50 câu trắc nghiệm vận dụng môn toán

LỜI GIẢI
Câu 1.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 8 , hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là?
A. 4
B. 16
C. 3
D. 8
(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Bình An – Bình Dương)
Lời giải. Giả sử chiều dài của hình chữ nhật là a , chiều rộng của hình chữ nhật là b
Chu vi của hình chữ nhật là a  b  8 . Diện tích của hình chữ nhật là ab
2

ab
Ta có ab  
  16 dấu "  " xảy ra khi a  b  4
 2 
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 16 xảy ra khi a  b  4 . Chọn B.
Câu 2. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60 cm, thể tích
96000cm3. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000
đồng/1m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/1m2. Chi phí thấp nhất
để hoàn thành bể cá là
A. 83 200 000 đồng
B. 382 000 đồng
C. 83 200 đồng
D. 8 320 000 đồng
(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Việt Trì – Phú Thọ)

Lời giải. Giả sử chiều dài của mặt đáy là a  m  , chiều rộng của mặt đáy là b  m 
Thể tích của hình hộp chữ nhật là 60.10a.10b  96000  ab  16
Diện tích mặt bên của hình hộp chữ nhật là 2.6a  2.6b  12a  12b
Diện tích mặt đáy của hình hộp chữ nhật là ab  16
Chi phí để hoàn thành bể cá là S  70000.12  a  b   100000ab

Ta có S  70000.12.2 ab  100000ab  83200000 đồng xảy ra khi a  b  4 . Chọn A.
Câu 3.Một nhà sản xuất máy ghi âm với chi phí là 40 đôla/cái. Ông ước tính rằng nếu
máy ghi âm bán được với giá x đôla/cái thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua 120  x  cái.
Biểu diễn lợi nhuận hàng tháng của nhà sản xuất bằng một hàm theo giá bán (gọi hàm
lợi nhuận là f  x  và giá bán là x), khi đó hàm cần tìm là
A. f  x    x 2  120 x

B. f  x    x 2  120 x  40

C. f  x   x 2  120 x  40

D. f  x    x 2  160 x  4800

(Trích đề thi khảo sát chất lượng trường THPT Thuận Thành 3 – Bắc Ninh)
Lời giải. Lợi nhuận khi bán được 1 cái máy ghi âm là  x  40 
Khi đó ta có f  x    x  40 120  x    x 2  160 x  4800 . Chọn D.
Câu 5.Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ
có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng


bàn. Gọi Sb là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, Stlà diện tích xung quanh của hình
S
trụ. Tính tỉ số b .
St
A. 2
B. 1,2
C. 1,5
D. 1
(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí

Minh)
Lời giải. Giả sử bán kính của quả bóng bàn là r
Tổng diện tích của ba quả bóng bàn là Sb  3.4 r 2  12 r 2
Diện tích xung quanh của hình trụ là St  2 rh  2 r .6r  12 r 2

Sb 12 r 2
Do đó ta có

 1 . Chọn D.
St 12 r 2
Câu 6. Cho một khối trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 6. Cắt khối trụ bởi một mặt
phẳng song song với trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có A, B thuộc cùng
một đáy của khối trụ. Biết AB = 10. Khoảng cách từ trục của khối trụ đến thiết diện
được tạo thành là:
A.

41

B. 2 5
C. 15
D. 11
(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Nghĩa Hưng)
2

Lời giải. Khoảng cách từ trục khối trụ đến thiết diện là

 AB 
6 
  11 . Chọn D.
 2 

2

Câu 7. Một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông
có cạnh bằng 12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không nắp. Nếu dung tích
của hộp bằng 4800cm3 thì cạnh của tấm bìa có độ dài là:
A. 38cm
B. 36cm
C. 44cm
D. 42cm
(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu – TP Hồ Chí
Minh)
Lời giải. Giả sử cạnh của tấm bía là x  cm 

x  4 l 
2
Khi đó thể tích của hình hộp là 12  x  24   4800  
. Chọn C.
 x  44
Câu 8. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 m3 . Biết tốc độ sinh trưởng của khu rừng đó
là 4% trên năm. Hỏi sau năm năm khu rừng đó sẽ có bao nhiêu m3 gỗ. (Lấy chính xác
đến sau hai chữ số thập phân)
A.4,47.105m3
B. 4,57. 105 m3
C. 4.67. 105 m3
D. 4,87. 105 m3
(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT chuyên Lạc Hồng – TP Hồ Chí Minh)

Lời giải. Sau 5 năm khu rừng có 4.105 1  0,04   4,87.105 m3 . Chọn D.
5

Câu 8. Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính r vào một cái bình hình trụ sao cho tất cả
các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 8 viên bi xung
quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của bình hình trụ.
Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là:
A. 16r2
B. 18r2
C. 9r2
D. 36r2
(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT chuyên Lạc Hồng – TP Hồ Chí Minh)
2r  2r  2r
2
Lời giải. Bán kính của đáy hình trụ là
 3r  S    3r   9 r 2 . Chọn C.
2
Câu 9. Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức M  log A  log A0 , với A là
biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận
động đất ở San Francisco có cường độ đo được 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận
động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richer. Hỏi trận động đất ở San
Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật bản?
A. 1000 lần
B. 10 lần
C. 2 lần
D. 100 lần
(Trích đề thi thử THPT quốc gia sở Hưng Yên lần 1)
A
Lời giải. Ta có M  log A  log A0  log
A0
Tại San Francisco có cường độ đo được là 8 độ Richter  log
Tại Nhật Bản có cường độ đo được là 6 độ Richter  log



A1
A
 8  1  108
A0
A1

A2
A
 6  2  106
A0
A0

A1 A1 A2 108

:

 100 lần. Chọn D.
A2 A0 A0 106

Câu 10. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 200km. Vận tốc của
dòng nước là 8km/h. nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng
lượng tiêu hao của cá trong 1 giờ được cho bởi công thức: E  v   cv 3 t (trong đó c là một
hằng số, E được tính bằng jun). Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng
lượng tiêu hao là ít nhất
A. 12 km/h
B. 9 km/h
C. 6 km/h
D. 15 km/h

(Trích đề thi thử THPT quốc gia sở Hưng Yên lần 1)
Lời giải. Vận tốc cá bơi khi ngược dòng là v  6 . Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách
300
300km là t 
giờ.
v 6
300
v3
Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là E  v   cv 3 .
 300c
v 6
v 6


Xét hàm số f  v  

v  0  l 
2v 3  18v 2
v3
; f ' v   0  
với v  6 . Ta có f '  v  
2
v 6
v  6 
v  9

Chọn B.
Câu 11. Một người gửi tiết kiệm số tiền 100.000.000 VNĐ vào ngân hàng với lãi suất
8%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau 15 năm số tiền người ấy nhận về
là bao nhiêu? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng?

A. 117.217.000 VNĐ
B. 417.217.000 VNĐ
C. 317.217.000 VNĐ
D. 217.217.000 VNĐ
(Trích đề thi thử sở Hưng Yên lần 1)
Lời giải. Số tiền nhận được sau 15 năm là 100000000 1  0,08   317216911,4 .Chọn C.
15

Câu 12. Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước công nguyên.
Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 154m. Độ dài cạnh đáy
là270m. Khi đó thể tích của khối kim tự tháp là:
A. 3.742.200
B. 3.640.000
C. 3.500.000
D. 3.545.000
(Trích đề thi thử trường THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc)
1
Lời giải. Thể tích của kim tự tháp là .154.2702  3742200 . Chọn A.
3
Câu 13.Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 12 cm và chiều rộng bằng 8
cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình
vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái
hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

12  3 5
12  3 5
10  2 7
C. x 
D. x 
3

4
4
(Trích đề thi thử trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên)
Lời giải. Chiều dài của hình hộp là 12  2x , chiều rộng của hình hộp là 8  2x , chiều
cao của hình hộp là x .

A. x 

10  2 7
3

B. x 


Khi đó thể tích của hình hộp là V  x 12  2 x  8  2 x   4 x 3  40 x 2  96 x
Xét hàm số f  x   4 x 3  40 x 2  96 x với x  4 . Ta có f '  x   12 x 2  80 x  96
10  2 7
10  2 7
. Chọn A.
 l  hoặc x 
3
3
Câu 14.Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép
1%/tháng. Gửi được hai năm 3 tháng người đó có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và
lãi về. Số tiền người đó rút được là:

Ta có f '  x   0  x 

A. 100. (1,01)26  1 (triệu đồng).
C. 100. (1,01)27  1 (triệu đồng).

B. 101. (1,01)27  1 (triệu đồng).
D. 101. (1,01)26  1 (triệu đồng).

(Trích đề thi thử trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên)
1  1% 
27
27
Lời giải.Số tiền thu đươc là 1.
1  1%   1  101 1,01  1 . Chọn B.

1%
Câu 15. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C.
khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4 km. Mỗi km
dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S
trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

A.

15
km
4

B.

13
km
4

10

19
km
D.
km
4
4
(Trích đề thi thử trường THPT Nho Quan A)

C.

Lời giải. Giả sử SA  x  SB  4  x khi đó SC  SB 2  BC 2 
Số tiền cần để mua dây là 3000 x  5000

4  x 

2

4  x 

2

 12



 12  1000 3x  5 x 2  8 x  17

Xét hàm số f  x   3x  5 x 2  8 x  17 với x  4 . Ta có f '  x   3 



5 x  4
x 2  8 x  17

13
. Chọn B.
4
Câu 16. Người ta bỏ 3 quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ
có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần đường kính của

Ta có f '  x   0  x 


quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của 3 quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh
của hình trụ. Tỉ số S1/S2 bằng:
3
6
A. 1
B. 2
C.
D.
2
5
(Trích đề thi thử trường THPT Nho Quan A)
Lời giải. Giả sử bán kính của quả bóng bàn là r
Tổng diện tích của ba quả bóng bàn là S1  3.4 r 2  12 r 2
Diện tích xung quanh của hình trụ là S2  2 rh  2 r .6r  12 r 2
Do đó ta có

S1 12 r 2


 1 . Chọn A.
S2 12 r 2

Câu 17. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng 5km. Trên bờ biển
có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể chèo đò
từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h. Xác định
vị trí của M để người đó đến kho nhanh nhất.
A. 2 3km

C. 2km

B. 2 5km

D. 4km
(Trích đề thi thử sở Phú Thọ)

Lời giải.Giả sử BM  x  CM  7  x khi đó AM  x 2  25

x 2  25
4
7x
Thời gian người đó đi từ M đến C là
6
Thời gian người đó đi từ A đến M là

Tổng thời gian người đó đi từ A đến C là
Xét hàm số f  x  

x 2  25 7  x


4
6

x
1
x 2  25 7  x


với x  7 . Ta có f '  x  
2
4
6
4 x  25 6

Ta có f '  x   0  x  2 5 . Chọn B.
Câu 18. Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3(m3). Tỉ số
giữa chiều cao của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các
mặt bên và mặt đáy (tức không có mặt trên). Chiều dài của đáy (x) gần nhất với giá trị
nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố ga.
A. 1
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
(Trích đề thi thử trường THPT Quảng Xương I)
h
Lời giải.Ta có xyh  3 và  4  h  4 y . Do đó ta có 4 xy 2  3
y

3
 0,9  1 . Chọn A.
4
Câu 19. Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của
máy báy là v (t )  3t 2  5(m / s ) .Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10
Mà y là chiều rộng nên y  x  3  4 xy 2  4 x 3  x 

3

là
A. 36m

B. 252m

C. 1134m
D. 966m
(Trích đề thi thử trường THPT Quảng Xương I)
10

Lời giải. Quảng đường máy bay bay từ giây thứ 4 tới giây thứ 10 là

  3t

2

 5  dt  966

4

Chọn D.

Câu20. Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả
các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung
quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi
đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:
A. 16 r 2
B. 18 r 2
C. 9 r 2
D. 36 r 2
(Trích đề thi thử trường THPT Quảng Xương I)
2r  2r  2r
2
Lời giải. Bán kính của đáy hình trụ là
 3r  S    3r   9 r 2 . Chọn C.
2
Câu 21. Một người gửi 88 triệu đồng vào ngân hang theo thể thức lãi kép kỳ hạn 1 quý
với lãi suất 1,68% (quý). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó có được 100 triệu cả
vốn lẫn lãi từ số vốn ban đầu (giả sử rằng lãi suất không đổi)?
A. 1,5
B. 8
C. 2,25
D. 2
Lời giải. Gọi n  n 

(Trích đề thi thử trường THPT Trần Hưng Đạo)

 là số quý để người đó có được 100 triệu

Ta có 88. 1  0,0168   100  n  7,6 . Do n 
n

n 8

Do 1 năm có 4 quý nên sau 2 năm thì người đó có được 100 triệu. Chọn D.
Câu 22. Một hình trụ tròn xoay có diện tích toàn phần là S1 , diện tích đáy là S . Cắt đôi
hình trụ này bằng 1 mặt phẳng vuông góc và đi qua trung điểm của đường sinh, ta
được 2 hình trụ nhỏ có diện tích toàn phần là S2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
1
(S1  S ).
2
(Trích đề thi thử trường THPT Trần Hưng Đạo)
Lời giải. Diện tích hai đáy của lăng trụ nhỏ là 2S
1
1
Diện tích xung quanh của lăng trụ nhỏ là  S1  2S   S1  S
2
2

A. S2 

1
S1  S.
2

B. S2 

1
S1 .
2

C. S2  2S1 .

D. S2 


1
1
Do đó ta có S2  2S  S1  S  S1  S . Chọn A.
2
2
Câu 23. Người ta bỏ 3 quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ
có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần đường kính của
quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của 3 quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh
của hình trụ. Tỉ số S1/S2 bằng:
3
6
A. 1
B. 2
C.
D.
2
5
(Trích đề thi thử trường THPT Cái Bè)
Lời giải. Giả sử bán kính của quả bóng bàn là r
Tổng diện tích của ba quả bóng bàn là S1  3.4 r 2  12 r 2

Diện tích xung quanh của hình trụ là S2  2 rh  2 r .6r  12 r 2
Do đó ta có

S1 12 r 2


 1 . Chọn A.
S2 12 r 2

Câu 24.Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ.
Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến
bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là:

A.569,5 m

B.671,4 m
C.779,8 m
D.741,2 m
(Trích đề thi thử trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam)
Lời giải.Gọi A ', B ' lần lượt là hình chiếu của A, B lên bờ sông, gọi H là hình chiếu của
A trên BB ' . Ta có BH  487  118  369m  AH  AB 2  BH 2  492m
Gọi M là nơi trên bờ sông để người A đi quảng đường ngắn nhất

 AM  AA '2  A ' M 2  x 2  1182

Giả sử A ' M  x  B ' M  492  x . Ta có 
2
2
2
2

 BM  BB '  B ' M   492  x   487
Tổng đoạn đường người đó đi được là

x 2  1182 

 492  x 

2

 4872

Áp dụng bất đẳng thức Mincopxky ta có

x 2  1182 

 369  x 

2

 4872 

 x  369  x 

2

 118  487   779,8 . Chọn C.
2


Câu 25.Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S  Ae rt , trong đó A
là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r>0), t là thời gian tăng trưởng. Biết
rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu số
lượng vi khuẩn ban đầu tăng lên gấp 10 lần?
A. 6giờ29 phút
B. 8giờ 29 phút

C. 10giờ29 phút
D. 7giờ 29phút
(Trích đề thi thử trường THPT Lục Ngàn số 1)
Lời giải. Ta có 300  100e 5r  r  0,2197
Ta có 1000  100e 0,2197 t  t  10,47 giờ hay 10 giờ 29 phút. Chọn C.
Câu 26. Cho bốn hình sau đây
A.
B.

D.

C.

Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. Khối đa diện A không phải là khối đa diện đều
B. Khối đa diện B là khối đa diện lồi
C. Khối đa diện C là khối đa diện lồi
D. Cả 4 khối đa diện A, B, C, D đều là khối đa diện lồi.
(Trích đề thi trường THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang)
Lời giải. Ta thấy hình D không phải là đa diện lồi nên đáp án D sai. Chọn D.
Câu 27. Một cái tháp hình nón có chu vi đáy bằng 207,5 m. Một học sinh nam muốn đo
chiều cao của cái tháp đã làm như sau. Tại thời điểm nào đó, cậu đo bóng của mình dài
3,32 m và đồng thời đo được bóng của cái tháp (kể từ chân tháp) dài 207,5 m. Biết cậu
học sinh đó cao 1,66 m, hỏi chiều cao của cái tháp dài bao nhiêu m?
51,875
51,87
A. h  103,75 
B. h  103 



25,94
C. h  103,75 
D. h  103,75



(Trích đề thi thử toán học tuổi trẻ lần 3)
Lời giải.Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của cái tháp.
103,75
103,75
Theo giả thiết ta có 2 R  207,5  R 
 OA  207,5 


Vì bóng của cậu học sinh gấp 2 lần chiều cao thật nên




OA  2h  207,5 

103,75

 2h  h  103,75 

51,875

. Chọn A.



Câu 28. Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A, B. Biết khoảng cách
giữa hai cọc bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai
chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt
chốt ở vị trí nào trên mặt đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất.
A. AM  6m, BM  18m
B. AM  7m, BM  17m
C. AM  4m, BM  20m
D. AM  12m, BM  12m
(Trích đề thi thử toán học tuổi trẻ lần 1)

CM  AC 2  AM 2  102  x 2

Lời giải. Giả sử AM  x  BM  24  x . Ta có 
2
 DM  BD 2  BM 2  302   24  x 
Do đó CM  DM  102  x 2  302   24  x 

2

Áp dụng bất đẳng thức Mincopxky ta có

102  x 2  302   24  x  
2

10  30 

2

  x  24  x   8 34
2

10
x

 x  6  AM  6; BM  18 . Chọn A.
30 24  x
Câu 29. Từ tấm tôn hình chữ nhật cạnh 90cm x 180cm người ta làm các thùng đựng
nước hình trụ có chiều cao bằng 80cm theo 2 cách(Xem hình minh họa dưới)

Dấu "  " xảy ra khi

Cách 1. Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng
Cách 2.Cắt tấm tôn ban đầu thành 3 tấm bằng nhau và gò các tấm đó thành mặt xung
quanh của thùng .
Ký hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách thứ nhất và V2 là tổng thể tích của
ba thùng gò được theo cách thứ 2.Tính tỉ số

V1
V2


A.

1
2

B.

1
3

C.3

D.2

(Trích đề thi thử trường THPT Bảo Lâm)
90
180
30
Lời giải. Ta có 180  2 r1  r1 
 V1   r12 h ;
 2 r2  r2 
 V1  3 r22 h

3

2
2
V
r h
r
 1  1 2  1 2  3 . Chọn C.
V2 3 r2 h 3r2
Câu 30. Thể tích của khối đa diện tạo bởi hình sau là:
14 cm
4 cm
15 cm
7 cm

6 cm

A. 328cm3

B. 456cm3

C. 584cm3
D. 712cm3
(Trích đề thi thử trường THPT Nguyễn Thái Học)
Lời giải.Ta có V  6.4.8  7.14.4  584cm3 . Chọn C.
Câu 31. Một cô giáo gửi 200 triệu đồng loại kỳ hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất
6,9% một năm. Sau 6 năm 9 tháng cô giáo này rút được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi và
lãi cô giáo không rút ở tât cả các kỳ hạn, nếu rút trước ngân hàng sẽ trả lãi suất theo
loại lãi suất không kỳ hạn là 0,002% một ngày (1 tháng tính 30 ngày).
A. 471688328,8
B. 302088933,9
C. 311392005,1
D. 321556228
(Trích đề thi thử trường THPT Nguyễn Thái Học)
Lời giải.Trong 6 năm 9 tháng có 13 kì hạn và 3 tháng
Số tiền rút được trong 13 kì hạn là 200000000 1  0,5.6,9%   310832506,6
13

Số tiền rút được trong 3 tháng cuối là 310832506,6. 1  0,002% 

90

 311392503,4 .

Chọn C.

Câu 32.Một thùng hình trụ chứa nước, có đường kính đáy ( bên trong) bằng
12,24 cm . Mực nước trong thùng cao 4,56 cm so với mặt trong của đáy. Một viên
bi kim loại hình cầu được thả vào trong thùng nước thì mực nước dâng cao lên


sát với điểm cao nhất của viên bi. Bán kính của viên bi gần với đáp số nào dưới
đây, biết rằng viên bi có đường kính không vượt quá 6 cm ?

A. 2,59 cm .

B. 2,45cm .

C. 2,86 cm .

D. 2,68cm .

Lời giải.Goi VC ,VN lần lượt là thể tích của khối cầu và thể tích của lương nước
2

4
12,24 
trong thùng, R là bán kính của mặt cầu. Ta có: VC   R3 ;VN   
 .4,56
3
 2 

 R  2.5888
2
2


4
 12,24 
 12,24 
3

 .4,56   R   
 2 R   R  5.8578  l  . Chọn A.
3
 2 
 2 
 R  8.4466 l



Câu 33.Bốn ban An, Bình, Chí, Dũng lần lượt có chiều cao là 1,6m ; 1,65m ; 1,70m
; 1,75m muốn tham gia trò chơi lăn bóng. Quy định người tham gia trò chơi phải
đứng thẳng trong quả bóng hình cầu có thể tích là 0,8 m3 và lăn trên cỏ. Bạn
không đủ điều kiện tham gia trò chơi là:
A.An.

B.An, Bình.
4
3

C.Dũng.

D.Chí, Dũng.

4
3

Lời giải. Ta có V   R3  0,8   R3  R  3 0,6  2 R  2 3 0,6  1,68
Người chơi được phải có chiều cao nhỏ hơn hoặc bằng 2R . Chọn D.
Câu 34.Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' . Gọi O,O ' lần lượt là tâm của hai
hình vuông ABCD và A ' B ' C ' D ' , OO'  a . Gọi V1 là thể tích khối trụ tròn xoay có
đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông ABCD và A ' B ' C ' D ' và V2 là thể
tích khối nón tròn xoay có đỉnh O ' , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông
ABCD . Tỉ số thể tích

V1
là
V2


A. 2 .
Lời giải. Ta có R  OA 

B. 3 .

C. 4 .

D. 6 .

a2
 a3
a
a 2
và r  OE 
;OO'  a nên V1   R 2 .h   .a 
2

2
2
2

V
1
1 a2
 a3
 V2   r 2 .h   . .a 
 1  6 . Chọn D.
3
3 4
12
V2

Câu 35.Bạn Hoa đi từ nhà ở vị trí A đến trường tại vị trí C phải đi qua cầu từ A
đến B rồi từ B đến trường. Trận lũ lụt vừa qua cây cầu bị ngập nước, do đó bạn
Hoa phải đi bằng thuyền từ nhà đến vị trí D nào đó ở trên đoạn BC với vận tốc
4km / h sau đó đi bộ với vận tốc 5km / h đến C . Biết độ dài AB  3km, BC  5km .
Hỏi muộn nhất mấy giờ bạn Hoa phải xuất phát từ nhà để có mặt ở trường lúc
7h30 phút sáng kịp vào học.
A. 6h30 phút.

B. 6h16 phút.

C. 5h30 phút.

D. 5h45 phút.

Lời giải. Giả sử BD  x  CD  5  x khi đó AD  AB 2  BD 2  x 2  9

Thời gian di chuyển từ A đến D là
5 x
5

x2  9
, thời gian di chuyển từ D đến C là
4


Do đó thời gian đi từ A đến C là
Xét hàm số f  x  

x2  9 5  x

4
5

x
1
x2  9 5  x


. Ta có f '  x  
4
5
4 x2  9 5

Ta có f '  x   0  x  4 . Thời gian nhanh nhất là f  4   1h . Chọn A.
Câu 36.Một người gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% một
năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền

lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Nếu sau 5 năm mới rút lãi thì người đó thu
được số tiền lãi là:
A. 20,128 triệu đồng.

B. 70,128 triệu đồng.

C. 3,5 triệu đồng.

D. 50,7 triệu đồng.

Lời giải.Ta có Tn  A 1  r   50 1  7%   70,128 triêu đồng. Chọn B.
n

5

Câu 37. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A
đến vị trí C trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là
BC=1km, khoảng cách từ A đến B là 4km. Người ta chọn một vị trí là điểm S nằm
giữa A và B để mắc đường dây điện đi từ A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ
dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền mất 3000USD, mỗi km dây điện
đặt ngầm dưới biển mất 5000USD.Hỏi điểm S phải cách A bao nhiêu km để chi
phí mắc đường dây điện là ít nhất.

A. 3,25km

B. 1km

C. 2km

D. 1,5km

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT chuyên Hạ Long)
Lời giải. Giả sử BS  x  SA  4  x khi đó SC  x 2  1




Chi phí đường dây điện là 5000 x 2  1  3000  4  x   1000 5 x 2  1  12  3x
Xét hàm số f  x   5 x 2  1  12  3x với x  4 . Ta có f '  x  
Ta có f '  x   0  x 

5x
x2 1



3

3
. Do đó để chi phí ít nhất thì S cách A 3,25km . Chọn A.
4

Câu 38. Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả
góp với lãi suất 0,5% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất
ông hoàn nợ cho ngân hàng 5.600.000 đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau
bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết sô tiền đã vay?
A. 62 tháng

B. 63 tháng

C. 64 tháng

D. 65 tháng

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT chuyên Hạ Long)
Lời giải.Số tiền ông A nợ sau n tháng là N  300 1  0,5%   5,6
n

1  0,5% 

n

1

0,5%

Để ông A trả hết nợ thì A  0  n  62,5 nên ta chọn n  63 . Chọn B.
Câu 39. Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi
công thức v (t )  3t  2 , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được
tính theo đơn vị m . Biết tại thời điểm t  2 s thì vật đi được quãng đường là 10m
. Hỏi tại thời điểm t  30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
A. 1410m

B. 1140m

C. 300m

D. 240m

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT chuyên Hạ Long)

Lời giải. Quảng đường được tính theo biểu thức
Ta có

3

  3t  2  dt  2 t

2

 2t  C

3 2
3
.2  2.2  C  10  C  0  s  t   t 2  2t
2
2

Tại thời điểm t  30s vật đi được quảng đường là

3 2
.30  2.30  1410m . Chọn A.
2


Câu 40. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu
sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của
hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 1dm3 và diện tích toàn phần
của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu?
A. 3

1



dm

B. 3

1
2

dm

C.

1
2

dm

D.

1



dm

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT chuyên Hạ Long)
Lời giải. Ta có V   r 2 h  1  h 

1
. Mặt khác diện tích toàn phân của hình trụ là
r2

1 
1
1 
1
1
2

 2
2
2 r 2  2 rh  2  r 2  rh   2  r 2 

.

  2  r 
  2 3 r .
r 
2 r 2 r 
2 r 2 r 3 4 2



Dấu "  " xảy ra khi r 2 

1
2 r

 2 r 3  1  r 3 

1
1
. Chọn B.
r  3
2
2

Câu 41. Một người đầu tư 200 triệu đồng vào một công ty theo thể thức lãi kép
với lãi suất 14% một năm. Hỏi sau 3 năm mới rút lãi thì người đó thu được bao
nhiêu triệu đồng tiền lãi? (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không đổi).
A. 59,9288 triệu đồng

B. 96,3088 triệu đồng

C. 84 triệu đồng

D. 137,7988 triệu đồng
(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Kim Liên – Hà Nội)

Lời giải. Số tiền người đó rút được sau 3 năm là 200 1  14%   296,3088 triệu đồng
3

Do đó số tiền lãi là 296,3088  200  96,3088 triệu đồng. Chọn B.
Câu 42. Cho một khối trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 10. Cắt khối trụ bởi
mặt phẳng   song song với trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD sao
cho A, B cùng thuộc một đáy của khối trụ và AB=12. Tính khoảng cách h từ trục
của khối trụ đến mặt phẳng   ?

A. h  10

B. h  44

C. h  8

D. h  136

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Kim Liên – Hà Nội)


2

Lời giải. Khoảng cách từ trục đến khối trụ là

 AB 
r 
  8 . Chọn C.
 2 
2

Câu 43. Một người thợ thủ công pha một khối thạch cao vào nước tạo thành một
hỗn hợp có thể tích V  330cm3 , sau đó đổ vào khuôn để đúc thành những viên
phấn hình trụ có bán kính đáy R  0,5cm và chiều cao h  6cm . Biết rằng trong
quá trình đúc sự tiêu hao nguyên liệu là không đáng kể. Hỏi người thợ thủ công
đó đúc được bao nhiêu viên phấn?
A. 50 viên

B. 70 viên

C. 24 viên

D. 23 viên

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Kim Liên – Hà Nội)
3
2

Lời giải. Thể tích của 1 viên phấn là  R 2 h    cm3 
Số viên phấn người đó đúc được là

330
 70 viên. Chọn B.
3

2

Câu 44. Cắt bỏ hình quạt tròn AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới) từ
một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình
quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x
là số đo góc ở tâm của hình quạt tròn dung lầm phễu, 0  x  2 . Tìm x để khối
nón có thể tích LỚN nhất?

A. x 

2 6

27

B. x 

2 6

3

C. x 

2 6

9

D. Đáp án khác

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Kim Liên – Hà Nội)


Lời giải. Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài AB của quạt tròn
dùng làm phễu nên ta có
2 r  Rx  r 

Rx
R2 x 2
R
 h  R2  r 2  R2 

2
2
2
4

1
3

Do đó thể tích của hình nón là V   r 2 h 
R3
Ta có V 
24 2

x

4

 4

2

x

2

  24

R3
2

2

4 2  x 2

R3 2

x 4 2  x 2
2
24

x 2 .x 2  8 2  2 x 2 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có
3

 x 2  x 2  8 2  2 x 2   8 2 
x .x  8  2 x   
 

3

  3 
2

2

2

3

2

Dấu "  " xảy ra khi x 2  8 2  2 x 2  x 2 

8 2
2 6

. Chọn B.
x
3
3

Câu 45.Một lon nước(bỏ đi hai nắp đậy) có dạng hình trụ với bán kính đáy bằng
R và chiều cao bằng 2R. Cắt lon nước theo một đường sinh rồi trải phẳng lon
nước ta được một hình chữ nhật. Tính chu vi của hình chữ nhật.

A. 2 R 2

B. 4 R 2

C. 2(1   )R

D. 4(1   )R

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Thăng Long – Hà Nội)
Lời giải. Chiều rộng của hình chữ nhật là chiều cao của lon nước nên chiều rộng là
2R

Chiều dài của hình chữ nhật là chu vi đáy nên chiều dài là 2 R
Do đó chu vi của hình chữ nhật là 2 R  2 R  2 1    R . Chọn C.


Câu 46. Một người có 150 triệu đồng đem gửi tiết kiệm tại ngân hàng theo hình
thức lãi kép liên tục với lãi suất không đổi là 0,58% một tháng. Sau ít nhất bao
nhiêu tháng người đó có 180 triệu đồng?
A. 28 tháng

B. 32 tháng

C. 34 tháng

D. 30 tháng

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Thăng Long – Hà Nội)
Lời giải.Gọi n là số tháng sau người đó có 180 triệu
Ta có 150 1  0,58%   180  n  31,52 nên ta lấy 32 tháng. Chọn B.
n

Câu 47. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu
sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của
hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần
hình trụ nhỏ nhất thi bán kính đáy gần số nào nhất?
A. 0,7

B. 0,6

C. 0,8

D. 0,5

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Trần Phú – Hà Nội)
Lời giải. Ta có V   r 2 h  2  h 

2
. Mặt khác diện tích toàn phân của hình trụ là
r2

2 
1 
1
2

 2 1
2 1
2 r 2  2 rh  2  r 2  rh   2  r 2 


  2  r 
  2 3 r . .
3
r 
r r 
r r


2

Dấu "  " xảy ra khi r 2 

1
1
1
  r 3  1  r 3   r  3  0,68  0,7 . Chọn A.
r



Câu 48. Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không
nắp có thể tích bằng

500 3
m . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều
3

rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước
của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là?
A. 74 triệu đồng

B. 75 triệu đồng

C. 76 triệu đồng

D. 77 triệu đồng

(Trích đề khảo sát chất lượng trường THPT Trần Phú – Hà Nội)
Lời giải. Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là a  chiều dài là 2a , chiều cao là h


Ta có a.2a.h 

500
250
h 2
3
3a

Diện tích vật liệu để làm bể là S  2a 2  2ah  4ah  2a 2  6ah  2a 2 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy là S  2a 2 

500
a

250 250
250 250

 3 3 2a 2 .
.
 150
a
a
a
a

Chi phí nhỏ nhất là 150.500000  75000000 . Chọn B.
Câu 49. Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt (như hình vẽ) có bán kính R  5 và
chu vi của hình quạt là P  8  10 , người ta gò tấm kim loại đó thành những chiếc
phểu hình nón theo hai cách
Cách 1: Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phểu.
Cách 2: Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung
quanh của hai cái phểu.
Gọi V1 là thể tích của cái phểu ở cách 1, V2 là tổng thể tích của hai cái phểu ở cách 2.
Tính

A.

V1
V2

V1 21

V2
7

B.

2 21
7

C.

V1
2

V2
6

D.

V1
6

V2
2

Lời giải.Chu vi hình tròn đáy ở cách 1 là 8  10  2.5  8  r1  4
1
3

Chiều cao của hình nón ở cách 1 là h1  R 2  r12  3  V1   r12 h1  16


Chu vi hình tròn đáy ở cách 2 là

8  10  2.5
 4  r2  2
2

1
3

Chiều cao của hình nón ở cách 2 là h2  R 2  r22  21  V2  2.  r22 h2 
Do đó ta có

8 21
3

V1
8 21 2 21
. Chọn B.
 16 :

V2
3
7

Câu 50. Hai bạn An và Bình có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài a , chiều
rộng b . Bạn An cuộn tấm bìa theo chiều dài cho hai mép sat nhau rồi dùng bang

dính dán lại được một hình trụ không có đáy có thể tích V1 (khi đó chiều rộng của
tấm bìa là chiều cao của hình trụ). Bạn Bình cuộn tấm bìa theo chiều rộng theo cách
tương tự trên được hình trụ có thể tích V1 . Tính tỉ số

A.

V1 a

V2 b

B.

V1 b

V2 a

Chu vi bán kính đáy của V2 là a  r2 

V1
 ab
V2

C.

Lời giải.Chu vi bán kính đáy của V1 là b  r1 

V1
.
V2

D.

V1
1

V2 ab

b
 ab 2 ab 2
 V1   r12 a 

2
4
4 2

a
 a2b a2b
 V2   r22 b 

2
4
4 2

V1 ab 2 a 2 b b
Do đó ta có

:
 . Chọn B.
V2 4 4 a

Câu 51. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình
trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường
kính quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S 2 là diện tích
xung quanh của hình trụ. Tỉ số
A.

3
2

B. 1

S1
bằng
S2

C. 2

Lời giải. Giả sử bán kính của quả bóng bàn là r
Tổng diện tích của ba quả bóng bàn là Sb  3.4 r 2  12 r 2

D.

6
5


Diện tích xung quanh của hình trụ là St  2 rh  2 r .6r  12 r 2
Do đó ta có

Sb 12 r 2


 1 . Chọn B.
St 12 r 2

Câu 52. Người ta thiết kế một bể chứa nước như hình 1 thể tích nước là 4m3 . Khi
đó h gần bằng với giá trị nào
sau đây

A. 2

B. 4

C. 1,5

D. 1

Lời giải. Ta thấy thể tích hình đó bằng thể tích hình trụ tròn cộng với thể tích hình
nón
2

h
h
Thể tích hình trụ tròn là    h 
4
2

Tổng thể tích hình đó là

 h3
4



 h3
12

3

2

1
h
 h3
. Thể tích hình nón là    h 
3 2
12

 4  h  1,5 . Chọn C.

Câu 53 (Toán Học Tuổi Trẻ) : Một cái tháp hình nón có chu vi đáy bằng 207,5 m.
Một học sinh nam muốn đo chiều cao của cái tháp đã làm như sau. Tại thời điểm
nào đó, cậu đo bóng của mình dài 3,32 m và đồng thời đo được bóng của cái tháp
(kể từ chân tháp) dài 207,5 m. Biết cậu học sinh đó cao 1,66 m, hỏi chiều cao của
cái tháp dài bao nhiêu m?
A. h  103,75 
GIẢI:

51,875


B. h  103 

51,87


C. h  103,75 

25,94


D. h  103,75


3,32
2L
1, 66

Ta có: tan  

Có: 2 R  207,5  R 
ABC có: tan  

h

207,5 

103, 75



207,5  R
2
h

103, 75

2



 103, 75 

51,875



=> Chọn đáp án A

Câu 54 (Sở GD&ĐT BẠC LIÊU): Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
60cm  200cm , người ta làm các thùng hình trụ và hình lăng trụ đứng có cùng
chiều cao 60cm theo hai cách sau (xem hình minh họa).
 Cách 1: Gò tấm tôn thành mặt xung quanh của hình trụ.
 Cách 2: Gò tấm tôn thành bốn mặt xung quanh của hình lăng trụ tứ
giác đều.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò theo cách 1 và V2 là thể tích của thùng gò theo
cách 2 . Tính tỉ số k 

V1
.
V2

B. k 

A. k  1 .

5



C. k 

.

4



.

D. k 


4

.

Giải
200
60

60
R

C  200  2 R

R

60

100



 V1   R h   .
2

1002



2

.60 

600000



20

0
50 50 50

50

Gò thành 4 mặt xung quanh 4 hình vuông => 1 cạnh của hình vuông: a 

200
 50cm
4

 V2  60.502  150000

k 

V1 4
 => Chọn đáp án C
V2 

Câu 55 (Trường THPT Lương Thế Vinh):Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam
duy trì ở mức 1,06%. Theo số liệu của Tổng cục thống kê, dân số ViệtNam năm
2014 là 90.728.600 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm 2050 dân số
Việt Nam là
A. 160.663.675 người.

B.132.616.875 người.

C. 153.712.400 người.

D. 134.022.614 người.



Giải: S  T 1  k



t2 t1



 90728600 1  1, 06%



2015 2014

 132,616875

Câu 56 (THPT Chuyên Hạ Long Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên
đất liền
ở vị trí A đến vị trí C trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là
BC  1km, khoảng cách từ A đến B là 4 km. Người ta chọn một vị trí là điểm S nằm giữa

A

và B để mắc đường dây điện đi từ A đến S , rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây. Chi
phí
mỗi km dây điện trên đất liền mất 3000 USD, mỗi km dây điện đặt ngầm dướibiển mất

5000 USD. Hỏi điểm S phải cách điểm A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dậy điện

là ít
nhất.

A.
B.
Giải:

3,25km
2km





C. 1km
D. 1,5km



Đặt SA  x 0  x  4  SB  4  x  SC  1  4  x



2

 x 2  8x  17