Các khái niệm và tính chất cơ bản về tính liên tục của ánh xạ đa trị

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS Nguyễn Quang Huy

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Quang Huy đã giao
đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận
này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận
lợi cho em trong quá trình học và thực hiện khóa luận.

Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2016
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Phượng.

i

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

Lời cam đoan
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tác giả dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Quang Huy.
Tác giả xin khẳng định kết quả của khóa luận này là trung thực. Đề
tài "Các khái niệm và tính chất chất cơ bản về tính liên tục của
ánh xạ đa trị" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của
bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 26 tháng 04 năm 2016
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Phượng.

Footer Page 4 of 161.

ii


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời cam đoan

ii

Lời mở đầu

1

Các kí hiệu và chữ viết tắt

3

1 Các khái niệm về tính liên tục của ánh xạ đa trị

5

1.1

Các khái niệm cơ bản về ánh xạ đa trị . . . . . . . . . .

1.2

Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh

5

xạ đa trị theo nghĩa của Berge và theo nghĩa của Hausdorff 10
1.2.1

Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới

của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Berge . . . . . .

1.2.2

Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới
của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Hausdorff . . . .

1.2.3

11

13

Mối liên hệ giữa tính nửa liên tục trên và tính nửa
liên tục dưới của ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge
và Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị liên tục
2.1

14
16

Nhắc lại một số tính chất cơ bản của ánh xạ đơn trị liên
tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Footer Page 5 of 161.

iii

16


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Nguyễn Thị Phượng

Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị liên tục . . . .
2.2.1

17

Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị
nửa liên tục dưới bảo tồn tính liên thông của một
tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.2

Ánh xạ nửa liên tục trên bảo toàn tính compắc .

21

2.2.3

Ánh xạ nửa liên tục trên có tính chất điểm bất động 22

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36

Footer Page 6 of 161.

iv


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu mới trong Toán học, mặc
dù từ những năm 30 của thế kỉ 20 các nhà toán học đã thấy cần nghiên
cứu ánh xạ đa trị - xạ nhận giá trị là các tập con của một tập nào đó. Sự
ra đời của tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysic” vào năm 1993 là một
mốc lớn trong quá trình phát triển của hướng nghiên cứu này. Vai trò
của giải tích đa trị trong toán học đã được công nhận rộng rãi.
Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lí thuyết phương trình vi
phân, phương trình đạo hàm riêng, biểu thức biến phân và phương trình
suy rộng, lí thuyết tối ưu, lí thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa

học quản lí và toán kinh tế. Hầu như tất cả các kết quả nghiên cứu về
tính ổn định và độ nhảy nghiệm của bài toán tối ưu phụ thuộc vào tham
số và của các bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đều
được viết được bằng ngôn ngữ giải tích đa trị.
Nhiều tính chất đẹp của ánh xạ đơn trị liên tục như bảo tồn tính liên
thông, tính compắc và sự tồn tại điểm bất động đã được khảo sát và mở
rộng cho các ánh xạ đa trị liên tục. Đề tài “Các khái niệm và tính chất
chất cơ bản về tính liên tục của ánh xạ đa trị” nhằm hiểu các khái niệm
về tính liên tục của ánh xạ đa trị, mối quan hệ giữa chúng và các tính
chất cơ bản được mở rộng cho ánh xạ đơn trị liên tục.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm về tính liên tục của ánh xạ đa trị, mối quan
hệ giữa chúng và các tính chất cơ bản được mở rộng cho ánh xạ đơn trị

Footer Page 7 of 161.

1


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

liên tục.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới
của ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge và theo nghĩa Hausdorff, mối quan
hệ giữa chúng; các tính chất về tính liên thông, tính compắc, điểm bất
động của các ánh xạ đa trị liên tục.

4. Đối tượng nghiên cứu
Các khái niệm về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ
đa trị theo nghĩa Berge và theo nghĩa Hausdorff; tính liên thông, tính
compắc và điểm bất động.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong lý thuyết tôpô và giải tích
hàm.

Footer Page 8 of 161.

2


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

Các kí hiệu và chữ viết tắt
F :X⇒Y

ánh xạ đa trị từ X vào Y

dom F

miền hữu hiệu của F

rge F

miền ảnh của F

gph F

đồ thị của F

F −1 : Y ⇒ X

ánh xạ ngược của F

N

tập số nguyên dương

R

tập số thực

Q

tập số hữu tỉ

C

tập số phức

∅

tập rỗng

[0, 1]

tập số thực {t ∈ R : 0 ≤ t ≤ 1}

(0, 1)

tập số thực {t ∈ R : 0 < t < 1}

Rn

không gian Euclide n chiều

x

chuẩn của véctơ x

x, y

tích vô hướng của các véctơ x và y

B (x, ε)

hình cầu mở tâm x bán kính ε

B (x, ε)

hình cầu đóng tâm x bán kính ε

BX

hình cầu đơn vị mở trong không gian X

BX

hình cầu đơn vị đóng trong không gian X

X∗

không gian đối ngẫu của không gian Banach X

intΩ

phần trong của Ω

Ω

bao đóng của Ω

∂Ω

biên của Ω

Footer Page 9 of 161.

3


Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

co Ω

bao lồi của Ω

co Ω

bao lồi đóng của Ω

d (x, Ω)

khoảng cách từ điểm x đến Ω

cone M

hình nón sinh bởi tập M

TΩ (x)

nón tiếp tuyến của tập lồi Ω tại x ∈ Ω

Footer Page 10 of 161.

4


Header Page 11 of 161.

Chương 1
Các khái niệm về tính liên tục của

ánh xạ đa trị
Chương này trình bày các khái niệm về ánh xạ đa trị liên tục theo
nghĩa Berge và theo nghĩa Hausdorff cùng với mối liên hệ giữa chúng.

1.1

Các khái niệm cơ bản về ánh xạ đa trị

Ánh xạ đa trị
Cho X, Y là hai tập hợp bất kì. Ánh xạ F : X ⇒ Y từ tập X vào
tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y ( kí hiệu là 2Y ) được gọi là ánh
xạ đa trị từ X vào Y và ta thường kí hiệu
F : X ⇒ Y hoặc F : X → 2Y .
Nếu với mỗi x ∈ X mà F (x) chỉ gồm duy nhất một phần tử thuộc
Y thì F là ánh xạ đơn trị theo nghĩa quen thuộc và kí hiệu là
F : X → Y.
Đồ thị, miền hữu hiệu và miền ảnh của ánh xạ đa trị
Cho ánh xạ đa trị F : X⇒Y. Khi đó, đồ thị (gph), miền hữu hiệu

Footer Page 11 of 161.

5


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

(dom) và miền ảnh (rge) của F được xác định tương ứng bởi:

gph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)},
dom F = {x ∈ X : F (x) = ∅},
rge F = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
Ví dụ 1.1.1. Xét phương trình đa thức trên tập số phức C
xn + a1 xn−1 + .... + an−1 x + an = 0
với ai ∈ R.
Quy tắc cho tương ứng mỗi vectơ a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn với tập nghiệm
F (a) của phương trình trên thì có một ánh xạ đa trị
F : Rn ⇒ C. Ta có
gph F = (a, x) ∈ Rn × C : xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0 ,
dom F = Rn ,
rge F = {x ∈ C : xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0, a ∈ Rn }.
Ví dụ 1.1.2. Cho ánh xạ đa trị F : R⇒ R
x → F (x)= y ∈ R, y 2 = x .
Khi đó
gph F ={(x, y) ∈ R × R : y ∈ F (x)}= (x, y) ∈ R × R : y 2 = x ,
dom F ={x ∈ R : F (x) = ∅} = x ∈ R : ∃y ∈ R : y 2 = x = R+ ,
rge F = {y ∈ R : ∃x ∈ R sao cho y ∈ F (x)}
√
√
= {y ∈ R : ∃x ∈ R : y ∈ { x, − x}} = R.
Ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.1. Ánh xạ ngược F −1 : Y ⇒ X của ánh xạ đa trị
F : X ⇒ Y được xác định bởi công thức

Footer Page 12 of 161.

6

Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

F −1 (y)={x ∈ X : y ∈ F (x)}

với y ∈ Y .

Khi đó
gph F −1 (y) = (y, x) ∈ Y × X : x ∈ F −1 (y) ,
dom F −1 (y)= y ∈ X : F −1 (y) = ∅ ,
rge F −1 (y)= x ∈ X : ∃y ∈ Y sao cho x ∈ F −1 (y) .
Định nghĩa 1.2. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị và X, Y là các không
gian tôpô.
i) Nếu gph F là tập đóng trong không gian tích X × Y thì F được gọi là
ánh xạ đóng hoặc ánh xạ có đồ thị đóng;
ii) Nếu X, Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gph F là tập lồi
trong không gian tích X × Y thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi;
iii) Nếu F(x) là tập đóng với ∀x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị
đóng;
iv) Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F(x) là tập lồi với
∀x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi.
Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu
trúc đại số được gọi là không gian tuyến tính tôpô. Ta nói một tôpô τ
trên X tương hợp với cấu trúc đại số trên X nếu các phép toán đại số
trong X liên tục đối với tôpô đó, tức là
i) x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y; nói rõ hơn, mọi lân cận
V của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy
của y sao cho x ∈ Ux , y ∈ Uy thì x +y ∈ V.

Footer Page 13 of 161.

7


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

ii) αx là một hàm liên tục của α, x; nói rõ hơn, mọi lân cận V của điểm
αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho
| α - α| < ε, với mọi x ∈ U thì α x ∈ V.
Mệnh đề 1.1. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không
gian tuyến tính tôpô
i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F là ánh xạ có giá trị đóng.
ii) Nếu F là ánh xạ đa trị lồi thì F là ánh xạ có giá trị lồi.
iii) F là ánh xạ đa trị lồi khi và chỉ khi
(1-λ )F(x)+λF(x ) ⊂ F((1-λ )x + λx ) với ∀ x, x ∈ X; λ ∈ (0,1).
Định nghĩa 1.3. Nếu X, Y là hai không gian tuyến tính tôpô và
F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, ta dùng các kí hiệu F và co F để chỉ các
ánh xạ đa trị được cho bởi các công thức
F (x) = F (x) với ∀x ∈ X
và
(co F ) (x) = co (F (x)) với ∀x ∈ X,
ở đó F là bao đóng tôpô của F và co F là bao lồi của F (tức là co F là
tập lồi nhỏ nhất chứa F).
Hiển nhiên F là ánh xạ có giá trị đóng và co F là ánh xạ có giá trị
lồi. Tuy nhiên, F có thể không phải là ánh xạ đa trị đóng và co F có thể

không là ánh xạ đa trị lồi.
Ví dụ 1.1.3. Cho
F (x) = {sin x, cosx} với ∀x ∈ R.
Ta có

Footer Page 14 of 161.

8


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

(co F ) (x) = co {sin x, cosx}
là ánh xạ đa trị không lồi từ R vào R.
Ví dụ 1.1.4. Cho

 (0, 1)
F (x) =
 {0}

khi x = 0
khi x = 0.

Rõ ràng

 [0, 1]
F (x) =

 {0}

khi x = 0
khi x = 0

không là ánh xạ đa trị đóng.
Bao đóng và bao lồi của ánh xạ F : X ⇒ Y , ở đó X, Y là các không
gian tuyến tính tôpô, ký hiệu tương ứng cl F và conv F , được xác đinh
bởi
cl F (x) = y ∈ Y : (x, y) ∈ gph F

với ∀x ∈ X

và
conv F (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ co (gph F )} với ∀x ∈ X.
Dễ dàng thấy rằng nếu F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.3 thì
cl F (x) = {sin x, cosx} và conv F (x) = [−1, 1] với ∀x ∈ R.
Với F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.4 ta có
cl F (x) = [0, 1] với ∀x ∈ R
và

Footer Page 15 of 161.

9


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng


 (0, 1)
(conv F ) (x) =
 [0, 1)

khi x = 0
khi x = 0

Định nghĩa 1.4. Cho F : X ⇒ Y và G : Y ⇒ Z là hai ánh xạ đa trị.
Ánh xạ đa trị G0 F : X ⇒ Z cho bởi công thức
(G0 F ) (x) =

G (F (x)) =
x∈X

G (y) ,
x∈X

y∈F (x)

với ∀x ∈ X, được gọi là ánh xạ hợp (hay tích) của F và G.
Nhận xét 1.1. Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính, F : X ⇒ Y
và G : Y ⇒ Z là hai ánh xạ đa trị lồi. Khi đó G0 F là ánh xạ đa trị lồi.

1.2

Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới
của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Berge và theo
nghĩa của Hausdorff

Ta nhắc lại rằng một họ các tập con τ ⊂ 2X của tập hợp X được

gọi là một tôpô trong X nếu
i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
ii) giao của một họ hữu hạn tùy ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ ;
iii) hợp của một họ tùy ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ .
Các tập thuộc τ được gọi là tập mở. Phần bù của một tập mở trong
X được gọi là tập đóng. Tập X được trang bị một τ được gọi là một
không gian tôpô, và được kí hiệu bởi (X, τ ). Với (X, τ ) là một không
gian tôpô và M ⊂ X là một tập con tùy ý thì

Footer Page 16 of 161.

10


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

τM := {U ∩ M : U ∈ τ },
được gọi là một tôpô trên M. Tôpô τM được gọi là tôpô cảm sinh của
của τ trên M. Tập UM := U ∩ M được gọi là vết của U trên M.
Cho f : X → Y là ánh xạ đơn trị từ không gian tôpô X vào không
gian tôpô Y . Ta đã biết rằng f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với
mỗi tập mở V trong Y chứa f (x), tồn tại một lân cận mở U của x trong
X sao cho
f (x) ∈ V với ∀ x ∈ U.
Mục tiếp theo chúng ta tìm hiểu một mở rộng khái niệm về tính

liên tục của ánh xạ đơn trị cho ánh xạ đa trị.
1.2.1

Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh
xạ đa trị theo nghĩa của Berge

Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không
gian tôpô Y.
i) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ dom F theo nghĩa
Berge nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn tại lân cận
mở U của x sao cho F (x) ⊂ V với ∀ x ∈ U. Ta nói F là nửa liên tục
trên ở trong X theo nghĩa Berge nếu F nửa liên tục trên tại mọi điểm
thuộc dom F theo nghĩa Berge.
ii) Ánh xạ F được là nửa liên tục dưới tại x ∈ dom F theo nghĩa của
Berge nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V = ∅ tồn tại lân
cận mở U của x sao cho F (x) ∩ V = ∅ với ∀ x ∈ U ∩ dom F . Ta nói
F là nửa liên tục dưới ở trong X theo nghĩa Berge nếu F nửa liên tục

Footer Page 17 of 161.

11


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

dưới tại mọi điểm thuộc dom F theo nghĩa Berge.
Ánh xạ F được gọi là liên tục tại x ∈ dom F theo nghĩa Berge nếu

F đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge tại
x. F liên tục tại mọi điểm thuộc dom F thì ta nói F liên tục.
Ví dụ 1.2.1. Ánh xạ đa trị

F (x)=




{0} nếu x < 0



[−1, 1] nếu x = 0



 {1} nếu x > 0.

Ta thấy rằng ánh xạ F từ R vào R là nửa liên tục trên ở trong R nhưng
không là nửa liên tục dưới tại x =0. Như vậy F không phải là ánh xạ
liên tục ở trong R.
Ví dụ 1.2.2. Ánh xạ đa trị

 [0, 1] nếu x = 0
F (x)=
 {0} nếu x = 0.
Ta thấy F là nửa liên tục dưới tại x =0 nhưng không là nửa liên tục
trên tại điểm đó. Như vậy F không là ánh xạ liên tục ở trong R.
Ví dụ 1.2.3. Ánh xạ đa trị


 [0,1] nếu x là số hữu tỉ
F (x)=
 [-1,0] nếu x là số vô tỉ
không là ánh xạ liên tục ở trên R; hơn thế, F không là nửa liên tục trên
và cũng không là nửa liên dưới tại bất cứ điểm x ∈ R nào.
Nhận xét 1.2. Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y với X, Y là các không
gian tôpô, thì:

Footer Page 18 of 161.

12


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

a) F là nửa liên tục trên ở trong X theo nghĩa Berge khi và chỉ khi nhân
F −1 (V ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V } của 1 tập mở bất kì V ⊂ Y là
một tập mở trong tôpô cảm sinh của dom F .
b) F là nửa liên tục dưới ở trong X theo nghĩa Berge khi và chỉ khi ảnh
ngược
F −1 (V ) = {x ∈ dom F : F (x) ∩ V = ∅} của 1 tập mở bất kì V ⊂ Y
là một tập mở trong tôpô cảm sinh của dom F .
1.2.2

Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh
xạ đa trị theo nghĩa của Hausdorff

Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không
gian mêtric Y .
i ) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff tại x
∈ domF nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một lân cận mở U của x sao cho
F (x) ⊂ B(F (x), ε) với ∀ x ∈ U.
Ở đó
B(F (x), ε) ={y ∈ Y : d(y, F (x)) < ε}
với d(y, F (x))= inf d (y, z) kí hiệu cho khoảng cách từ y đến F (x) . Ta
z∈F (x)

nói F là nửa liên tục trên ở trong X theo nghĩa Hausdorff nếu F nửa
liên tục trên tại mọi điểm thuộc dom F theo nghĩa Hausdorff.
ii) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại
x ∈ dom F nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một cận mở U của x sao cho
F (x) ⊂ B(F (x), ε) với ∀ x ∈ U.
Ở đó:

Footer Page 19 of 161.

13


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

B(F (x), ε) ={y ∈ Y : d(y, F (x)) < ε}
với d(y, F (x))= inf d (y, z) kí hiệu cho khoảng cách từ y đến F (x). Ta

z∈F (x)

nói F là nửa liên tục dưới trong X theo nghĩa Hausdorff nếu F nửa liên
tục dưới tại mọi điểm thuộc dom F theo nghĩa Hausdorff.
Ánh xạ F là liên tục theo nghĩa Hausdorff tại x ∈ dom F nếu F đồng
thời vừa liên tục trên vừa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại x. F
liên tục tại mọi điểm thuộc dom F thì ta nói F liên tục.
1.2.3

Mối liên hệ giữa tính nửa liên tục trên và tính nửa liên
tục dưới của ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge và Hausdorff

1) Tính nửa liên tục trên theo nghĩa Berge kéo theo tính nửa liên tục
trên theo nghĩa Hausdorff.
Thật vậy
Giả sử F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không
gian tôpô Y và F là ánh xạ nửa liên tục trên theo nghĩa Berge tại x ∈
dom F .
Lấy V ∈ τY thỏa mãn F (x) ⊂ V . Khi đó, tồn tại lân cận mở U của x
sao cho F (x) ⊂ V với ∀x ∈ U .
B (y, ε) với ∀ε > 0.

Đặt V =
y∈F (x)

Vậy F (x) ⊂

B (y, ε) hay F (x) ⊂ B (F (x) , ε).
y∈F (x)

2) Tính nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff kéo theo tính nửa liên
tục dưới theo nghĩa Berge.
Thật vậy

Footer Page 20 of 161.

14


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

Giả sử F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không
gian mêtric Y và F là ánh xạ nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại
x ∈ dom F .
Lấy V ∈ τY sao cho F (x) ∩ V = ∅.
Khi đó ∃y ∈ F (x) và ∃ε > 0 sao cho
B (y, 2ε) ⊂ V

(1.1)

Vì F là ánh xạ nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại x nên tồn tại
lân cận mở U của x sao cho F (x) ⊂ B (F (x) , ε) với ∀x ∈ U .
Rõ ràng B (F (x) , ε) ∩ B (y, ε) = ∅ với ∀x ∈ U .
Với mỗi ∀x ∈ U , lấy z ∈ B (F (x) , ε) ∩ B (y, ε), khi đó ∃y ∈ F (x) sao
cho
d (z, y) ≤ ε.

(1.2)

Thật vậy, nếu d (z, v) > ε ∀v ∈ F (x) thì
d (z, F (x)) = inf d (z, v) ≥ ε. Suy ra z ∈
/ B (F (x) , ε) vô lí.
v∈F (x)

Ta có : d (y, y) ≤ d (y, z) + d (z, y) < 2ε. Do đó
y ∈ B (y, 2ε) .
Từ (1), (2), (3) suy ra rằng F (x) ∩ V = ∅.
Vì x là chọn tùy ý nên F (x) ∩ V = ∅ với ∀x ∈ U .

Footer Page 21 of 161.

15

(1.3)


Header Page 22 of 161.

Chương 2
Một số tính chất cơ bản của ánh xạ
đa trị liên tục
Trong chương này chúng ta trình bày một số định lý về tính chất
liên tục của ánh xạ đơn trị được mở rộng cho ánh xạ đa trị.

2.1

Nhắc lại một số tính chất cơ bản của ánh xạ

đơn trị liên tục
Không gian tôpô X được gọi là compắc nếu từ mỗi phủ mở {Uα }α∈A

của X có thể trích ra một phủ con hữu hạn, tức là tồn tại các chỉ số
{α1 , ..., αs } ⊂ A sao cho
s

X=

Uαi .
i=1

Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu không tồn tại hai
tập mở U, V sao cho
U ∩ V = ∅ và U ∪ V = X.
Định lý 2.1. Cho f : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô liên

Footer Page 22 of 161.

16


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

thông X vào không gian tôpô Y. Khi đó Im f = {f (x), x ∈ X}, xét với
tôpô cảm sinh từ tôpô của Y, là không gian liên thông.
Định lý 2.2. Cho f : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô

compắc X vào không gian tôpô Y. Khi đó Im f = {f (x), x ∈ X}, xét với
tôpô cảm sinh từ tôpô của Y là không gian compắc.
Định lý 2.3. (Định lí điểm bất động Brouwer)
Cho K ⊂ Rn là tập lồi, compắc, khác rỗng. Khi đó mọi ánh xạ liên tục
f : K → K đều có điểm bất động.

2.2

Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị liên
tục

Trong mục này chúng ta trình bày một số tính chất cơ bản của ánh xạ
đa trị liên tục theo nghĩa Berge.
2.2.1

Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị nửa liên
tục dưới bảo tồn tính liên thông của một tập hợp

Ta đã biết rằng ánh xa đơn trị liên tục bảo tồn tính liên thông. Kết quả
sau đây chỉ ra rằng tính liên thông cũng được bảo tồn đối với cả ánh xạ
đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Định lý 2.4. (Warburton, 1983)
Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữa các không gian tôpô sao cho với ∀
x ∈ X, F(x) là tập liên thông (có thể rỗng). Khi đó
a) Nếu F là ánh xạ nửa liên tục trên ở trong X và nếu dom F là tập liên
thông thì rge F là tập liên thông.

Footer Page 23 of 161.

17

Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

b) Nếu F là ánh xạ nửa liên tục dưới ở trong X và nếu dom F là tập
liên thông thì rge F là tập liên thông.
Chứng minh
a) Giả sử F là nửa liên tục trên ở trong X, dom F là tập liên thông và
F (x) cũng là tập liên thông với ∀ x ∈ X.
Ta chứng minh bằng phản chứng bởi giả sử rằng M = rge F không
là tập liên thông. Khi đó tồn tại 2 tập mở U, V của Y sao cho
UM ∩ VM = ∅, UM ∪ VM = M,

(2.1)

với UM , VM = ∅, và ở đó UM = U ∩ M ,VM = V ∩ M là các vết của
V, U trên M .
Đặt
X1 = F −1 (U ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ U },
X2 = F −1 (V ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V }.
Khi đó, các tính chất sau nghiệm đúng:
i) X1 , X2 là các tập mở trong tôpô cảm sinh của dom F ;
ii) X1 = ∅, X2 = ∅;
iii) X1 ∪ X2 = dom F ;
iv) X1 ∩ X2 = ∅.
Thật vậy
i) được suy ra từ phần a) của Nhận xét 1.2.

Footer Page 24 of 161.

18


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

ii) Do UM = M ∩ U = U ∩ rge F = U ∩

F (x)

=∅

x∈X

nên ∃x ∈ X : U ∩ F (x) = ∅.
Nếu F (x) ∩ V = ∅ thì từ (2.1) suy ra F (x) xét với tôpô cảm sinh
từ tôpô của Y không là không gian liên thông (trái giả thiết). Vậy
F (x) ∩ V = ∅.
Do F (x) ⊂ M và do UM ∪ VM = M , ta có F (x) ⊂ U tức là x ∈ X1 .
Vậy ta chứng tỏ rằng X1 = ∅. Tương tự X2 = ∅.
iii) Lấy x ∈ dom F . Do F (x) = ∅ và F (x) ⊂ M , ta có F (x) ∩ UM = ∅
hoặc F (x) ∩ VM = ∅.
Nếu trường hợp thứ nhất xảy ra thì do lí luận đã trình bày ở trên
ta có x ∈ X1 . Nếu trường hợp thứ hai xảy ra thì ta có x ∈ X2 . Vậy
dom F ⊂ X1 ∪ X2 , tức là iii) nghiệm đúng.

iv) Nếu tồn tại x ∈ X1 ∩ X2 thì ta có F (x) = ∅, F (x) ⊂ U , F (x) ⊂ V .
Do F (x) ⊂ M nên ta có F (x) ⊂ UM và F (x) ⊂ VM .
Vì F (x) = ∅ nên UM ∩ VM = ∅, trái với (2.1). Suy ra X1 ∩ X2 = ∅.
Từ đó suy ra dom F , xét với tôpô cảm sinh từ tôpô của X không
phải là không gian liên thông, điều này trái với giả thiết.
Suy ra rge F là không gian liên thông.
b) Giả sử F là nửa liên tục dưới ở trong X, dom F là tập liên thông và
F (x) cũng là liên thông với ∀x ∈ X.
Ta chứng minh bằng phản chứng bởi giả sử rằng M = rge F không liên
thông thì tồn tại các tập mở U, V thỏa mãn UM ∩VM = ∅, UM ∪VM = M
ở đó
UM = U ∩ M , VM = V ∩ M , UM , VM = ∅.

Footer Page 25 of 161.

19