Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1
Bài 2. Giới hạn của hàm số
Phương pháp giải bài tập:
Bài tập mẫu:
Bài 1. Cho hàm số
2
2
1
x x
y
x
 


. Dùng định nghĩa chứng minh rằng
1
lim ( ) 3
x
f x


.
Giải:
Hàm số y=f(x) xác định trên
 
\ 1 .R
Giả sử (x
n
) là dãy số bất kì
1

n
x 
và
1
n
x 
   
 
2
2 1
2
lim ( ) lim lim lim 2 3
1 1
n n
n n
n n
n n n n
n n
x x
x x
f x x
x x
   
 
 
    
 
Bài 2. Cho hàm số
nếu 0
( ) .

2 nếu 0
x x
y f x
x x


 

 

Dùng định nghĩa chứng minh hàm số
y=f(x) khơng có giới hạn khi
0x 
Giải :
 
 
1 1
Xét dãy 0 0
1
lim ( ) lim 0 (1)
1
Xét dãy khi ; 0
1
lim ( ) lim 2 2 (2)
Vậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi 0
n
n
n n
n n
n

n n
x
n n
f x
n
x n x
n
f x
n
x
 
 
   
  
 
 
   
 
 
    
 
 
 
  
 
 

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn:
Phương pháp:

1.
 
0
0 0
lim ( ) ( ), \ , lim lim ( )
n n n n
x x n n
f x L x x K x x x f x L
  
      
2. Để chứng minh hàm số f(x) khơng có giới hạn khi
0
x x
ta thực hiện:
 Chọn hai dãy số khác nhau (x
n
) và (y
n
) thỗ mãn: x
n
, y
n
thuộc tập xác
định của hàm số và khác x
0

0 0
lim , lim
n n
n n

x x y x
 
 

   
Chứng minh lim lim hoặc một trong hai
n n
n n
f x f y
 

giới
hạn đó khơng tồn tại
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 2
Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau :
2
3 3
2
3
2
5
9 1
) lim 6 ) lim
3
1
3 1
) lim 4 ) lim
3
1

x x
x x
x
a b
x
x
x x
c d
x
x
 
 

   


 
   


Bài 2.
1. Cho hàm số
2
2
neáu 0
( )
1 neáu 0
x x
f x
x x






 


.
a. Vẽ đồ thị hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi
0x 
.
b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.
2. Cho hàm số
2
1
( ) sinf x
x

. Chứng minh hàm số không có giới hạn khi
0x 
.
Bài 3.
a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi
x  
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)
Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng
 
;a
. Dùng

định nghĩa chứng minh rằng, nếu
lim ( ) vaø lim ( ) thì lim ( ) ( ) .
x x x
f x L g x M f x g x L M
  
  
Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau:
 
2
1
3
2
2
4 1
2
2
1
)lim 2 1 ) lim
3
3 1
) lim ) lim
1
4
4
)lim
2 2
x
x
x x

x
x
a x b
x
x x
c d
x
x
x
e
x


 


 

 




Giải:
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực
hiện:
1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x
0
thì

 
0
0
lim ( )
x x
f x f x


2. Áp dụng định lý 1 và các quy tắc về giới hạn

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 3
   
 
2
1
3
2
2
4 4
4
2
1
)lim 2 1 2 1 1 3 1
1 3 1 1
) lim
3 3 3 3
3
)Ta coù: lim 3 1 0 vaø lim 4 0 neân lim
4

1
) lim
1
x
x
x x
x
x
a x
x
b
x
x
c x x
x
x
d
x


 


      
 
 
 

       



 

2
2
4 0
)lim 0
2 2 4
x
x
e
x


 

Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau:
 
 
2 2
2
2 3
3 2
3 3
) lim 2 4 ) lim 4 1
2 2 15
)lim )lim
2
2

x x
x x
a x x b x x
x x
c d
x x
x
 
 
   
 
 

Đáp số:
2
2
2
) 14
4 1
) lim 4 1 lim
4 1
11
) )
4
x x
a
x x
b x x
x x
c d

 
 
    
 
 
Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau:
2
2
2
3 6
) ( ) khi x 3
1
) ( ) 4 2 5 khi x
) ( ) 3 6 1 khi x
15
) ( ) khi x 2
2
15
) ( ) khi x 2
2
x x
a y f x
x
b y f x x x
c y f x x x
x
d y f x
x
x
d y f x

x


 
  

     
     

   


   

Đáp số:
) 3 ) ) ) )a b c d e      
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 4
Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính giới hạn sau:
2
1
lim
1
x
x x
x




Giải :
 
2
1 1
1
1
lim lim lim 1
1 1
x x
x
x x
x x
x
x x
 



  
 
Bài 2. Tính giới hạn sau:
2
2
4
lim
7 3
x
x
x



 
Giải:
   
 
 
 
 
2
2 2
2
2 2 7 3
4
lim lim
2
7 3
lim 2 7 3 4.6 24
x x
x
x x x
x
x
x
x x
 

   




 
 
        
 
 
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau:
 
3
2 3 2
2
1 0 1
3 2 3
4 2 2
1 1
1 1
2 3 1
) lim ) lim ) lim
1
2 1
5 3 1 2 4
) lim )lim
8 9 2
x x x
x x
x
x x x x x
a b c
x x
x x

x x x x x
d e
x x x x
  
 
 
    

 
    
  
Đáp số:
4 1
) ) 3 )2 ) ) 5
3 5
a b c d e 
Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau:
Dạng 3. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định
0
0
Phương pháp:
1. Nhận dạng vô định
0
0
:
0 0 0
( )
lim khi lim ( ) lim ( ) 0
( )
x x x x x x

u x
u x u x
v x
  
 
2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước
0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
lim lim lim vaø tính lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o o o o
x x x x x x x x
x x A x
u x A x A x
v x x x B x B x B x
   

 

3. Nếu u(x) và v(x) có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu
với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để
giản ước.
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 5
2
2 5 2
2
3

3
5 2 5
4 5 4 4 2
) lim ) lim )lim
5
7 3 5
2 4 1 1
)lim ) lim )lim
4 1 3 3 2 2
x x x
x x x
x x x x
a b c
x
x x
x x x x x
d e f
x
x x
  
  
     

  
     
   
Đáp số:
1 9 1
) 24 ) 2 5 ) ) ) 16 )
3 8 6

a b c d e f 
Bài 3. Tính giới hạn của hàm số sau:
3
0 1
2 2
2
0 0
2
3 3
1 0
3
2
2
3
0 1
3 3 1
) lim ) lim
1
1 1 9 16 7
) lim ) lim
7 5 2 1 8
) lim )lim
1
5 7 1 2
)lim ) lim
1
1
x x
x x
x x

x x
x x
a b
x
x
x x x x x x
c d
x
x x
x x x x
e f
x x
x x x
g h
x
x
 
 
 
 
  

        

     

    


Đáp số:

1 7 7 11 5 3
) ) 3 ) 1 ) ) ) ) )
24 12 12 12
2 3 2 2
a b c d e f g h  
Bài 1. Tính các giới hạn của hàm số sau:
2
3
0 0
0
2
0 0 0
tan sin 1 sin2 cos2 1 cos 2
)lim ) lim ) lim
1 sin2 cos2 sin
sin3 1 cos5 cos7 cos12 cos10
)lim )lim )lim
1 2cos cos8 cos6
sin 11
x x
x
x x x
x x x x x
a b c
x x x x
x
x x x x x
d e f
x x x
x

 

  
   
 
 
 
Đáp số:
1 37 11
) ) 1 )4 ) 3 ) )
2 121 7
a b c d e f  
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
Dạng 4: Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác ( dạng vô định
0
0
)
Phương pháp: Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số
lượng giác thành dạng có thể sử dụng định lí:
0 0 ( ) 0 ( ) 0
sin sin ( ) ( )
lim 1 hoaëc lim ( ) 0 lim 1; lim 1
( ) sin ( )
x x u x u x
x u x u x
u x
x u x u x
   
    
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 6
 
 
0 1
2
0 0
4 4
0 0
2
3
2
1 0
2 3 2
)lim cot )lim
sin2
tan 1
98 1 cos3 cos5 cos7
)lim tan2 tan )lim
4 83
sin 7
sin sin
cos sin 1
) lim )lim
1 1
2 1 1 cos
)lim )lim
sin
x x
x x
x x

x x
x x
a x b
x
x
x x x
c x x d
x
x
x x
e f
x
x
x x
g h
x

 
 
 
 
 
 

 

 
   
   



   
   
   
   
 
 
  
3
2
cos
sin
x x
x

Đáp số:
7 1 1
)0 ) ) )1 ) 4 )1 )1 )
12 2 12
a b c d e f g h 
Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính giới hạn sau:
3
3 2
3 5
lim
6
x
x x
x x




Giải:
3
2
3 2
5
3
3 5 1
lim lim
1
2
6
6
x x
x x
x
x x
x
 


 


Bài 2. Tính giới hạn sau:
Dạng 5: Dạng vô định



Phương Pháp:
1. Nhận biết dạng vô định


0 0 0
0 0
( )
lim khi lim ( ) , lim ( )
( )
( )
lim khi lim ( ) , lim ( )
( )
x x x x x x
x x x x x
u x
u x v x
v x
u x
u x v x
v x
  
  
   
   
2. Chia tử và mẫu cho
n
x
với n là số mũ cao nhất của biến x ( Hoặc
phân tích thành tích chứa nhân tử
n

x
rồi giản ước)
3. Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa x
k
ra ngoài
dấu căn ( Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó
chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 7








2 2
2
2 2
4 2 4 2
lim 4 2 lim lim
4 2 4 2
1 1
lim
4
1
4 2
x x x
x

x x x x x x
x
x x x
x x x x x x
x
  

   
   
   
  
  
Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau:
 
 
 
 
2
3
3 2
3
4 2 2 2
2
1
2
2
3 1 5 3
2 3 4
) lim ) lim

1
2 1 1
7 5 1 4 1
) lim ) lim
2 3
3 13
1
3
2 3
1
) lim ) lim
2 3
4 1 1
3 2
x x
x x
x x
x x
x x
a b
x x
x x
x x x x x
c d
x
x
x x x
x
e f
x

x x
x x
 
 
 
 
 
  
 
     


 

 
  

 

  
 
 
 
 
Đáp số:
2
2
2
2
1

) 2 ) 0 ) )
2
2 3
khi : lim = 4
4 1 1
)
2 3 2
khi : lim =-
3
4 1 1
1
)
5
x
x
a b c d
x x x
x
x x
e
x x x
x
x x
f


  

  
  


  

  

 

  


Bài 2. Tính các giới hạn sau:
 
 
5
2
3
3 7
2 2
2
4 2 2
3
3
1 1 2
1 2 3
) lim ) lim
9 3
2 3 4 1 9 1 4 2 1
) lim ) lim
1
4 1 2

7 5 2 3
) lim ) lim
3 13
1
x x
x x
x x
x x
x x
a b
x x x
x x x x x x x
c d
x
x x
x x x x x
e f
x
x x
 
 
 
 
 
  
        

  
    


 
Đáp số:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 8
)3 ) 32 )5 khi ; 1 khi
)1 khi ; 1 khi
1 1
) khi ; khi
3 3
)1 khi ; 1 khi
a b c x x
d x x
e x x
f x x
     
    
    
    
Bài tập 1: Tìm các giớí hạn của hàm số sau:




 




2
0

2 3
2
1
3
2 2 2 3
1 1
) lim 1 ) lim 4 2
1
) lim 2 3 4 4 3 ) lim 1
1
) lim 2 1 7 3 ) lim 1 1
x x
x
x
x x
a b x x x
x x
x
c x x x d x
x
e x x x x f x x

 


 
 
  
 


 
 
    
 
 

 
       
Đáp số:
1
) 1 ) )khi : : 4 ;khi : : )0
4
5 5
)khi : : ;khi : : ) 0
2 2
a b c x ÑS x ÑS d
e x ÑS x ÑS f
      
    
Bài tập 2. Tìm các giớí hạn của hàm số sau:






2 2 2 2
3
3 2 2
) lim 1 ) lim 8 3 4 3

) lim ) lim
x x
x x
a x x x b x x x x
c x x x x d x x x x
 
 
       
 
     
 
 
Đáp số:
Dạng 6. Dạng vô định
;0.  
Phương pháp:
1. Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với
biểu thức liên hợp
2. Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa
về cùng một biểu thức.
3. Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay
dạng vô định
;0.  
hoặc chuyển về dạng vô định
0
;
0


Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 9




 
3 3
3 2 2 3 2 2
2
2 2
3
3 2 3 2 2
3
1 1
) khi ; khi ; )2 khi ; 2khi
2 2
) lim lim
1 1 5
lim
3 2 6
1
1
) lim lim lim
x x
x
x x x
a x x b x x
c x x x x x x x x x x
x x
x x x

x x x x x x
x x
x
d x x x x
x x x x
 

  
         
        
 
 
    
 
 
 
   
 

 

    
 
 
  
1 1
1 1
1 1
1 1 2
x

x x
  
 

Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính giới hạn :
2
2
sin2 3cos2
lim
3 6
x
x x x
x

 

Giài:
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
Ta nhaän thaáy: -2 sin2 3cos2 2
2 sin2 3cos2 2
Vaäy
3 6 3 6 3 6

2
1
2 2 1
Maø lim lim lim
6
3
3 6 3 6
3
sin2 3cos2 1
Vaäy lim
3
3 6
x x x
x
x x
x x x x x
x x x
x x
x
x x
x
x x x
x
  

  
   
 
  


 
  
 

 


Bài 2. Tìm
2
0
1
lim sin
x
x
x

Giải:
Dạng 7: Giới hạn kẹp
Phương pháp:
 
0 0
( ) ( ) ( ), \ ,h x f x g x x K x x K    
và
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
h x g x L f x L
  
   
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 10
 
2 2 2
2 2
0 0
2
0
1
Ta nhaän thaáy : sin
lim lim 0
1
Vaäy lim sin 0
x x
x
x x x
x
x x
x
x
 

  
  

Bài tập áp dụng:
Bài tập1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
 
2
2
2

0
2 sin 5 os2 1
) lim )lim os
3
1
) lim os 1
x x
x
x x c x
a b x c
x
x
x x
c c x x
x
 

 

 
 
Đáp số:
) 0 ) 0 ) 0a b c
Bài tập 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
2
3 2
2
5cos sin
) lim ) lim
1 2 1

sin2 2 os2
) lim
1
x x
x
x x x x
a b
x x
x c x
c
x x
 


 

 
Đáp số:
) 0 ) 0 )0a b c
Bài tập mẫu:
Bài 1.
a) Cho hàm số
2
2
2 3 neáu 3
( ) 1 neáu =3
3-2 neáu 3
x x x
f x x
x x


  






Tính
3
3 3
lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )
x
x x
f x f x f x
 

 
b) Cho hàm số
3
3 3
( ) 1 2 6 . Tính lim ( ); lim ( ); lim ( )
x
x x
f x x f x f x f x
 

 
  
Giải:

Dạng 8: Giới hạn một bên
Phương pháp:
 
0
0 0
lim ( ) , , lim lim ( )
n n n n
n n
x x
f x L x x x b x x f x L

 

       
 
0
0
0 0
0 0
lim ( ) , , lim lim ( )
lim ( ) lim ( ) lim ( )
n n n n
n n
x x
x x
x x x x
f x L x a x x x x f x L
f x f x L f x L

 

 


 
       
   
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 11
 
 
2 2
3 3
2 3
3 3
3 3
) * lim ( ) lim 3 2 3 2.3 15
* lim ( ) lim 2 3 3 2.3 3 6
* lim ( ) lim ( ) nên hàm số không có giới hạn khi 3
2 6 nếu 3 2
) Ta có: 2 6 nên ( )
2 6 nếu 3
x x
x x
x x
a f x x
f x x x
f x f x x
x x
b x f x
x x

 
 
 
 
 
 
     
      
 

 
  

  

 
 
3 3
3 3
3
3 3
5 nếu 3
2 7 nếu 3
* lim ( ) lim 2 5 2.3 5 1
* lim ( ) lim 2 5 2.3 7 1
* lim ( ) lim ( ) 1 lim ( ) 1
x x
x x
x
x x

x x
x x
f x x
f x x
f x f x f x
 
 
 
 
 

 

 

  

    
     
   
Bài 2. Cho hàm số:
3
1 3
nếu 13
( )
1
1
2 nếu 3
x
f x

x
x
mx x

 






 

Tìm giá trị của m để hàm số f(x) có giới hạn khi
1. Tính giới hạn đóx 
Giải:
   
 
 
 
2
3 3
1 1 1
2
2
1 1
1 1
1 1
1 3 2
*lim ( ) lim lim

1
1 1
1 2
2
lim lim 1
1
1 1
*lim ( ) lim 2 2
Hàm số f(x) có giới hạn thì lim ( ) lim ( ) 1 2 1
* khi đó
x x x
x x
x x
x x
x x
f x
x
x x
x x
x
x x
x x x
f x mx m
f x f x m m
  
 
 
 
  
 

 
 
 
 
  
 

 
 
 

  
 
  
   
      
1
lim ( ) 1
x
f x


Bài tập áp dụng:
Bài tập 1.
a) Cho hàm số
2
2
2
nếu 1
( )

1
1 nếu 1
x x
x
f x
x
x x x

 






  

Tính
1
1 1
lim ( ); lim ( ); lim ( )
x
x x
f x f x f x
 

 
b) Cho hàm số
5
5 5

5
( ) . Tính lim ( ); lim ( );lim ( )
5
x
x x
x
f x f x f x f x
x
 

 



Đáp số:
a) 3
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 12
b)


 
5
lim ( ) 1
x
f x
;




5
lim ( ) 1
x
f x
Bài tập 2. Cho hàm số
3
1
nếu 1
( ) .
1
2 nếu x 1
x
x
f x
x
mx








 

Với giá trị nào của m thì hàm số
f(x) có giới hạn
1x 
Đáp số: m=1

Bài tập 3. Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn tại x=1
2
1 2
với 1
( )
1
1
5 với 1
x
f x
x
x
mx x

 






 

Đáp số: m = -3
Bài tập 4. Tìm giá trị của a để hàm số sau có giới hạn tại x=0
sin với 0
( )
3 với 0
x x
f x

x a x




 

Đáp số: a = 0
Bài tập 5. Cho khoảng K,
0
x K
và hàm số f(x) xác định trên
 
0
\K x
Chứng minh rằng nếu
0
lim ( )
x x
f x

 
thì ln tồn tại ít nhât một số c thuộc
 
0
\K x
sao cho f(c)>0.
Hướng dẫn:
   



   
 
0
0 0
Vì lim ( ) nên với dãy số bất lỳ, \ và ta
luôn có lim ( ) .
Tư đònh nghóa suy ra ( ) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một
số hạng nào đó tr
n n n
x x
n
n
n
f x x x K x x x
f x
ø f x
 

 
 
0
ở đi.
Nếu số dương này là 1 thì ( ) 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tòn tại ít nhất một số \ sao cho ( ) 1.
Đặt , ta có ( ) 0
n
k k
k
f x

x K x f x
c x f c
Bài tập 6. Cho hàm số y=f(x) xác định trên
 
;a 
. Chứng minh rằng nếu
lim ( )
x
f x

 
thì ln tồn tại ít nhất một số c thuộc
 
;a 
sao cho f(c)<0.
Hướng dẫn:
 
Vì lim ( ) nên với dãy số bất lỳ, và ta
luôn có lim ( ) .
Dó lim ( )
Tư đònh nghóa suy ra ( ) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ mo
n n n
x
n
n
n
n
n
f x x x a x
f x

f x
ø f x



    
 
 
  
 
 ät
số hạng nào đó trở đi.
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 13
 
Nếu số dương này là 2 thì - ( ) 2 kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số ; sao cho - ( ) 2 hay
( ) 2 0
Đặt , ta có ( ) 0
n
k k
k
k
f x
x a f x
f x
c x f c

  
  

 