phuong phap lam bai tap gioi han ham so toan lop 11 gioi han ham so

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

GIỚIHẠNHÀMSỐ

Mục lục
0
1 Giới hạn hàm số của dạng vô định
0
0
1.1 Dạng 1: Dạng vô định của hàm phân thức đại số . . . . . . . . . . . . .
0
0
1.2 Dạng 2: Dạng vô định của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai . . .
0
0
1.3 Dạng vô dịnh của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3 . . . . . . . . . .
0
0
1.4 Dạng 4: Dạng vô định của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao . . .
0
0
1.5 Dạng 5: Dạng vô định của hàm phân thức chứa căn thức không cùng
0
bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
1.6 Dạng 6: Dạng vô định của một hàm hàm số lượng giác . . . . . . . . .
0
0
1.7 Dạng 7: Dạng vô định của hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . .

0
1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Giới hạn hàm số của dạng
∞
2.1 Dạng vô dịnh
. . .
∞
2.2 Dạng vô định ∞ − ∞
2.3 Dạng vô định1 ∞ . . .
2.4 Dạng vô định0. ∞ . .

∞
, ∞ − ∞, 1∞ , 0.∞
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vô định

2
2
2
3
3

3
4
4
5
6
6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
7
7

3 Một số dạng toán liên quan
3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . .

7
7
8

1


Gia sư Thành Được

1

www.daythem.edu.vn

Giới hạn hàm số của dạng vô định

1.1

Dạng 1: Dạng vô định

0
0

0
của hàm phân thức đại số
0

f (x)
trong đó f (x), g(x) là các hàm đa thức khác 0 nhận x= x 0 là nghiệm
g(x)
f (x)
(x − x0 )f1 (x)
f1 (x)
fk (x)
fk (x0 )
Cách giải: Ta cólim
=lim
=lim
= ...= lim
=
. Với
x→x0 g(x)
x→x0 (x − x0 )g1 (x)
x→x0 g1 (x)
x→x0 gk (x)
gk (x0 )
điều kiện fk2 (x0 )+ gk2 (x0 )
x3 + x2 − 2

Thí dụ 1: Tínhlim 4
x→1 x − x3 + x2 + x − 2
Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn sau:
8x3 − 1
2x4 − 5x3 +3x 2 + x − 1
a.lim 1 2
b.lim
x→1
3x4 − 8x3 +6x 2 − 1
x→ 2 6x − 5x+1
√
√
2x3 − (4 2+1)x 2 +(4+2
2)x − 2
√
√
c. lim√
2 +(2+2
x→ 2 x3 − (2 2+1)x
2)x − 2
Tìmlim

x→x0

1.2

0
Dạng 2: Dạng vô định
của hàm phân thức chứa căn thức bậc

0
hai

Tìmlim

x→x0

f (x) − a
trong đó
g(x)

f (x0 )= a và g (x0 )=0

f (x) − a
=
x→x0
g(x)
f (x) − a2
(x − x0 )f1 (x)
f1 (x)
f1 (x0 )
lim
=lim
=lim
=
x→x0 g(x)(
2a.g1 (x0 )
f (x)+ a) x→x0 ( f (x)+ a)(x − x0 )g1 (x) x→x0 ( f (x)+ a)g1 (x)
f (x) − a
f1 (x) − f2 (x)

f1 (x) − f2 (x)
Chú ý: Việc tìm các giới hạn lim
,lim
,lim
x→x0
x→x0
g(x)
g(x) − b x→x0
g1 (x) − g2 (x)
hoàn toàn tương tự. √
x+8 − 3
Thí dụ 2: Tínhlim 2
x→1 x +2x√− 3
√
x+
x−1−1
√
Thí dụ 3: Tínhlim
x→1
x2 − 1
0
Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa căn bậc 2 dạng đôi khi ta tách thành tổng các
0
phân thức dạng trên rồi nhân lượng liên hợp.
Bài tập tự luyện
Tính các√giới hạn √
sau:
x+2 − 2x
x−1
√

a.lim √
b.lim √
2
x→2
x→1
x +3+ x3 − 3x
√ x − 1 − 43 − x 3
2
x − 1+ x − 3x + x +3
√
c.lim
x→2
2x − 2
Cách giải: Khi đó thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp

2

f (x) + a ta đượclim


Gia sư Thành Được

1.3

Dạng vô dịnh

www.daythem.edu.vn

0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3

0

f (x) − a
trong đó 3 f (x0 )= a và g (x0 )=0
x→x0
g(x)
Cách giải: Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp 3 f 2 (x)+ a 3 f (x)+ a2
3
3
f (x)+ a
f (x) ± a
Chú ý: Việc tìm các giới hạn dạnglim
;lim 3
;
x→x0
x→x0
g(x)
g(x) ± b
3
3
f (x) ± a
f1 (x) ± 3 f2 (x)
lim
;lim
;
x→x0
g(x) − b x→x0 g1 (x) − g2 (x)
3
f1 (x) ± 3 f2 (x)
lim 3

hoàn toàn tương tự.
x→x0
g1 (x) ± 3 g2 (x)
√
3
4x − 2
1
Thí dụ 4: Tínhlim
ĐS:
x→2 √
x−2
3
3
x+ x2 + x+1
Thí dụ 5: Tính lim
x→−1
x+1
Bài tập
tự
luyện:
Tính
các
giới√
hạn sau:
√
√
3
2x − 1 − 3 x
2x − 1+ x2 − 3x+1
√

a.lim
b.lim √
3
x→1
x→1
x−1
x − 1+ x2 − x+1
3

Tìmlim

1.4

0
Dạng 4: Dạng vô định
của hàm phân thức chứa căn thức bậc
0
cao
√
n

1+ ax − 1
Dạng thường gặp: Tìmlim
x→0
x
√
tn − 1
n
n
Cách giải: Đặt t=

1+ ax → t =1+ ax → x=
và khi x → 0 thì t → 1
a
√
n
1+ ax − 1
a(t − 1)
a
Khi đólim
=lim
=
n
x→0
t→1 t − 1
x √
n
5
1+5x − 1
Thí dụ 6: Tínhlim
x→0
x
Bài tập
tự
luyện:
Tính
các
giới
hạn sau:
√
√

√
4
4
7
2x+1 − 1
4x − 3 − 1
2−x−1
a.lim
b.lim
c.lim
x→0
x→1
x→1
x
x−1
x−1

1.5

Dạng 5: Dạng vô định

0
của hàm phân thức chứa căn thức không
0

cùng bậc
Cách giải: Thêm và bớt một số hạng thích hợp, tách ra thành hai giới hạn của dạng vô định
0
0

√
√
2 1+ x − 3 8 − x
Thí dụ 7: Tínhlim
(Hướng dẫn: thêm bớt 2 ở tử số)
x→0 √
x √
1+2x − 3 1+3x
Thí dụ 8: Tínhlim
(Hướng dẫn: thêm bớt 1+x ở tử số)
x→0
x2
Bài tập
tự luyện:√Tính các giới hạn √
sau:
√
√
3
3
8x+11 − x+7
1+ x2 − 4 1 − 2x
b.lim
a.lim
x→0
x→2 √ x2 − 3x+
2
x+ x√2
√
√
3

4
1+4x − 1+6x
2x − 1+ 5 x − 2
c.lim
d.lim
x→0
x→1
x2
x−1

3


Gia sư Thành Được
e.lim

(x2 +2004)

x→0

1.6

www.daythem.edu.vn

√
7

1 − 2x − 2004
x

Dạng 6: Dạng vô định

f.lim

(x2 +2001)

x→0

√
9
1 − 5x − 2001
x

0
của một hàm hàm số lượng giác
0

sin x
=1
x
sin u(x)
x
tan x
Hệ quả:lim
=1 (nếulim =0);
lim
=1;lim
=1
x→a u(x)
x→a

x→0 sin x
x→0
x
1
Thí dụ 9: Tìmlim π (
− tan x) Làm theo 2 cách
x→ 2 cos x
√
sin x − 3 cos x
Thí dụ 10:Tìmlim π
.
x→ 3
sin 3x
Bài tập tự luyện:
Tính các giới hạn sau:
√
2
√
sin
x
−
1 − cos x. cos 2x
2 .
a)lim
;
b)lim π
2
x→0
x→ 4 tan x − 1
x

√
cos4 x − sin4 x − 1
1 − 3 cos x
√
c)lim
d)lim
x→0
x→0
tan2 x
x2 +1 − 1
π
√
cos ( cos x)
1 − 2x+1+sin
x
2
e)lim
g)lim √
x
x→0
x→0
3x+4 − 2 − x
sin2
2
1 − |1+sin 3x |
1 − cos 3x. cos 5x. cos 7x
√
h)lim
i)lim
x→0

x→0
sin2 7x
1 − cos x
√
3
tan x − 1
1 − cos x. cos 2x
k)lim π
m)lim
2
x→0
x→ 4 2 sin x − 1
x2
Định lí:lim

x→0

1.7

Dạng 7: Dạng vô định

Định lý:lim

x→∞

1
1+
x

x

= e;

0
của hàm số mũ và hàm số logarit
0
1
lim (1+ x) x = e;

x→∞

1

eax − ebx
x→0
x
π
ln tan
+ ax
4
Thí dụ 12: Tínhlim
x→0
sin bx
ln (sin x+cos x)
Thí dụ 13:Tínhlim
x→0
x
Bài tập luyện tập :
Tính các giới hạn sau:
esin 2x − esin x

e2x − 1
√
a.lim
;
.lim √
x→0
x→0
sin x
1+ x − 1 − x
2
2
e3x . cos2 x − 1
3x − cos x
c.lim
;
d.lim
2
x→0
x→0
x
x2
√
3
−2x2
cos x−cos 3x
2
− 1+ x
− cos 2x
e
e

e.lim
;
g.lim
x→0
x→0
ln (1+ x2 )
x2
Thí dụ 11 : Tínhlim

4

ln 1+ x
=1;
x→0
x
lim

ex − 1
=
x→0
x
lim


Gia sư Thành Được

1.8

www.daythem.edu.vn

Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm

f (x) − f (x0 )
x→x0
x − x0
√
(x2 +2010) 9 1 − 9x − 2010
Thí dụ 14 :Tìm A=lim
x→0
x
√
1 − 2x+1+sin
x
√
Thí dụ 15 :Tìm B=lim
x→0
3x+4 − 2
Bài tập tự luyện:
Tính các
giới hạn √
sau:
√
√
4
2x − 1+ 5 x − 2
1 − 2x+1+sin
√
a.lim
;
b.lim

x→1
x→0
x−1
3x+4 − 2
√
3
esin 2x − esin x
tan x − 1
c.lim
;
d.lim π
2
x→0
x→ 4 2 sin x − 1
sin x
√
2
e−2x − 3 1+ x2
e.lim
x→0
ln (1+ x2 )
Một số bài
√ trong các
√ đề thi
2x − 1 − x
Bài 1:lim
(HVNH-98)
x→1
x√− 1
x3 − 3x − 2

Bài 2:lim
(ĐHQG-98)
x→1 √ x − 1
√
2 1+ x − 3 8 − x
Bài 3:lim
(ĐHQG KA-97)
x→0 √
x √
4
2x − 1+ 5 x − 2
Bài 4:lim
(ĐHSP II KA-99)
x→1
x−1
1 − cos2 2x
Bài 5:lim
(ĐH ĐN KD-97)
x→0
x sin x
1 − |1+sin 3x |
√
Bài 6:lim
(ĐHQG KB 97)
x→0
1 − cos x
2
Bài 7:lim
− cot x (ĐHL-98)
x→0

sin 2x
tan x − sin x
Bài 8:lim
(HVKTQS-97)
x→0
x3
π
cos
cos x
2
Bài 9:lim
(ĐHTN-KA-97)
x
x→0
sin2
2
1 − sin 2x − cos 2x
Bài 10:lim
x→0 1+sin 2x
− cos 2x
tan(a+ x). tan(a − x) − tan2 a
Bài 11:lim
(ĐHTN-98)
x→0
x2
98 1 − cos 3x. cos 5x. cos 7x
Bài 12:lim
(ĐHAN KA00)
x→0 83
sin2 7x

√
1 − 2x+1+sin
x
Bài 13:lim √
(ĐHGTVT 98)
x→0
√ 3x+4 − 2 − x
1+ x2 − cos x
Bài 14:lim
(ĐHTM-99)
x→0
√ x2
1 − cos x
√ (ĐHHH-97)
Bài 15:lim
x→0 1 − cos
x √
√
1+tan x − 1+sin x
Bài 16:lim
(ĐHHH 00)
x→0
x3
sin 2x
sin x
−e
e
Bài 17:lim
(ĐHHH 99)
x→0

sin x
Ta có f (x0 )=lim

5

x


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

x3 + x2 − 2
18:lim
(ĐHQG KD-99)
x→1 sin(x − 1)
√
2
e−2x − 3 1+ x2
19:lim
(GTVT 01)
2)
x→0
ln(1
+
x
√
√
2x+1 − 3 x2 +1
20:lim

(ĐHQG-00)
x→0 √
sin√
x
5 − x − 3 x2 +7
21:lim
(TCKT-01)
x→1 √
x2 − 1√
1+2x − 3 1+3x
22:lim
(ĐH Thủy Lợi -01)
x→0
x2
23: lim tan 2x. tan π4 − x (ĐHSP II-00)
π
x→
4
2
3x − cos x
24:lim
(ĐHSP II-00)
x→0
x2
4
cos x − sin4 x − 1
√
25:lim
(ĐHHH-01)
2 +1 − 1

x→0
x
√
√
3
x+1+
x−1
26:lim
(TK-02)
x→0
x
x6 − 6x+5
27:lim
(TK-02)
x→1
(x√
− 1)2
1 − 2x2 +1
28:lim
(ĐHBK-01)
x→0
1 − cos x

Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài

Bài
Bài
Bài
Bài
Bài

2

Giới hạn hàm số của dạng vô định

2.1

Dạng vô dịnh

∞
, ∞ − ∞, 1∞, 0.∞
∞

∞
∞

Cách giải : Để khử dạng vô định

∞
ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của
∞

biến.

√

x+
x
√
Thí dụ 1 : Tính lim
x→+∞
x+1
x2 +2x+1
√
Thí dụ 2 : Tính lim
x→+∞ x x+1
Bài tập tự luyện :
Tính các giới hạn:
√
√
√
x+1
x+ 3 x+ 4 x
√
√ ; b. lim
√
a. lim
x→+∞ x x+
x→+∞
x
2x+1

2.2

Dạng vô định ∞ − ∞

Cách giải: Thực hiện phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞ − ∞. Đôi khi phải cùng
thêm và bớt một số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞ − ∞, rồi mới thực hiện phép nhân
liên hợp như trên.
√
Thí dụ 3: Tìm lim ( x2 − 1 − x)
x→+∞
√
√
Thí dụ 4 : Tìm lim ( 3 x3 +3x 2 − x2 − x+1)
x→+∞

Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn sau:

6


Gia sư Thành Được
a. lim

x→+∞

2.3

√
( x2 + x+1

f (x)
g(x)

x→+∞

Cách giải: Biến đổi
lim

√

1
1+
t

b. lim

x→+∞

√
√
( 4x2 +3x − 1 − 3 8x3 − 5x2 +3)

∞

x

, trong đó lim

x→+∞

f (x)
=1+
g(x)

f (x)
=1
g(x)

1
, khi đó x → +∞ ⇔ t → +∞. Đưa về giới hạn cơ bản
t

t

=e

Thí dụ 5 : Tìm lim

x→+∞

Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn:
x
2x+3
a. lim
x→+∞
2x − 1

2.4

x2 − x+1)

Dạng vô định1

Tìm lim

t→+∞

−

www.daythem.edu.vn

x

x+3
x+1

b. lim

x→+∞

x

x+3
x−1

Dạng vô định0. ∞

Cách giải: Biến đổi đưa về dạng

0
∞
hoặc

0
∞

0
x
) Tìm lim + (x3 +1)
2
x→−1
0
x −1
∞
x+1
Thí dụ 7: (Đưa về dạng
Tìm lim (x − 2)
x→+∞
∞
x3 − x
Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn:
x
x−1 √
a. lim + (x2 − 16)
b. lim
x+2
3
x→+∞ x3 +5
x→4
x − 64

Thí dụ 6: (Đưa về dạng

3

Một số dạng toán liên quan

3.1

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Cách giải (Sử dụng định nghĩa)
• Hàm số y= f (x) liên tục tại điểm x= x

0

khi và chỉ khilim f (x)= f (x0 )
x→x0

• Đôi khi ta phải sử dụng đến tính liên tục từng phía tại điểm x= x 0 . Hàm số y= f (x) liên
tục tại điểm x= x 0 khi và chỉ khi lim + f (x)= lim − f (x)= f (x0 ).
x→x0

x→x0

Thí dụ8: √
Tìm a để √
hàm số sau liên tục tại điểm x=1:
 3 x − 2+
2x − 1
khi x =1
f (x)=

x
−
1
 a
khi x=1
x
e
khi x <0
Thí dụ 9: Cho f (x)=
Hãy tìm a sao cho hàm số f (x) liên tục.
a+ x khi x ≥ 0
Bài tập tự luyện:
Tìm m để hàm số f (x) liên tục:
7


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn


 tan x − 3 cot x khi x = π
3x − π
3
a. f (x)=
π
 m
khi x=
3
x

e
khi x <1
b. f (x)=
mx − 1 khi x ≥ 1

3.2

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Thí dụ 10:Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x=0:
 etan x−sin x − 1
khi x =0
2
y= f (x)=
x
 0
khi x=0
Bài tập tự luyện:
ln (cos 2x)
khi x =0
1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x=0: y= f
(x)=
sin x
0
khi x=0
2
x
khi x ≤ 1
2. Cho hàm số y= f (x)=

ax+ b khi x >1
Tìm a, b để f (x) có đạo hàm tại điểm x=1
x2 − 2|x+3 |
3. Chứng minh rằng hàm số y=
liên tục tại x= −3 nhưng không có đạo hàm tại
3x − 1
điểm này.
—————– Hết ——————–

8