Chuối lũy thừa hình thức và hàm sinh

ọ
rờ ọ ọ

ý

ỗ ỹ từ ì tứ s

P P
số

ĩ ọ

ờ ớ ọ P ỉ



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




❈➠♥❣ tr×♥❤ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ✲ ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥

P❤➯♥ ❜✐Ö♥ ✶✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳

P❤➯♥ ❜✐Ö♥ ✷✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳

▲✉❐♥ ✈➝♥ sÏ ➤➢î❝ ❜➯♦ ✈Ö tr➢í❝ ❤é✐ ➤å♥❣ ❝❤✃♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❤ä♣ t➵✐✿

❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ✲ ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥

◆❣➭②✳✳✳✳ t❤➳♥❣✳✳✳✳ ♥➝♠ ✷✵✶✶

❈ã t❤Ó t×♠ ❤✐Ó✉ t➵✐
❚❤➢ ❱✐Ö♥ ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ô❝ ❧ô❝
✶

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ

✹

✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭♥❤ ✈➭ ➤å♥❣ ❝✃✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✶✳✶ ❱➭♥❤

✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✶✳✷ ➛í❝ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣✳ ▼✐Ò♥ ♥❣✉②➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✶✳✸ ➜å♥❣ ❝✃✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✹ ❚r➢ê♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✷ ❱➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ♥❣❤✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

❱➭♥❤ ❝➳❝ ❝❤✉ç✐ ❧ò② t❤õ❛ ❤×♥❤ t❤ø❝

✷✳✶ ❱➭♥❤ ❝➳❝ ❝❤✉ç✐ ❧ò② t❤õ❛ ❤×♥❤ t❤ø❝

✶✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✷✳✷ ❉➲② ❤✐Ö✉ ❝ñ❛ ♠ét ❞➲② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✷✳✸ ❍➭♠ s✐♥❤ t❤➢ê♥❣ ✈➭ ❞➲② ❋✐❜♦♥❛❝❝✐✱ ❞➲② ❈❛t❛❧❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✷✳✹ ❍➭♠ s✐♥❤ ♠ò ✈➭ ❞➲② sè ❙t✐r❧✐♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

✷✳✺ ❍➭♠ s✐♥❤ ❝ñ❛ ❞➲② ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❇❡r♥♦✉❧❧✐
✷✳✻ ❍➭♠ s✐♥❤ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✈➭ ❤➭♠ ❩❡t❛✲❘✐❡♠❛♥♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹

✷✳✼ ❚Ý❝❤ ✈➠ ❤➵♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼
✷✳✽ ➜å♥❣ ♥❤✃t t❤ø❝ ◆❡✇t♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
✷✳✾ ❉➲② tr✉② ❤å✐ ✈í✐ ❤➭♠ s✐♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽

✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ở
r t ọ ệ sử ụ ế tứ t ể qết
t ở ổ t ề rt q trọ ó ỉ ú ờ t
ó ề ự ọ ờ ở rộ t ể ết t ọ
ò t ợ sự t sứ s t t qt t ở
rộ t ớ ề ớ
ử ụ ế tứ ề ỗ số ể qết t ề số
ột ề ú t ết ề q ế
số ột q trọ ủ số tí t ọ tế
ề ọ s ỏ s ề t ổ t
tờ rt ố t ớ rt ề t ó q ế ề

r ỳ t ọ s ỏ qố t t qố tế t
t s ữ trờ ọ t

q ế số ũ ợ ề tờ rt ó ò ỏ ờ
ọ ờ t ó ột t ể ết rộ rt s s ế
tứ ề số ỗ số ớ r t
tệ ợ t
ể ụ ụ ệ ồ ỡ ọ s ỏ ệ tr ổ ệ
ớ t ồ ỡ ọ s ỏ q t tì ể t ề
ợ sự ớ ủ t ỉ t ọ t t
ết ề t

ỗ ỹ từ ì tứ s

ề t qết ề trọ t


ế tứ ị ế tứ t

ề
ệ ồ

ớ ủ ề


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn





ồ
rờ

tứ ệ


ỗ ỹ từ ì tứ ớ tệ ế

tứ
ỗ ỹ từ ì tứ
ệ ủ ột
s tờ t
s ũ số tr
s ủ tứ r
s rt t
í
ồ t tứ t
tr ồ ớ s
ợ t ớ sự ớ ỉ t tì ủ
P ỉ ọ P ộ ề tờ
ớ t ủ t tr sốt q trì
tỏ ò ết s s ế
ử tớ t ò t rờ
ọ ọ ọ ù t t
ó ọ ờ s s ề ỗ tr
tờ q ồ tờ ử ờ t tể ớ ọ
rờ ọ ọ ộ ú ỡ t tr q trì ọ
t
tớ ở ộ ụ ở ụ t
ệ tổ trờ P t ề ệ ú ỡ ể
t t ó ọ

ý

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ
✶✳✶

✶✳✶✳✶

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭♥❤ ✈➭ ➤å♥❣ ❝✃✉

❱➭♥❤

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

✳ ❚❛ ❣ä✐ ❧➭ ✈➭♥❤ ♠ét t❐♣ ❤î♣ ❳ ❝ï♥❣ ✈í✐ ❤❛✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❤❛✐ ♥❣➠✐

➤➲ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❳ ❦ý ❤✐Ö✉ t❤❡♦ t❤ø tù ❜➺♥❣ ❝➳❝ ❞✃✉ ✰ ✈➭ ✳ ✭♥❣➢ê✐ t❛ t❤➢ê♥❣ ❦ý
❤✐Ö✉ ♥❤➢ ✈❐②✮

✈➭ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ s❛♦ ❝❤♦ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉

t❤á❛ ♠➲♥✿
✶✮ ❳ ❝ï♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ❛❜❡♥✳
✷✮ ❳ ❝ï♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❧➭ ♠ét ♥ö❛ ♥❤ã♠✳
✸✮ P❤Ð♣ ♥❤➞♥ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣✿ ❱í✐ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö tï② ý

x, y, z ∈ X t❛

❝ã✿

x(y + z) = xy + xz
(y + z)x = yx + zx
P❤➬♥ tö tr✉♥❣ ❧❐♣ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ t❤× ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ✵ ✈➭ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➬♥ tö ❦❤➠♥❣✳
P❤➬♥ tö ➤è✐ ①ø♥❣ ✭➤è✐ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✮ ❝ñ❛ ♠ét ♣❤➬♥ tö ① t❤× ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ✲①
✈➭ ❣ä✐ ❧➭ ➤è✐ ❝ñ❛ ① ✳ ◆Õ✉ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❧➭ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ t❤× t❛ ❜➯♦ ✈➭♥❤ ❳ ❧➭ ❣✐❛♦
❤♦➳♥✳
✈Þ

◆Õ✉ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❝ã ♣❤➬♥ tö tr✉♥❣ ❧❐♣ t❤× ♣❤➬♥ tö ➤ã ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➬♥ tö ➤➡♥

❝ñ❛ ① ✈➭ t❤➢ê♥❣ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ❡ ❤❛② ✶ ✳

✶✳✶✳✷

➛í❝ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣✳ ▼✐Ò♥ ♥❣✉②➟♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✶

✿ ❚❛ ❣ä✐ ❧➭ ➢í❝ ❝ñ❛ ✵ ♠ä✐ ♣❤➬♥ tö

a = 0 s❛♦ ❝❤♦ ❝ã b = 0 t❤á❛

♠➲♥ q✉❛♥ ❤Ö ❛❜❂✵✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✷

✿ ❚❛ ❣ä✐ ♠✐Ò♥ ♥❣✉②➟♥ ♠ét ✈➭♥❤ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❤➡♥ ♠ét ♣❤➬♥ tö✱ ❣✐❛♦

✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





ó ị ó ớ ủ



ồ

ị ĩ

ột ồ ột từ ột ế ột

s

f (a + b) = f (a) + f (b)
f (ab) = f (a) f (b)
ớ ọ

a, b X. ế X = Y tì ồ f ọ ột tự ồ ủ X

ũ ị ĩ t t tự ị ĩ
tr ó

rờ

ị ĩ

ọ trờ ột ề tr ó ọ tử

ề ó ột ị tr ị ó ột
ó ị ó ề ột tử ột trờ ế ỉ ế

X {0} ột ó ố ớ é ủ



tứ ệ

ết q í



R ột ế x tr R. ớ n N, ét t ợ
n
2

n

ai x i | ai R .

R[x] = {a0 + a1 x + a2 x + ã ã ã + an x | ai R} =

i=0

ỗ tử

f (x) R[x] ợ ọ ột tứ ủ ế x ớ ệ số
ai tộ R. ệ số an ợ ọ ệ số t ò ệ số a0 ợ ọ
ệ số tự ủ f (x). an = 0 tì n ợ ọ ủ f (x) ợ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✻
❦ý ❤✐Ö✉
◆Õ✉

deg f (x). ❘✐➟♥❣ ➤❛ t❤ø❝ ✵ ➤➢î❝ q✉② ➤Þ♥❤ ❝ã ❜❐❝ ❧➭ −∞ ❤♦➷❝ −1.
n

f (x) =

m

i

ai x , g(x) =
i=0

bi xi ∈ R[x] t❤×

i=0

f (x) = g(x) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ m = n, ai = bi ✈í✐ ♠ä✐ 0

i

n

i
i

f (x) + g(x) =

(ai + bi )x , f (x)g(x) =
i=0

➜Þ♥❤ ❧ý

✶✳✷✳✶✳ ❚❛ ❝ã

♠✐Ò♥ ♥❣✉②➟♥ t❤×

R[x]

ai−j bj )xi .

(
i=0 j=0

❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉

R

❧➭ ♠ét

R[x] ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ♠✐Ò♥ ♥❣✉②➟♥✳

f (x), g(x) ∈ k[x] ✈➭
g(x) = 0 ❝ã ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ❞✉② ♥❤✃t q(x), r(x) s❛♦ ❝❤♦ f (x) = q(x)g(x) + r(x)
✈í✐ deg r(x) < deg g(x).

➜Þ♥❤ ❧ý

✶✳✷✳✷✳ ●✐➯ sö

k

❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ❱í✐ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝

✶✳✷✳✸✳ ❈❤♦ ❤❛✐ sè tù ♥❤✐➟♥
n
n
p
✈➭ ➤ñ ➤Ó x − a ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ x

❱Ý ❞ô

❇➭✐ ❣✐➯✐✿

❇✐Ó✉ ❞✐Ô♥

n ✈➭ p ✈í✐ n > p 1.
− ap ✈í✐ a ∈ R, a = 0.

n = qp + r tr♦♥❣ Z ✈í✐ 0

❚×♠ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥

r < p. ❑❤✐ ➤ã ❝ã ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥

xn − an = (xp − ap )(xn−p + ap xn−2p + · · · + a(q−1)p xn−qp ) + aqp (xr − ar ).
❱❐②✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ➤Ó
➜Þ♥❤ ❧ý

✶✳✷✳✹✳ ●✐➯ sö

k

xn − an ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ xp − ap ❧➭ n ˙: p.

❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã ✈➭♥❤

k[x]

❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❝❤Ý♥❤

✈➭ ♥ã ❧➭ ✈➭♥❤ ♥❤➞♥ tö ❤ã❛✳

n

●✐➯ sö
n

α ∈ R ✈➭ ➤❛ t❤ø❝ f (x) =

ai xi ∈ R[x]. ❇✐Ó✉ t❤ø❝ f (α) =

i=0

ai αi ∈ R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❣✐➳ trÞ

❝ñ❛

f (x) t➵✐ α. ◆Õ✉ f (α) = 0 t❤× α ➤➢î❝

i=0

❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛

f (x) tr♦♥❣ R. ●✐➯ sö sè ♥❣✉②➟♥ m
1 ✈➭ α ∈ k.
f (α) = 0 ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❜é✐ ❝✃♣ m ❝ñ❛ f (x) tr♦♥❣ k ♥Õ✉ f (x) ❝❤✐❛
❤Õt ❝❤♦ (x − α)m ✈➭ f (x) ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ (x − α)m+1 .
➜Þ♥❤ ❧ý

✶✳✷✳✺✳ ➜❛ t❤ø❝

✭✐✮ ◆Õ✉ α
✭✐✐✮

f (x) ∈ k[x] ❜❐❝ n

1. ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ s❛✉✿

∈ k ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ f (x) t❤× f (x) = (x − α)g(x) ✈í✐ g(x) ∈ k[x].

f (x) ❝ã ❦❤➠♥❣ q✉➳ n ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt tr♦♥❣ k.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





ể tì ố ệ ữ ệ ột tí t ó ủ
ệ tứ t tờ sử ụ ết q s
ét sử x1 , . . . , xn n ệ ủ tứ n s
n
n1
f (x) = x 1 x
+ 2 xn2 ã ã ã + (1)n n . ó ó ệ tứ

ị ý



1 = x1 + x2 + ã ã ã + xn

= x x + x x + ã ã ã + x x
2
1 2
1 3
n1 n

...



= x x . . . x .
n

1 2

n

f (x1 , x2 , . . . , xn ) k[x1 , x2 , . . . , xn ] ột tứ
ố ứ ó tồ t ột ỉ ột tứ s(x1 , x2 , . . . , xn )
k[x1 , x2 , . . . , xn ] s f (x1 , x2 , . . . , xn ) = s(1 , 2 , . . . , n ).
ị ý

sử

ột số í ụ

f (x) = x4 5x3 + 9x2 10x + 28. í f (1 + 3 3).

3
ì 1 +
3 ệ ủg(x) = x3 3x2 + 3x 4 = 0
f (x) = (x 2)g(x) + 20 f (1 + 3 3) = 20.
í ụ

sử

f (x) = a0 xn +a1 xn1 +ã ã ã+an1 x+an
R[x] ớ a0 = 0 tỏ f (x)f (2x2 ) = f (2x3 + x) ớ ọ trị tự
x. ứ r f (x) tể ó ệ tự

í ụ

sử

= f (2x3 +
x) t s r a20 = a0 a2n = an . ì a0 = 0 a0 = 1; ò an = 0 an =
1. ế an = 0 tì f (x) = xr g(x) ớ g(0) = 0. xr g(x)2r x2r g(2x2 ) =
xr (2x2 + 1)r g(2x3 + x) g(x)2r x2r g(2x2 ) = (2x2 + 1)r g(2x3 + x). ì
g(0) = 0 t ợ g(0) = 0 : t an = 1. sử
f (x) = 0 ó ệ tự x0 . ó x0 = 0 ì an = 0. ì f (2x30 + x0 ) =
f (x0 )f (2x20 ) = 0 x1 = 2x30 + x0 ũ ệ tự ủ f (x). ì
y = 2x3 + x ệ t (xr+1 = 2x3r + xr )r 0 x0 = 0
ột ỗ số ề ệ ủ f (x) f (x) ó ề
ệ t t ị ý f (x) ó ệ

s ệ số ủ x3n x0 ở ế từ f (x)f (2x2 )

tự

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✽

a ∈ (0; 1)
2
tr×♥❤ cos 3πa + 2 cos 2πa = 0. ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ a = .
3
❱Ý ❞ô

✶✳✷✳✶✵✳ ❬■▼❖ ✶✾✾✶❪ ●✐➯ sö sè ❤÷✉ tû

t❤á❛ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣

= cos πa. ❑❤✐ ➤ã 4x3 + 4x2 − 3x − 2 = 0 ❤❛② (2x + 1)(2x2 +
2
−1
−1
t❤× a = . ◆Õ✉ x =
t❤× 2x2 + x − 2 =
x − 2) = 0. ◆Õ✉ cos πa = x =
2

3
2
√
−1 + 17
0, ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② x ❧➭ sè ✈➠ tû✳ ❉♦ |x| 1 ♥➟♥ cos πa = x =
. ❇➺♥❣
4
√
an + bn 17
✈í✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❧❰ an , bn . ❱×
q✉② ♥➵♣✱ ❝ã t❤Ó ❝❤Ø r❛ cos 2n πa =
4
√
√
an+1 + bn+1 17
a
+
b
n
n 17 2
= cos 2n+1 πa = 2 cos2 2n πa − 1 = 2[
] −1
4
4
❇➭✐ ❣✐➯✐✿

➜➷t x

a2n + 17b2n − 8
> an . ❉♦ ➤ã ❞➲② (an ) ❧➭ ♠ét ❞➲② t➝♥❣ ♥❣❤✐➟♠

♥➟♥ an+1 =
2
♥❣➷t ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② t❐♣ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ cos 2n πa ✈í✐ n = 0, 1, 2, ... ❧➭ t❐♣ ✈➠
√
❤➵♥ ✭✯✮ ✈× 17 ❧➭ sè ✈➠ tû✳ ◆❤➢♥❣ ❞♦ a ❧➭ sè ❤÷✉ tû ♥➟♥ t❐♣ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ
❝ñ❛ cos mπa ✈í✐ m = 0, 1, 2, ... ♣❤➯✐ ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥✿ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ✭✯✮✳ ❉♦ ❞ã
2
a= .
3
f (x) ❜❐❝ n ❝ã t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ➤Ò✉
❑❤✐ ➤ã t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ af (x) + f (x) ❝ò♥❣ ❧➭ ♥❤÷♥❣ sè t❤ù❝✳

❱Ý ❞ô

✶✳✷✳✶✶✳ ●✐➯ t❤✐Õt ➤❛ t❤ø❝

t❤ù❝✳

f (x) ❝ã ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ t❤ù❝ x1 , x2 , . . . , xk ✈í✐ ❜é✐ t➢➡♥❣ ø♥❣
r1 , r2 , . . . , rk ✈➭ t❛ s➽♣ ①Õ♣ x1 < x2 < · · · < xk . ❍➭♠ sè

❇➭✐ ❣✐➯✐✿

●✐➯ sö

g(x) =

f (x)
1
1

1
=
+
+ ··· +
f (x)
x − x1 x − x2
x − xk

❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦❤♦➯♥❣ (−∞; x1 ), (x1 ; x2 ), . . . , (xk−1 ; xk ), (xk ; ∞).

1
, ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ g(x) = −a ❝ã t❤➟♠
x − xj
k ♥❣❤✐Ö♠ ♠í✐ ♥÷❛ ❦❤➳❝ x1 , x2 , . . . , xk ❦❤✐ a = 0. ❱❐② f (x)[g(x) + a] = 0 ❝ã
t✃t ❝➯ (r1 − 1) + · · · + (rk − 1) + k = deg f (x) ♥❣❤✐Ö♠ t❤ù❝✳ ❱❐② t✃t ❝➯ ❝➳❝
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ af (x) + f (x) ➤Ò✉ t❤ù❝✳ ❑❤✐ a = 0 t❤× g(x) = 0 ❝ã k − 1 ♥❣❤✐Ö♠
t❤ù❝ ♠í✐ ♥÷❛✳ ❱❐② f (x)[g(x)+0] = 0 ❝ã t✃t ❝➯ (r1 −1)+· · ·+(rk −1)+k−1 =
deg f (x). ❚ã♠ ❧➵✐ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ af (x) + f (x) ❧➭ ♥❤÷♥❣ sè t❤ù❝✳
❉ù❛ ✈➭♦ sù ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤➭♠

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not

read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....