CHUYÊN ĐỀ TOÁN DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ĐA THỨC.

CHUYÊN ĐỀ TOÁN
DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC HOẶC
TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ĐA THỨC.
Thời gian: ngày tháng năm 2016.
Người báo cáo: Nguyễn Thị Thu Hoài
Nội dung
I. Lý thuyết
Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về đa thức chiếm một số
lượng rất nhiều. Trong đó việc xác định một đa thức có ý nghĩa thực tiễn rất lớn và
cũng mang lại nhiều ứng dụng trong quá trình giải các bài toán liên quan đến đa
thức.
Các nhiều phương pháp để giải bài toán xác định đa thức chủ yếu là dùng đa
thức thuần nhất; hai đa thức đồng nhất; định lý Bơ du; hệ số bất định khi xác định
đa thức bậc n mà đã biết n + 1 giá trị của nó. Song có nhiều bài toán không thể tìm
được đa thức bằng cách trực tiếp mà phải dùng phương pháp dùng đa thức phụ để
xác định đa thức hoặc tính giá trị riêng của đa thức.
II. Bài tập
Bài toán 1:
Cho đa thức f(x) bậc 4 với hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 10,
f(2) = 20, f(3) = 30.
f(12) + f(-8)
+15
10

Tính:

Phân tích bài toán:
- Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x)
= f(x) + h(x).
- Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x).
Thuật toán tìm đa thức phụ.

Bước 1:
Đặt g(x) = f(x) + h(x) ở đó h(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x)
đồng thời bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x)


Trong đề bài bậc của h(x) nhỏ hơn 3 nghĩa là:
g(x) = f(x) + ax2 + bx + c
Bước 2:
Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0.
 0 = 1+ a + b + c

Tức là: 0 = 20 + 4a + 2b + c
 0 = 30 + 9a + 3b + c


Giải hệ phương trình được : a = 0; b = -10; c = 0
Theo phương pháp hệ số bất định:
Suy ra:

h(x) = - 10x

Hay:

g(x) = f(x) – 10x

Giải:
Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x ⇒ g(1) = g(2) = g(3) = 0
Do bậc f(x) là bậc 4 nên bậc của g(x) là 4 và g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – 3
suy ra:
g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0)

⇒ f(x) = g(x) + 10x = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) + 10x

Ta có f(12) = (12 – 1)(12 – 2)(12 – 3)(12 – x0) + 10.12
= 11.10.9. (12 – x0) + 10.12 = 10.[99.(12 – x0) + 12]
f(-8) = (-8 – 1)(-8 – 2)(-8 – 3)(-8 – x0) + 10.(-8)
= (-11).(-10).(-9). (-8 – x0) + 10.(-8) = -10.[99.(-8 – x0) + 8]
Suy ra: f(12) + f(-8) = 10.[99.(12 – x0) + 12] + (-10).[99.(-8 – x0) + 8]
= 10(1200 – 99x0 + 784 + 99x0)
= 10.1984
Ta tính được:

f(12) + f(-8)
+15 = 1984 +15 = 1999
10

Bài toán 2:
Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6)
Phân tích bài toán:


- Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x)
= f(x) + h(x).
- Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x).
Giải:
+ Tìm đa thức phụ:
Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(5) = 0
⇔ a, b, c là nghiệm của hệ phương trình

 0 = 3+a + b + c


 0 = 11+ 9a + 3b + c
0 = 27 + 25a + 5b + c


Giải hệ ta được: a = - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – 2
+ Tính giá trị f(x):
Bậc f(x) là bậc 4 nên g(x) là bậc 4 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x –
5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0)
⇒ f (x) = g(x) − ( − x 2 − 2) = (x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − x 0 ) + x 2 + 2

Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112
Bài toán 3:
Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x 3 là một số nguyên, thoả mãn
f(1999) = 2000 và f(2000) = 2001.
Chứng minh rằng f(2001) – f(1998) là hợp số.
Phân tích bài toán:
- Đa thức bậc 3 mà mới biết hai giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x)
= f(x) + h(x).
- Bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x).
Giải:
+ Tìm đa thức phụ.
Đặt g(x) = f(x) + ax + b. Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0 tương đương với
 0 = 2000 +1999.a + b

a, b là nghiệm của hệ: 

0 = 2001+ 2000.a + b

Giải hệ ta được : a = b = - 1
Nên đặt g(x) = f(x) – x – 1
+ Tính giá trị của f(x):
Giả sử k ∈ Z là hệ số của x3 của đa thức f(x). Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc
g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên:
g(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0); f(x) = g(x) – (–x – 1)
⇒ f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + 1

Ta có f(2001) = k . 2 . 1 . 2001 + 2002 = 2k . 2001 + 2002
f(1998) = k. (-1) . (-2) . 1998 + 1999 = 2k . 1998 + 1999
⇒ f(2001) – f(1998) = 2k . 2001 + 2002 – 2k . 1998 + 1999

Tính được f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1)
Vì 3(2k + 1) là hợp số. Vậy f(2001) – f(1998) là hợp số.
Bài toán 4:
Tìm đa thức bậc 3 biết rằng khi cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x – 3 đều dư
6 và f(-1) = -18.
Phân tích bài toán:
- Đa thức cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x –3 đều dư 6, theo định lý Bơ du ta có
f(1) = f(2) = f(3) = 6. Tìm đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) với h(x) có bậc là 2.
- Bậc của f(x) là 3, có ba giá trị của đa thức nên hệ số của f(x) phụ thuộc vào tham
số.
Giải:
+ Tìm đa thức phụ:
Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) = 6
Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0

 0=6+a +b+c

⇔ a, b, c là nghiệm của hệ 0 = 6 + 4a + 2b + c

 0 + 6 + 9a + 3b + c

Giải ra ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – 6
Với g(1) = g(2) = g(3) = 0
+ Xác định f(x):


Do bậc f(x) là 3 nên bậc g(x) là 3 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 2); (x – 3)
⇒ g(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) (n là hệ số của x3 trong đa thức f(x)).
⇒ f(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) + 6
Mặt khác f(-1)= -18 ⇒ n = 1 ⇒ f(x) = x3 – 6x2 + 11x.
III. Bài tập đề nghị
Bài 1: Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia cho x 2 + 1 dư 2x + 3. Tìm số
dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1).
Bài 2: Xác định a, b để đa thức: ax 3 + 12x2 + bx + 1 là lũy thừa bậc 3 của một đa
thức khác.
Bài 3: Tìm các số a, b, c để x3 – ax2 + bx – c = (x – a)(x – b)(x – c)
Bài 4: Tìm đa thức dư của phep chia x30 + x4 + x2015 + 1cho x21
Bài 5: Tìm giá trị của a để đa thức f(x) = x 4 + 5x3 – 2x2 + ax + 40 chia hết cho đa
thức x2 – 3x + 2 khi đó giá trị nhỏ nhất của thương là bao nhiêu?