Chuyên đề: Số chính phương

Trường THCS Nhơn Tân Gv: Huỳnh Văn Rỗ
Ngày soạn: 27/01/2008
TUẦN 21
Ngày dạy: 31/01/2008
Chủ đề:
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Tiết 5, 6:
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ
CHÍNH PHƯƠNG.
I/ MỤC TIÊU:
1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan
cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương.
2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và
giảimột số dạng toán có liên quan.
3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.
II/ LÝ THUYẾT: (Tiết trước)
1/ Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
2/ Một số tính chất của số chính phương:
3/ Nhận biết một số chính phương:
4/ Hằng đẳng thức vận dụng:
(a
±
b)
2
= a
2

±
2ab + b
2
và a

2
– b
2
= (a + b)(a – b)
III/ BÀI TẬP:
BÀI TẬP BÀI GIẢI
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết
rằng trong 3 mệnh đề sau có 2
mệnh đề đúng và một mệnh đề
sai:
1/ n có chữ số tận cùng là 2
2/ n + 20 là một số chính phương
3/ n – 69 là một số chính phương
Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 có số tận
cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n – 69 có chữ số tận cùng
là 3. Một số chính phương không có chữ số tận cùng là 2
hoặc 3. Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái giã
thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) và (3) đúng.
Đặt n + 20 = a
2
; n – 69 = b
2
(a, b
∈
N và a > b)
=> a
2
– b
2
= 89 => (a + b)(a – b) = 89.1

Do đó:
a b 89
a b 1
+ =


− =

suy ra a = 45. Vậy n = 45
2
– 20 = 2005
Bài 2: Cho N là tổng của 2 số
chính phương. Chứng minh rằng:
a/ 2N cũng là tổng của 2 số chính
phương.
b/ N
2
cũng là tổng của 2 số chính
phương.
Gọi N = a
2
+ b
2
(a, b
∈
N)
a/ 2N = 2a
2
+ 2b
2

= a
2
+ b
2
+ 2ab + a
2
+ b
2
– 2ab
= (a + b)
2
+ (a – b)
2
là tổng của 2 số chính phương.
b/ N
2
= (a
2
+ b
2
)
2
= a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
2

= a
4
– 2a
2
b
2
+ b
2
+ 4a
2
b
2
= (a
2
– b
2
)
2
+ (2ab)
2
Bài 3: Cho A, B, C, D là các số
chính phương. Chứng minh rằng:
(A + B)(C + D) là tổng của 2 số
chính phương.
Theo bài toán thì: A = a
2
; B = b
2
; C = c
2

; D = d
2
;
Nên: (A + B)(C + D) = (a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
) =
= a
2
c
2
+ a
2
d
2
+ b
2
c
2
+ b
2
d
2
= a
2

c
2
+ b
2
d
2
+ 2abcd – 2abcd +
a
2
d
2
+ b
2
c
2
= (ac + bd)
2
+ (ad – bc) là tổng của 2 số chính
Tự chọn 7; Năm học 2007 – 2008
Trường THCS Nhơn Tân Gv: Huỳnh Văn Rỗ
phương.
Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z
sao cho: x = y + z. Chứng minh
rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng của
3 số chính phương.
Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)
2
= 0
=> x
2

+ y
2
+ z
2
– 2xy – 2xz + 2yz = 0
=> 2(xy + xz – yz) = x
2
+ y
2
+ z
2
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số
nguyên thoả mãn: a – b = c + d.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
+
d
2
luôn là tổng của 3 số chính
phương.
Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0
=> 2a(a – b – c – d) = 0
Nên ta suy ra:
a
2
+ b

2

+ c
2
+ d
2
= a
2
+ b
2

+ c
2
+ d
2
+ 2a(a – b – c – d)
= (a – b)
2
+ (a – c)
2
+ (a – d)
2
Bài 6: Cho 2 số chính phương
liên tiếp. Chứng minh rằng tổng
của 2 số đó cộng với tích của
chúng là một số chính phương lẻ.
Ta có: n
2
+ (n + 1)
2

+ n
2
(n + 1)
2
= n
4
+ 2n
3
+ 3n
2
+ 2n + 1 =
= (n
2
+ n + 1)
2
n
2
+ n là một số chẵn n
2
+ n + 1 là một số lẻ.
Suy ra (n
2
+ n + 1)
2
là một số chính phương lẻ.
Bài 7: Cho a
n
= 1 + 2 + 3 + ... + n
a/ Tính a
n+1

b/ Chứng minh rằng a
n
+ a
n+1
là
một số chính phương
a/ Từ bài toán ta suy ra: a
n+1
= 1 + 2 + 3 + ... + (n + 1)
b/ a
n
+ a
n+1
=
(1 n)n
2
+
+
(1 n 1)(n 1)
2
+ + +
=
(n 1)(n n 2)
2
+ + +
=
= (n + 1)
2
IV/ RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG:
Tự chọn 7; Năm học 2007 – 2008