

u (x) = 1 + x + α, u(0) = 0

(2.5)

trong đó ta đặt
1

α=

tu(t)dt

(2.6)

0

Ta lấy tích phân hai vế phương trình (2.6) với cận từ 0 tới x, và bằng
cách sử dụng các điều kiện ban đầu đã cho chúng ta thu được

x2
+ αx
u(x) = x +
2
từ (2.7) ta thay vào phương trình (2.6) ta có
1

α=

t(t +
0

t2
+ αt)dt =
2

1

(t2 +

0

11 α
t3
+ αt2 )dt =
+
2
24 3

Khi đó ta tìm được

α=

11
16

Do đó nghiệm chính xác của phương trình là
27x x2
+
u(x) =
16
2
15

(2.7)