Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
---------------------------------------

LÃ THỊ LỆ HÀ

HÀM GREEN ĐA PHỨC
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI
TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN – 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƢƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................... 5
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới ................................................................................ 5
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại ................................................................ 11
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức .................................................................. 16
CHƢƠNG II: HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET
ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC.......................................... 23

2.1. Đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc. ...................... 24
2.2. Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi. .................................................. 26
2.3. Các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn. ......................... 37
2.4. Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet................................................ 43
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 49

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức đƣợc đặt
nhƣ sau: Cho D  £ n là miền giả lồi chặt,  là độ đo Borel trên D .
Hãy tìm lớp các hàm đa điều hòa dƣới P (D ) thích hợp trên đó toán tử
Monge-Ampère phức (dd c )n đƣợc xác định tốt sao cho với hàm liên tục
tùy ý h trên D , bài toán sau có nghiệm duy nhất:

u  P (D )

(dd cu )n  

lim u (z )  h( ),   D
 z 

(I )

Bài toán Dirichlet đối với hàm đa điều hòa dƣới đã đƣợc nghiên
cứu đầu tiên bởi Brememann (1959), ở đó Ông đã dùng phƣơng pháp
của Perron để giải quyết. Sau đó Bedford và Taylor (1976) đã giới thiệu
toán tử Monge-Ampère phức và giải Bài toán Dirichlet (I) khi

P (D )  P SH (D ) I Lloc
(D ) và độ đo  là liên tục tuyệt đối đối với độ đo

Lebesgue. Từ đó một số tác giả nhƣ U.Cegrell (1984), U.Cegrell và
L.Persson (1992), U.Cegrell và S.Kolodziej (1994), Z.Blocki (1995) đã
cố gắng giải quyết bài toán bỏ qua tính liên tục của mật độ  .
S.Kolodziej (1996) đã cho điều kiện đủ đối với tính giải đƣợc của bài
toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trên lớp

P SH (D ) I Lloc
(D ) và giải bài toán Dirichle đối với các độ đo nhƣ thế.

Đối với các độ đo kỳ dị, tính giải đƣợc của bài toán Dirichlet đã đƣợc
giải quyết bởi J.P.Demailly (1987) và P. Lelong (1989).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

Theo hƣớng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài "Hàm Green đa
phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức". Ở đây
chúng tôi sẽ trình bày việc giải bài toán Dirichlet (I) đối với độ đo kỳ dị

 : n ( ) liên kết với hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc trên D .

Đề tài có tính thời sự, đã và đang đƣợc nhiều nhà toán học trong
và ngoài nƣớc quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả về hàm
Green đa phức và áp dụng để giải bài toán Dirichlet đối với toán tử
Monge-Ampère phức.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của
hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, toán tử MongeAmpère.
+ Trình bày một số kết quả về đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hoà
dƣới chấp nhận đƣợc, hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định
lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn.
+ Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử
Monge-Ampère.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phƣơng pháp của giải tích phức kết hợp với các
phƣơng pháp của giải tích hàm hiện đại.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

- Sử dụng các phƣơng pháp của lý thuyết thế vị phức.
- Kế thừa phƣơng pháp và kết quả của Ahmed Zeriahi.

4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 51 trang, trong đó có phần mở đầu, hai
chƣơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các
tính chất của hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, toán
tử Monge-Ampère.
Chƣơng 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả
nghiên cứu về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc,
Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định lý so sánh đối với lớp
các hàm không bị chặn. Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức
và toán tử Monge-Ampère.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt đƣợc.
Bản luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại
học Thái Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến
Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hƣớng dẫn
hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban
chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại
học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội
đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu khoa học.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái

Nguyên, Trƣờng THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận
văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn học viên để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

CHƢƠNG I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới
1.1.1. Định nghĩa
Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® [- ¥ , ¥ ) là một hàm
nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
a Î W và b Î £ n , hàm l a u(a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥

trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a + l b Î W}. Trong trường
hợp này, ta viết u Î P SH (W) . (ở đây P SH (W) là lớp hàm đa điều hoà

dưới trong W).
1.1.2. Định lý
Cho u : W® [- ¥ , ¥ ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng
- ¥

trên bất kỳ thành phần liên thông của WÐ £ n . Khi đó u Î P SH (W)

khi và chỉ khi với mỗi a Î W và b Î £ n sao cho

{a + l b : l Î £ , l £ 1}Ð W,
Ta có
Trong đó

u(a ) £ l(u;a, b) ,
1
l(u ;a, b) =
2p

2p

ò u(a + e b)dt
it

0

Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên từ định nghĩa hàm đa điều hòa
dƣới vì
l(u;a, b) = L (v;0,1) .

Điều kiện đủ. Giả sử a Î W, b Î £ n và xét
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

U = {l ẻ Ê : a + l b ẻ W}

Khi ú U l tp m trờn Ê . t v (l ) = u (a + l b), l ẻ U . Cn chng
minh v (l

) l iu hũa di trờn U . Mun vy ch cn chng t nu

l 0 ẻ U tn ti r > 0 sao cho vi 0 Ê r < r thỡ

1
v (l 0 ) Ê
2p

2p

ũ v(l

0

+ re i q )d q

0

T a + l 0b ẻ U nu cú r > 0 sao cho khi l < r thỡ a + l 0b + l b ẻ W.
Vi 0 Ê r < r ta cú {a + l 0b + l rb : l Ê 1}é W. Do ú t gi thit
1
u (a + l 0b) Ê
2p
1
Vy v (l 0 ) Ê
2p

2p

ũ u(a + l

b + rbe i q )d q

0

0

2p

ũ v(l

0

+ re i q )d q , ú l iu phi chng minh.

0

Mt s tớnh cht quan trng ca hm a iu ho di cú th c
suy ra t kt qu tip theo. Tng t nh trng hp ca cỏc hm iu
ho di, ta gi nú l nh lý xp x chớnh cho cỏc hm a iu ho di.
1.1.3. nh lý
Cho Wé Ê n l mt tp m v u ẻ P SH (W) . Nu e > 0 sao cho
We := z ẻ W: d (z , ả W) > e ạ ặ, thỡ u * c e é C Ơ ầ P SH (We ) Hn na,

{

}

u * c e n iu gim khi e 0 , v lim u * c e (z ) = u(z ) vi mi z ẻ W.
eđ 0

nh lý sau õy, mụ t tớnh a iu hũa di ca u qua o hm
theo ngha phõn b v cn dựng cho vic chng t dd cu l dũng dng
úng song bc (1,1).
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




7

1.1.4. Định lý
Giả sử W là tập mở trong £ n .
(i) Nếu u, v Î P SH (W) thì max {u, v } Î P SH (W) và nếu a , b ³ 0 thì
a u + b v Î P SH(W) . Nghĩa là P SH(W) là nón lồi.

(ii) Nếu {u j }

j³ 1

Ð P SH (W) là dãy giảm thì u = lim u j hoặc là hàm đa

điều hòa dưới trên W hoặc bằng - ¥ .
(iii) Nếu dãy {u j } Ð P SH(W) là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của
W tới hàm u : W® ¡ thì u Î P SH (W) .

(iv) Giả sử {u a } Ð P SH(W) sao cho u = sup {u a : a Î I } là bị chặn
aÎ I
trên địa phương. Khi đó chính quy hóa nửa liên tục trên u * Î P SH(W) .
Chứng minh. Các khẳng định (i), (ii), (iii) suy ra từ định nghĩa hàm đa
điều hòa dƣới và định lý hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dƣới
dấu tích phân trong trƣờng hợp dãy hội tụ đều. Ta chứng minh (iv). Chỉ
cần chứng tỏ a Î W, b Î £ n sao cho {a + l b : l Î £ , l £ 1}Ð W thì
1
u (a ) £
2p
*

2p

ò u (a + e
*

iq

b)d q

0

Dễ thấy với mọi z Î W, b Î £ n sao cho {z + l b, l £ 1}Ð W ta có
1
u (z ) £
2p

2p

ò u (z + e
*

iq

b)d q

0

Với a Î W, chọn dãy {z n } Ð W sao cho z n ® a và u (z n ) ® u * (a ). Từ

{z + l b, l

}

{

}

£ 1 Ð W nên với n đủ lớn z n + l b, l £ 1 Ð W. Khi đó

1
u (z n ) £
2p

2p

ò u (z
*

n

+ e i qb)d q .

0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

Bổ đề Fatou cho ta
1
u (a ) = lim sup u (z n ) £
n
2p
*

2p

ò lim sup u (z
*

n

0

1
£
2p

n

+ e i qb)d q

2p

ò u (a + e
*

iq

b)d q .

0

1.1.5. Mệnh đề
Giả sử WÐ £ n là tập mở, w Ð W là tập con mở thực sự, khác rỗng
của W. Giả sử u Î P SH (W) , v Î P SH(w) và lim sup x ® y v (x ) £ v (y ) với

mọi y Î ¶ w Ç W. Khi đó hàm
íï max {u, v } trong w
w = ïì
ïï u
trong W\ w
î

là hàm đa điều hòa dưới trên W.
Chứng minh. Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W. Chỉ cần chứng tỏ
nếu a Î W, b Î £ n sao cho {a + l b, l £ r }Ð W thì
1
w (a ) £
2p

2p

ò w (a + re b)d q
iq

0

Với a Î w , b Î £ n , chọn r > 0 đủ bé để {a + l b, l £ r }Ð w . Khi đó
1
u (a ) £
2p
1
v (a ) £
2p
1
Từ đó w (a ) £

2p

2p

2p

1
ò u a + re b d q £ 2p
0

ò w (a + re b)d q

2p

2p

(

)

iq

1
v
a
+
re
b
d
q

£
ò
2p
0

(

iq

)

iq

0

ò w (a + re b)d q
iq

0

2p

ò w (a + re b)d q .
iq

0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....