Bài tập nâng cao Toán 10

Đoàn Việt Dũng THPT A THANH LIÊM Hà NAM
Các bài toán nâng cao dành cho ban tự nhiên
1,Tập hợp và các phép toán.
1. Cho tập hợp E={1;2;3;4}.Hãy tìm các tập con X và Y của tập E sao cho với mọi tập con
A của tập E ta đều có A

Y=A

X
2. Cho hai tập A và B .Các mệnh đề sau đúng hay sai?
x

A

B khi chỉ khi x

A hoặc x

B
x

A

B khi và chỉ khi x

A hoặc x

B
x

A\B khi và chỉ khi x

A hoặc x

B
3. Cho A,B,C là các tập hợp thỏa mãn
CBCACBCA

;
chứng minh A

B.Điều
đảo lại có đúng không?
2,Số gần đúng và sai số.
1. Một vật thể có thể tích V=180,57 cm
3


0.05 cm
3
.Xác định số chữ số chắc và sai số tơng
đối của giá trị gần đúng ấy.
2. Cho giá trị gần đúng của số
3
2
=1,25992104 với 6 chữ số chắc .hãy viết giá trị gần đúng
của
3
2
dới dạng chuẩn và tính sai số tuyệt đối của giá trị này?
3,phơng pháp quy nạp toán học.(n là số tự nhiên )

1. chứng minh 1+2+3++n=n(n+1)/2
2. chứng minh 1.4+2.7++n(3n+1)=n(n+1)
2
3. Cho a

-1 chứng minh (1+a)
n

1+na (bất đẳng thức Bernouilli)
4. chứng minh
22...22
<+++
trong đó có n dấu căn.
Chơng II.Hàm số bậc nhất và hàm bậc hai.
1,hàm số bậc nhất .
1. Cho hàm số y=
22
+
mxmx
.Tìm m để y xác định với mọi x>1.
2. Tìm hàm số y=f(x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ.
3. Cho hai hàm số cùng phụ thuộc tham số m :
Hàm số y=f(x) =(m+
2
)(x+2) có đồ thị là đờng thẳng d
m
và hàm số y=g(x)=(m-
2
)x+m
2

-
1 có đồ thị là đờng thẳng
m
.
Có hay không giá trị m để d
m
//
m
. ?
Cmr các đờng thẳng d
m
(khi m thay đổi) luôn đồng quy tại một điểm cố định trong khi
đờng thẳng
m
không đi qua điểm cố định nào cả.
2,Hàm số bậc hai.
1. Cho parabol (P) có phơng trình y=ax
2
+bx+c luôn tiếp xúc với đờng thẳng (d) : y=2x+1
tại A(1 ;3)
Tính b,c theo a.
Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi.
Tìm các điểm trong (Oxy) mà (P) không thể đi qua .
Đoàn Việt Dũng THPT A THANH LIÊM Hà NAM
2. Cho hàm số y=f(x) =x
2
-2(m+1/m)x+m trong đó m là tham số khác 0. Giả
sử
[ ]
)(min

1;1
1
xfy
x

=
và
[ ]
)(max
1;1
2
xfy
x

=
.Hãy tìm các giá trị của m sao cho y
2
-y
1
=8.
3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
3 1
;
2 2
1
2 3 ;
2
x x
y

x x x

+


=


+ + >


4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 2
2 4 12 9y x x x x= + +
5. Viết phơng trình parabol biết
Parabol đi qua A(0;2),B(-1;7),C(1;1)
Parabol có đỉnh toạ độ I(2;5) và đi qua A(1;4)
Parabol đi qua A(2;0) B(-2;-8) và đạt cực trị bằng 1.
Parabol có đỉnh A(1;-2) và chắn đờng thẳng (d): y=x+1 một dây cung MN= 34
3, Các yếu tố cố định của một họ đờng cong.
1. Tìm các điểm cố định của họ đờng cong y=m
2
x
2
+2(m-1)x+m
2
-1 theo 2 cách.
2. cmr các parabol trong họ parabol P
m
vừa tiếp xúc nhau vừa tiếp xúc với một đờng thẳng

cố định
3. cmr tất cả các đờng thẳng thuộc họ (d
m
) cho bởi phơng trình y=2mx-m
2
+2m đều tiếp xúc
với một parabol cố định có trục đối xứng // với trục tung.
4. Cho hàm số y=
( )
1
22
2

+
x
xmx
với m là tham số .Trên mặt phẳng toạ độ hãy tìm tất cả các
điểm mà đồ thị hàm số không thể đi qua .
4,Tìm tập xác định của hàm số
Bài 1:tìm tập xác định của hàm số
2
2
2
3 2
2
2
2
2 7 13 5 13
1, 2, 3 3, 4,
2 10 4 4 3

4
16
5, 5 2 3 6, 7,
1 5 5
1
8, 2 1 9, 10, 2 3 1
12 4 9
x x x
y y x y y
x x x
x
x x x
y x x y y
x x x
y x x y y x x x
x x
+ + +
= = = =
+

+
= + = =
+
= = = +

Bài2 : Tìm m để hàm số sau xác định trên
(
]
1;3D =
:

2 2
1
, , 3 2
2
a y b y m x m x
x m
= = +

Bài 3: Tìm m để hàm số
2
2
( 2) 1
4
m
y x m x= + +
có tập xác định là R.
5,sự biến thiên của hàm số
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số
Đoàn Việt Dũng THPT A THANH LIÊM Hà NAM
2 3
1
2 7 5 3
1
x
y x x y x x x y
x
+
= + = + =

6,Tính chẵn lẻ của hàm số

1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
4 3 2
, 1 , 1 1 , 1 , , 1a y x b y x x c y x d y x x e y x= + = + = + = + = +
2. Tìm m để đồ thị hàm số
2 2
( 1) 2 1y mx m x x= + +
có trục đối xứng là Oy
Chơng III.Phơng trình và hệ phơng trình .
1,phơng trình và hệ phơng trình bậc nhất .
1. Giải hệ phơng trình :





=+
=
13
32
yx
xyx
2. Cho hệ phơng trình với tham số m:





=+
+=+
122

12
mmyx
mymx
xác định những giá trị nguyên của
tham số m để hệ phơng trình có nghiệm nguyên?
3. Cho (x;y) là nghiệm của hệ :





=
=+
4)1(
9)2(6
myxm
ymmx
.Lập hệ thức độc lập giữa x và y với m.
4. Cho hệ phơng trình





+=
=+
332
42
myx
myx

Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn x
2
+y
2

nhỏ nhất.
5. Tìm m để hệ phơng trình





==
=+
5102
52
mxy
yx
có nghiệm (x;y) sao cho xy lớn nhất.
2.phơng trình và hệ phơng trình bậc hai.
1. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất | x
2
+2mx+1 | =x+1
2. Cho hệ phơng trình





+=+

+=++
mmyxxy
mxyyx
2
)(
12
Chứng minh với mọi m thì hệ phơng trình có nghiệm .
Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
3. Cho hệ phơng trình





=+
=+
myxx
myxy
2)(
2)(
2
2
Giải hệ phơng trình khi m=0
Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
3,hệ phơng trình đẳng cấp.
1. Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

+=++
+=+
)2(22
)1(2
22
myxxy
mxyyx
2. Giải hệ phơng trình





=+
=+
015132
932
22
22
yyxx
yxyx
3. Cho hệ phơng trình
( )





+=+

=+
)1(2
4
22
2
myx
yx
.Tìm m để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm .
Đoàn Việt Dũng THPT A THANH LIÊM Hà NAM
4. giải hệ phơng trình





+=
=
12
11
3
xy
y
y
x
x
5. Giải hệ phơng trình

=+
=+
222
22
51
6
xyx
xxyy
4,phơng trình bậc hai.
Tìm m để phơng trình
2
( 3) 2( 3) 2 0m m x m x m + + =
có nghiệm (có nghiệm trái dấu).
Tìm m để -2 xen giữa các nghiệm của phơng trình (m+3)x
2
-3(m-1)+4m=0
Cho phơng trình x
3
+(m-1)x
2
-3mx+2m-4=0
1. chứng minh phơng trình có 1 nghiệm không phụ thuộc m.
2. Tìm m để phơng trình có đúng 2 nghiệm .
Khi m
2
tìm nghiệm bé nhất (có thể) của phơng trình 3x
2
-(m+23)x+2m+22=0
Tìm m để x

2
+x+m+1=0 có 2 nghiệm thỏa mãn
1 2 1 2
3( ) 5 0x x x x+ + + =
Tìm m để phơng trình x
2
-2(m+2)x+4m+5=0có 2 nghiệm thỏa mãn a,
đều dơng b,
1 2
. 2x x =
Tìm m để phơng trình 3x
2
+4(m-1)x+m
2
-4m+1=0 có 2 nghiệm x
1
,x
2
thỏa mãn
( )
1 2
2 1
1 1 1
2
x x
x x
+ = +
Tìm m để phơng trình x
2
-(m+2)+m

2
+1=0 có hai nghiệm x
1
,x
2
thỏa mãn
2 2
1 2 1 2
2 3 .x x x x+ =
Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ với các nghiệm của mỗi phơng trình sau a,
x
2
+mx+2m-3=0 b, (m+2)x
2
-(m+4)x+2-m=0
Cho phơng trình (m-5)t
2
-2mt+m+4=0 Gọi S và P là tổng và tích của 2 nghiệm .Trong mặt
phẳng toạ độ Oxy gọi M(S;P) với x=S,y=P.chứng minh khi m thay đổi thì các điểm M
luôn chạy trên một đờng thẳng cố định. Tính T=
( ) ( )
5 5
1 5 1 5 + +
5,ứng dụng của biệt thức
1. Tính gía trị nhỏ nhất ,gtln của biểu thức Q=
1
324
2
2
+

++
x
xx
2. Tìm a,b để Q=
1
ã
2
+
+
x
bax
đạt gtln=4 và gtnn=-1
3. chứng minh rằng
Ryx

,
luôn có Q
0

với
Q=x
2
+2xy+3y
2
+2x+6y+3
Q=4x
2
+13y
2
-12xy-4y+1

4. tìm m để Q=x
2
+4y
2
+my+3
Ryx

,,0
5. Tìm gtnn của Q=(x-2y+1)
2
+(2x+ay+5)
2
trong đó a là một số thực cho trớc.
6. giả sử x,y liên hệ với nhau bởi biểu thức Q=36x
2
+16y
2
-9=0 hãy tìm gtnn,gtln của
U=y-2x+5
Đoàn Việt Dũng THPT A THANH LIÊM Hà NAM
7. Cho x,y là các số thực liên hệ với nhau bởi Q=(x
2
-y
2
+1)
2
+4x
2
y
2

-x
2
-y
2
=0 chứng
minh rằng
2
53
2
53
22
+
+

yx
8. Cho x,y,z thoả mãn



=++
=++
4
8
222
zxyzxy
zyx
chứng minh
3
8
,,

3
8

zyx
9. Cho a+b+c=6 chứng minh rằng a
2
+b
2
+c
2

12

6,Dấu hiệu nhận biết phơng trình bậc hai có nghiệm .
1. cho hai phơng trình x
2
+p
1
x+q
1
=0 và x
2
+p
2
x+q
2
=0 và p
1
.p
2

2(q
1
+q
2
) khi đó có ít
nhất một trong 2 phơng trình có nghiệm .
2. chứng minh rằng có ít nhất 1 trong 3 phơng trình sau có nghiệm ax
2
+2bx+c=0 và
bx
2
+2cx+a=0 và cx
2
+2ax+b=0
3. Tìm a để phơng trình
0224
2
=++
aaxxx
có đúng 2 nghiệm phân biệt .
4. Tìm a đẻ phơng trình
012
=++
aaxx
có một nghiệm duy nhất.
5. Tìm a để phơng trình (a+1)x
2
-(8a+1)x+6a=0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1)
6. Cho m

1

.tìm nghiệm lớn của phơng trình x
2
+(2m-6)x+m-11=0
7.Tìm giá trị nhỏ nhấtvà lớn nhất bằng tam thức bậc hai.
1. Tìm gía trị nhỏ nhất ,giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x
2
+2x+3 trên D=
[ ]
0;3

E=
[ ]
3;0
2. giả sử x,y là nghiệm của hpt



+=
=+
147
1
2
aaxy
ayx
tìm a để U=x
2
+y
2

đạt gía trị nhỏ nhất .
3. Tìm giá trị lớn nhất gía trị nhỏ nhất của y=
xx
xx
24
24
cos2sin3
sin4cos3
+
+
4. tìm m để x
2
-2mx+2
02
>+
mx
no đúng
Rx

5. Cho f(x)=x
2
+(m+1)x+2
2
)1(1
+++
mmx
tìm m để
3)(min

xf

R
8.phơng trình vô tỉ,bpt vô tỉ
1. GiảI phơng trình
xx
=
332
2. GiảI phơng trình
( )
0514352
22
=++
xxxx
3. GiảI phơng trình
1221
=+
xxx
4. GiảI phơng trình
765352
22
=+
xxxx
5. GiảI phơng trình
( )
22
114122 xxxx
+=++
6. GiảI phơng trình
32653
22
+=+

xxxxx
7. GiảI phơng trình
211
22
=++
xxxx
8. GiảI phơng trình
x
x
x
x
x
211
22
=++
9. GiảI phơng trình
2
3
1212
+
=++
x
xxxx
10.HVCNBCVT 2000.GiảI phơng trình
5
3
2314
+
=+
x

xx
11.GiảI phơng trình
224222
2
+=+
xxxx