Về ổn định nghiệm của các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng

▼ô❝ ❧ô❝
✳
✶✳ ▼ë ➤➬✉ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷
✷✳ ●✐í✐ t❤✐Ö✉ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷
✸✳ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✹
✹✳ ◆ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✼
✺✳ ◆ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❐♣ δ✲♥❣❤✐Ö♠ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶✵
✻✳ ❲❡❧❧✲P♦s❡❞ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❝ã ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã
t❤❛♠ sè ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✹
✼✳ ❈➳❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ ✈➭♦ æ♥ ➤Þ♥❤ ❞ß♥❣ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ñ❛ ♠➵♥❣ ❣✐❛♦ t❤➠♥❣ ✳✳✳✳✳✳✳ ✶✽
✽✳ ❱Ò æ♥ ➤Þ♥❤ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ◆❛s❤ P❛r❡t♦ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ trß ❝❤➡✐ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉✳✳✳✷✼
❑Õt ❧✉❐♥✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸✼
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸✾
❚ã♠ t➽t ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✹✸
✶
ở
ụ t ủ ề t ét tí ổ ị t ĩ ử tụ
t tự t tứ ế ó ó t số r ột số
ứ ụ t t trò ó ề ờ
ộ ủ ề t ét t tự t tứ ế
ì t t ở rộ t ề t st ổ ị
t ĩ ử tụ s Prt ủ t trò
ụ t
ộ tết ý ủ ề t ệ tố ết
q ề ổ ị ệ ủ t tứ ế
ứ ứ ụ t ết q t ợ ủ ề t
ữ t ụ t ý ò r ợ ột số ết
q ớ ề ổ ị ệ ủ t tứ ế
t ị ý tr tết ề t ề ứ ụ ề t
ét t t t t trò ụ

t ó ó t số
ớ tệ
ét tí sss t tố
ớ ý ĩ tồ t t ệ t ỗ tr t
ệ ộ tụ ề ệ ú r tự ó ữ t
ỉ tồ t t ệ ột số t ét tí s tổ qt

t ệ rỗ ỗ tr t ệ ộ tụ ề
ệ ú
t ở t ố q ệ ủ t tứ ế
t t ợ ứ ở ề t ó tể t
ết ủ ss r t
ét ố q ệ ủ tự t tứ ế
t ó t số t tr r tự tế ó
rt ề t q ế t ở rộ ó ệ r ì
t t ó t ở rộ r ể
tết ế ì ù ợ ớ ủ ờ sử ụ rt tết
r ết ú t tết ì t ó t
ở rộ ét ố q ệ ữ ò t ệ ủ tó
tự t tứ ế t ứ ồ tờ ét tí sss
t ệ ủ t
sr rstr ứ
t trò ó ề ờ ừ ó ế ý tết trò ợ
ề t ọ q t ớ ề ết q q trọ ó ó ó ớ
tr tí t tế ế ờ tú ị
r ữ ợ ý ề ế ợ tr ết st tí
ổ ị ế ủ t trò ó ề ờ ó ó t
số r ệ s s ồ tờ ở rộ ột

ết q ết trớ ó t tr

ị ĩ ệ
U, X Y tự A X t ồ t
rỗ C Y ó ồ ó ó tr rỗ í ệ

C := Y \ intC B
X
, B
Y
q ị ó ủ X, Y t
ứ ét K : U ì A 2
A
T : U ì A 2
L(X,Y )
trị
L(X, Y ) ỉ tế tí tụ từ X Y
ét t tự t tứ ế s ớ ỗ u U
(QV I)
u
: ì x K(u, x), y K(u, x),

t T (u, x),

t, y x

C;
(MQV I)
u
: ì x K(u, x),

t T (u, x), y K(u, x),

t, y x

C;
(SQV I)
u
: ì x K(u, x),

t T (u, x), y K(u, x),

t, y x

C.
í ệ t ệ t ứ Q
0
0
(u), M
0
0
(u), S
0
0
(u) ế t
ó t số u t í ệ (QV I), (MQV I), (SQV I)
ũ í ệ t ệ t ứ Q
0
0
, M
0
0

, S
0
0
ộ ề t ét
ổ ị t ệ t tết t ệ ó tr rỗ
ét t t số (MQV I)
ị ĩ {x
n
} A ọ ỉ ế
n
0
+
, x
n

K(x
n
), t
n
T(x
n
) y K(x
n
)
t
n
, y x
n

n

B
Y
+

C;

{x
n
} A ọ ỉ ế t ở t
n
, y x
n
+
n
B
Y


C
ị ĩ t (MQV I) ợ ọ s t ứ
ế
M
0
0
=
ớ ỗ ỉ t ứ ó ộ tụ tớ
M
0
0

ét t ó t số (MQV I)
u
ị ĩ u
n
u {x
n
} A ọ ỉ ứ ớ u
n
ế
n
0
+
, x
n
K(u
n
, x
n
), t
n
T(u
n
, x
n
), y K(u
n
, x
n
),
t

n
, y x
n

n
B
Y
+

C;
{x
n
} A ọ ỉ ế t ở t
n
, y x
n
+
n
B
Y


C.
ị ĩ t (MQV I)
u
ợ ọ s t ứ
t u ế
M
0
0

(u) =
ớ ỗ u
n
u ỗ ỉ t ứ ứ
ớ u
n
ó ộ tụ tớ tử ủ M
0
0
(u)
ũ ị ĩ ệ t tự t (QV I)
(SQV I)

ét ổ ị ủ t ệ t từ ỗ u U, 0
Q
0
0
(u) = {x K(u, x) x K(u, x)

t T (u, x)

t, x x

C};
Q
0
1
(u, ) = {x K(u, x) x K(u, x)

t T (u, x)

t, x x B
Y
+

C};
M
0
0
(u) = {x K(u, x)

t T (u, x) x K(u, x)

t, x x

C};
M
0
1
(u, ) = {x K(u, x)

t T (u, x) x K(u, x)


t, x x B
Y
+

C}.

í ệ Q
0
0
, Q
1
1
() M
0
0
, M
1
1
() trờ ợ ó t số u
ũ r ệ í ệ t tự (SQV I) ó
ó t số
ú ý ế x
n
ỉ tì ó ũ
ỉ ề ợ ó tể ú ì ế t
s tì ũ s ột ớ
ét ỉ t t tứ ế (QV I)
tr tự K t ồ ó S : K 2
K
A trị (QV I) tì u
0
K, u
0
S(u
0
), v S(u

0
) :
Au
0
, u
0
v 0 ị ĩ u
n
ỉ ế u
n
K,
n
0
+
s u
n
B(S(u
n
),
n
), v S(u
n
) : Au
n
, u
n
v
n
. r ó
B(S(u), ) := {z : d(S(u), z) }

X, Y G : X 2
Y
ó G

s t x X ế ớ ỗ t ở V G(x) ó N ủ x s
G(N) V trị G s t x X ế ớ ọ x
n
x
y G(x) tì ó y
n
G(x
n
) s y
n
y ũ ó G tụ t
x ế ó ừ s s t x ế G tụ ớ ọ x X tì t ó G
tụ
ú ý ớ G ó ở tr ế G(x) t tì G(.) s t x
ỉ {x
n
}

n=1
X x
n
x {y
n
}

n=1

, y
n
G(x
n
) tồ t
y
n
k
s y
n
k
y G(x)
ử tụ tr ủ t ệ
ị ý ế K(.) tụ ó trị ó T (.) s ó trị t
tì M
0
1
(.) s t 0
ứ sử ợ M
0
1
(.) s t 0 ó tồ t ột
ở V ủ M
0
1
(0) = M
0
0

n

0
+
tồ t x
n
M
0
1
(
n
)
x
n
/ V, n.
ở x
n
M
0
1
(
n
) x
n
K(x
n
), t
n
T(x
n
), y K(x
n

)
t
n
, y x
n

n
B
Y
+

C.
ét x
n
A A t tồ t ý ệ x
n
x A
K(.) s K(x) t t ú ý ó ý ệ x
n


¯x ∈ K(¯x)✳ ❇ë✐ T (.) ✉s❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ t
n
→
¯
t ∈ T (¯x)✳
●✐➯ sö ¯x /∈ M
0
1
(0) = M

0
0
t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❛ ❝ã ∀t ∈ T (¯x)✱ ∃y
0
∈ K(¯x)✱
t, y
0
− ¯x /∈
¯
C. ✭✺✮
❇ë✐ K(.) ❧➭ ❧s❝ t➵✐ ¯x✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ y
0
ë tr➟♥✱ ∃y
n
∈ K(x
n
) s❛♦ ❝❤♦ y
n
→ y
0
.
❙ö ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❞➲② ♥➭② ✈➭♦ ✭✹✮ ✈➭ ❝❤♦ n → ∞ ✈í✐ ❝❤ó ý
¯
C ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã

¯
t, y
0
− ¯x ∈
¯

C;
♠➱✉ t❤✉➮♥ ✈í✐ ✭✺✮ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ¯x ∈ M
0
1
(0)✳ ❚õ ¯x ∈ M
0
1
(0)✱ ❦❤➠♥❣ ❦❤ã ➤Ó t❤✃②
♥ã ♠➞✉ t❤✉➮♥ ✈í✐ ✭✸✮✳ ❱❐② M
0
1
(.) ❧➭ ✉s❝ t➵✐ 0 ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❈ò♥❣ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶ ♥❤➢♥❣ ①Ðt tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣
❝ã t❤❛♠ sè t❛ ❝ã
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳ ◆Õ✉ K(., .) ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝✱ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ T (., .) ✉s❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ
❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ (¯u, A) t❤× M
0
1
(., .) ❧➭ ✉s❝ t➵✐ (¯u, 0)✳
❳Ðt (SQV I)✱ t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢♥❣ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈Ò ❧s❝ ❝ñ❛
T (.)✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳ ◆Õ✉ K(.) ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ T (.) ❧s❝ t❤× S
0
1
(.) ❧➭ ✉s❝
t➵✐ 0✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ S
0
1
(.) ❦❤➠♥❣ ✉s❝ t➵✐ 0✱ ❦❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét

❧➞♥ ❝❐♥ ♠ë V ❝ñ❛ S
0
1
(0) = S
0
0
✱ ε
n
→ 0
+
✱ tå♥ t➵✐ x
n
∈ S
0
1
(ε
n
) ♠➭
x
n
/∈ V, ∀n.
✽
❇ë✐ x
n
∈ S
0
1
(ε
n
) ♥➟♥ x

n
∈ K(x
n
), ∀t ∈ T(x
n
), ∀y ∈ K(x
n
)✱
t, y − x
n
 ∈ ε
n
B
Y
+
¯
C. ✭✻✮
❳Ðt x
n
∈ A✱ ❞♦ A ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ x
n
→ ¯x ∈ A✳
●✐➯ sö ¯x /∈ S
0
1
(0) = S
0
0
t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❛ ❝ã ∃t
0

∈ T(¯x)✱ ∃y
0
∈ K(¯x)✱
t
0
, y
0
− ¯x /∈
¯
C.
❇ë✐ K(.) ❧➭ ❧s❝ ✈➭ T (.) ❧➭ ❧s❝ t❤× ✈í✐ y
0
✈➭ t
0
ë tr➟♥✱ ∃y
n
∈ K(x
n
), t
n
∈ T(x
n
),
s❛♦ ❝❤♦ y
n
→ y
0
, t
n
→ t

0
. ❙ö ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❞➲② ♥➭② ✈➭♦ ✭✻✮ ✈➭ ❝❤♦ n → ∞ ✈í✐
❝❤ó ý
¯
C ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã
t
0
, y
0
− ¯x ∈
¯
C;
♠➞✉ t❤✉➱♥✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳ ◆Õ✉ K(., .) ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ T (., .) ❧s❝ t➵✐ (¯u, A) t❤×
S
1
1
(., .) ❧➭ ✉s❝ t➵✐ (¯u, 0)✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✺✳ ❱í✐ ❝ï♥❣ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶ t❤× Q
0
1
(.) ❧➭ ✉s❝ t➵✐ 0✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ Q
0
1
(.) ❦❤➠♥❣ ✉s❝ t➵✐ 0✱ ❦❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét
❧➞♥ ❝❐♥ ♠ë V ❝ñ❛ Q
0
1
(0) = Q

0
0
✱ ε
n
→ 0
+
✱ tå♥ t➵✐ x
n
∈ Q
0
1
(ε
n
) ♠➭
x
n
/∈ V, ∀n.
❳Ðt x
n
∈ A✱ ❞♦ A ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ x
n
→ ¯x ∈ A✳
●✐➯ sö ¯x /∈ M
0
1
(0) = M
0
0
t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❛ ❝ã ∃y
0

∈ K(¯x)✱ ∀t ∈ T(¯x)✱
t, y
0
− ¯x /∈
¯
C. ✭✼✮
✾
❇ë✐ K(.) ❧➭ ❧s❝ t➵✐ ¯x✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ y
o
ë tr➟♥✱ ∃y
n
∈ K(x
n
) s❛♦ ❝❤♦ y
n
→ y
0
.
❇ë✐ x
n
∈ Q
0
1
(ε
n
) ✈➭ ✈í✐ y
n
∈ K(x
n
) ë tr➟♥✱ ∃t

n
∈ T(x
n
)✱
t
n
, y
n
− x
n
 ∈ ε
n
B
Y
+
¯
C.
❉♦ K(.) ✉s❝ ✈➭ K(¯x) ❝♦♠♣❛❝t✱ t❤❡♦ ❈❤ó ý ✶✱ ❝ã ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ x
n
→
¯x ∈ K(¯x)✳ ❇ë✐ T (.) ✉s❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ t
n
→
¯
t ∈ T (¯x)✳
❙ö ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❞➲② ♥➭② ✈➭ ❝❤♦ n → ∞ tr♦♥❣ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ tr➟♥✱ ✈í✐ ❝❤ó ý
¯
C ❧➭ t❐♣
➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã


¯
t, y
0
− ¯x ∈
¯
C;
♠➱✉ t❤✉➮♥ ✈í✐ ✭✼✮ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ¯x ∈ Q
0
1
(0)✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❧ý ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✻✳ ❱í✐ ❝ï♥❣ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷ t❤× Q
0
1
(., .) ❧➭ ✉s❝ t➵✐ (0,
¯
λ)✳
✺✳ ◆ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❐♣ δ−♥❣❤✐Ö♠
❇➞② ❣✐ê✱ ➤Ó ♥í✐ ré♥❣ t❤➟♠ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉✱ t❛ t❤❛② q✉➯ ❝➬✉ εB
Y
tr♦♥❣ ❝➳❝ t❐♣
Q
0
1
, M
0
1
, S
0
1

ë tr➟♥ ❜ë✐ q✉➯ ❝➬✉ t♦ ❤➡♥ (δ + ε)B
Y
✈í✐ δ > 0 ❝è ➤Þ♥❤✱ ✈➭ t❛
❝ò♥❣ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❝ã δ t➢➡♥❣ ø♥❣ tr➟♥ ❝➳❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✳
❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱
Q
0,δ
1
(ε) = {
x ∈ K(x), ∀x ∈ K(x), ∃
¯
t ∈ T (x), 
¯
t, x − x ∈ (δ + ε)B
Y
+
¯
C}.
❇æ ➤Ò ✶✳ ◆Õ✉ ε
n
→ 0
+
, u
n
→ ¯u ✈➭ u
n
∈ Y \ {(δ + ε
n
)B
Y

+
¯
C}, ∀n t❤×
¯u ∈ Y \ int(δB
Y
+
¯
C)✳
✶✵
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐✱ ¯u /∈ Y \ int(δB
Y
+
¯
C)✱ tø❝ ❧➭ ¯u ∈
int{δB
Y
+
¯
C}✳ ❱❐② ❝ã q✉➯ ❝➬✉ ♠ë t➞♠ ¯u ❜➳♥ ❦Ý♥❤ β > 0✱ s❛♦ ❝❤♦ B(¯u, β) ⊂
δB
Y
+
¯
C✳ ❇ë✐ u
n
→ ¯u ♥➟♥ ✈í✐ n ➤ñ ❧í♥✱ u
n
∈ B(¯u, β) ⊂ δB
Y
+

¯
C✳ ◆❣❤Ü❛
❧➭✱ u
n
/∈ Y \ {δB
Y
+
¯
C}✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❜ë✐
Y \ {(δ + ε
n
)B
Y
+
¯
C} ⊂ Y \ {δB
Y
+
¯
C},
s✉② r❛ u
n
/∈ Y \ {(δ + ε
n
)B
Y
+
¯
C} ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➮♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt✳ ❇æ ➤Ò ➤➢î❝
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✼✳ ◆Õ✉ K(.) ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ ❚✭✳✮ ❧s❝ t❤×
∀ε
n
→ 0
+
, ∀x ∈ Q
0
0
, ∃x
n
∈ Q
0,δ
0
(ε
n
) : x
n
→ x.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ∃ε
n
→ 0
+
, ∃¯x ∈ Q
0
0
, ∀x
n
∈ Q
0,δ
0

(ε
n
) ♠➭
x
n
 ¯x. ✭✽✮
❚õ K(.) ❧➭ ❧s❝ t➵✐ ¯x✳ ❇ë✐ ¯x ∈ Q
0
0
♥➟♥ ¯x ∈ K(¯x) ✈➭ ∀x
n
→ ¯x✱ ∃x
n
∈ K(x
n
)
s❛♦ ❝❤♦ x
n
→ ¯x. ❱í✐ ε
n
→ 0
+
ë tr➟♥ ✈➭ tõ ✭✽✮ s✉② r❛ x
n
/∈ Q
0,δ
0
(ε
n
) ♥❣❤Ü❛ ❧➭

∃y
n
∈ K(x
n
)✱ ∀t ∈ T (x
n
) s❛♦ ❝❤♦
t, y
n
− x
n
 /∈ (δ + ε
n
)B
Y
+
¯
C ⇔ t, y
n
− x
n
 ∈ Y \ {(δ + ε
n
)B
Y
+
¯
C}. ✭✾✮
▼➷t ❦❤➳❝✱ ❜ë✐ ¯x ∈ Q
0

0
t❛ ❝ã ¯x ∈ K(¯x), ∀y ∈ K(¯x), ∃
¯
t ∈ T (¯x)✱

¯
t, y − ¯x ∈
¯
C. ✭✶✵✮
❇ë✐ A ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ {y
n
} tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ y
n
→ ¯y✱ ❤➡♥ ♥÷❛
K(.) ❧➭ ✉s❝ ♥➟♥ ¯y ∈ K(¯x)✱ ✈× ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ✭✶✵✮ t❤á❛ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ K(¯x) ♥➟♥
✶✶
ũ tỏ ớ y ớ y sẽ ị

t T (x) ở T (.) s ớ

t ó
t
n
T (x
n
) t
n


t n tr ể tứ t ổ ề ớ

u
n
:= t
n
, y
n
x
n
t ó


t, y x Y \ int{B
Y
+

C}.
ở > 0,

C int{B
Y
+

C} Y \ int{B
Y
+

C} Y \

C

t, y x Y \

C,
t ớ ứ ết tú
ét t ó t số
ị ý ế K(., .) tụ ó trị ó T(., .) s tì
u
n
u,
n
0
+
, x Q
0
1
(u), x
n
Q
0,
1
(u,
n
) : x
n
x.
ị ý ế K(.) tụ ó trị ó s ó trị t
tì

n

0
+
, x S
0
0
, x
n
S
0,
1
(
n
) : x
n
x.
ứ sử ợ
n
0
+
, x S
0
0
, x
n
S
0,
1
(
n
)

x
n
x.
ừ K(.) s t x ở x S
0
0
x K(x), ớ ỗ x
n
x x
n

K(x
n
) s x
n
x. ừ
n
0
+
ở s r x
n
/ S
0,
1
(
n
) ĩ

❧➭ ∃y
n

∈ K(x
n
), ∃t
n
∈ T(x
n
) s❛♦ ❝❤♦ t
n
, y
n
− x
n
 /∈ (δ + ε
n
)B
Y
+
¯
C. ❚ø❝
❧➭
t
n
, y
n
− x
n
 ∈ Y \ {(δ + ε
n
)B
Y

+
¯
C}.
▼➷t ❦❤➳❝✱ ❜ë✐ ¯x ∈ S
0
0
t❛ ❝ã ¯x ∈ K(¯x), ∀y ∈ K(¯x), ∀t ∈ T (¯x)✱
t, y − ¯x ∈
¯
C.
❇ë✐ A ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ {y
n
} tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ y
n
→ ¯y✱ ❤➡♥ ♥÷❛
K(.) ❧➭ ✉s❝ ♥➟♥ ¯y ∈ K(¯x)✳ ❇ë✐ T(.) ✉s❝✱ t
n
∈ T(x
n
) ♥➟♥ t
n
→
¯
t ∈ T (¯x)✳ ❙ö
❞ô♥❣ ❝➳❝ ❞➲② ε
n
, x
n
, y
n

, t
n
♥➭②✱ ❝❤♦ n → ∞ tr♦♥❣ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ tr➟♥ ✭✈í✐ ❝❤ó ý
tí✐ ❇æ ➤Ò ✶✮✱

¯
t, ¯y − ¯x ∈ Y \ int{δB
Y
+
¯
C} ⊂ Y \
¯
C,
❧➭ ♠➞✉ t❤✉➮♥ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦Õt t❤ó❝✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✵✳ ◆Õ✉ K(., .) ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ ❚✭✳✱✳✮ ✉s❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ
❝♦♠♣❛❝t t❤×
∀u
n
→ ¯u, ∀ε
n
→ 0
+
, ∀x ∈ S
0
0
(¯u), ∃x
n
∈ S
0,δ
1

(¯u, ε
n
) : x
n
→ x.
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✶✳ ◆Õ✉ K(.) ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ ❚✭✳✮ ❧s❝ t❤×
∀ε
n
→ 0
+
, ∀x ∈ M
0
0
, ∃x
n
∈ M
0,δ
1
(ε
n
) : x
n
→ x.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ∃ε
n
→ 0
+
, ∃¯x ∈ M
0
1

(0) = M
0
0
, ∀x
n
∈
M
0,δ
1
(ε
n
) t❤×
x
n
 ¯x. ✭✶✷✮
✶✸
❚õ K(.) ❧➭ ❧s❝ t➵✐ ¯x✳ ❱× t❤Õ✱ ✈í✐ ¯x ∈ K(¯x), ∀x
n
→ ¯x✱ ∃x
n
∈ K(x
n
) s❛♦ ❝❤♦
x
n
→ ¯x. ❇ë✐ ¯x ∈ M
0
0
t❛ ❝ã ¯x ∈ K(¯x), ∃
¯

t ∈ T (¯x), ∀y ∈ K(¯x)✱

¯
t, y − ¯x ∈
¯
C.
❇ë✐ T (.) ❧s❝ ♥➟♥ ✈í✐
¯
t ❝ã ❞➲② t
n
∈ T(x
n
)✱ t
n
→
¯
t✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ✈í✐ ε
n
→ 0
+
✈➭
❜ë✐ ✭✶✷✮ s✉② r❛ x
n
/∈ M
0,δ
1
(ε
n
) ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ∀t ∈ T (x
n

)✱ ∃y
n
∈ K(x
n
) s❛♦ ❝❤♦
t, y
n
−x
n
 /∈ (δ +ε
n
)B
Y
+
¯
C ⇔ t, y
n
−x
n
 ∈ Y \{(δ +ε
n
)B
Y
+
¯
C}. ✭✶✸✮
❱× ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ t ♥➟♥ ❝ò♥❣ ➤ó♥❣ ✈í✐ ❞➲② t
n
♥ã✐ tr➟♥✳ ❇ë✐ A
❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ {y

n
} tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ y
n
→ ¯y✱ ❤➡♥ ♥÷❛ K(.) ❧➭
✉s❝ ♥➟♥ ¯y ∈ K(¯x)✳ ❙ö ❞ô♥❣ ❇æ ➤Ò ✶ ✈➭ ❝❤♦ n → ∞ tr♦♥❣ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ✭✶✸✮✱ ❝ã

¯
t, ¯y − ¯x ∈ Y \ int{δB
Y
+
¯
C} ⊂ Y \
¯
C.
❧➭ ♠➞✉ t❤✉➮♥ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦Õt t❤ó❝✳
❱í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã t❤❛♠ sè
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✷✳ ◆Õ✉ K(., .) ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ T(., .) ❧s❝ t❤×
∀u
n
→ ¯u, ε
n
→ 0
+
, ∀x ∈ M
0
0
(¯u), ∃x
n
∈ M
0,δ

1
(¯u, ε
n
) : x
n
→ x.
✻✳ ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➠♥❣ t❤❛♠ sè ✈➭ ❝ã t❤❛♠ sè
❚õ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ë tr➟♥ ✈➭ ❈❤ó ý ✶✱ t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ ❝❤♦ ✇❡❧❧♣♦s❡❞ ❞➵♥❣
■ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➠♥❣ t❤❛♠ sè ♥❤➢ s❛✉✿
✶✹
ệ ề sử K(.) tụ ó trị ó T (.) s ó trị
t tì t (MQV I) s
ứ ử ụ ết q ủ ị ý ó M
0
1
(.) s t 0
ỉ ứ M
0
0
t ó t x
n
M
0
0
x
n
x
ứ x M
0
0

ở x
n
M
0
0
t ị ĩ tì x
n
K(x
n
), t
n

T (x
n
), y K(x
n
)
t
n
, y x
n


C.
ừ ú ý x
n
x K(x), t
n

t T (x) ế x / M
0
0
t ị ĩ
t ó t T (x), y
t
K(x) s
t, y
t
x /

C.
ì ể tứ ú ớ ọ t ũ ú ớ

t ở tr ớ

t sẽ ị
y K(x) ở K(.) s t x ớ y y
n
K(x
n
) s y
n
y.
ử ụ n ớ ú ý

C t ó t ó


t, y x

C,
t M
0
0
t ó ữ ó t t sử ụ ú
ý t s r ề ứ
ệ ề sử K(., .) tụ ó trị ó T (., .) s ó
trị t tì t (MQV I)
u
s
tự ớ t (SQV I)

▼Ö♥❤ ➤Ò ✸✳ ●✐➯ sö K(.) ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ T (.) ❧➭ ❧s❝ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥
(SQV I) ❧➭ ✇❡❧❧♣♦s❡❞ ❞➵♥❣ ■✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❙ö ❞ô♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✱ ❝ã S
0
1
(.) ❧➭ ✉s❝ t➵✐ 0✳ ❚❛
❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ S
0
0
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❧✃② ❞➲② x
n
∈ S
0
0
✱ x
n
→ ¯x✳

❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ¯x ∈ S
0
0
✳ ❜ë✐ x
n
∈ S
0
0
✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ x
n
∈ K(x
n
), ∀t ∈
T (x
n
), ∀y ∈ K(x
n
)✱
t, y − x
n
 ∈
¯
C. ✭✶✺✮
❚õ ❈❤ó ý ✶✱ x
n
→ ¯x ∈ K(¯x)✳ ◆Õ✉ ¯x /∈ S
0
0
✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❛ ❝ã ∃
¯

t ∈
T (¯x), ∃¯y ∈ K(¯x) s❛♦ ❝❤♦✱

¯
t, ¯y − ¯x /∈
¯
C.
❇ë✐ K(.) ❧➭ ❧s❝ t➵✐ ¯x✱ ❦❤✐ ➤ã ✈í✐ ¯y✱ ∃y
n
∈ K(x
n
) s❛♦ ❝❤♦ y
n
→ ¯y. ❈ò♥❣ ❜ë✐
T (.) ❧s❝ ♥➟♥ ✈í✐
¯
t, ∃t
n
∈ T (x
n
), t
n
→
¯
t ∈ T (¯x)✳ ❙ö ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❞➲② ♥➭② ✈➭♦
✭✶✺✮ ✈➭ ❝❤♦ n → ∞ ✈í✐ ❝❤ó ý
¯
C ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã

¯

t, ¯y − ¯x ∈
¯
C,
❧➭ ♠➞✉ t❤✉➮♥ ♥➟♥ S
0
0
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳ ❍➡♥ ♥÷❛ ♥ã ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✱ sö ❞ô♥❣ ❈❤ó
ý ✶ t❛ s✉② r❛ ➤✐Ò✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✹✳ ●✐➯ sö K(., .) ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ T (., .) ❧➭ ❧s❝ t❤× ❜➭✐
t♦➳♥ (SQV I)
u
❧➭ ✇❡❧❧♣♦s❡❞ ❞➵♥❣ ■✳
❳Ðt ✇❡❧❧♣♦s❡❞ ❞➵♥❣ ■■✱ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯✿
✶✻
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✸✳ K(.) ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ T (.) ✉s❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ❝♦♠♣❛❝t t❤×
❜➭✐ t♦➳♥ (MQV I) ❧➭ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞ ❞➵♥❣ ■■✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❳Ðt x
n
❧➭ ❞➲② ①✃♣ ①Ø ❞➵♥❣ ■■ ❝ñ❛ (MQV I)✱ tø❝ ❧➭✿ ∃ε
n
→
0
+
, x
n
∈ K(x
n
), ∃t
n
∈ T(x

n
)✱ ∀y ∈ K(x
n
)✱
t
n
, y − x
n
 + ε
n
B
Y
⊂
¯
C = Y \ −intC.
⇔ t
n
, y − x
n
 + ε
n
B
Y
⊂ −intC. ✭✶✻✮
❚õ A ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ ❝ã ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ x
n
→ ¯x✳ ❉♦ K(.) ✉s❝✱ x
n
∈
K(x

n
)✱ x
n
→ ¯x ∈ K(¯x)✳
◆Õ✉ ¯x /∈ M
0
0
t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❛ ❝ã ∀t ∈ T (¯x), ∃¯y ∈ K(¯x) s❛♦ ❝❤♦✱
t, ¯y − ¯x /∈
¯
C.
❚ø❝ ❧➭
t, ¯y − ¯x ∈ −intC.
❱❐② ❝ã ¯ε > 0 s❛♦ ❝❤♦
t, ¯y − ¯x + ¯εB
Y
⊂ −intC.
K(.) ❧➭ ❧s❝ t➵✐ (¯x, 0)✱ ❦❤✐ ➤ã ✈í✐ ¯y✱ ∃y
n
∈ K(x
n
) s❛♦ ❝❤♦ y
n
→ ¯y, ❇ë✐ T (.)
✉s❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ❝♦♠♣❛❝t✱ t
n
→
¯
t ∈ T (¯x). ❈❤♦ n → +∞ t❛ ❝ã✿
t

n
, y
n
 − 
¯
t, ¯y → 0, t
n
, x
n
 − 
¯
t, ¯x → 0.
❑❤✐ n ➤ñ ❧í♥ ❝ã
t
n
, y
n
 − 
¯
t, ¯y − t
n
, x
n
 + 
¯
t, ¯x ⊂
¯ε
2
B
Y

.
✶✼