Tính ổn định của hệ bất đẳng thức tuyến tính có tham số

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thu Hà

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ BẤT ĐẲNG THỨC
TUYẾN TÍNH CÓ THAM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THU HÀ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ BẤT ĐẲNG THỨC
TUYẾN TÍNH CÓ THAM SỐ

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

Lời cảm ơn
Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Quang Huy
đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô giáo ở Tổ Giải tích,
đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và
thực hiện bản khóa luận này.

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thu Hà

i

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

Lời cam đoan
Khóa luận này được hoàn thành tại Khoa Toán, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2. Tác giả khẳng định kết quả của khóa luận là của riêng
tác giả, không trùng với bất kì công trình khoa học nào của ai khác. Các
tài liệu trích dẫn trong khóa luận là trung thực và chính xác.

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thu Hà

Footer Page 4 of 161.

ii


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Lời mở đầu

1

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

3

1 Tập đa diện lồi

4

1.1

1.2

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Bất đẳng thức tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

10

Tập đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

Các khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . .

11

1.2.2

Cơ sở, đỉnh và cạnh của đa diện lồi . . . . . . . .

16

2 Tập đa diện lồi có tham số

23

2.1

Hệ bất đẳng thức tuyến tính có tham số . . . . . . . . .

23

2.2

Tính liên tục của ánh xạ đa diện lồi . . . . . . . . . . . .

25

Kết luận

Footer Page 5 of 161.

33

iii


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

Tài liệu tham khảo

Footer Page 6 of 161.

34

iv


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phép tính dưới vi phân cho hàm giá trị tối ưu của bài toán tối ưu có
tham số đã trở thành một trong các chủ đề thú vị được quan tâm nghiên
cứu nhiều gần đây xuất phát từ những ứng dụng tiềm năng để giải quyết
những vấn đề phát sinh trong tối ưu hóa, lý thuyết điều khiển và các
lĩnh vực khác của toán học ứng dụng. Một số đánh giá ngoài cho dưới
vi phân của hàm giá trị tối ưu đã được nghiên cứu và thiết lập trong [5,
9, 11] và các tài liệu được trích dẫn trong đó. Tuy nhiên, làm thế nào
để tính được ít nhất một phần tử của các dưới vi phân này vẫn là một
nhiệm vụ khó khăn trong tối ưu không trơn.
Như chúng ta đã biết rằng việc tính dưới vi phân cho hàm giá trị tối
ưu của bài toán tối ưu có tham số luôn đòi hỏi chúng ta phải quan sát
sự biến thiên của tập nghiệm của bài toán tối ưu. Đối với bài toán tối
ưu có ràng buộc thì sự biến đổi của tập ràng buộc tác động trực tiếp
đến tập nghiệm và hàm giá trị tối ưu. Điều này dẫn đến việc cần phải
nghiên cứu sự biến thiên và tính ổn định của tập ràng buộc có tham số.
Một lớp tập ràng buộc có tham số có cấu trúc đặc thù đang được nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu là tập đa diện lồi; xem, chẳng hạn,
[5] cùng các bình luận và trích dẫn trong đó.

Một tập đa diện lồi là giao của một số hữu hạn nửa không gian đóng.
Nói cách khác, tập đa diện lồi là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các
bất đẳng thức tuyến tính dạng
Γ (ω) := x ∈ Rn : ai (ω) , x − bi (ω)

Footer Page 7 of 161.

1

0, i = 1, ..., m ,


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

ở đó ω ∈ Ω, Ω ⊂ Rp , ai là các hàm liên tục từ Rp vào Rn và bi hàm số
liên tục trên Rp .
Các kết quả quan trọng về tính liên tục của ánh xạ Γ đã được thiết
lập trong [2, 4, 5, 8]. Đề tài "Tính ổn định của hệ bất đẳng thức tuyến
tính có tham số" nhằm tìm hiểu về tính liên tục của ánh xạ các tập lồi
đa diện có tham số được trình bày trong [5].
2. Mục đích nghiên cứu
Khảo sát các tập lồi, tập đa diện lồi và các biểu diễn, tính chất đặc
trưng của tập đa diện lồi. Nghiên cứu tính liên tục của các tập đa diện
lồi phụ thuộc tham số.
3. Đối tượng nghiên cứu
Tập lồi, tập đa diện lồi; tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới
của tập đa diện lồi có tham số.

4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu và kết quả của Giải tích lồi,
Đại số tuyến tính và Giải tích đa trị.

Footer Page 8 of 161.

2


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
N

tập số nguyên dương

R

tập số thực

Rn

không gian Euclide n chiều

Bn

hình cầu đơn vị đóng trong Rn

Sn

mặt cầu đơn vị trong Rn

||x||

chuẩn của vectơ x

x, y
aff (A)

tích vô hướng của các vectơ x và y
bao affin của A

cl (A), A¯ bao đóng của A
int (A)

phần trong của A

ri (A)

phần trong tương đối của A

co (A)

bao lồi của A

co(A)

bao lồi đóng của A

cone (A) nón sinh bởi tập A
pos (A)

nón dương của A

gr (G)

đồ thị của G

supp (x)

giá của x

✷

Kết thúc chứng minh

Footer Page 9 of 161.

3


Header Page 10 of 161.

Chương 1
Tập đa diện lồi
Trong chương này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản như khái niệm
không gian Euclid n-chiều, khái niệm về tập lồi, bao lồi, phần trong

tương đối của một tập lồi, bất đẳng thức tuyến tính và tập đa diện lồi.
Biểu diễn và các đặc trưng cơ bản của tập đa diện lồi.

1.1
1.1.1

Một số khái niệm cơ bản
Tập lồi

Định nghĩa 1.1. Rn là không gian Euclid n-chiều của các n-vectơ cột.
Vectơ x với các thành phần x1 , ..., xn được xác định bởi
1/2

n

2

||x|| =

(xi )

.

i=1

Tích của 2 vectơ x và y trong Rn được xác định bởi
n

x, y =

xi yi .
i=1

Hình cầu đơn vị đóng, hình cầu đơn vị mở và mặt cầu đơn vị của Rn
tương ứng được xác định bởi

Footer Page 10 of 161.

4


Header Page 11 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

Bn := {x ∈ Rn : ||x||

1} ,

int (Bn ) := {x ∈ Rn : ||x|| < 1} ,
Sn := {x ∈ Rn : ||x|| = 1} .
Cho một tập khác rỗng Q ⊆ Rn , ta kí hiệu bao đóng của Q là cl (Q) và
phần trong là int (Q). Các nón sinh bởi tập Q, nón dương và bao affine
của Q lần lượt được cho bởi
cone (Q) := {ta : a ∈ Q, t ∈ R, t
k

0} ,

ti ai : ai ∈ Q, ti ∈ Rn , ti

pos (Q) :=
i=1
k

i

0, i = 1, ..., k với k ∈ N
k

i

ti a : a ∈ Q, ti ∈ R, i = 1, ..., k và

aff (Q) :=
i=1

ti = 1 với k ∈ N .
i=1

Ví dụ 1.1.1.

Hình 1.1: Nón sinh bởi tập Q (với Q = Q1 ∪ Q2 )

Footer Page 11 of 161.

5

Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

Hình 1.2: Nón dương (với Q = Q1 ∪ Q2 )

Hình 1.3: Bao afin (với Q = Q1 ∪ Q2 )

Các phép toán trên vectơ hàng được thực hiện tương tự như trên
vectơ cột qua phép lấy chuyển vị. Như vậy, đối với n-vectơ hàng c và d,
tích của chúng được biểu diễn là:
c, d = cT , dT =

n

ci di ,
i=1

trong đó, chỉ số T kí hiệu cho phép chuyển vị. Mặt khác, nếu c là vectơ
hàng và x là vectơ cột, khi đó tích cx được hiểu như là một ma trận tích

Footer Page 12 of 161.

6


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

và nó bằng với tích cT , x .
Định nghĩa 1.2. Ta gọi một tập Q của Rn là lồi nếu đoạn thẳng nối
hai điểm bất kì của Q nằm trọn trong Q, điều này có nghĩa là với mỗi
x, y ∈ Q và với mỗi số thực λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ) y ∈ Q.
Ví dụ 1.1.2. Các nửa không gian là các tập lồi, các tam giác và hình
tròn trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian
Banach cũng là một tập lồi,...

Footer Page 13 of 161.

7


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

Ví dụ 1.1.3.

Hình 1.4: Tập lồi

Hình 1.5: Tập không lồi

Từ định nghĩa ta nhận xét rằng giao của các tập lồi, tích Đê-các của
các tập lồi, ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua phép biến đổi tuyến
tính đều là các tập lồi; phần trong và bao đóng của một tập lồi là tập
lồi. Đặc biệt, tổng Q1 + Q2 = {x + y : x ∈ Q1 , y ∈ Q2 } của hai tập lồi

Q1 và Q2 là lồi; nón sinh của một tập lồi là tập lồi. Các nón dương và
bao afin của bất kỳ tập lồi đều là tập lồi.
Bao lồi của Q, kí hiệu là co(Q) bao gồm tất cả các tổ hợp lồi của các
phần tử của Q, đó là:
k

i

k

i

λi x : x ∈ Q, λi

co (Q) :=

λi = 1 với k ∈ N ;

0, i = 1, ..., k và

i=1

i=1

nó cũng là giao của tất cả các tập lồi chứa Q. Bao lồi đóng của Q sẽ
được kí hiệu là co (Q), đó là giao của tất cả các tập lồi đóng chứa Q.
Nón dương của một tập là nón sinh của bao lồi của nó. Một tổ hợp lồi

Footer Page 14 of 161.

8


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
k

Nguyễn Thu Hà

λi xi là chặt nếu tất cả các hệ số λi là dương thực sự. Cho một tập

i=1

con lồi khác rỗng Q của Rn , phần trong tương đối của Q kí hiệu là ri(Q),
là phần trong tương đối của bao affine của nó, nghĩa là:

ri (Q) := x ∈ Q : (x + εBn ) ∩ af f (Q) ⊆ Q với ε > 0 .

Một cách tương đương, một điểm x trong Q là một điểm trong tương
đối nếu và chỉ nếu bất kì một điểm y trong Q có một số dương δ sao
cho đoạn nối các điểm x − δ (x − y) và x + δ (x − y) nằm trọn trong Q.
Ta nhận xét rằng tập lồi chặt bất kì của một tập hữu hạn x1 , ..., xk
thuộc phần trong tương đối của bao lồi của nó và mọi tập lồi khác rỗng
trong Rn có phần trong tương đối khác rỗng. Hơn nữa, nếu hai tập lồi
Q1 và Q2 có ít nhất một điểm trong tương đối chung , thì ri (Q1 ∩ Q2 ) =
ri (Q1 ) ∩ ri (Q2 ) .
Ví dụ 1.1.4.

Hình 1.6: Bao lồi của Q

Footer Page 15 of 161.

9


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

Nguyễn Thu Hà

Bất đẳng thức tuyến tính

Trong khóa luận này chúng ta xét hai loại hệ bất đẳng thức tuyến tính;
đó là hệ gồm k bất đẳng thức
ai , x

bi ,

i = 1, ..., k,

(1.1)

ở đó a1 , ..., ak là vectơ cột n− chiều và b1 , ..., bk là các số thực;
và hệ gồm k đẳng thức với các vectơ dương
ai , x = bi , i = 1, ..., k
x

(1.2)

0.

Kí hiệu A là ma trận cấp k × n mà các hàng là chuyển vị của a1 , ..., ak
và cột b gồm k−vectơ có các thành phần là b1 , ..., bk , ta có thể viết hệ
(1.1) và (1.2) dưới dạng ma trận
Ax

b

và
Ax = b
x

0.

Chú ý bất kì hệ đẳng thức tuyến tính và bất đẳng thức tuyến tính có
thể chuyển sang dạng hai ma trận mô tả ở trên.

Footer Page 16 of 161.

10


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2
1.2.1

Nguyễn Thu Hà

Tập đa diện lồi
Các khái niệm và tính chất cơ bản

Một tập có thể được biểu diễn bởi giao của một số hữu hạn nửa không
gian đóng được gọi là một đa diện lồi. Một đa diện lồi bị chặn được gọi
là hình đa diện. Theo định nghĩa của nửa không gian đóng, một tập đa
diện lồi là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất đẳng thức
ai , x

bi ,

i = 1, ..., k,

ở đó a1 , ..., ak là vectơ cột n-chiều và b1 , ..., bk là các số thực. Khi bi = 0, i =
1, ..., k, tập nghiệm của hệ bất đẳng thức trên là một hình nón và được
gọi là một nón lồi đa diện. Trong mục này ta luôn giả sử rằng k ≤ n và
hệ bất đẳng thức trên là giải được. Cho P là một đa diện lồi và cho
H = {x ∈ Rn : v, x = α}
là một siêu phẳng với v = 0. Ta nói H là một siêu phẳng tựa của P tại
điểm x ∈ P nếu giao của H với P chứa x và P được chứa ở một trong
các nửa không gian đóng bị chặn bởi H. Trong trường hợp này, tập khác
rỗng H ∩ P được gọi là mặt của P . Do đó, một tập con khác rỗng F của
P là một mặt nếu có một vectơ v khác không và v ∈ Rn sao cho
v, y

v, x

với mọi x ∈ F, y ∈ P .

Khi một mặt là 0-chiều, nó được gọi là một đỉnh. Một đa diện khác rỗng
có thể không có đỉnh. Theo quy ước, P là một mặt của chính nó; các
mặt khác được gọi là mặt thực sự. Các mặt một chiều được gọi là các
cạnh. Hai đỉnh được gọi là liền kề nếu chúng là điểm kết thúc của một
cạnh.

Footer Page 17 of 161.

11


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

Ví dụ 1.2.1.

Hình 1.7: siêu phẳng tựa

Ví dụ 1.2.2. Xét một hệ ba bất đẳng thức trong R2 :
x1 + x2

1 (1)

−x1 − x2

0 (2)

−x1

0 (3).

Đa diện xác định bởi (1) và (2) không có đỉnh. Nó có hai mặt 1-chiều
xác định tương ướng bởi x1 + x2 = 1 và x1 + x2 = 0 và một mặt 2-chiều,
bản thân đa diện đó. Đa diện xác định bởi (1) và (3) có hai đỉnh (mặt
0-chiều) xác định tương ứng bởi

x =0
1
x =0

,

2


x =0
1
x =1
2

ba mặt 1-chiều xác định bởi




x + x2 1


 1
 x +x =1
1
2
−x1 − x2 0 ,

 −x

0
1

 x
=
0
1

Footer Page 18 of 161.

12


 −x − x = 0
1
2
,
,
 −x
0
1

Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

và một mặt 2-chiều, bản thân đa diện đó.
Mệnh đề 1.1. Cho P là một đa diện lồi. Ta có các tính chất sau:
(i) Giao khác rỗng của hai mặt bất kì của P là một mặt của P .
(ii) Hai mặt phân biệt của P có phần trong tương đối không giao nhau.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh tính chất (i). Giả sử F1 và F2 là
hai mặt giao nhau khác rỗng (nếu F1 và F2 trùng nhau thì hiển nhiên
ta có (i)). Giả sử rằng H1 và H2 là hai siêu phẳng tựa tương ứng sinh
bởi các mặt F1 và F2 , tức là:
H1 = x ∈ Rn : v 1 , x = α1 ,
H2 = x ∈ Rn : v 2 , x = α2 .
Vì các siêu phẳng chứa các giao điểm của các mặt phân biệt F1 và F2 ,
vectơ v = v 1 + v 2 khác không. Xét siêu phẳng:
H = {x ∈ Rn : v, x = α1 + α2 } .
Đó là một siêu phẳng tựa của P vì rõ ràng nó chứa giao điểm của mặt
F1 và F2 , và với mỗi điểm x thuộc P , ta có:
v, x = v 1 , x + v 2 , x

α1 + α2

(1.3)

Ta thấy rằng giao của H và P trùng với giao của F1 và F2 . Rõ ràng
F1 ∩ F2 ⊆ H ∩ P.
Lấy tùy ý x thuộc tập H ∩ P , khi đó (1.3) trở thành đẳng thức với x

này. Mặt khác, v 1 , x

α1 và v 2 , x

α2 . Do đó, ta có đẳng thức

(1.3) khi và chỉ khi bao hàm thức trên là đẳng thức. Điều này chứng tỏ
rằng x thuộc cả F1 và F2 .

Footer Page 19 of 161.

13


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

Đối với tính chất (ii), nếu F1 và F2 có một điểm trong tương đối chung,
khi đó hàm số v 1 , . là hằng số trên F2 . Theo đó, có F2 ⊆ H1 ∩ P ⊆ F1 .
Tương tự, ta có: F1 ⊆ F2 , do đó đẳng thức xảy ra.

Cho x là một nghiệm của hệ ai , x

bi ,

i = 1, ..., k . Tập chỉ số

hoạt x được xác định bởi

I (x) = i ∈ {1, ..., k} : ai , x = bi .
Định lý 1.1. Giả sử P là một đa diện lồi cho bởi hệ ai , x

bi ,

i = 1, ..., k. Một tập con lồi thật sự khác rỗng F của P là một mặt khi
và chỉ khi có một tập chỉ số cực đại khác rỗng I ⊆ {1, ..., k} sao cho F
là tập nghiệm của hệ
ai , x = b i , i ∈ I
j

a ,x

(1.4)

bj , j ∈ {1, ..., k} \I,

trong trường hợp này, số chiều của F bằng hạng của hệ ai : i ∈ I .
Chứng minh. Kí hiệu tập nghiệm của hai hệ của (1.4) trong định lí nói
trên là F , ta giả sử F khác rỗng. Để chứng minh nó là một mặt, ta đặt
ai

v=

và α =

i∈I

bi .
i∈I

Lưu ý rằng v khác không vì F khác rỗng và hệ xác định tập đa diện lồi
P có k ≤ n. Rõ ràng nửa không gian âm H_ (v, x) chứa P . Hơn nữa,
nếu x là một nghiệm của hệ thì tất nhiên x vừa thuộc P , vừa thuộc H,
trong đó F ⊆ H ∩ P . Ngược lại, bất kì điểm x thỏa mãn hệ sau:

Footer Page 20 of 161.

14


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

ai , x

bi , i = 1, ..., k,

ai , x =

bi .
i∈I

i∈I

Đẳng thức sau xảy ra chỉ khi các bất đẳng thức với các chỉ số từ I là
các đẳng thức. Nói cách khác, x ∈ F .
Bây giờ, cho F là một mặt thực sự của P . Chọn một điểm trong tương

đối x¯ của F và xét hệ (1.4) với I = I (¯
x) tập chỉ số hoạt x¯. Vì F là một
mặt thực sự của P và không có điểm trong nên tập I khác rỗng. Do đó,
F là tập nghiệm của hệ trên. Theo phần đầu, F là một mặt. Ta sẽ chỉ
ra nó trùng với F . Theo Mệnh đề 1.1, ta thấy x¯ là một điểm trong tương
đối của F . Cho x là một điểm khác x¯ trong F . Ta phải chứng minh có
một số dương δ sao cho đoạn [¯
x, x¯ + δ (x − x¯)] nằm trong F . Thật vậy,
chú ý các chỉ số j nằm ngoài tập I, bất đẳng thức aj , x¯

bj là chặt.

Do đó có δ > 0 sao cho
aj , x¯ + δ aj , x − x¯

bj

với mọi j = I. Hơn nữa, điểm x¯ + δ (x − x¯) là một tổ hợp tuyến tính
của x¯ và x cũng thỏa mãn đẳng thức ai , x = bi , i ∈ I. Do đó, điểm
này thuộc F và thuộc đoạn ta xét. Vì F và F là hai mặt với một điểm
trong tương đối chung nên chúng phải giống nhau.
Nói chung, với mặt F của P , có thể tồn tại nhiều tập chỉ số I mà F là
tập nghiệm của hệ (1.4). Tuy nhiên, ta có thể hiểu rằng không có bất
đẳng thức nào là đẳng thức nếu không có sự thay đổi tập nghiệm khi
nói hệ (1.4) xác định mặt F . Bởi vậy, nếu hai bất đẳng thức hợp thành
đẳng thức, các chỉ số của chúng sẽ được tính trong I.

Footer Page 21 of 161.

15

Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

Nguyễn Thu Hà

Cơ sở, đỉnh và cạnh của đa diện lồi

Trong phần này, ta xét một đa diện P xác định bởi hệ
Ax = b
(1.5)
x

0.

Ta giả sử ma trận A có n cột kí hiệu là a1 , ..., an và k hàng là chuyển vị
của a1 , ..., ak và A độc lập tuyến tính, các thành phần b1 , ..., bk của vectơ
b là các số không âm. Một điểm x trong P được gọi là điểm cực trị của
P nếu nó không thể biểu diễn như một tổ hợp lồi x = ta + (1 − t) a với
0 < t < 1 và a, a ∈ P với a = a . Có thể thấy rằng điểm cực trị tương
ứng với đỉnh, ta đã xác định trong phần trước.
Một ma trận B cấp k × k gồm các cột của A được gọi là một cơ sở nếu
nó có ma trận nghịch đảo.
Cho B là một cơ sở. Bằng cách sử dụng một hoán vị ta có thể giả định
rằng B gồm k cột đầu tiên của A, các cột còn lại tạo thành một ma trận
N cấp k × (n − k) gọi là phần không là cơ sở của A. Cho x là một vectơ
với các thành phần xB và xN , trong đó xB là một vectơ k -chiều và xN

là vectơ (n − k) -chiều thỏa mãn
BxB = b,
xN = 0.
Nếu xB là một vectơ dương, khi đó x là một nghiệm của (1.5) và gọi
là nghiệm cơ sở (gắn với cơ sở B). Nếu trong trường hợp xB không có
thành phần không, nó được gọi là không suy biến, ngược lại là suy biến.
Ví dụ 1.2.3. Xét đa diện trong R3 xác định bởi hệ sau:

Footer Page 22 of 161.

16


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

x1 + x2 + x3 = 1
3x1 + 2x2

= 1,

x1 , x2 , x3

0.

Vectơ a1 = (1, 1, 1)T và a2 = (3, 2, 0)T là độc lập tuyến tính. Ta có 3 ma
trận cơ sở


B1 = 

1 1
3 2





 , B2 = 

1 1
3 0





 , B3 = 

1 1
2 0

Các nghiệm cơ sở tương ứng B1 , B2 và B3 là (−1, 2, 0)T ,


.

1
2 T

,
0,
,
3
3

0, 21 , 21

Cho vectơ x ∈ Rn , giá của nó, kí hiệu là supp (x), bao gồm các chỉ số i
mà thành phần xi khác không. Giá của một vectơ khác không luôn tồn
tại.
Định lý 1.2. Một vectơ x là một đỉnh của đa diện P khi và chỉ khi nó
là nghiệm cơ sở của hệ (1.5).
Chứng minh. Cho x là một nghiệm cơ sở. Giả sử nó là một tổ hợp lồi của
hai nghiệm y và z của hệ (1.5), nghĩa là x = ty + (1 − t) z với t ∈ (0, 1) .
Khi đó, với chỉ số j bất kì không phải cơ sở , thành phần xj là không,
thì tyj + (1 − t) zj = 0. Nhớ rằng y và z là các vectơ dương, ta suy ra
yj = zj = 0. Hơn nữa, thành phần cơ sở của nghiệm để hệ (1.5) thỏa
mãn đẳng thức:
BxB = b
với B không suy biến. Vì vậy, chúng là giống nhau, nghĩa là xB = yB =
zB . Kết quả là ba nghiệm x, y và z là trùng nhau.
Ngược lại, cho x là một điểm cực trị của đa diện. Mục đích của ta là chỉ

Footer Page 23 of 161.

17

T

.


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thu Hà

ra rằng các cột ai , i ∈ supp(x) là độc lập tuyến tính. Thật dễ dàng để
tìm một cơ sở B sao cho x là nghiệm cơ sở liên quan đến cơ sở đó. Để
kết thúc điều này, đầu tiên ta chứng minh supp(x) là cực tiểu trong số
nghiệm của hệ (1.5). Thực tế, nếu không, ta có thể tìm nghiệm khác là
y, với giá cực tiểu sao cho supp(y) là tập con thực sự của supp(x). Chọn
một chỉ số j từ giá của y sao cho
xj
yj

= min

xi
yi

: i ∈ supp(y) .

Cho t > 0 là tỉ số đó. Khi đó:
A (x − ty) = (1 − t) b và x − ty
nếu t

0.

1, thì đặt z = x − y ta có thể biểu diễn
x=

1
2

y + 23 z +

1
2

y + 43 z ,

một tổ hợp lồi của hai nghiệm phân biệt của (1.5), điều này là mâu
thuẫn. Nếu t < 1 thì
z=

1
1−t

(x − ty) .

Ta nhận thấy rằng z là nghiệm của hệ (1.5) và khác với x vì giá của nó
thực sự chứa trong giá của x. Nó cũng khác với y vì thành phần yj khác
không trong khi thành phần zj là không. Ta xuất phát từ định nghĩa
của z mà x là tổ hợp lồi của y và z, điều này lại là một mâu thuẫn.
Bây giờ ta chứng minh các cột ai , i ∈ supp(x) là độc lập tuyến tính. Giả
sử ngược lại, có một vectơ y khác với x (nếu không lấy 2y thay thế) với
Ay = 0 và supp(y) ⊆ supp(x)
Bằng cách đặt

Footer Page 24 of 161.

18


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

t=




Nguyễn Thu Hà

− min

 min

xi
yi

xi
yi

: i ∈ supp(y)

: i ∈ supp(y),yi < 0

nếu y

0

nếu ngược lại

Ta nhận thấy rằng z = x + ty là một nghiệm của (1.5) có giá được chứa
đúng trong giá của x và đi đến một mâu thuẫn với tính cực tiểu của giá
của x. Nó còn để hoàn thành các vectơ ai , i ∈ supp(x) vào một cơ sở để
thấy rằng x thực sự là một nghiệm cơ sở.
Định lý 1.3. Giả sử đa diện lồi P được xác định bởi hệ (1.5). Khi đó
(i) Một vectơ khác không v là hướng tiệm cận của P khi và chỉ khi nó
là một nghiệm của hệ thuần nhất
Ax = 0,
x

0.

(ii) Một vectơ khác không v là một hướng tiệm cận cực trị của P khi và
chỉ khi nó là nghiệm của hệ
Ay = 0
y1 + ... + yn = 1,
y

0

Do đó P∞ bao gồm tất cả tổ hợp dương của các đỉnh của đa diện.
Chứng minh. Khẳng định (i) được chứng minh như trong Định lí 1.1.
Tiếp theo ta chứng minh khẳng định (ii). Cho v là một hướng cực trị
khác không. Khi đó, bởi (i), Av = 0 và t: = v1 + ... + vn > 0. Vectơ v/t

thuộc đa diện xác định bởi (ii), và ta ký hiệu đa diện này là Q. Vì mỗi
điểm của đa diện này là một hướng tiệm cận của P , nếu v/t là một tổ

Footer Page 25 of 161.

19