CHƯƠNG 2 bài GIẢNG điện tử XSTK

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng
có thể ngẫu nhiên nhận một số giá trị với các
xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá
trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp
tất cả các giá trị có thể có của nó lấp đầy ít
nhất 1 khoảng trên trục số.
1


§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
Định nghĩa 2.1:

    xi   pi , i  1, 2,3,...k

X

x1

x2

x3

...

xk

(...)

P

p1

p2

p3

...

pk

(...)

(…) vô hạn

Chú ý:



pi  1

i

Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác suất
trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là số đạn đã bắn ra cho

đến khi dừng lại.
b)Tính xác suất để X > n-1.
c)Tính xác suất để X= m nếu X> n-1, m > n .
X
1
2
3
...
k
...
a)
P
p q p q 2 p ... q k  1 p ...
2


P ( X  n  1)  P( X  n)  q n 1

b)
c)

P ( X  m) q m 1. p
P ( X  m / X  n) 
 n 1  q m  n . p
P ( X  n)
q

Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác
suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng
hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng. Hãy lập bảng phân phối xác

suất của X là số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại.Tính xác
suất để X= m nếu X> n-1, 20>m > n .
X

1

2

3

...

19

20

P

p

qp

q2 p

...

q 18 p

q 19

P ( X  m) q m 1. p
P ( X  m / X  n) 
 n 1  q m  n . p
P ( X  n)
q
3


2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng
ngẫu nhiên X là: FX ( x)  F  x     X  x 
Tính chất:
1.F(x) là hàm không giảm
các t/c đặc trưng
2. F     0, F     1
3. a  X  b   FX b   FX a 
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì
F X  x  liên tục trên toàn trục số
• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì  X  x0   0, x0
Chú ý: Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1
điểm không có ý nghĩa
4


• Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như
trên.Khi ấy

FX  x    pi
xi  x

Ví dụ 2.3:
X
P

2 x 5
7
0,1 | 0,5 0, 4

0
 0,1

 FX  x   
 0, 6
1

khi x  2
khi 2 khi 5khi 7 < x

Chú ý: Hàm phân phối FX x   0 bên trái miền giá trị
của X và FX  x  1 bên phải miền giá trị của X,nghĩa là
giả sử X  [a, b] , khi ấy
0

 FX  x    ?
1


khi x  a

khi a khi b < x
5


3.Hàm mật độ xác suất ( chỉ dùng cho đại lượng ngẫu
nhiên liên tục)
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu
/
nhiên X liên tục là:

f X  x   f  x    FX  x   x

• Định lý 2.1:

x

FX  x  



f X  t  dt



• Tính chất:

1 f ( x )  0


2 





 -tính chaát ñaëc tröng
f ( x )dx  1 


(3) P ( a  X  b ) 

b



f X ( x ).d x

a

6


Chú ý: Hàm mật độ f X  x   0 bên ngoài miền giá trị
của X.
• Ví dụ 2.4:
a cos 2 x, x   0,  / 2
X ~ f ( x)  
x   0,  / 2
0,

• 1.Xác định a


1

 /2

 f (x)dx  



0

a
sin2x 
 x 

2
2 

a
a cos xdx 
2
2

 /2
0

 /2

 1  cos2x dx
0

a 
4
 . a
2 2

7


2. Hãy tìm hàm phân phối FX  x 
0 , neáu x  0
x
x
2  sin2x 

 4 2
FX x   f t dt   cos tdt   x 
 , neáu 0  x 

2 
2

0 
1 , neáu x   / 2






3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:

  / 4,  / 4 
   / 4  X   / 4  F  / 4  F   / 4
 /4

   / 4  X   / 4 



 /4

 /4

f  x dx 



(4 /  )cos2 xdx

0

8


Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào
rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi.
a)Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người

và tổng số bóng của cả 2 người nếu xác suất lọt rổ
của người thứ nhất, thứ hai là p1, p2 .
b)Tính xác suất để người thứ 2 ném lọt rổ trước.
q1  1  p1 , q2  1  p2
Giải:
• X là số bóng của người thứ 1
• Y là số bóng của người thứ 2
• Z là tổng số bóng của cả 2 người.
• A là biến cố người thứ 2 ném lọt rổ trước.
9


X

1

P

p1  q1 p2  1  q1q2

Y

0

P

p1

2

k

...

...

q1q2 ( p1  q1 p2 ) ... q1k 1q2k 1  p1  q1 p2  ...

1

2

k

...

...

 q1  p2  q2 p1     q1 1  q2 q1   q1q2 ... ... q1k 1q2k 1 ... ...

 


Z
2k  1
P q1k 1q2k 1 p1





k
1

P( A)   P ( Z  2k )   q q
k 1

2k
, k=1,2,...,n,...
k k 1
q1 q2 p2

k 1

k 1
2

p2  q1 p2  (q1q2 )
k 1

k 1

1
 q1 p2
1  q1q2
10


§3: Véc tơ ngẫu nhiên
I. Vectơ ngẫu nhiên

Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên được xác
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy X  ( X 1 , X 2 ,..., X n )
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:

    xi , Y  y j   pij , i  1, k ; j  1, h

11


Y

x1
x2

y1
p1 1
p 21

y2
p1 2
p 22

...
...
...

yh
p1h

p2h

...
xk

...
pk1

...
pk2

...
...

...
p kh

X

12


2. Bảng phân phối xác suất lề ( riêng) của X và Y
h

pi  



 

 xi

p i j , i  1, k

j 1

q

j

  Y  y

k

 

j

p i j , j  1, h

i 1

3. Điều kiện độc lập của X và Y
X và Y độc lập   i , j : p ij  p i .q j
4. Các bảng phân phối xác suất có điều kiện.
 ( X
 (Y





x
y

i

j

/ Y
/ X




y

j

) 

xi ) 

p

ij

q

j

p

ij

p

i

, i  1, k
, j  1, h
13


y
Y

y1

y2

x1

P11

x2

…

yh

Px

P12

P1h

P1

P21

P22

P2h

P2

xk

Pk1

Pk2

Pkh

Pk

PY

q1

q2

qh

1

X

x

…

14


5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)

F  x, y     X  x, Y  y 
Định nghĩa 3.1:
Tính chất:
(1) F  x, y  là một hàm không giảm theo từng biến
(2) F(, )  0, F(, ) 1
(3) (a  X  b, c  Y  d )  F (a, c)  F (b, d )  F (a, d )  F (b, c)
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ
mặt phẳng và xác suất trên một đường cong bất kỳ đều
bằng 0.
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như
trên, khi ấy ta có:
F (x, y) 

p



ij

xi  x
y j  y
15


y

d

c









a

b

x

16


Ví dụ 3.1: Giả sử X,Y có bảng phân phối xác suất sau:

Y

3

5

0

0,1

0,2

2

0,3

0,4

X

17


y
Y

3

5

0

0,1

0,2

0,3

2

0,3

0,4

0,7

Y

0,4

0,6

1

X

x



X

18


X
P

0
0,3

2
0,7

0, 2
0, 6

2
0, 4
0, 6

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
0,1  0,3.0, 4  X , Y là phụ thuộc
X

0
(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:
P

X |Y  5

(4)Tìm hàm phân phối:
0,
0.1,

F  x, y   0.1  0.2,
0.1  0.3,

1,

x  0 y  3
0  x  2,3  y  5
0  x  2,5  y
2  x,3  y  5
2  x,5  y
19


III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)
2.Hàm mật độ xác suất đồng thời:
Định nghĩa 3.2:

f

x, y 

Định lý 3.2:

 2F x, y 

xy

x

y

F  x, y    
f  u, v  dudv





Dxy
20


HÌNH 3.1
21


Tính chất:
(1 ) f  x , y



0



( 2 )  f ( x , y ) d x d y  1  T C D T

R2

(3)    X , Y   D    f  x , y  dxdy
D

3. Các hàm mật độ xác suất lề (riêng).

fX
fY



 x   

 y   

f

x, y dy

f

x, y dx
22


.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề (riêng) :

F

X

FY

x  
y 

F
F

x ,   
  , y 

4.Điều kiện độc lập của X và Y
X,Y độc lập  f  x, y   f

 x  . fY  y 
 F  x, y   FX  x  .FY  y 
X

5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:

f

X /Y  y

fY

/ X  x

0

0

f

(x) 
( y ) 

f

x , y 0 
fY  y 0 

x 0 , y 
f X x 0 
23


Ví dụ 3.2: Cho

 




 a .e  x  y , n e áu 0    x    y < + 
f  x, y   
 0
, n e áu tr a ùi la ïi .

1.Xác định tham số a.

1

 f  x , y  d x d y
R

 a

2


0

e

2 x

 a


0

dx


x

e

 x y

dy

a
dx 
 a  2
2
24


(2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề.


fX  x   f  x, y dy 


0 , neáu x  0 ;
   x y
(hình 3.2)
2x
x 2e dy  2e , neáu x  0

fY  y  







f  x, y  dx
25