chuối lũy thừa hình thức và hàm sinh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x, y, z ∈ X
x(y + z) = xy + xz
(y + z)x = yx + zx
a = 0 b = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f (a + b) = f (a) + f (b)
f (ab) = f (a) f (b)
a, b ∈ X. X = Y f X
X −{0}
R x R. n ∈ N,
R[x] = {a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ···+ a
n
x
n
| a
i
∈ R} =


n

i=0
a
i
x
i
| a
i
∈ R

.
f(x) ∈ R[x] x
a
i
R. a
n
a
0
f(x). a
n
= 0 n f(x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
deg f (x). −∞ −1.
f(x) =
n

i=0
a
i

x
i
, g(x) =
m

i=0
b
i
x
i
∈ R[x]
f(x) = g(x) m = n, a
i
= b
i
0  i  n
f(x) + g(x) =

i=0
(a
i
+ b
i
)x
i
, f(x)g(x) =

i=0
(
i


j=0
a
i−j
b
j
)x
i
.
R[x] R
R[x]
k f(x), g(x) ∈ k[x]
g(x) = 0 q(x), r(x) f(x) = q(x)g(x)+r(x)
deg r(x) < deg g(x).
n p n > p  1.
x
n
− a
n
x
p
− a
p
a ∈ R, a = 0.
n = qp + r Z 0  r < p.
x
n
− a
n
= (x

p
− a
p
)(x
n−p
+ a
p
x
n−2p
+ ···+ a
(q−1)p
x
n−qp
) + a
qp
(x
r
− a
r
).
x
n
− a
n
x
p
− a
p
n ˙: p.
k k[x]

α ∈ R f(x) =
n

i=0
a
i
x
i
∈ R[x]. f(α) =
n

i=0
a
i
α
i
∈ R f(x) α. f(α) = 0 α
f(x) R. m  1 α ∈ k.
f(α) = 0 m f(x) k f(x)
(x −α)
m
f(x) (x −α)
m+1
.
f(x) ∈ k[x] n  1.
α ∈ k f(x) f(x) = (x −α)g(x) g(x) ∈ k[x].
f(x) n k.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
1

, . . . , x
n
n n
f(x) = x
n
− δ
1
x
n−1
+ δ
2
x
n−2
− ···+ (−1)
n
δ
n
.











δ

1
= x
1
+ x
2
+ ···+ x
n
δ
2
= x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ ···+ x
n−1
x
n

δ
n
= x
1
x
2
. . . x
n

.
f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ k[x
1
, x
2
, . . . , x
n
]
s(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈
k[x
1
, x
2
, . . . , x
n
] f(x
1
, x

2
, . . . , x
n
) = s(δ
1
, δ
2
, . . . , δ
n
).
f(x) = x
4
− 5x
3
+ 9x
2
− 10x + 28. f(1 +
3
√
3).
1 +
3
√
3 g(x) = x
3
− 3x
2
+ 3x − 4 = 0
f(x) = (x − 2)g(x) + 20 f(1 +
3

√
3) = 20.
f(x) = a
0
x
n
+a
1
x
n−1
+···+a
n−1
x+a
n
∈
R[x] a
0
= 0 f(x)f(2x
2
) = f (2x
3
+ x)
x. f(x)
x
3n
x
0
f(x)f(2x
2
) = f (2x

3
+
x) a
2
0
= a
0
a
2
n
= a
n
. a
0
= 0 a
0
= 1; a
n
= 0 a
n
=
1. a
n
= 0 f(x) = x
r
g(x) g(0) = 0. x
r
g(x)2
r
x

2r
g(2x
2
) =
x
r
(2x
2
+ 1)
r
g(2x
3
+ x) g(x)2
r
x
2r
g(2x
2
) = (2x
2
+ 1)
r
g(2x
3
+ x).
g(0) = 0 g(0) = 0 : a
n
= 1.
f(x) = 0 x
0

. x
0
= 0 a
n
= 0. f(2x
3
0
+ x
0
) =
f(x
0
)f(2x
2
0
) = 0 x
1
= 2x
3
0
+ x
0
f(x).
y = 2x
3
+ x (x
r+1
= 2x
3
r

+ x
r
)
r0
x
0
= 0
f(x) f(x)
f(x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a ∈ (0; 1)
cos 3πa + 2 cos 2πa = 0. a =
2
3
.
x = cos πa. 4x
3
+4x
2
−3x−2 = 0 (2x+1)(2x
2
+
x−2) = 0. cos πa = x =
−1
2
a =
2
3
. x =
−1

2
2x
2
+x−2 =
0, x |x|  1 cos πa = x =
−1 +
√
17
4
.
cos 2
n
πa =
a
n
+ b
n
√
17
4
a
n
, b
n
.
a
n+1
+ b
n+1
√

17
4
= cos 2
n+1
πa = 2 cos
2
2
n
πa −1 = 2[
a
n
+ b
n
√
17
4
]
2
− 1
a
n+1
=
a
2
n
+ 17b
2
n
− 8
2

> a
n
. (a
n
)
cos 2
n
πa n = 0, 1, 2,
√
17 a
cos mπa m = 0, 1, 2,
a =
2
3
.
f(x) n
af(x) + f

(x)
f(x) x
1
, x
2
, . . . , x
k
r
1
, r
2
, . . . , r

k
x
1
< x
2
< ··· < x
k
.
g(x) =
f

(x)
f(x)
=
1
x −x
1
+
1
x −x
2
+ ···+
1
x −x
k
(−∞; x
1
), (x
1
; x

2
), . . . , (x
k−1
; x
k
), (x
k
; ∞).
1
x −x
j
, g(x) = −a
k x
1
, x
2
, . . . , x
k
a = 0. f(x)[g(x) + a] = 0
(r
1
−1) + ···+ (r
k
−1) + k = deg f(x)
af(x)+ f

(x) a = 0 g(x) = 0 k −1
f(x)[g(x)+0] = 0 (r
1
−1)+···+(r

k
−1)+k−1 =
deg f

(x). af(x)+f

(x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) g(x) =
a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ··· + a
n
F (x) = a
0
f(x) + a
1
f

(x) + ···+ a
n
f
(n)
(x)

g(x) = a
0
(x + λ
1
)(x + λ
2
) . . . (x + λ
n
) λ
j
F
0
(x) = a
0
f(x), F
1
(x) = F
0
(x) + λ
1
F

0
(x) = a
0
[f(x) + λ
1
f

(x)],

F
2
(x) = F
1
(x)+λ
2
F

1
(x) = a
0
[f(x)+(λ
1
+λ
2
)f

(x)]+λ
1
λ
2
f

(x)],
F
n
(x) = F
n−1
(x) + λ
n

F

n−1
(x) = a
0
f(x) + a
1
f

(x) + ···+ a
n
f
(n)
(x).
F
0
, F
1
, . . . , F
n
f = cos u + C
1
n
cos(u + α)x + ··· + C
n
n
cos(u + nα)x
n
.
f(x) = 0.

g = sin u + C
1
n
sin(u + α)x + ···+ C
n
n
sin(u + nα)x
n
.
f + ig = z + C
1
n
ztx + ··· + C
n
n
zt
n
x
n
= z(1 + tx)
n
f − ig = z + C
1
n
ztx + ··· + C
n
n
zt
n
x

n
= z(1 + tx)
n
z = cos u + i sin u
t = cos α + i sin α.
2f = z(1 + tx)
n
+ z(1 + tx)
n
. f(x) = 0
z(1 + tx)
n
+ z(1 + tx)
n
= 0

1 + tx
1 + tx

n
= −
z
z
= −z
2
.

1 + tx
1 + tx


n
= cos(2u + π) + i sin(2u + π)
1 + tx
1 + tx
=
cos(
2u + π + k2π
n
) + i sin(
2u + π + k2π
n
) k = 0, 1, . . . , n − 1.
x.
a
1
, . . . , a
n
, b ∈ R \{0} α
1
, . . . , α
n
f(x) = b +
n

k=1
a
2
k
x −α
k

f(c + id) = b +
n

k=1
a
2
k
c + id −α
k
= b +
n

k=1
a
2
k
(c −α
k
− id)
(c −α
k
)
2
+ d
2
.
Im(f(c + id)) = −d
n

k=1

a
2
k
(a −α
k
)
2
+ b
2
= 0 d = 0. f(c +
id) = 0 d = 0. α
1
< α
2
< ··· < α
n−1
< α
n
.
f(x) = 0 n − 1 γ
k
α
1
< γ
1
< α
2
< γ
2
< ··· < α

n−1
< γ
n−1
< α
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
γ γ ∈ (−∞, α
1
) γ ∈
(α
n
, +∞). f(x)
P (x) = 1 + x
2
+ x
9
+ x
n
1
+ + x
n
s
+ x
1992
n
1
, , n
s
9 < n
1

< < n
s
<
1992
1−
√
5
2
P (x) = x
3
− 9x
2
+ 24x − 97
a
n
P (a
n
) 3
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
k = Q, R, C.
k[[x]] = {a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ··· | a

i
∈ k} =

∞

i=0
a
i
x
i
| a
i
∈ k

.
f ∈ k[[x]], f =
∞

i=0
a
i
x
i
x
0
= 1,
x k. k[[x]]
f =
∞


i=0
a
i
x
i
, g =
∞

i=0
b
i
x
i
∈
k[[x]] f = g a
i
= b
i
i = 0, 1, . . .
f + g =
∞

i=0
(a
i
+ b
i
)x
i
, fg =

∞

i=0
(
i

j=0
a
i−j
b
j
)x
i
.
k[[x]]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f =
∞

i=0
a
i
x
i
f

=
∞

i=1

ia
i
x
i−1
.
f(x) x = 0,
f(x) =
∞

n=0
f
(n)
(0)
n!
x
n
.
f =
∞

i=0
a
i
x
i
a
0
= 0.
f(x) =
∞


i=0
a
i
x
i
k[[x]]
g(x) =
∞

i=0
b
i
x
i
f(x)g(x) = 1. a
0
b
0
= 1,
i

j=0
a
i−j
b
j
= 0
i = 1, 2, . . . . b
j

a
0
= 0.
g(x) f(x) g(x) =
1
f(x)
.
f(x) p(x), q(x) ∈ k[x] f(x) =
p(x)
q(x)
f(x)q(x) = p(x) k[[x]]. q(0) = 1, f(x) deg f (x) :=
deg p(x) − deg q(x). F (x)
f(x) = F (x) F (x) f(x).
1
1 −x
= 1 + x + x
2
+ x
3
+ ···+ x
n
+ ···
e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2

2!
+
x
3
3!
+ ···+
x
n
n!
+ ···
ln(1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+ ···+ (−1)
n−1
x
n
n
+ ···
sin x = x −
x

3
3!
+
x
5
5!
− ···+ (−1)
n−1
x
2n−1
(2n −1)!
+ ···
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
− ···+ (−1)
n
x
2n
(2n)!
+ ···
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
arcsin x = x +
x
3

2.3
+
1.3x
5
2.4.5
+ ···+
1.3.5 . . . (2n −1)x
2n+1
2.4.6 . . . (2n).(2n + 1)
+ ···
arccos x =
π
2
−

x +
x
3
2.3
+
1.3x
5
2.4.5
+ ···+
1.3.5 . . . (2n −1)x
2n+1
2.4.6 . . . (2n).(2n + 1)
+ ···

arctan x = x −

x
3
3
+
x
5
5
− ···+ (−1)
n−1
x
2n−1
2n −1
+ ···
π
2
6
= 1 +
1
2
2
+
1
3
2
+ ···+
1
n
2
+ ··· .
x

x e
ix
= cos x + i sin x.
e
ix
= 1 +
ix
1!
+
(ix)
2
2!
+
(ix)
3
3!
+ ···+
(ix)
n
n!
+ ···
e
ix
= (1 −
x
2
2!
+
x
4

4!
− ···+ (−1)
n
x
2n
(2n)!
+ ···)
+ i(x −
x
3
3!
+
x
5
5!
− ···+ (−1)
n−1
x
2n−1
(2n −1)!
+ ···).
e
ix
= cos x + i sin x.
x, y
e
ix
e
iy
= e

i(x+y)

e
ix

n
= e
inx
n ∈ Z.
e
ix
e
iy
= e
i(x−y)
e
ix
= e
−ix
=
1
e
ix
.
cos x =
e
ix
+ e
−ix
2

, sin x =
e
ix
− e
−ix
2i
.
e = 2 +
1
2!
+
1
3!
+ ···+
1
n!
+ ···
π = 4(1 −
1
3
+
1
5
− ···+
(−1)
n−1
2n −1
+ ···).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
e

x
= 1 +
x
1!
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+ ···+
x
n
n!
+ ··· x = 1
e = 2 +
1
2!
+
1
3!
+ ···+
1
n!
+ ··· .
arctan x = x −
x
3

3
+
x
5
5
−···+ (−1)
n−1
x
2n−1
2n −1
+ ··· x = 1
π = 4(1 −
1
3
+
1
5
− ···+
(−1)
n−1
2n −1
+ ···).
e
e
x
e = 2 +
1
2!
+
1

3!
+ ··· +
1
n!
+ ··· .
e e =
p
q
.
p
q
= 2 +
1
2!
+ ··· +
1
q!
+
1
(q + 1)!
+ ··· .
p(q − 1)! − (2 +
1
2!
+ ··· +
1
q!
)q! =
1
q + 1

+
1
(q + 1)(q + 2)
+ ··· <
1
q + 1
+
1
(q + 1)
2
+··· =
1
q
.
e
π
π
∞

n=0
2
n+1
(2n + 1)

2n
n

m

n=0

2
n+1
(2n + 1)

2n
n

< π
m.
(arcsin x)
2
=
∞

n=0
2
2n
(n!)
2
x
2n+2
(2n + 1)!(n + 1)
|x|  1
4x
arcsin x
√
1 −x
2
=
∞


n=0
2
2n+2
(n!)
2
x
2n+2
(2n + 1)!
=
∞

n=0
(2x)
2n+2
(2n + 1)

2n
n

. x =
√
2
2
∞

n=0
2
n+1
(2n + 1)


2n
n

= π.
f(x) =
1 −x + x
2
1 + x + x
2
. f
(s)
(0)
2s! s = 1, 2, . . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) = 1 −
2x
1 + x + x
2
= 1 +
2x
2
− 2x
1 −x
3
|x| < 1.
f(x), f(x) =
1+(2x
2
−2x)(1+x

3
+x
6
+···) = 1−2x+2x
2
−2x
4
+2x
5
−2x
7
+2x
8
−··· .
f
(s)
(0) =





−2s! s = 3n − 2
2s! s = 3n −1
0 s = 3n.
f
(s)
(0)
2s!.
f(x) = 1 + a

1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ ···
x
f

(x)
f(x)
|a
n
|  n + 1 n.
f

(x)
f(x)
=
∞

n=0
b
n
x
n

|b
n
|  2 n. f

(x) =
f(x).
f

(x)
f(x)
a
1
+2a
2
x+3a
3
x
2
+··· = (1+a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+···)(b
0

+b
1
x+b
2
x
2
+···).
|a
n
|  n + 1 n. k
|a
k
| > k +1. ka
k
= b
0
a
k−1
+b
1
a
k−2
+···+b
k−2
a
1
+b
k−1
|ka
k

| > k(k + 1)
|b
0
a
k−1
+ b
1
a
k−2
+ ···+ b
k−2
a
1
+ b
k−1
|  2

|a
k−1
|+ |a
k−2
|+ ···+ |a
1
|+ 1

k(k + 1) < |ka
k
|  2

k + (k − 1) + ··· + 2 + 1


= k(k + 1) :
|a
n
|  n + 1 n.
2
1
2
(2
2
)
1
2
2
···(2
n
)
1
2
n
< 4
n.
2
1
2
(2
2
)
1
2

2
···(2
n
)
1
2
n
= 2
n

k=1
k
2
k
n

k=1
k
2
k
<
2.
∞

k=1
k
2
k
=
∞


k=1
∞

r=k
1
2
r
=
∞

k=1
1
2
k−1
= 2
n

k=1
k
2
k
< 2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
lim
n→+∞
a
n
b
n

, (a
n
) (b
n
)

a
−1
= 0, b
−1
= 1, a
0
= 1, b
0
= 1 n  1 :
a
n
= 2a
n−1
+ (2n − 1)
2
a
n−2
, b
n
= 2b
n−1
+ (2n − 1)
2
b

n−2
.
n b
n
=
n

k=0
(2k + 1)
a
n
= (2n + 1)a
n−1
+ (−1)
n
n−1

k=0
(2k + 1).
a
n
b
n
=
a
n−1
b
n−1
+
(−1)

n
2n + 1
n  0.
a
n
b
n
= 1 −
1
3
+
1
5
+ ··· +
(−1)
n
2n + 1
.
lim
n→+∞
a
n
b
n
= arctan 1 =
π
4
.
(a
n

) (b
n
)

a
0
= −1, b
0
= 1
a
n
= 2n −1, b
n
= −n
2
, n  1.
(A
n
) (B
n
)

A
0
= 0, B
0
= 1, A
1
= 1, B
1

= a
1
A
n+1
= a
n+1
A
n
+ b
n
A
n−1
, B
n+1
= a
n+1
B
n
+ b
n
B
n−1
, n  1.
A
n
, B
n
n.
A
n

B
n
∈ Q \Z.
lim
n→∞
B
n
A
n
.
n

k=1
1
k
=
1
1 −
1
2
3 −
2
2
5 −
3
2
−
···
2n −3 −
(n −1)

2
2n −1
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n B
n
= n!
A
n
= (
n

k=1
1
k
)n!.
A
n
B
n
=
n

k=1
1
k
∈ Q \Z.
B
n
A

n
=
1
n

k=1
1
k
lim
n→∞
B
n
A
n
= lim
x→−1
+
1
ln(1 + x)
= 0.
n

k=1
1
k
=
A
n
B
n

=
1
1 −
1
2
3 −
2
2
5 −
3
2
−
···
2n −3 −
(n −1)
2
2n −1
.
{a
n
} = {a
n
}
n∈N
. {Da
n
}
n∈N
Da
n

=
a
n+1
− a
n
, n  0, {a
n
}.
{D
2
a
n
}.
D
2
a
n
= Da
n+1
− Da
n
= a
n+2
− 2a
n+1
+ a
n
.
D
k+1

a
n
= D
k
a
n+1
− D
k
a
n
D
k
(D
h
a
n
) = D
k+h
a
n
.
r, (a
n
), a
n
=

n
r


,
Da
n
= a
n+1
− a
n
=

n
r−1

.
{a
n
} {b
n
} D(ra
n
+sb
n
) = rDa
n
+sDb
n
D
k
(ra
n
+ sb

n
) = rD
k
a
n
+ sD
k
b
n
r, s k, n.
D(ra
n
+sb
n
) = rDa
n
+sDb
n
= r(a
n+1
−a
n
)+s(b
n+1
−b
n
)
D(ra
n
+ sb

n
) = rDa
n
+ sDb
n
. D
k
(ra
n
+
sb
n
) = rD
k
a
n
+ sD
k
b
n
k.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
{a
n
}. D
r+1
a
n
= 0 n  0 r + 1
a

0
, Da
0
, . . . , D
r
a
0
D
k
a
n
k, n.
{b
n
} D
j
b
0
= D
j
a
0
D
r+1
b
n
= 0
n  0, 0  j  r, a
n
= b

n
n.
{a
n
}. p(x) r a
n
=
p(n) n  0 D
r+1
a
n
= 0 n  0. D
r+1
a
n
=
0 n  0
a
n
=

n
0

a
0
+

n
1


Da
0
+ ···+

n
s

D
s
a
0
+ ···+

n
r

D
r
a
0
.
p(x) r a
n
= p(n) n  0.
D
r+1
a
n
= 0 r. r = 0

a
n
= p(n) = a. D
1
a
n
= a − a = 0. r −1
p(x) = c
r
x
r
+···+ c
0
. a
n
= p(n) n  0 Da
n
= a
n+1
−a
n
=
p(n + 1) −p(n). q(x) = p(x + 1) −p(x) Da
n
= q(n). q(x)
r − 1 D
r
(Da
n
) = 0

D
r+1
a
n
= 0.
{a
n
} D
r+1
a
n
= 0 n  0.
{b
n
}
b
n
=

n
0

a
0
+ D

n
1

a

0
+ ···+ D
s

n
s

a
0
+ ···+ D
r

n
r

a
0
, n  0.
Db
n
= D

n
0

a
0
+ D
2


n
1

a
0
+ ···+ D
r+1

n
r

a
0
=

n
0

Da
0
+

n
1

D
2
a
0
+ ···+ D

r+1

n
r − 1

D
r
a
0
D
r+1
a
0
= 0. D
2
, . . . , D
j
D
j
b
n
=

n
0

D
j
a
0

+

n
1

D
j+1
a
0
+ ···+

n
r − j

D
r
a
0
D
r
b
n
= D
r
a
0

n
r−r


= D
r
a
0
. D
r+1
b
n
= D
r+1
a
0
= 0
n  0 D
j
b
0
= D
j
a
0
0  j  r. a
n
= b
n
n  0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(a
n
) a

0
= 3 a
n+1
= a
n
+ 4n + 1 n  0.
m n a
n
−3n−1 = 2m
2
.
Da
n
= a
n+1
− a
n
= 4n + 1, D
2
a
n
= Da
n+1
− Da
n
= 4(n +
1) + 1 − 4n − 1 = 4 D
3
a
n

= 0
a
n
= 3

n
0

+ Da
0

n
1

+ D
2
a
0

n
2

+ 0 = 3 + n + 2n(n −1) = 2n
2
−n + 3
a
n
− 3n − 1 = 2(n − 1)
2
n  0. m a

m+1
− 3(m +
1) −1 = 2m
2
.
(a
n
) a
0
= 3, a
1
= 2 a
n+2
= 3a
n+1
− 2a
n
−
6n
2
+ 14n − 5 n  0. a
n
n.
a
n+2
− 2a
n+1
= a
n+1
− 2a

n
− 6n
2
+ 14n − 5
b
n
= a
n+1
− 2a
n
b
n+1
= b
n
− 6n
2
+ 14n − 5 (b
n
)
b
0
= −4, b
n+1
= b
n
−6n
2
+ 14n − 5 n  0. Db
n
= b

n+1
−b
n
=
−6n
2
+ 14n − 5, D
2
b
n
= Db
n+1
− Db
n
= −6(n + 1)
2
+ 14(n + 1) − 5 +
6n
2
− 14n + 5 = −12n + 8 D
3
b
n
= −12, D
4
b
n
= 0
b
n

= −4

n
0

+ Da
0

n
1

+ D
2
a
0

n
2

+ D
3
a
0

n
3

b
n
= −4 −5n + 8


n
2

− 12

n
3

= −2n
3
+ 10n
2
− 13n − 4.
a
0
= 3, a
n+1
= 2a
n
− 2n
3
+ 10n
2
− 13n − 4 n  0.
a
n
= u.2
n
+ an

4
+ bn
3
+ cn
2
+ dn + e.
a
n
.
(a
n
) a
0
= 5, a
1
= 1 a
n+1
= a
n
+ 6a
n−1
−
6n
2
+ 26n −25 n  1. n
a
n
≡ 2.3
n
+ n

2
(mod 2
n
).
x
2
− x − 6 =
(x −3)(x + 2). a
n
= u3
n
+ v(−2)
n
+ +an
3
+ bn
2
+ cn + d






















5 = a
0
= u + v + d
1 = a
1
= 3u −2v + a + b + c + d
34 = a
2
= 9u + 4v + 8a + 4b + 2c + d
39 = a
3
= 27u −8v + 27a + 9b + 3c + d
226 = a
4
= 81u + 16v + 64a + 16b + 4c + d
415 = a
5
= 243u −32v + 125a + 25b + 5c + d.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u = 2, v = 3, b = 1 a = c = d = 0.
a

n
= 2.3
n
+ 3.(−2)
n
+ n
2
a
n
≡ 2.3
n
+ n
2
(mod 2
n
) n  0.
g(x) a
n
= g(n) a
n+1
− a
n
=
g(n + 1) −g(n) n
(1 + x)
n
=
n

k=0


n
k

x
k
1
1 −x
= 1 + x + x
2
+ ··· + x
n
+ ··· .
{a
n
}, {a
n
=
a
n
(x)}. f(x) =
∞

n=0
a
n
x
n
{a
n

}.
α.
∞

i=0
a
i
x
i
h(x) x ∈ (−α, α) h(x) h

(x) =
∞

i=1
ia
i
x
i−1
h

0
f(t)dt =
∞

i=0
a
i
x
i+1

i + 1
.
{a
n
}
a
0
= α
0
, . . . , a
s−1
= α
s−1
a
n+s
= γ
1
a
n+s−1
+ γ
2
a
n+s−2
+ ···+
γ
s
a
n
, n  0. f(x) {a
n

}
b
0
+ b
1
x + ··· + b
r
x
r
−1 + γ
1
x + ··· + γ
s
x
s
, r < s, {a
n
}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
0
= α
0
, . . . , a
s−1
= α
s−1
a
n+s
= γ

1
a
n+s−1
+
γ
2
a
n+s−2
+ ···+ γ
s
a
n
, n ≥ 0. f(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ ··· .
a
n+s
= γ
1
a

n+s−1
+ γ
2
a
n+s−2
+ ···+ γ
s
a
n
, n ≥ 0, (γ
1
x + γ
2
x
2
+
···+γ
s
x
s
)f(x) = p(x)+f(x), p(x) deg p(x) < s.
q(x) = γ
1
x + γ
2
x
2
+ ··· + γ
s
x

s
. (q(x) − 1)f (x) = p(x).
f(x) =
p(x)
q(x) −1
f(x)
f(x) =
b
0
+ b
1
x + ··· + b
r
x
r
−1 + γ
1
x + ··· + γ
s
x
s
=
p(x)
q(x)
, r < s. f(x)q(x) =
p(x) x
n












−a
0
= b
0
a
0
γ
1
− a
1
= b
1

a
0
γ
s−1
+ a
1
γ
s−2
+ ···− a

s−1
= b
s−1











a
0
γ
s
+ a
1
γ
s−1
+ ···− a
s
= 0
a
1
γ
s
+ a

2
γ
s−1
+ ···− a
s+1
= 0
a
2
γ
s
+ a
3
γ
s−1
+ ···− a
s+2
= 0

a
0
= α
0
, . . . , a
s−1
= α
s−1
.
a
n+s
= γ

1
a
n+s−1
+ γ
2
a
n+s−2
+ ··· + γ
s
a
n
, n ≥ 0. {a
n
}
u(x) = −x
s
+ γ
1
x
s−1
+ ··· + γ
s
= 0
r
1
, . . . , r
t
γ
1
, . . . , γ

t
. p
1
(n),
p
2
(n), . . . , p
t
(n) a
n
= p
1
(n)r
n
1
+ p
2
(n)r
n
2
+ ··· + p
t
(n)r
n
t
0  deg p
i
(n)  γ
i
− 1 i = 1, 2, . . . , t.

a
0
= 5, a
1
= 13, a
2
= 35 a
n+3
= 6a
n+2
−11a
n+1
+6a
n
n  0. a
n
≡ 2
n+1
(mod 3
n+1
) a
n
≡ 3
n+1
(mod 2
n+1
).
p(x) = x
3
−6x

2
+ 11x −6 = (x −1)(x −2)(x −3).
a
n
= a2
n
+ b3
n
+ c. a
n
= 2
n+1
+ 3
n+1
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
0
= 11, a
1
= 6, a
2
= 18, a
3
= 104, a
4
= 346
a
n+5
= 6a

n+4
− 13a
n+3
+ 14a
n+2
− 12a
n+1
+ 8a
n
, n  0.
m a
2011
2
m
.
p(x) = x
5
− 6x
4
+ 13x
3
− 14x
2
+ 12x − 8
p(x) = (x − 2)
3
(x − i)(x + i). a
n
= p
1

(n)2
n
+ ai
n
+ b(−i)
n
.
a
n
= (n
2
+ n + 1)2
n
+ 5i
n
+ 5(−i)
n
.
a
2011
= (2011
2
+ 2011 + 1)2
2011
. m
a
0
= 0, a
1
= 1, a

n+1
= a
n
+ a
n−1
, n  1.
f(x) =
x
1 −x −x
2
.
a
n
n
∞

n=0
a
n
4
n+1
=
1
11
.
f(x) = a
0
+a
1
x+a

2
x
2
+a
3
x
3
+··· . (1−x−x
2
)f(x) =
x f(x) =
x
1 −x −x
2
. a =
1 +
√
5
2
b =
1 −
√
5
2
,
f(x) f(x) =
1
√
5


1
1 −ax
−
1
1 −bx

.
f(x) =
1
√
5

(1 + ax + a
2
x
2
+ ···) − (1 + bx + b
2
x
2
+ ···)

.
x
n
a
n
=
a
n

− b
n
√
5
f(x) =
x
1 −x −x
2
. x =
1
4
∞

n=0
a
n
4
n+1
=
1
11
.
a
n
=
a
n
− b
n
√

5
a
0
= 0, a
1
= 1, a
n+1
= a
n
+ a
n−1
, n  1.
a
n
=
a
n
− b
n
√
5
, L
n
= a
n
+ b
n
lim
n→∞
a

n+1
a
n
= a.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
n
=
1
2
n−1
[
n−1
2
]

k=0

n
2k+1

5
k
=
[
n−1
2
]

k=0


n−k−1
k

.
a
2n+1
= a
2
n
+ a
2
n+1
, a
3n
= a
3
n
+ a
3
n+1
− a
3
n−1
.
a
n
= aa
n
+ a

n−1
, b
n
= ba
n
+ a
n−1
.
a
3n
+ (−1)
n
a
n
˙: a
2n
.
p > 5 a
p
˙: p a
2
+ 1 = 2 ˙: 2, a
3
+ 1 =
3 ˙: 3, a
5
= 5 ˙: 5.
a
n
=

a
n
− b
n
√
5
.
p > 5 a
p
=
1
2
p−1
[
p−1
2
]

k=0

p
2k+1

5
k
˙: p.
a
0
= 1, a
n+1

= a
0
a
n
+ a
1
a
n−1
+ ···+ a
n−1
a
1
+
a
n
a
0
, n  0. f(x) =
1 −
√
1 −4x
2x
.
a
n
n.
f(x) = a
0
+ a
1

x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ ··· .
f(x)f(x) = a
2
0
+ (a
0
a
1
+ a
1
a
0
)x + (a
0
a
2
+ a
1
a
1
+ a
2

a
0
)x
2
+ ···
= a
1
+ a
2
x + a
3
x
2
+ a
4
x
3
+ ··· =
f(x) −1
x
.
x[f(x)]
2
− f(x) + 1 = 0. f(0) = 0
f(x) =
1 −
√
1 −4x
2x
=

1
2x
−
1
2x
(1 −4x)
1
2
.
f(x) f(x) =
1 −
√
1 −4x
2x
.
f(x) =
1
2x

2x +
2
2
2!
x
2
+
1.3
3!
2
3

x
3
+ ··· +
1.3.5 (2n −3)
n!
2
n
x
x
+ ···

. a
n
=
1
n + 1

2n
n

n  1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên