Đưa bài toán biên cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai về phương trình tích phân trên biên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------

BÙI THỊ THANH AN

ĐƯA BÀI TOÁN BIÊN CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------

BÙI THỊ THANH AN

ĐƯA BÀI TOÁN BIÊN CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Thái Nguyên, 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
1.1

1.2

5

Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp
hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . . . .

5

1.1.2

Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến
tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3

9

Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Hàm số Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Công thức biểu diễn tích phân Stokes . . . . . . . . . . . . . . 12
1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1.5

Nghiệm cơ bản và hàm số Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Toán tử tích phân và phương trình tích phân

16

2.1

Toán tử tích phân miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Toán tử tích phân lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3

Toán tử tích phân lớp kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4

Phương trình tích phân trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Đưa bài toán biên về phương trình tích phân

30

3.1

Đưa bài toán Dirichlet về phương trình tích phân . . . . . . . 30

3.2

Đưa bài toán Neumann về phương trình tích phân . . . . . . . 33

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Tài liệu tham khảo

39

2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Lời mở đầu

Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, một trong các phương pháp
nghiên cứu bài toán biên cho phương trình elliptic thường là được đưa về
phương trình tích phân trên biên. Trong các giáo trình thông thường, vấn
đề này được trình bày cho các bài toán Dirichlet và Neumann cho phương
trình Poisson.
Vấn đề trên cần được tổng quan và trình bày cho các bài toán biên nói
trên đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.

Bản luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương. Cụ thể là:
Chương 1: Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về các
bài toán biên Dirichlet và Neumann cho phương trình elliptic tuyến tính cấp
hai, công thức Green, hàm số Levi, công thức biểu diễn tích phân Stokes,
nghiệm cơ bản và hàm số Green.
Chương 2: Toán tử tích phân và phương trình tích phân
Chương này giới thiệu một số toán tử tích phân, cụ thể là: toán tử tích
phân miền, toán tử tích phân lớp đơn, toán tử tích phân lớp kép và phương
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

trình tích phân trên biên.
Chương 3: Đưa bài toán biên về phương trình tích phân
Chương này trình bày việc đưa các bài toán Dirichlet, Neumann về phương
trình tích phân.
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo
của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Dưới sự hướng dẫn của thầy, tôi đã bước đầu
làm quen và say mê hơn trong nghiên cứu toán. Nhân đây, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô trong Viện Toán học
Việt Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận tốt nghiệp
này.
Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại học - trường
ĐH Sư phạm, ĐH Thái Nguyên, các anh chị học viên lớp cao học toán khoá
16 và bạn bè đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập tại trường .
Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình: bố, mẹ và em
trai đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này.

4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1
Bài toán biên cho phương trình
elliptic tuyến tính cấp hai

1.1

Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic
tuyến tính cấp hai

1.1.1

Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Định nghĩa 1.1.1. Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x1 , ..., xn ), các
biến độc lập xi và các đạo hàm riêng của nó được gọi là một phương trình vi
phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng cho gọn). Nó có dạng
∂u
∂u
∂ku
F (x, u(x),
, ...,
, ..., k1
, ...) = 0
∂x1
∂xn
∂x1 ...∂xknn
trong đó F là một hàm nào đó của các đối số của nó, với kí hiệu
x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , u(x) = u(x1 , ..., xn ).
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi
là cấp của phương trình.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Phương trình được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với ẩn hàm và
các đạo hàm riêng của ẩn hàm.

Xét m2 + m + 1 hàm thực aik (x), bi (x), c(x)(i, k = 1, 2, ..., m) xác định
trong miền Ω. Kí hiệu M là toán tử tuyến tính bậc hai
m

M=
i,k=1

∂2
aik
+
∂xi ∂xk

m

bi
i=1

∂
+ c.
∂xi

Ta giả thiết aik (x) = aki (x), ta nói M thuộc loại elliptic nếu dạng toàn
phương tương ứng
m

aik (x)ξi ξk
i,k=1

¯ là một dạng xác định mà ta luôn có thể giả thiết là xác định
với mọi x ∈ Ω,
dương.
M được gọi là elliptic đều trong Ω nếu aik là đo được trong Ω và nếu tồn
tại một hằng số a0 > 0 sao cho với x ∈ Ω và tất cả các bộ m số thực
(ξ1 , ξ2 , ..., ξm ) :
m

m

ξi2

a0
i=1

≤

m

aik (x)ξi ξk ≤

a−1
0

ξi2 .

(1.1)

i=1

i,k=1

¯ thì tính elliptic đều là
Hiển nhiên nếu Ω bị chặn và các aik liên tục trong Ω
hệ quả của tính elliptic. Hằng số a0 gọi là hằng số elliptic của toán tử M.

Định nghĩa 1.1.2. Nếu f (x) là một hàm xác định trong Ω, ta có phương
trình đạo hàm riêng
m

i,k=1

∂ 2u
+
aik
∂xi ∂xk

m

bi
i=1

∂u
+ cu = f.
∂xi

6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(1.2)


Hàm u(x) gọi là một nghiệm thông thường của phương trình (1.2) trong Ω
nếu u(x) khả vi liên tục hai lần trong Ω và thoả mãn (1.2) tại mọi điểm của
Ω.

1.1.2

Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai

Trong luận văn sẽ xét hai bài toán biên sau đây đối với phương trình
elliptic (1.2):
A. Bài toán Dirichlet
Nội dung của bài toán Dirichlet là tìm nghiệm u(x) trong T của phương
trình (1.2) sao cho
u(x) = ϕ(x),

∀x ∈ ∂T

(1.3)

trong đó ϕ(x) là hàm số cho trước trên ∂T .

B. Bài toán Neumann

Giả sử x ∈ ∂T . Ta kí hiệu n là vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại điểm x với
các thành phần toạ độ là X1 , X2 , ..., Xm tức là
n = (X1 , X2 , ..., Xm )

(1.4)

trong đó
2
X12 + X22 + ...Xm
= 1.

Ta kí hiệu ν là vectơ đối pháp tuyến (conormal) tại điểm x với các thành

7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




phần toạ độ là Y1 , Y2 , ..., Ym
1
Yi =
a
m

m

aik Xk
k=1

m

2

aik Xk

a=
i=1

1
2

.

(1.5)

k=1

Đạo hàm của hàm u(x) theo hướng ν tại điểm x ∈ ∂T được tính theo công
thức
du(x)
=
dν

m

j=1

∂u(x)
Yj

∂xj

(1.6)

Nội dung của bài toán Neumann là tìm nghiệm u(x) của phương trình (1.2)
sao cho
a

du(x)
= ϕ(x),
dν

x ∈ ∂T

(1.7)

trong đó ϕ(x) là hàm số cho trước trên ∂T .

1.2
1.2.1

Công thức Green
Công thức Green

Trong mục này giả sử các hàm aik và
m

ei = bi −
k=1

∂aik
∂xk

(1.8)

thuộc lớp C (1) trong miền Ω; dưới giả thiết này Mu có thể cho bởi công thức:
m

Mu =
i,k=1

∂
∂u
aik
+
∂xk
∂xi

m

ei
i=1

∂u
+ cu.
∂xi

8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(1.9)


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....