chuyên đề trắc nghiệm ứng dụng tích phân

*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Tác giả: LÊ BÁ BẢO (CLB Giáo viên trẻ TP Huế)

TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ:

ỨNG DỤNG CỦA TÍNH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Chủ đề 3:
Ứng dụng 1:

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I. LÝ THUYẾT
Bài toán 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f  x  liên tục trên đoạn
b

 a; b  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b được tính theo công thức:

S   f  x  dx

(1)

a

Minh họa các dạng thường gặp:
f  x   0, x  a; b .

f  x  không mang 1 dấu trên

f  x   0, x  a; b .

 a; b  .
y

f(x)

y

y
x
O

a
(H)

(H)

b

c
a

x

(H)

f(x)

b

a

b
O

x
O

f(x)

b

b

S   f  x  dx

S     f  x   dx
a

a

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

1

c

b

a

c

S   f  x  dx     f  x   dx

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Lưu ý:
Bằng cách xem x là hàm của biến y , tức là x  g  y  , diện tích S

y

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x  g  y  liên tục trên

b

g(y)

đoạn  a; b  , trục tung và hai đường thẳng y  a, y  b được tính
b

theo công thức:

S   g  y  dy

(H)

(2)

a

a

x

O

Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f  x  , g  x  liên tục trên
b

 a; b  và hai đường thẳng x  a, x  b được tính theo công thức:

S   f  x   g  x  dx

(3)

a

Minh họa các dạng thường gặp:
f  x   g  x  , x  a; b .

f  x   g  x  , x  a; b .

f  x   g  x  , x  a; c  ;

f  x   g  x  , x  c; b ;  a  c  b  .
y

y

(H)

(H)

g(x)
x

x
a

(H)

f(x)

g(x)
O

f(x)

y

g(x)

f(x)

b

a

O

x

b

O

a

c

b

b

b

S    f  x   g  x   dx

S    g  x   f  x   dx
a

a

c

b

a

c

S    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx

Lưu ý:
Bằng cách xem x là hàm của biến y , diện tích S của hình phẳng

y

giới hạn bởi các đồ thị hàm số x  f  y  , x  g  y  liên tục trên

b

đoạn  a; b  và hai đường thẳng y  a, y  b được tính theo công

g(y)

f(y)
(H)

b

thức:

S   f  y   g  y  dy

(4)

a

a

O

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

2

x

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]
Bài toán 3:

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đƣờng cong

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị được chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi

phần ta có thể tích theo công thức (1), (2), (3) và (4).
Minh họa các dạng thường gặp:
f  x   h  x  , x  a; c  ;

f  y   g  y  , y  a; c  ;

g  x   h  x  , x  c; b ;  a  c  b  .

f  y   h  y  , y  c; b ;  a  c  b  .

g(x)

y

y
b

f(x)

g(y)

(H 1 )

f(y)

c

(H 1 )

(H 2 )

h(x)

h(y)

(H 2 )

O

O

a

c

c

b

a

c

b

x

a

x

c

b

a

c

S    f  y   g  y  dy    f  y   h  y  dy

S    f  x   h  x   dx    g  x   h  x   dx
II. PHƢƠNG PHÁP

Phương pháp: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân (thêm cận trung gian) để tính tích phân
chƣa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ).
+) Tính chất: Hàm số y  f  x  liên tục trên K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) và a, b, c là ba số bất
kì thuộc K . Khi đó, ta có:

b

c

b

a

a

c

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
b

S   f  x   g  x  dx

Chú ý: Khi áp dụng công thức (3):

, ngoài việc khử dấu GTTĐ như phương

a

pháp đã trình bày ở trên, ta có thể khử dấu GTTĐ theo phương pháp sau:
Bước 1: Giải phương trình

f  x  g  x  0

trên

 a; b  , giả sử có các nghiệm

c , d   a; b ;  a  c  d  b . Khi đó, f  x   g  x  không đổi dấu trên các đoạn a; c  ; c; d  ; d; b .

Tức là:
b

c

d

b

a

a

c

d

Bước 2: S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

3

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

c

d

b

a

c

d

   f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx .
Phương pháp 2: Phác thảo dạng đồ thị và đưa ra kết quả.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới

y

hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và

f(x)

hai đường thẳng x  a, x  b như hình vẽ bên.
(H)

Khẳng định nào sau đây đúng?

x
O

a

b

A. S   f  x  dx.

a

a

B. S     f  x   dx.

b

b
b

C. S   f  x  dx.

a

D. S   f  x  dx.

b

a

Lời giải:
b

Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả: S   f  x  dx.
a

 Chọn đáp án D.
Câu 2: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới

y

hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và

f(x)

hai đường thẳng x  a, x  b như hình vẽ bên.
b

c

Khẳng định nào sau đây đúng?
O

b

A. S   f  x  dx.

a

B. S 

a

x

(H)

b

 f  x  dx .
a

c

b

a

c

C. S   f  x  dx   f  x  dx.

c

b

a

c

D. S   f  x  dx   f  x  dx.

Lời giải:
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân và chia đoạn  a; b 
c

b

a

c

thành hai đoạn thành phần

 a; c  ; c; b , ta có kết quả: S   f  x  dx   f  x  dx.

 Chọn đáp án C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

4

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Câu 3: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới

y

hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  và

f(x)

hai đường thẳng x  a, x  b như hình vẽ bên.

(H)
g(x)

Khẳng định nào sau đây đúng?

x
a

O

A. S 

b

b

a

a

b

b

b

a

a

b

b

a

a

 g  x  dx   f  x  dx .

B. S   f  x  dx   g  x  dx.

b

b

a

a

D. S   f  x  dx   g  x  dx.

C. S   g  x  dx   f  x  dx.
Lời giải:

Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y  f  x  , Ox và hai đường thẳng
b

x  a; x  b  S1   f  x  dx.
a

Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y  g  x  , Ox và hai đường thẳng
b

x  a; x  b  S2   g  x  dx.
a

b

b

a

a

Vậy S  S1  S2   f  x  dx   g  x  dx.

 Chọn đáp án B.
Câu 4: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới

f(x)

y

hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  và

g(x)

hai đường thẳng x  a, x  b như hình vẽ bên.

(H)

Khẳng định nào sau đây đúng?

x
O
c

b

a

c

c

b

a

c

a

c

b

b

A. S    g  x   f  x  dx    f  x   g  x  dx.

B. S    f  x   g  x   dx .
a

C. S    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx.

D. S 

c

b

a

c

 f  x  dx   g  x  dx .

Lời giải:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

5

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng
c

x  a; x  c  S1    f  x   g  x  dx.
a

Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng
b

x  c; x  b  S2    g  x   f  x  dx.
c

c

b

a

c

Vậy S  S1  S2    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx.

 Chọn đáp án C.
Câu 5: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y

f(x)

các đồ thị hàm số y  f  x   x4  2x2 và trục hoành
như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây sai?

- 2

2

O

x

A. S 

2

2

B. S  2  f  x  dx.

 f  x  dx.

 2

0

2

C. S  2    f  x   dx.

0



D. S 

 2

0

  f  x   dx 

2

  f  x  dx.
0

Lời giải:
Hình phẳng đối xứng qua Oy nên S 

2

0

 f  x  dx  2 

 2

 2

2

  f  x  dx  2   f  x  dx.
0

 Chọn đáp án B.
Câu 6: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới

y

hạn bởi đồ thị hàm số x  g  y  , trục tung và hai

b

đường thẳng y  a, y  b như hình vẽ bên.

g(y)

(H)

Khẳng định nào sau đây đúng?
a

x

O
b

A. S   g  y  dx.
a

a

b

B. S   g  y  dy.

C. S   g  y  dy.

b

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

a

6

D. S 

b

 g  y  dx .
a

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Lời giải:
b

Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả: S   g  y  dy.

a

 Chọn đáp án C.
Câu 7: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới

g(y)

y

hạn bởi các đồ thị hàm số x  f  y  , x  g  y  và

b

f(y)

hai đường thẳng y  a, y  b như hình vẽ bên.
c

Khẳng định nào sau đây đúng?

a

x

O
c

b

a

c

c

b

a

c

b

A. S    g  y   f  y  dx    f  y   g  y  dx.

B. S    f  y   g  y   dy .
a

b

C. S    g  y   f  y  dy    f  y   g  y  dy.

D. S    f  y   g  y   dy .
a

Lời giải:

Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x  f  y  , x  g  y  và hai đường thẳng
c

y  a; y  c  S1    g  y   f  y   dy.
a

Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x  f  y  , x  g  y  và hai đường thẳng
b

y  c; y  b  S2    f  y   g  y   dy.
c

c

b

a

c

Vậy S  S1  S2    g  y   f  y   dy    f  y   g  y  dy.

 Chọn đáp án C.
x
x
Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e ; y  e ; x  1.

A.

e 2  2e  1
.
e

B.

e 2  2e  1
.
e

C.

e 2  2e  1
.
e

D.

e 2  2e  1
.
e

Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: e x  e  x  x  0.
1

S   e e
x

0

x

dx 

1

 e

x

e

x

 dx   e

x

e

x

0

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...



1
0

e 2  2e  1
ee 2

.
e
1

7

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

 Chọn đáp án B.
Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  4x  1 , y  m, (m  3) , x  0, x  3 là:
A. 3m  6 .

B. 3m  6 .

C. 3m  6 .

D. 3m  6 .

Lời giải:
Ta có: x2  4x  1   x  2   3  3, x
2

3

Do đó S  

0



3

 x3

x  4 x  1  m dx    2 x 2  x  mx   6  3m .
 3
0



2

 Chọn đáp án D.
Câu 10: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  2x  1 , y  m, (m  2) ,

x  0, x  1 . Tìm m sao cho S  48 :
A. m  4 .

B. m  6 .

C. m  8 .

D. m  10 .

Lời giải:
Ta có: x2  2x  1    x  1  2  2, x

2

3

Do đó S  
0



3



x3
m  x 2  2 x  1 dx   mx   x 2  x   3m  24 .
3

0



S  48  3m  24  48  m  8

 Chọn đáp án C.
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  2x  1 , y  x  1 , x  0,
x  m,  0  m  3  bằng:

m 3 3m 2
A.
.


3
2

m 3 3m 2

B. 
.
3
2

m3 m2

 2m .
C.
3
2

m3 m2

 2m .
D.
3
2

Lời giải:
Ta có: x2  3x  0, x  0; m . Vì 0  m  3
m

m

0

0

Do đó S   x 2  3x dx   



m

 x 3 3x 2 
3m 2 m 3
.
x 2  3x dx    

 
2 0
2
3
 3



 Chọn đáp án B.
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  2x  1 , y  x  1 , x  0, x  m,  m  0 
bằng

5
. Khi đó giá trị m bằng:

6
A. 3 .
B. 2 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

8

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Ta có: x2  x  0, x  m; 0  .
0

0

Do đó S   x  x dx  
2

m



m

0

 x3 x2 
m2 m3
.
x  x dx     

2
3
 3 2 m



2

5
m2 m3 5
S 

  m  1
6
2
3 6
 Chọn đáp án C.
Câu 13: Hình phẳng giới hạn bởi đường elip ( E) : x2  16 y 2  16 có diện bằng.
A. 

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:
4

S  4
0

y

16  x 2 dx
  16  x2 dx
4
0
4

1

  
Đặt x  4 sin t , t    ;   dx  4 cos tdt .
 2 2
Đổi cận: x  0  t  0; x  4  t 

4



1

y

16  x 2
4

x
4

2







2

2

2

0

0

0

S   16  16 sin 2 t .4 cos tdt  16  cos 2 tdt  8  1  cos 2t  dt


 1
2
 8  t  sin 2t   4 .
 2
0

 Chọn đáp án C.
Câu 14: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục Ox và đường thẳng x  2 có diện tích
là
A. S  1 .

B. S  16 .

C. S  4 .

D. S  4 .

Lời giải:
Phương trình x3  0  x  0 .
Diện tích hình phẳng: S 

0



2

0

x3 dx    x 3dx 
2

 x4 0
4.
4 2

 Chọn đáp án C.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

9

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Câu 15: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  1 

1
1
, trục Ox và hai đường thẳng x  , x  2
2

2
x

có diện tích là
B. S 

A. S  5 .

5
.
2

C. S  2 .

D. S  1 .

Lời giải:
2 x2  1
1 2
2 2
1
x 1
x 1
Diện tích hình phẳng: S   1  2 dx  
d
x


d
x


dx


2
2
x
x
x
x2
1
1
1
1
2

2

2

2

1
2

1 

1 

1


1 2
    1  2  dx    1  2  dx    x   1   x    1 .
x
x 1
x 
x 


1
1
2
2
1

 Chọn đáp án D.
Câu 16: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  2x và đường thẳng 2x  y  0 có diện tích
là
A. S  8 .

B. S  4 .

C. S  2 .

D. S  16 .

Lời giải:
Giải phương trình: x3  2x  2x  x  0  x  2  x  2.
Diện tích hình phẳng: S 

2

x

3

 4 x dx 

2

0

 x

3

2



2





 4x dx   4x  x 3 dx  4  4  8 .
0

 Chọn đáp án A.

Câu 17: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
A. S  13 .

B. S 

15
.
2

 x khi x  1
10
, có diện tích là
x  x 2 và y  
3
 x  2 khi x  1

C. S 

13
.
2

D. S  7 .

Lời giải:
Tìm hoành độ các giao điểm:
10
10
x  x2  x  x  0;
x  x 2  x  2  x  3.

3
3
Dựa vào đồ thị (hình bên) diện tích hình phẳng cần

 10

 10

tìm là S    x  x 2  x  dx    x  x 2  x  2  dx
3
3


0
1
1

3

13
(đ.v.d.t)
2
 Chọn đáp án C.


Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

10

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017
3x  1
, Ox , Oy là
x 1
4
4
C. S  4 ln  1 .
D. S  4 ln  2 .
3
3

Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường y 
4
A. S  4 ln  1 .
3

4
B. S  4 ln .
3

Lời giải:
3x  1
1
Xét phương trình:
 0  x   . Vậy S 
x 1

3

0




1
3

3x  1
4
dx  4 ln  1 (đ.v.d.t).
x 1
3

 Chọn đáp án C.
a
Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  4x  3 , y  x  3 là S  ;
b
 a; b  ; a  0  ; ba là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. b  a  103  0.

B. ba  654  0.

C.

b2
25


a 109

D. b  a3  107  0.

Lời giải:
x  3  0

Xét phương trình: x 2  4 x  3  x  3    x 2  4 x  3  x  3  x  0  x  5.
 x2  4x  3  x  3
 
5





Vậy S   x2  4 x  3  x  3 dx 
0

 x
5

2



 4 x  3  x  3 dx 

0

109
 a  109; b  6  b  a 3  107  0.
6

 Chọn đáp án D.
Câu

20:

Hình

thị y  4 

2

phẳng

(H)

giới

hạn

bởi

các

đồ

y

(P)

2

x
x
, y
(hình vẽ bên). Khẳng định nào sau
4
4 2

2
2

đây đúng?

 x2
x2

 4
4 2
4



 dx.



 x2
x2


4


4
2 2  4 2


 dx.



A. S  2

2 2


0

B. S  2

C. S 

(E)

0

 x2
x2


4


4
2 2  4 2
2 2

x
-4

-2 2

O

2 2


 dx.



Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

11

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

4


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]
D. S 

Luyện thi THPT Quốc gia 2017


x2
x2 

 dx.
4




4
4
2
2 2 

2 2

Lời giải:
Ta có:

4

2 2 
x2
x2
x2
x2 
 dx.

; x   2 2; 2 2   S    4 





4 4 2
4
4
2
2 2 


 Chọn đáp án D.
Câu 21: (Đề thử nghiệm 2017) Ông An có một mảnh vườn hình
elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m .
Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của

8m

elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa

là 100.000 đồng/ 1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng
hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A. 7.862.000 đồng.
B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng.

D. 7.826.000 đồng.

Lời giải:
x2 y 2
Giả sử elip có phương trình 2  2  1 . Từ giả thiết ta có 2a  16  a  8 và 2b  10  b  5
a
b


5
2
 y   8 64  y
x2 y 2
Vậy phương trình của elip là

 1 
64 25
 y  5 64  y 2

8

E 
1

E 

1

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường  E1  ;  E2  ; x  4; x  4 và diện tích của dải
4

4

5
5
64  x2 dx   64  x2 dx.
vườn là S  2 
8
20
4

3
Tính tích phân này bằng phép đổi biến x  8 sin t , ta được S  80  
.
6 4 

3
Khi đó số tiền là T  80  
 .100000  7652891,82  7.653.000 .
6 4 

 Chọn đáp án B.
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b  có đồ thị lần lượt là  C1  , C2  .
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

C  , C 
1

2

và hai đường thẳng

x  a, x  b  a  b  bằng

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

12

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

b

A. S   f  x   g  x  dx .
a

b

b

a

a

b

b

a

a

B. S   f  x  dx   g  x  dx .

C. S   g  x  dx   f  x  dx .

D. S 

b

1
f  x   g  x  dx .
2 a

Câu 2: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b , c  a; b . Gọi S là diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng x  a , x  b . Công
thức nào sau đây sai?
b

A. S   g  x   f  x  dx .

B. S 

a

b

 f  x   g  x  dx .
a

b

c

b

a

c

D. S   f  x   g( x) dx   f  x   g( x) dx .

C. S   f ( x)  g( x) dx .
a

Câu 3: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 bàm số hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  h  x 
phần gạch chéo hình bên dưới được tính bởi công thức là:
b

c

A. S    g  x   f  x  dx    h  x   f  x  dx .
a

y  g  x

y

a

O

y  f  x

b

b

c

a

b

B. S    f  x   h  x   dx    f  x   g  x  dx .
b

c

C. S    g  x   h( x) dx    g  x   f ( x) dx .

a

b

b

c

a

b

b

c

x

y  h  x

D. S    f  x   g( x) dx    f  x   h( x) dx .

Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ln x, y  0, x  e
A.

1
(đ.v.d.t).
2

B.

1
(đ.v.d.t).
3

C.

1
(đ.v.d.t).
4

D. 1 (đ.v.d.t).

Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  2x  2 , y  m,  m  1 , x  0, x  3 là
A. 3m  6 (đ.v.d.t).

B. 3m  6 (đ.v.d.t).

C. 3m  6 (đ.v.d.t).

D. 3m  6 (đ.v.d.t).

Câu 6: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục Oy , trục Ox và đường thẳng x  3 có
2

diện tích là
A. S  1 (đ.v.d.t).

B. S  16 (đ.v.d.t).

C. S  9 (đ.v.d.t).

D. S  4 (đ.v.d.t).

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

13

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]
Câu 7: Cho Parabol

 P : y  x

2

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

P

và tiếp tuyến của

tại điểm A  1;1 có phương trình

y  2x  1. Diện tích của phần bôi đậm như hình vẽ là
A.

1

(đ.v.d.t).
3

C. 2 (đ.v.d.t).

B.

5
(đ.v.d.t).
3

D.

8
(đ.v.d.t).
3

Câu 8: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  bằng
b

A.

b

b

 f  x  dx.

B.

a

 f  x  dx .

C.   f

2

b

 x  dx.

D.

a

a

 f  x  dx.
a

Câu 9: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục Oy , trục Ox và đường thẳng x  2 có
diện tích là
A. S  1 (đ.v.d.t).

B. S  16 (đ.v.d.t).

D. S  4 (đ.v.d.t).

C. S  4 (đ.v.d.t).

Câu 10: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2  x  và trục Ox . Khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình phẳng  H  quanh trục Ox có thể tích là
16
(đ.v.t.t).
15
512
C. V 
(đ.v.t.t).
15

A. V 

B. V 
D. V 

4
(đ.v.t.t).
3



(đ.v.t.t).

5

Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x3  6x và y  x2 (hình bên) bằng
A. S 

0



2

C. S 

3



2



x 3  6 x  x 2 dx.



x 2  x 3  6 x dx.

B. S 

3

 x

3

2

D. S 

0





 6 x  x 2 dx.



x3  6 x  x 2 dx 

2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

3

 x

3



 6 x  x 2 dx .

0

14

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Câu 12: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  , f  x   0, x  a; b . Gọi S là diện tích của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b

 a  b .

Khẳng định nào sau đây sai?
b

b

A. S     f  x   dx.

B.

a

 f  x  dx .
a

b

b

C. S   f  x  dx.

D.

a

 f  x  dx.
a

Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x2  x  3 và y  2x  1 là
1
1
(đ.v.d.t).
B. S  (đ.v.d.t).
6
8
5
3
C. S  (đ.v.d.t).
D. S  (đ.v.d.t).
6
7
Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  sin x, y  0, x  0 và x   là

A. S 

A. S  4 (đ.v.d.t).

B. S  2 (đ.v.d.t).

C. S  4 (đ.v.d.t).

D. S   (đ.v.d.t).

Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  bằng
b

A.

b

b

 f  x  dx.

B.

a

 f  x  dx .

C.   f
a

a

2

 x  dx.

b

D.

 f  x  dx.
a

1
Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  ln x , x  , x  e và trục hoành
e
(hình bên) được tính theo công thức
e

1
e

1

e

C.   ln xdx   ln xdx.
1
e

1

e

1
e

1

B.  ln xdx   ln xdx.

A.  ln xdx.

1

e

D.

 ln xdx .
1
e

Câu 17: Diện tích của hình phẳng phần gạch chéo trong hình dưới được tính bởi công thức:

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

15

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]
c



A.

c



b

c

d

d

b

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.

a

B.

d

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.

a

c

d

c

d

b

a

c

d

C.   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
b

 f ( x)dx.

D.

a

Câu 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x , y  e  x , x  1 .
A.

e 2  2e  1
.
e

B.

e 2  2e  1
.
e

C.

e 2  2e  1
.
e

D.

e 2  2e  1
.
e

Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  2x  1 , y  x  1 , x  0, x  k ,  k  0 
bằng

5

. Khi đó giá trị k bằng:
6
A. 3 .
B. 2 .

C. 1 .

D. 4 .

Câu 20: Hình phẳng giới hạn bởi đường elip ( E) : x2  4 y 2  4 có diện bằng.
A.  .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 21: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2, trục hoành và hai đường
2

thẳng x  0 và x  1 là
2

A.

  x

2



 2 dx .

0

B.

0

  x

2



 2 dx .

1

C.

  x

2



 2 dx .

D. 2.

0

1

Câu 22: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  2x  x2 , y  x khi quay quanh trục Ox tạo
thành khối tròn xoay có thể tích là
1

1

A.   x 2 dx .
0

1



C.   x  x 2









B.   2x  x 2

2

dx .

0



2

1

D.   2 x  x 2

dx .

0

0

2

1

dx    x 2 dx.
0

Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x  2 và y  3x là:
2

7
.
2
Câu 24: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y  ln x, y  0, x  e là

A. 2 .

A. 2

.

1
.
6

B. 3 .

C.

D.

B. 1 .

C. 5 .

D. 4 .

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

16

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Câu 25: Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong y  f ( x), y  g( x), x  a, x  b có diện tích là S1 .
Còn hình phẳng tạo bởi các đường cong y  2 f ( x), y  2 g( x), x  a, x  b có diện tích là S2 . Trong
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
B. S2  S1 .

A. S2  4S1 .

C. 2S2  S1 .

D. S2  2S1 .

Câu 26: Cho đồ thị hàm số y  f  x  . Diện tích hình phẳng
(phần tô đậm trong hình bên) là
4

A.

 f  x  dx .

B.

3

C.

0

0

3

4

 f  x  dx   f  x  dx .

D.

1

4

3

1

3

4

0

0

 f  x  dx   f  x  dx .
 f  x  dx   f  x  dx .

Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y  x3 và y  x5 bằng
1
.
D. 2.
6
Câu 28: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi đường thẳng y  4x và

A. 0.

B. 4 .

C.

B. 5.

C. 3.

đồ thị hàm số y  x3 là:
A. 4.

D. 3,5.

Câu 29: Cho đường cong  C  : y  x . Gọi d là tiếp tuyến của  C  tại điểm M  4,2  . Khi đó diện
tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  ; d và Ox là
22

8
2
16
.
B. .
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 30: Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

A.

y  f ( x), y  g( x) và các đường thẳng x  a, x  b là:
b

b

A. S    f ( x)  g( x) dx.

B. S   f ( x)  g( x) dx.

a

a

b

b

C. S   f ( x)  g( x) dx.

D. S    f ( x)  g( x) dx.

a

2

a

Câu 31: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x2 và đường thẳng y  2x là:
A.

4
.
3

B.

3
.
2

C.

5

.
3

D.

23
.
15

Câu 32: Diện tích miền D được giới hạn bởi hai đường: y  2 x2 và y  2x  4 là
A.

3
.
13

B. 9.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

C.

17

13
.
3

D.

1
.
9

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Câu 33: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x2 , trục hoành và hai đường
thẳng x  1, x  3 là
A.

28
 dvdt  .
9

B.

28
 dvdt  .
3

1
 dvdt  .
3

C.

D.

1
 dvdt  .
5

Câu 34: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường y  x2  x  3 và đường thẳng y  2x  1 là :

A.

7
 dvdt  .
6

B. 

7
.
2

B.

2
.
3

B.

1

 dvdt  .
6

C.

1
 dvdt  .
6

D. 5  dvdt  .

11
.
2

D.

5
.
3

D.

Câu 35: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi C  : y  x2 và d : x  y  2 bằng
A.

9
.
2

C.

4
.
3

C.

Câu 36: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi C1  : y  x2 và C2  : y  x bằng
A.

13
.
2

1
.
3

Câu 37: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3x  2 và đồ thị hàm số

y  x  2 .
A. S  8

B. S  4

C. S  16

D. S  2

Câu 38: Xét hai phát biểu:
(1) cho y1  f1  x  và y2  f2  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử:

 và  , với a      b , là các nghiệm của phương trình f1  x   f2  x   0 . Khi đó diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thị được cho bởi công thức:




b

a





S   f1  x   f2  x  dx   f1  x   f2  x  dx   f1  x   f 2  x  dx
(2) Cũng với giả thiết như (1), nhưng:


S





f1  x   f2  x  dx 

a









f1  x   f2  x  dx 

b

  f  x   f  x  dx
1

2

Chọn đáp án đúng.
A. (1) đúng nhưng (2) sai.

B. (2) đúng nhưng (1) sai.

C. Cả (1) và (2) đều đúng.

D. Cả (1) và (2) đều sai.

Câu 39: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3x  2 và đồ thị hàm số

y  x  2 .

A. S  8

B. S  4

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

C. S  16

18

D. S  2

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Câu 40: Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x2  1 , trục hoành,
trục tung và đường thẳng x  2 .
2

A. S   x2  1 dx .

B. S 

0

 x

2

2

0



2

1

 1 dx . C. S   x2  1 dx .

D. S   x2  1 dx .

1

1

Câu 41: Diện tích giới hạn bởi đồ thị hai hàm số: y  x2  1, y  x  3 bằng:
A. 3.

B. 4.

C.

9
.
2

D. 5.

Câu 42: Gọi  là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 

cos x  sin x
3  sin 2 x

; x  0; x 


2

và

trục Ox. Tìm giá trị của cos  .

3
2
1
A. .
B.
.
C. 0.
D.
.
2
2
2
Câu 43: Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định

sau:


x 1
dx
A.  ln  1  x  dx  
e 1
0
0
1

1

1

4

B.  sin xdx   sin 2 xdx .
2

0

2

 1 x 
C.  e  x dx   
 dx .
1

x



0
0
1



4

0

1

1

D.  e x dx   e x dx .
2

0

3

0

Câu 44: Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của
hàm số liên tục y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b
như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sai?
b

b

A. S   f  x  dx.

B. S     f  x   dx.

a

a

b

C. S   f  x  dx.

D. S 

a

b

 f  x  dx .
a

Câu 45: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục Oy , trục Ox và đường thẳng x  2 có
diện tích là S . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. tan


S

 1.

B. sin



1
 .
S 2

C. tan


S

 1.

D. tan


S

 3.

Câu 46: Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y  f  x  ,
trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào đúng?

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

19

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

b

b

A. S   f  x  dx.

B. S    f  x  dx.

a

a

b

C. S   f  x  dx.

D. S 

a

b

 f  x  dx .
a

Câu 47: Diện tích S của hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục
và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức
b

A. S   f  x   g  x  dx .

B. S 

a

b

 f  x   g  x  dx .
a

b

C. S    f  x   g  x   dx .

b

b

a

a

D. S   f  x  dx   g  x  dx .

a

Câu 48: Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

1
, trục hoành và hai đường
x2

thẳng x  1, x  2 bằng
1
A. .
2

B. 4 .

C.

1
.
6

D. 2 .

9
.
2

D. 

Câu 49: Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x2 ; y  x  2 bằng
A.

15
.
2

B.

9
.
2

C.

15
.
2

Câu 50: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x , trục Oy , trục Ox và đường thẳng x  1 có
diện tích là
A. S  1 .

B. S  e  1 .

C. S  e .

D. S  e  1 .

Câu 51: Hình phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số được cho bởi hình bên dưới. Diện tích hình
phẳng B bằng
A. S 

1

  2x

2

2

B. S 

1

  2x

2

2



3





4









 4 x  6 dx   2 x  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx.



1

3



2

3



4

 4 x  6 dx   2 x  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx.
1

2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

3

20

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]
1



3



Luyện thi THPT Quốc gia 2017



4







C. S    2 x2  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx.
2

D. S 

1



2

1

3



3





4





2 x 2  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx.
1

3

Câu 52: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3x  2 , trục Oy , trục Ox và đường thẳng
x  1 có diện tích là

7
A. S   .
4

B. S 

1
.
4

C. S 

5
.
4

D. S 

7
.

4

Câu 53: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (hình bên) bằng
9
3
ln 3  .
2
2
9
D. S  ln 3  2.
2

B. S 

A. S  1.
C. S 

9
ln 3  4.
2

Câu 54: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  sin x và y  x  0  x  2  bằng
A. 4.

B. 4.

C. 0.

D. 1.

Câu 55: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  4 x  3 và y  x  3 có kết quả
2

dạng

a
(là phân số tối giản). Khi đó a  2b bằng
b
A. 67.
B. 121.

y

C. 136.

D. 217.

Câu 56: (Đề thử nghiệm 2017) Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các
đường y  e x , y  0 , x  0 , x  ln 4 . Đường thẳng x  k (0  k  ln 4) chia  H 
thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1  2S2 .
2
ln 4 .
3
8
C. k  ln .
3

A. k 

B. k  ln 2 .

S2
S1

D. k  ln 3 .

x
O

k

ln 4

Câu 57: (Chuyên Quốc Học_Huế Lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình H1 , H2 được xác

















định: H1  M( x; y)|log 1  x2  y 2  1  log( x  y) , H2  N( x; y)|log 2  x2  y 2  2  log( x  y) .
Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích của các hình H1 , H2 . Tính tỉ số
A. 99.

B. 101.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

C. 102.

21

S2
.
S1
D. 100.

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Câu 58: (Đề minh họa 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  x và đồ
thị hàm số y  x  x2 .
37
9
81

.
B. .
C.
.
D. 13 .
12
4
12
Câu 59: (Tạp chí THTT Đề 04/2017) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

A.

x  1, x  e , y  0, y 

ln x
2 x

bằng:

A. 3  e .

B. 2  e .

C. 2  e .

D.

e  3.

Câu 60: (Tạp chí THTT Đề 03/2017) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2 x2  x4 và

trục hoành là:
A.

8 2
.
15

B.

16 2
.
15

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

C. 4 2.

22

D. 2 2.

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Ứng dụng 2:

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

I. LÝ THUYẾT
Bài toán 1: Tính thể tích của vật thể
Cho một vật thể trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz . Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và
b . Gọi S  x  là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt

bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có

hoành độ x  a  x  b  (hình bên). Giả sử S  S  x  là
một hàm liên tục trên  a; b  .
b

Khi đó, thể tích V của B là

V   S  x  dx

(5)

a

* Sử dụng công thức (5), ta tìm được công thức một số vật thể quen thuộc trong hình học như:
1) Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt có chiều cao h , diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự
là S0 , S1 . Thể tích V là:

V



h
S  S0S1  S1
3 0



.

2) Nhận xét: Khối chóp được coi là khối chóp cụt có S0  0. Vì vậy, thể tích khối chóp có chiều cao
h và diện tích đáy S là:

V

hS
3

.

3) Thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S có thể tích là:

V  hS .

Bài toán 2: Tính thể tích khối tròn xoay
Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay.
Dạng 1: (Hình phẳng quay quanh Ox) Cho hình phẳng được
giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  , trục

y

f(x)

Ox và hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox ta được

khối tròn xoay có thể tích là:

x

O

b

Vx    f 2  x  dx

(6)

a

b

a

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

23

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

Dạng 2: (Hình phẳng quay quanh Oy) Cho hình phẳng được

y

giới hạn bởi đồ thị hàm số x  g  y  liên tục trên  a; b  , trục

b

Oy và hai đường thẳng y  a, y  b quanh trục Oy ta được

g(y)

b

Vy    g 2  y  dy

khối tròn xoay có thể tích là:

(7)

a

a

x

O

Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục.
Ta tiến hành chia phần thể tích V thành các phần thể tích thành phần V1 , V2 ,... mà mỗi
phần được tính bằng các công thức (6), (7).
Minh họa các dạng thường gặp:
f  x   g  x  , x  a; b .

g  x   f  x  , x  a; b .
y

y
f(x)

g(x)

g(x)
O

f(x)

x

a

O

b

x

a

b

b

 x   g  x  dx

V     g 2  x   f 2  x  dx

f  y   g  y  , y  a; b .

g  y   f  y  , y  a; b .

b

V     f

2

2

a

a

y

y

b

b

f(y)

f(y)

g(y)

g(y)
a

a

x

x
O

O

b

V     f

2

b

V     g 2  y   f 2  y  dy

 y   g  y  dy
2

a

a

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

24

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


*...Chuyên đề Trắc Nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2017

f  x   g  x  , x  a; c  ;

f  x   h  x  , x  a; c  ;

g  x   f  x  , x  c; b .

g  x   h  x  , x  c; b .
y

y
f(x)

g(x)
f(x)

g(x)

h(x)

x
O a

c

x

b

c

b

a

c

O

V     f 2  x   g 2  x  dx     g 2  x   f 2  x  dx

a

c

b

c

b

a

c

V     f 2  x   h2  x  dx     g 2  x   h 2  x  dx

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:
Câu 1: Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng S trong hình vẽ dưới quanh trục Ox được tính
bằng công thức:
b

A. V     f1 ( x)  f2 ( x) dx
2

a

b

B. V     f1 ( x)  f2 ( x) dx

2

a

b

C. V     f12 ( x)  f22 ( x)dx
a

b

D. V     f1 ( x)  f2 ( x)dx
a

Lời giải
b

Ta có: f1  x   f2  x   0; x  a; b   V     f12 ( x)  f 22 ( x)dx.
a

 Chọn đáp án C.
Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình
phẳng (H) quanh trục Ox là
b

A. V     f

2

 x   g  x  dx.

2

b

B. V     g 2  x   f 2  x  dx.

a

f(x)

y

a

(H)
g(x)
x
O

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

25

a

c

b

CLB Giáo viên trẻ TP Huế