Sổ tay giải toán 12 - Nguyễn Đức Thắng

Thầy Nguyễn Đức Thắng

0969119789 –

Trường PTLC Vinschool

SỔ TAY GIẢI TOÁN 12


Thầy Nguyễn Đức Thắng

0969119789 –

Trường PTLC Vinschool

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ

TRANG

A. KHẢO SÁT HÀM SỐ

2

B. LUỸ THỪA - MŨ - LÔGARIT

18

C. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

25

D. SỐ PHỨC

42

E. NÓN – TRỤ-CẦU

47

F. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

54

G. KHỐI ĐA DIỆN

64

H. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

67

I. BỔ SUNG MỘT SỐ KIẾN THỨC

77

Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội

Page 1

Thy Nguyn c Thng
0969119789
Trng PTLC Vinschool
A. KHO ST HM S
1. Tớnh n iu
1.1. Lớ thuyt
a) nh ngha: Cho K l mt khong, on hoc na khong. Gi s f(x) l mt hm s xỏc nh trờn
K.
- Hm s f(x) gi l ng bin trờn K nu " x1 , x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1 ) < f ( x2 )
- Hm s f(x) gi l nghch bin trờn K nu " x1 , x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1 ) > f ( x2 )
b. iu kin cn
Gi s f cú o hm trờn khong K.
- Hm s f(x) khụng i trờn K "x ẻ K : f '( x ) = 0
- Nu f ng bin trờn khong K thỡ f '( x ) 0, "x ẻ K
- Nu f nghch bin trờn khong K thỡ f '( x ) Ê 0, "x ẻ K
c. iu kin
Gi s f cú o hm trờn khong K.
- Nu f (x) 0, "x ẻ I (fÂ(x) = 0 ti mt s hu hn im) thỡ f ng bin trờn K.
- Nu f (x) Ê 0, "x ẻ I (fÂ(x) = 0 ti mt s hu hn im) thỡ f nghch bin trờn K.
- Nu fÂ(x) = 0, "x ẻ I thỡ f khụng i trờn K.
1. 2. Mt s vn khỏc
a) nh lớ v du ca tam thc bc hai: g(x ) = ax 2 + bx + c (a ạ 0)
+ Nu D < 0 thỡ g( x ) luụn cựng du vi a.
ổ b ử
b
), g ỗ - ữ = 0
2a
ố 2a ứ
+ Nu D > 0 thỡ g( x ) cú hai nghim x1 , x2 v trong khong hai nghim thỡ g( x ) khỏc du

+ Nu D = 0 thỡ g( x ) luụn cựng du vi a (tr x = -

vi a, ngoi khong hai nghim thỡ g( x ) cựng du vi a.

ỡa > 0
ỡa < 0
+) y ' Ê 0, "x ẻ R ớ
Chỳ ý: - Nu y ' = ax 2 + bx + c (a ạ 0) thỡ: +) y ' 0, "x ẻ R ớ
D
Ê
0
ợ
ợD Ê 0
2

- Nu D = 0 hay g( x ) = a ( x - a ) thỡ g(x) khụng i du khi qua a , du ca g(x) ph
thuc du ca a.
- Nu D > 0 thỡ g(x) i du khi qua x1 , x2 ( i t+ sang sang +, hoc i t - sang + sang -)
b) So sỏnh cỏc nghim x1 , x2 ca tam thc bc hai g( x ) = ax 2 + bx + c vi s 0:
ỡD 0
ù
+) x1 Ê x2 < 0 ớ P > 0
ùợ S < 0

ỡD 0
ù
+) 0 < x1 Ê x2 ớ P > 0
ùợ S > 0

+) x1 < 0 < x2 P < 0

c) Hm s bc hai: y = ax 2 + bx + c (a ạ 0)
a>0
th hm s l mt parabol cú nh

a<0
th hm s l mt parabol cú nh

ổ b
D ử
ỗ- ;- ữ
ố 2a 4a ứ

ổ b
D ử
ỗ- ;- ữ
ố 2a 4a ứ

Trung tõm luyn thi cht lng cao Thnh t Tõy M, Nam T Liờm, H Ni

Page 2


Thy Nguyn c Thng

0969119789

Trng PTLC Vinschool

ổ b
ử
Hm s ng bin trờn ỗ - ; +Ơ ữ
ố 2a
ứ

ổ b
ử
Hm s nghch bin trờn ỗ - ; +Ơ ữ
ố 2a
ứ

ổ
b ử
Hm s nghch bin trờn ỗ -Ơ; - ữ
2a ứ
ố

ổ
b ử
Hm s ng bin trờn ỗ -Ơ; - ữ
2a ứ
ố

D
b
ti x = 4a
2a
Bng bin thiờn

D
b
ti x = 4a
2a
Bng bin thiờn

Dng th:

Dng th:

ymin = -

ymax = -

d) ng dng trong gii toỏn
Cho hm s y=g(x) xỏc nh trờn (a;b) v liờn tc trờn [a;b]:
+) g( x ) Ê m, "x ẻ (a; b) max g( x ) Ê m ;
ộở a;b ựỷ

+) g( x ) m, "x ẻ (a; b) min g( x ) m
ộở a;b ựỷ

e) n iu trờn mt khong, on
hm s y = f ( x ) ng bin trờn tp K no ú thỡ tn ti khong f(x)>0 cha tp K.
hm s y = f ( x) nghch bin trờn tp K no ú thỡ tn ti khong f(x)<0 cha tp K
B tr:

- Tp (-Ơ; a) l tp con ca tp (-Ơ; b) khi v ch khi a Ê b
- Tp (a; +Ơ) l tp con ca tp (b; +Ơ) khi v ch khi b Ê a

ỡc Ê a
- Tp (a; b) l tp con ca tp (c; d ) khi v ch khi ớ
ợb Ê d
1.3. Tớnh n iu ca hm thng gp
a) Hm s a thc bc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ạ 0) :
ã

ỡa > 0
iu kin hm s f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ng bin trờn R l ớ
; nghch bin trờn
ợD Ê 0
ỡa < 0
R l ớ

ợD Ê 0

ã

Hm s f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ng bin ( nghch bin) trờn K thỡ khong m f '( x ) 0 (

f '( x ) 0 ) ca hm s phi cha K.
b) Hm s phõn thc dng f ( x ) =

ax + b
(c ạ 0, ad - bc ạ 0)
cx + d


Thầy Nguyễn Đức Thắng
( ad - bc < 0)

·

·

0969119789 –

Trường PTLC Vinschool

Điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên trên (a ; +¥ ) là

ìad - bc > 0
ï
í
d
ïa £ c
î

( ad - bc < 0 )

ìad - bc > 0
ï
í
d
ïa ³ c
î

( ad - bc < 0 )

Điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên trên ( -¥;a ) là

+) Đối với hàm hợp y = f (g( x)) , trong đó hàm u = g( x ) xác định và có đạo hàm trên ( a; b ) , lấy giá
trị trên khoảng ( c; d ) ; hàm y = f (u) xác định ( c; d ) và có đạo hàm trên ( c; d ) , lấy giá trị trên R.
·

ïì g '( x ) > 0 " x Î ( a; b )
ïì g '( x ) < 0 " x Î ( a; b )
Nếu í
hoặc í
thì hàm số y = f (g( x)) đồng biến
ïî f '(u) > 0 "u Î ( c; d )
ïî f '(u) < 0 "u Î ( c; d )

trên ( a; b ) .
·

ìï g '( x ) < 0 " x Î ( a; b )
ìï g '( x ) < 0 " x Î ( a; b )
Nếu í
hoặc í
thì hàm số y = f (g( x)) nghịch biến
ïî f '(u) > 0 "u Î ( c; d )
ïî f '(u) > 0 "u Î ( c; d )

trên ( a; b ) .

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
2.1. Lí thuyết
a) Định nghĩa: Giả sử hàm số f ( x) xác định trên D, x0 Î D .

- Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại số thực dương h sao cho ( x0 - h; x0 + h )

chứa trong D và f (x) > f ( xo ), x Î ( x0 - h; x0 + h ) \ { x0 }
Khi đó:
+ Giá trị f ( x0 ) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

+ Điểm ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=f(x).

+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

- Điểm x0 gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại số thực dương h sao cho ( x0 - h; x0 + h )
chứa trong D và f ( x ) < f ( xo ), x Î ( x0 - h; x0 + h ) \ { x0 }
Khi đó: Giá trị f ( x0 ) gọi là giá trị cực đại của hàm số. Điểm ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm cực đại của đồ thị
hàm số y=f(x).
+ Giá trị f ( x0 ) gọi là giá trị cực đại của hàm số.

+ Điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y=f(x).

+ Hàm số đạt cực đại tại điểm x0
Chú ý: Cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị
b) Định lí:
Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội

Page 4


Thầy Nguyễn Đức Thắng
0969119789 –
Trường PTLC Vinschool
Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì hoặc không tồn tại f '(x 0 ) hoặc
f '( x0 ) = 0

Điều kiện đủ 1: Giả sử tồn tại ( a; b ) Ì D chứ x0 , hàm số y=f(x) liên tục trên (a,b) và có đạo hàm
trên mỗi khoảng ( a; x0 ) , ( x0 ; b )
·

ïì f '( x ) < 0 "x Î ( a; x0 )
Nếu í
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
ïî f '( x ) > 0 "x Î ( x 0 ; b )

·

ïì f '( x ) > 0 "x Î ( a; x0 )
Nếu í
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)
ïî f '( x ) < 0 "x Î ( x 0 ; b )

Điều kiện đủ 2: Giả sử tồn tại ( a; b ) Ì D chứ x0 , hàm số y=f(x) liên tục trên (a,b) và có đạo hàm
cấp 1 trên (a;b) và có đạo hàm cấp hai tại x0 . Khi đó:
·

ì f '( x0 ) = 0
Nếu í
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
î f ''( x0 ) > 0

ì f '( x0 ) = 0
Nếu í
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)
î f ''( x0 ) < 0

2.2. Một số vấn đề khác

·

a) Hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0) :

·

ì
ìa ¹ 0
ïa = 0
ï
ï
Hàm số đạt cực đại tại x0 khi: í D f '(x) > 0 hoặc íb < 0
ï c
ï
î f ''( x0 ) < 0
= x0
ïî 2b

·

ì
ìa ¹ 0
ïa = 0
ï
ï
Hàm số đạt cực tiểu tại x0 khi: í D f '(x) > 0 hoặc íb > 0
ï c
ï f ''( x ) > 0

0
î
= x0
ïî 2b

·

ìa ¹ 0
ìa = 0
Hàm số không có cực trị Û í
hoặc í
D
£
0
îb = 0
î f '(x)

·
·

ìa ¹ 0
Hàm số có cực đại, cực tiểu Û í
î D f '(x) > 0
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ¹ 0 ) . Với điều kiện b2 - 3ac > 0 , thực hiện phép chia y cho y’ ta
được y = y’(x).g(x) + Ax + B. Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = Ax + B
b) Hàm số đa thức trùng phương: f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c (a ¹ 0)
TH1: a = 0
*) Nếu b > 0 Hàm số chỉ có 1 cực tiểu

*) Nếu b < 0 Hàm số chỉ có 1 cực đại
*) Nếu b = 0 Hàm số không có cực trị
Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội

Page 5


Thầy Nguyễn Đức Thắng

0969119789 –

(

TH2: a ¹ 0 . Khi đó: y ' = 4ax 3 + 2bx = 2 x 2ax 2 + b

)

Trường PTLC Vinschool

*) Nếu a.b<0 thì hàm số có ba cực trị. Cụ thể
a>0: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại
a<0: Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu
*) Nếu a.b ³ 0 : Hàm số chỉ có đúng một cực trị
a>0: Hàm số có 1 cực tiểu
a<0: Hàm số có 1 cực đại
Tham khảo: Trường hợp đồ thị hàm số: y = ax 4 + bx 2 + c

( a ¹ 0 ) có ba điểm cực trị

æ

æ
b
b2 ö
b
b2 ö
Ba điểm cực trị là A ( 0; c ) , B ç - - ; c - ÷ và C ç - ; c - ÷ .
ç
ç
2a
4a ÷ø
2a
4a ÷ø
è
è
Khi đó ta có AB = AC =

b 4 - 8ab
16a

2

và BC = -

2b
.
a

Dạng 1. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác
ì ab < 0
vuông khi và chỉ khi í 3

.
î b + 8a = 0

Dạng 2. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều
ì ab < 0
khi và chỉ khi í 3
.
î b + 24a = 0

Dạng 3. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam
ìab < 0
ï
·
giác cân có một góc BAC = a cho trước khi và chỉ khi í
b3 + 8a
cos
a
=
ï
b3 - 8a
î
Dạng 4. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn điều kiện BC = OA
ì ab < 0
(với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi í 2
.
î ac + 2b = 0

Dạng 5. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam

ìab < 0

ï
giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi í
b5 .
S
=
ï
32a3
î
Dạng 6. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam

ìab < 0
ï
b3 - 8a .
giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi í
R=
ï
8ab
î

Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội

Page 6


Thầy Nguyễn Đức Thắng

0969119789 –

Trường PTLC Vinschool

Dạng 7. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam
ì ab < 0
ï
b2
ï
ï
4a
giác có bán kính đường tròn nội tiếp là r khi và chỉ khi í
.
ïr =
b2
ï
1
+1
ïî
8a

Dạng 8. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam
ì 3
giác nhận gốc O là trực tâm khi và chỉ khi í b + 8a - 4abc = 0
îc ¹ 0

Dạng 9. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam
ì 3
giác nhận gốc O là tâm đường tròn ngoại tiếp khi và chỉ khi í b - 8a - 8abc = 0
îc ¹ 0

c) Hàm số phân thức dạng f ( x ) =
d) Hàm số bậc 2/bậc 1 y =

ax + b
(c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) không có cực trị
cx + d

ax 2 + bx + c
có cưc đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có
a'x +b'

hai nghiệm phân biệt khác -

b'
. Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
a'

ax 2 + bx + c
2ax + b
thị hàm số y =
là y =
.
a' x + b'
a'
3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
3.1. Lí thuyết
Giả sử f xác định trên D Ì ¡ . Ta có

ì f ( x ) £ M "x Î D
ì f ( x ) ³ m "x Î D
ï
ï
; m = min f ( x ) Nếu í

.
M = max f ( x ) Nếu í
xÎD
xÎD
ï
ï
î$x0 Î D : f ( x0 ) = M
î$x0 Î D : f ( x0 ) = m

3.2. Chú ý: Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn éë a; b ùû , có đạo hàm trên

( a; b ) và

f '( x ) = 0 có hữu hạn nghiệm , ta làm như sau:

B1 Tìm các điểm x1 , x2 , …, xm thuộc khoảng ( a; b ) mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc
không có đạo hàm.

B2 Tính f ( x1 ) , f ( x2 ) , …, f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) .
B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên

đoạn éë a; b ùû ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn éë a; b ùû .

{

}

{

}

max f ( x ) = max f ( x1 ) , f ( x2 ) , K , f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) .

xÎéë a;b ùû

min f ( x ) = min f ( x1 ) , f ( x2 ) , K , f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) .

xÎéë a;b ùû

3.3. Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì


Thầy Nguyễn Đức Thắng

0969119789 –

Trường PTLC Vinschool

3.4. Chú ý: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và tồn tại min f ( x ) = m; max f ( x ) = M . Khi
D

D

đó:
1) Phương trình f ( x ) = a có nghiệm trên D Û m £ a £ M.
2) Bất phương trình f ( x ) ³ a có nghiệm trên D Û M ³ a.
3) Bất phương trình f ( x ) £ b có nghiệm trên D Û m £ b.
4) Bất phương trình f(x) ³ a đúng với mọi x Î D Û m ³ a.
5) Bất phương trình f(x) £ b đúng với mọi x Î D Û M £ b.

Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội

Page 8


Thy Nguyn c Thng
0969119789
Trng PTLC Vinschool
4. TIM CN CA TH HM S
Khỏi nim
Hỡnh nh minh ho
Phng phỏp tỡm tim cn
1. Tim cn ng:
B1. Tỡm tp xỏc nh
B2. Tỡm cỏc giỏ tr x0 m ti
ng thng x = x0 (vuụng gúc
Ox) gi l tim cn ng ca
th hm s: y=f(x) Nu cú ớt nht
mt trong cỏc gii hn sau:

x0 hm s: y=f(x) khụng xỏc

lim f ( x ) = +Ơ, lim- f ( x ) = -Ơ,
x đ x0

nh.
B3. Tớnh cỏc gii hn:
lim+ y = Ơ & lim- y = Ơ

lim f ( x ) = +Ơ, lim f ( x ) = -Ơ,

+
+
x đ x0

B4. Kt lun.

x đ x0x đ x0

2. Tim cn ngang
Hm s y = f ( x) xỏc nh trờn
mt khong vụ hn (cú th l

( -Ơ; a ) , ( b; +Ơ ) , ( -Ơ; +Ơ )

x đ x0

x đ x0

B1. Tỡm tp xỏc nh
B2. Tớnh cỏc gii hn:

lim y = y0 & lim y = y0

x đ+Ơ

x đ-Ơ

B3. Kt lun

ng thng y = y0 (vuụng gúc

Oy) gi l tim cn ngang ca
th hm s: y=f(x) Nu cú ớt nht
mt trong cỏc gii hn sau:

lim f ( x ) = y0 , lim f ( x ) = y0

x đ+Ơ

x đ-Ơ

3. Tim cn xiờn
Hm s y = f ( x) xỏc nh trờn
mt khong vụ hn (cú th l

( -Ơ; a ) , ( b; +Ơ ) , ( -Ơ; +Ơ )

ng thng y = ax + b ( a ạ 0 )
gi l tim cn xiờn ca th
hm s: y=f(x) Nu cú ớt nht mt
trong cỏc gii hn sau:
lim ộở f ( x ) - ( ax + b ) ựỷ = 0,

x đ+Ơ

lim ộ f ( x ) - ( ax + b ) ựỷ = 0.

B1. Tỡm tp xỏc nh
B2. Tớnh cỏc gii hn:

ổ f (x) ử

lim ỗ
ữ=a
x đ+Ơ ố x ứ
hoc
lim ( f ( x ) - ax ) = b
x đ+Ơ

ổ f (x) ử
lim ỗ
ữ=a
x đ-Ơ ố x ứ
lim ( f ( x ) - ax ) = b
x đ-Ơ

B3. Kt lun

x đ-Ơ ở

Chỳ ý:
1. Hm s: y =

ax + b
d
a
cú tim cn ng l: x = - , tim cn ngang l: y =
cx + d
c
c

2.Hm s: y =

ax2 + bx + c
k
n
= px + q +
cú tim cn ng l: x = - , tim cn xiờn l:
mx + n
mx + n
m

y = px + q


Thy Nguyn c Thng
3. lim

x đ+Ơ

0969119789

n

n -1

m

m -1

an x + an -1 x

bm x + bm -1 x

+ ... + a1 x + a0

ộ n Ê m : TCẹ & TCN
=ờ
+ ... + b1 x + b0 ở n > m :TCẹ & TCX

4. Hm s: y = f ( x ) = ax 2 + bx + c

( a > 0 ) cú tim cn xiờn l y =

5. Hm s: y = f ( x ) = mx + n + p ax 2 + bx + c
y = mx + n + p a x +
6. Hm s: y =

Trng PTLC Vinschool

a x+

b
2a

( a > 0 ) cú tim cn xiờn l

b
2a

mx + n

ch cú tim cn ngang, cú th cú tim cn ng nu ax 2 + bx + c = 0

2

ax + bx + c

cú nghim.
B sung mt s kin thc:
- Cụng thc khong cỏch: ng thng D : ax + by + c = 0
Khong cỏch t M n l: d ( M , D ) =

(a2 + b2 ạ 0) v M ( x0 ; y0 ) .

ax0 + by0 + c
a2 + b2

c bit: - ng thng D : y = m thỡ d ( M , D ) = y0 - m
- ng thng D : x = n thỡ d ( M , D ) = x0 - n
- Cụng thc gii hn:

C

ộ+Ơ nchaỹn
= 0 vụựi ( k > 0 ) & lim x n = ờ
, lim x n = +Ơ vụựi n ẻ N
n
leỷ
-Ơ
x đƠ x
x đ-Ơ

x đ+Ơ
ở

+ Gii hn ti vụ cc: lim
+ Gii hn mt bờn: lim
+
x đ x0

k

c
ộ +Ơ Neỏu c > 0
=ờ
&
x - x 0 ở -Ơ Neỏu c < 0

lim

x đ x0-

c
ộ -Ơ Neỏu c > 0
=ờ
x - x 0 ở +Ơ Neỏu c < 0

5. TNG GIAO HAI TH HM S
5.1. Kin thc

Cho hai ng cong: ( C1 ) : y = f ( x ) v ( C2 ) : y = g( x )

ỡ y = f ( x)
+) Nu M ( x0 ; y0 ) l im chung ca ( C1 ) v ( C2 ) M ( x0 ; y0 ) l nghim ca h: ớ
ợ y = g( x)
+ Honh giao im ca ( C1 ) v ( C2 ) l nghim ca phng trỡnh: f (x ) = g( x ) (*)
+) S nghim phng trỡnh (*) bng s giao im ca ( C1 ) v ( C2 )
5.2 . B sung mt s kin thc
a) Phng trỡnh bc 2
ỡD > 0
-Phng trỡnh: g( x ) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ạ 0 ) cú hai nghim phõn bit khỏc x0 ớ
ợ g( x0 ) ạ 0
ỡD = 0
ù
-Phng trỡnh: g( x ) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ạ 0 ) cú nghim kộp khỏc x0 ớ b
ùợ- 2a ạ 0
-Phng trỡnh: g( x ) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ạ 0 ) vụ nghim D < 0

Trung tõm luyn thi cht lng cao Thnh t Tõy M, Nam T Liờm, H Ni

Page 10


Thầy Nguyễn Đức Thắng
0969119789 –
Trường PTLC Vinschool
b) Phương trình bậc 3 hay tương giao đồ thị hàm đa thức bậc ba và trục Ox
Tương giao của đồ thị hàm bậc 3 y = a ' x 3 + b ' x 2 + c ' x + d ' ( a ' ¹ 0 ) và trục Ox:
Phương trình hoành độ giao điểm: a ' x 3 + b ' x 2 + c ' x + d ' = 0

(

)

Trường hợp 1: Biến đổi phương trình: a ' x 3 + b ' x 2 + c ' x + d ' = 0 thành ( x - a ) ax 2 + bx + c = 0
·

(

)

Phương trình: ( x - a ) ax 2 + bx + c = 0 có ba nghiệm phân biệt Û Phương trình:

ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt khác a .
·

(

)

Phương trình: ( x - a ) ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt Û Phương trình:

ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm kép khác a hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một
é ìD = 0
ê í g(a ) ¹ 0
nghiệm bằng a Û ê î
ê ìí D > 0
êë î g(a ) = 0

·

(

)

Phương trình: ( x - a ) ax 2 + bx + c = 0 chỉ có một nghiệm Û Phương trình:

é ìD = 0
ax + bx + c = 0 có nghiệm kép bằng a hoặc vô nghiệm Û ê íî g(a ) = 0
ê
ëD < 0
Trường hợp 2: Không nhẩm được nghiệm a
2

Số giao điểm của đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d

( a ¹ 0 ) và Ox bằng số nghiệm của phương

trình: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
· Chỉ có một nghiệm khi và chỉ khi: Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến; hoặc có hai

é Dy ' £ 0
ê
trong đó: x1 , x2 là nghiệm của
cực trị nằm về cùng một phía đối với Ox Û ê ìDy ' > 0
í
ê î y( x1 ).y( x2 ) > 0
ë
phương trình: y ' = 0
·

Chỉ có hai nghiệm khi và chỉ khi hàm số có hai cực trị, trong đó có một cực trị nằm trên Ox

·

ìD > 0
trong đó: x1 , x2 là nghiệm của phương trình: y ' = 0
Û í y'
y
(
x
).
y
(
x
)
=
0
î 1
2
Chỉ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có hai cực trị, trong đó có hai cực trị nằm
ìD > 0
trong đó: x1 , x2 là nghiệm của phương trình:
về hai phía của trục Ox Û í y '
î y( x1 ).y( x2 ) < 0

y' = 0
Bổ sung: Phương trình đường thẳng qua hai cực trị (nếu có) là y = mx + n (Biểu thức mx + n là đa
thức dư khi chia y cho y’).
Xét y ' = 3ax 2 + 2bx + c = 0

Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội

Page 11


Thy Nguyn c Thng
0969119789
Trng PTLC Vinschool
c) Phng trỡnh bc bn trựng phng hay tng giao ca th hm a thc bc 4 trựng
phng vc trucj Ox)
ỡ t = x2 0
f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a ạ 0 ) ớ
. t = x2 x = t
f
(
t
)
=
0
ợ
S nghim
4
3
2
1

iu kin

ỡD>0
ù
ớP>0

ùS >0
ợ

ỡP=0
ớ
ợS >0

ộP < 0
ờ
ờ ỡớ D = 0
ờở ợ S / 2 > 0

ộỡ P = 0
ờớ
ờợ S < 0
ờỡ D = 0
ờớ
ờở ợ S / 2 = 0

0

CSC

ộỡ D 0
ờù
ờớ P > 0
ờ ùợ S < 0
ờ
ờở D < 0

ỡù 0 < t1 < t2
ớ
ùợ t2 = 3 t1

Mt s kin thc hỡnh hc b sung:
uur
uur
uur uur
- Cho: u1 = ( x1; y1 ) , u2 = ( x2 ; y2 ) ị u1.u2 = x1 x2 + y1y2

uuuuur
- Cho A1 ( x1; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ) : A1 A2 = ( x2 - x1; y2 - y1 ) ; A1 A2 =

2

( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 )

2

- Cho tam giỏc D A1 A2 A3 trong ú: A1 ( x1; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ), A3 ( x3 ; y3 ) khụng thng hng:
uuuuur uuuuur
+ Tam giỏc D A1 A2 A3 vuụng ti A1 A1 A2 . A1 A3 = 0
uuuuur uuuuur
ỡAA = AA
1 3
ù 1 2
+ Tam giỏc D A1 A2 A3 u ớ uuuuur uuuuur
ùợ A1 A2 = A2 A3
- Din tớch tam giỏc : SD ABC =

1
1
abc
h.a = b.c sin A = pr =
= p ( p - a )( p - b )( p - c )
2
2
4R

6. HM S V TH
6.1. th hm s bc 3
th hm s luụn ct trc Ox ti ớt nht mt im
ổ b
ổ b ửử
th nhn im I ỗ - ; f ỗ - ữ ữ l tõm i xng
ố 3a ố 3a ứ ứ
Bng bin thiờn v dng th
Trng a>0
hp

a<0

y' = 0
vụ
nghim
*) Hm s luụn ng bin trờn R
*) Hm s khụng cú cc tr

*) Hm s luụn nghch bin trờn R
*) Hm s khụng cú cc tr

Thầy Nguyễn Đức Thắng

y' = 0

0969119789 –

Trường
ng PTLC Vinschool

*) Hàm số luôn đồng biến
n trên R
*) Hàm số không có cực trị

*) Hàm số luôn nghịch biến
n trên R
*) Hàm số không có cực trị

*) Hàm số đồng biến
n trên kho
khoảng

*) Hàm số nghịch biến
n trên kho
khoảng

*) Hàm số đạt cực đại tại
x = X1; yCÑ = f ( X1 ) . Hàm ssố đạt cực tiểu

*) Hàm số đạt cực đại tại
x = X1; yCT = f ( X1 ) . Hàm số đạt
đ cực

có
nghiệm
kép

y' = 0
có hai
nghiệm
phân
biệt

( -¥; X1 ) và ( X2 ; +¥ ) . Hàm ssố nghịch biến ( -¥; X1 ) và ( X2 ; +¥ ) . Hàm số đồng biến
trên ( X1; X2 ) .
trên ( X1; X2 ) .
tại x = X2 ; yCT = f ( X2 ) .

tiểu tại x = X2 ; yCÑ = f ( X2 ) .


Thy Nguyn c Thng

0969119789

Trng PTLC Vinschool

6.2. th hm s bc 4 trựng phng: f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c (a ạ 0)
ã

ã
ã

Vỡ hm s l chn trờn R nờn th luụn nhn trc tung lm trc i xng.
Hm s luụn cú cc tr (mt cc tr nu a.b>0 ; ba cc tr nu a.b<0)
Cú mt cc tr luụn thuc trc Oy. Trng hp cú 3 im cc tr thỡ ba im cc tr l 3 nh
ca tam giỏc cõn.
Bng bin thiờn v dng th
Cỏc dng
a>0
a<0
*) n iu
*) n iu
Hm s ng bin trờn cỏc khong
Hm s nghch bin trờn cỏc khong
ổ
ổ
ử
b ử
b
ỗ - - ; 0 ữ v ỗ - ; +Ơ ữ
ỗ
ỗ
ữ
2a ữứ
2a
ố
ố
ứ
Hm s nghch bin trờn cỏc khong

ổ
ổ
ử
b ử
b
ỗ - - ; 0 ữ v ỗ - ; +Ơ ữ
ỗ
ỗ
ữ
2a ữứ
2a
ố
ố
ứ
Hm s ng bin trờn cỏc khong

ổ
ổ
b ử
b ử
ỗ -Ơ; - - ữ v ỗ 0; - ữ
ỗ
ỗ
2a ữứ
2a ữứ
ố
ố
* Cc tr

ổ
ổ
b ử
b ử
ỗ -Ơ; - - ữ v ỗ 0; - ữ
ỗ
ỗ
2a ữứ
2a ữứ
ố
ố
* Cc tr

Hm s t cc tiu ti : xCT = y = 0 cú 3
nghim phõn
bit
PT (*) cú
hai nghim
phõn bit
khỏc 0
ab < 0

b
2a

Hm s t cc tiu ti : xCẹ = -

b
2a

v yCT = Y1 = f (xCT ) .Hm s t cc

v yCẹ = Y1 = f (xCẹ ) .Hm s t cc i

i ti xCẹ = 0 v yCẹ = Y2 = c .

ti xCT = 0 v yCT = Y2 = c .

* Gii hn

* Gii hn

(
lim ( ax

)
ộ-Ơ Neỏu a < 0
+ c) = ờ
ở +Ơ Neỏu a > 0

ộ-Ơ Neỏu a < 0
lim ax 4 + bx 2 + c = ờ
x đ-Ơ
ở +Ơ Neỏu a > 0
x đ+Ơ

4

+ bx 2

(
lim ( ax

)
ộ-Ơ Neỏu a < 0
+ c) = ờ
ở +Ơ Neỏu a > 0

ộ-Ơ Neỏu a < 0
lim ax 4 + bx 2 + c = ờ
x đ-Ơ
ở +Ơ Neỏu a > 0
x đ+Ơ

4

+ bx 2

th hm s khụng cú tim cn
*) Bng BT

th hm s khụng cú tim cn
*) Bng BT

3. th

3. th


Thy Nguyn c Thng

0969119789

*) n iu
Hm s ng bin trờn cỏc khong

( 0;+Ơ ) . Hm s nghch bin trờn cỏc
khong ( -Ơ; 0 )

y = 0 ch cú
1 nghim
PT (*) vụ
nghim hoc
ch cú mt
nghim bng
0 ab > 0

Trng PTLC Vinschool

*) n iu
Hm s ng bin trờn cỏc khong

( -Ơ; 0) . Hm s nghch bin trờn cỏc
khong ( 0; +Ơ )

* Cc tr
Hm s t cc tiu ti xCT = 0 v

* Cc tr
Hm s t cc tiu ti xCẹ = 0 v

yCT = Y2 = c .

yCẹ = Y2 = c .

* Gii hn

* Gii hn

(
lim ( ax

)
ộ-Ơ Neỏu a < 0
+ c) = ờ
ở +Ơ Neỏu a > 0

ộ-Ơ Neỏu a < 0
lim ax 4 + bx 2 + c = ờ
ở +Ơ Neỏu a > 0

x đ-Ơ

4

x đ+Ơ

+ bx 2

(

lim ( ax

)
ộ-Ơ Neỏu a < 0
+ c) = ờ
ở +Ơ Neỏu a > 0

ộ-Ơ Neỏu a < 0
lim ax 4 + bx 2 + c = ờ
ở +Ơ Neỏu a > 0

x đ-Ơ

4

x đ+Ơ

+ bx 2

*) Bng BT

*) Bng BT

th hm s khụng cú tim cn
3. th

th hm s khụng cú tim cn
3. th

6.3. th hm s phõn thc dng f ( x ) =

ax + b
(c ạ 0, ad - bc ạ 0)
cx + d

Bng bin thiờn v dng th

ad - bc > 0

ad - bc < 0

*)n iu

*)n iu

ổ
dử
Hm s ng bin trờn cỏc khong ỗ -Ơ; - ữ v
cứ
ố

ổ
dử
Hm s nghch bin trờn cỏc khong ỗ -Ơ; - ữ
cứ
ố


Thy Nguyn c Thng

0969119789

ổ d
ử
ỗ - ; +Ơ ữ
ố c
ứ
*) Cc tr
Hm s khụng cú cc tr
*) Gii hn

lim

ổ dử
x đỗ - ữ
ố cứ

-

y = +Ơ v

thng x = lim y =

x đ-Ơ

lim

ổ dử
x đỗ - ữ
ố cứ

Trng PTLC Vinschool

ổ d
ử
v ỗ - ; +Ơ ữ
ố c
ứ
*) Cc tr
Hm s khụng cú cc tr
*) Gii hn
+

y = -Ơ nờn ng

d
l tim cn ng
c

lim

ổ dử
x đỗ - ữ
ố cứ

-

y = -Ơ v

thng x = -

a
a
v lim y = nờn ng thng
x đ+Ơ
c
c

a
l tim cn ngang
c
*) Bng bin thiờn :

lim y =

x đ-Ơ

lim

ổ dử
x đỗ - ữ
ố cứ

+

y = +Ơ nờn ng

d
l tim cn ng
c

a
a
v lim y = nờn ng thng
x đ+Ơ
c
c

a
l tim cn ngang
c
*) Bng bin thiờn :

y=

y=

3. th

3. th

7. BI TON TIP TUYN

Dng 1. Phng trỡnh tip tuyn ca ng cong (C): y = f ( x) ti tip im M ( x0 ; y0 ) cú dng:

d : y = f '( x ) ( x - x0 ) + y0
0
p dng trong cỏc trng hp sau:
Trng hp
1. Vit phng trỡnh tip tuyn d ca (C) ti

im M ( x0 ; y0 ) .

Cn tỡm

Ghớ chỳ

H s gúc : f ' ( x0 )
H s gúc : f ' ( x0 )

ỡ
ù f ' ( x0 )
T x0 ị ớ
ù
ợ f ( x0 )

3. Vit phng trỡnh tip tuyn d ca (C) ti
im cú tung y = y0

Honh tip im x0

Gii phng trỡnh
y0 = f ( x0 )

4. Vit phng trỡnh tip tuyn d ca (C) ,
bit h s gúc k ca tip tuyn d .

Honh tip im x0

Gii phng trỡnh
f ' ( x0 ) = k

2. Vit phng trỡnh tip tuyn d ca (C) ti
im cú honh x = x0

Tung tip im y0 = f ( x0 )
H s gúc : f ' ( x0 )

Tung tip im y = f ( x

)


Thầy Nguyễn Đức Thắng
0969119789 –
Trường PTLC Vinschool
Chú ý: Gọi k1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và k 2 là hệ số góc của đường thẳng d2
Nếu d1 song song với d2 thì k1 = k2
Nếu d1 vuông góc với d2 thì k1.k2 = -1

Dạng 2 (tham khảo). Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) đi qua điểm A ( x1; y1 )

Phương pháp: Bước 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc k

d : y = k ( x - x1 ) + y1

Bước 2. Tìm điều kiện để d là tiếp tuyến của đường cong (C) :

ìï f ( x ) = k ( x - x1 ) + y1
d tiếp xúc với đường cong (C) Û í
có nghiệm.

ïî f ' ( x ) = k (*)
Bước 3. Khử k , tìm x , thay x vào (*) để tìm k , từ đó suy ra các tiếp tuyến cần tìm

Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội

Page 17


Thầy Nguyễn Đức Thắng
0969119789 –
B. MŨ – LOGARIT
1. Định nghĩa và các công thức luỹ thừa và mũ
a) Lũy thừa
Cơ số a
Số mũ a
Luỹ thừa aa

Trường PTLC Vinschool

a = n Î N*

aÎR

aa = an = a.a......a (n thừa số a)

a =0

a¹0

aa = a0 = 1

a = -n ( n Î N * )

a¹0

aa = a-n =

a=

m
(m Î Z , n Î N , n ³ 2)
n

a>0

a = lim rn (rn Î Q , n Î N * )

a

a

a>0

m
=an

1
an
n

= a m ( n a = b Û b n = a)
r

aa = lim a n

2. Các phép toán: Với a và b là những số thực dương, avà b là những số thực tùy ý, ta có
aa

aa .a b = aa + b

ab

(aa )b = aa .b = (a b )a

= aa - b

a

æaö
aa
=
ç ÷
ba
èbø

(ab)a = aa .ba

3. So sánh:
Nếu a > 1 thì aa > a b Û a > b ;

Nếu 0 < a < 1 thì aa > a b Û a < b

Với 0 < a < b ta có: am < bm Û m > 0 ;
b) Căn bậc n:

am > bm Û m < 0

·

Khái niệm : Căn bậc n của a là số b sao cho b n = a .

·

Với a, b ³ 0, m, n Î N*, p, q Î Z ta có:
n

·

ab = n a .n b ;

Nếu

n

a na
=
(b > 0) ;
b nb

p q

n
m
= thì a p = aq (a > 0)
n m

n

p

a p = ( n a ) (a > 0)

Đặc biệt

- Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì

n

n

a=

mn

mn

a = mn a

am

a

- Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì

n

a
Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau, căn có giá trị
dương ký hiệu là

n

a

khi n lẻ
ìa
an = í
khi n chẵn
îa
2. Định nghĩa và các công thức lôgarit
+

n

* Định nghĩa : log a b = a Û aa = b
* Phép toán : Với a, b > 0; a ¹ 1;
log a 1 = 0 ;

log a a = 1 ;

b1, b2 > 0; aÎ R ta có:
log a a b = b ;

a

loga b

=b

Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội

Page 18


Thy Nguyn c Thng
0969119789
Trng PTLC Vinschool
* So sỏnh: Nu a > 1 thỡ log a b > log a c b > c . Nu 0 < a < 1 thỡ log a b > log a c b < c
* Phộp toỏn: log a (b1b2 ) = log a b1 + log a b2

ổb ử
loga ỗ 1 ữ = loga b1 - loga b2
ố b2 ứ

log a ba = a log a b

* i c s : Vi a, b, c > 0 v a, b ạ 1, ta cú:
logb c =

log a c

log a b

hay log a b.log b c = log a c

log a b =

1
log b a

logaa c =

1
loga c (a ạ 0)
a

* Logarit thp phõn: lg b = log b = log10 b
n

* Logarit t nhiờn (logarit Nepe):

ổ 1ử
ln b = loge b (vi e = lim ỗ 1 + ữ = 2, 718281...... )
ố nứ

3. HM S LY THA
* Dng: y = xa , a ẻ R
* Tp xỏc nh: D
ã anguyờn dng thỡ TX l D = R

ã anguyờn õm hoc bng 0 thỡ TX l D = R \ {0}.
ã

akhụng l s nguyờn thỡ TX l D = (0; +Ơ).

* o hm :

( xa )' = a .xa -1 ( "x ẻ D) .

(ua )' = a .ua -1.u ' vi u l hm hp.

* Tớnh n iu : trờn khong (0 ; +Ơ) hm s ng bin nu a>0 v nghch bin nu a< 0 .
* th :
ã

Luụn i qua im (1; 1)

ã
ã

a 0 th khụng cú tim cn.
a< 0 th cú tim cn ngang l trc Ox, tim cn ng l trc Oy.

* Chỳ ý: Hm s y =

( n x )Â =

1
xn

1
n

n x n -1

khụng ng nht vi hm s y = n x (n ẻ N *) .
( vi x > 0 khi n chn v xạ 0 khi n l)

( n u )Â =

u'
n

n u n-1

4. HM S M
* Dng:

y = a x (a > 0, a ạ 1).

* Tp xỏc nh:
* Tp giỏ tr:

D = R.
T = (0; +Ơ).

Â
( eu )Â = eu .u '
* o hm: ( e x ) = e x
* Tớnh n iu:

ã Khi a > 1 hm s ng bin trờn R.
ã Khi 0 < a < 1 hm s nghch bin trờn R.
* th:
ã Luụn i qua cỏc im (0; 1) ; (1 ; a)
ã th cú tim cn ngang l trc Ox.

( a x )Â = a x .ln a

( au )Â = au .u '.ln a

Trung tõm luyn thi cht lng cao Thnh t Tõy M, Nam T Liờm, H Ni

Page 19


Thy Nguyn c Thng

0969119789

y

y=ax

1

Trng PTLC Vinschool
y

y=ax
1

x

a>1

x

0
Chỳ ý: Gii hn c bit: lim (1 +
x đ0

1
x) x

x

ổ 1ử
= lim ỗ 1 + ữ = e
x đƠ ố
xứ

ex - 1
=1
x đ0 x
lim

5. HM S LễGARIT
* Dng: y = log a x (a > 0, a ạ 1)
* Tp xỏc nh: D = (0; +Ơ).

* Tp giỏ tr: T = R.
* o hm:

( ln x )Â = 1
x

( ln u )Â = uÂ

(x ạ0);

u

( loga x )Â = x ln1 a (xạ0)

( loga u ) = u lnu a

* Tớnh n iu:
ã

Khi a > 1 hm s ng bin trờn (0; +Ơ).

ã Khi 0 < a < 1 hm s nghch bin trờn (0; +Ơ).
* th:
ã Luụn i qua im (1; 0) v (a ; 1).
ã th cú tim cn ng l trc Oy.

y
y

O

y=logax

y=logax

1

O

0
a>1

Chỳ ý : Gii hn c bit:

x

1

x

lim

x đ0

ln(1 + x )
=1
x

6. PHNG TRèNH M

ỡb > 0
6.1. Phng trỡnh m c bn: Vi a > 0, a ạ 1: a x = b ớ
ợ x = log a b
6.2. Mt s phng phỏp gii phng trỡnh m
a) a v cựng c s: Vi a > 0, a ạ 1:

a f ( x ) = a g( x ) f ( x ) = g( x )

Trung tõm luyn thi cht lng cao Thnh t Tõy M, Nam T Liờm, H Ni

Page 20


Thy Nguyn c Thng

0969119789

Chỳ ý: Trong trng hp c s cú cha n s thỡ:

Trng PTLC Vinschool

a M = a N (a - 1)( M - N ) = 0

b) Logarit hoỏ: a f ( x ) = b g( x ) f ( x ) = ( log a b ) .g( x )
c) t n ph:
ã Dng 1:
ã Dng 2: a a

f (x)
ỡ

, t > 0 , trong ú P(t) l a thc theo t.
P (a f ( x ) ) = 0 ớt = a
P
(
t
)
0
=
ợ

2 f ( x)

+ b (ab)

f (x)

+g b

2 f (x)

= 0 Chia 2 v cho b

2 f (x)

ổaử
, ri t n ph t = ỗ ữ
ốbứ

ã Dng 3: a f ( x ) + b f ( x ) = m , vi ab = 1. t t = a f ( x ) ị b f ( x ) =

f (x)

1
t

d) S dng tớnh n iu ca hm s
Xột phng trỡnh:
f(x) = g(x)
(1)
ã oỏn nhn x0 l mt nghim ca (1).
ã Da vo tớnh ng bin, nghch bin ca f(x) v g(x) kt lun x0 l nghim duy nht:
ã Nu f(x) ng bin (hoc nghch bin) thỡ f (u) = f (v) u = v
Cn nh:
+) a>1: Hm s y = a x ng bin (ngha l: Nu x1 < x2 ị a x1 < a x2 )
+) 0
+) Hm s y = f ( x ) liờn tc v cú o hm trờn I.
-

Nu f '( x ) > 0 thỡ hm s ng bin trờn I;

-

Nu f '( x ) < 0 thỡ hm s nghch bin trờn I.

+) Hm s y = f ( x ) liờn tc v cú o hm trờn I. Nu y = f ( x) luụn ng bin hoc luụn nghch
bin thỡ f (u) = f (v) ị u = v
e) a v phng trỡnh cỏc phng trỡnh c bit

ộA = 0

ã Phng trỡnh tớch A.B = 0 ờ
ởB = 0
ỡA = 0
ã Phng trỡnh A2 + B2 = 0 ớ
ợB = 0
f) Phng phỏp i lp : Xột phng trỡnh: f(x) = g(x)
(1)
ỡ f ( x) M
ỡ f ( x) = M
Nu ta chng minh c: ớ
thỡ
(1) ớ
ợg( x) Ê M
ợg( x ) = M
g) Phng phỏp phõn tớch thnh tớch:

ộv = -a
uv + au + bv + ab = 0 ( v + a )( u + b ) = 0 ờ
ởu = -b
7.BT PHNG TRèNH M
Khi gii cỏc bt phng trỡnh m ta cn chỳ ý tớnh n iu ca hm s m.
ộ ỡa > 1
ờ ớ f ( x ) > g( x )
a f ( x ) > a g( x ) ờ ợ
ờ ỡớ 0 < a < 1
ởờ ợ f ( x ) < g( x )
Chỳ ý: Trong trng hp c s a cú cha n s thỡ:
Trung tõm luyn thi cht lng cao Thnh t Tõy M, Nam T Liờm, H Ni

Page 21

Thy Nguyn c Thng

0969119789

Trng PTLC Vinschool

a M > a N (a - 1)( M - N ) > 0
8. PHNG TRèNH LOGARIT:
8.1. Phng trỡnh logarit c bn: Vi a > 0, a ạ 1:

log a x = b x = a b

8.2. Mt s phng phỏp gii phng trỡnh logarit
8.3. Dng c bn
Dng 1: Phng trỡnh dng log a f ( x ) = log a g( x ); 0 < a ạ 1
Phng phỏp gii:

ỡ f ( x ) = g( x )
loga f ( x ) = loga g( x ) ớ
ợ g( x ) > 0
Dng 2: Phng trỡnh dng : log a f ( x ) = b
Phng phỏp gii:
Phng trỡnh log a f ( x ) = b f ( x ) = a b
Dng 3: Phng trỡnh cú dng
log a f ( x ) = log b g( x ) (0 < a, b ạ 1)
Phng phỏp gii:

ỡù f ( x ) = at

+) loga f ( x ) = logb g( x ) ớ
t
ùợg( x ) = b
Kh n x a v phng trỡnh m n t.
a
ỡù
ộ f ( x )ự
g
x
=
(
)
+) log f x g ( x ) = a ớ
ở
ỷ
( )
ùợ f ( x ) ; g ( x ) > 0; f ( x ) ạ 1
Dng 4: Phng trỡnh dng
ỡùt = loga x
+) f ( loga x ) = 0 ( 0 < a ạ 1) ớ
ùợ f ( t ) = 0
ỡùt = loga g ( x )
+) f ộở loga g ( x ) ựỷ = 0 ( 0 < a ạ 1) ớ
ùợ f ( t ) = 0
8.4. Mt s phng phỏp gii phng trỡnh m:
a) Phng phỏp a v cựng c s
Cn nh cỏc cụng thc bin i sau:
1. a

m+ n

m

= a .a

n

2. a

m-n

=

am

3. a

an

-n

=

1
an

4. a

nx

( )

= a

x

n

5.

x
n
a

n

= a x 6. a- nx =

1

(a )
x

n

b) Phng phỏp lụgarit hoỏ
S dng mt s cụng thc sau:
1. loga ( x.y ) = loga x + loga y
3. log a xa = a log a x
5. loga b =

logc b
logc a

( x, y > 0,0 < a ạ 1) 2.

( x > 0, 0 < a ạ 1)

( 0 < a, c ạ 1, b > 0 )

Chỳ ý: log a x 2 n = 2n loga x

4. log aa

ổxử
loga ỗ ữ = log a x - loga y ( x , y > 0, 0 < a ạ 1)
ốyứ
1
x = loga x
x > 0,0 < a ạ 1,a ạ 0
a

6. logab xa =

(

a
loga x
b

)

( x > 0,0 < a ạ 1, b ạ 0)

"x ạ 0

c) Phng phỏp t n ph
Trung tõm luyn thi cht lng cao Thnh t Tõy M, Nam T Liờm, H Ni

Page 22


Thầy Nguyễn Đức Thắng
0969119789 –
+ Đặt ẩn phụ hoàn toàn:
Cần nhớ một số công thức sau:

log a b =

log c b
log c a

( 0 < a, c ¹ 1, b > 0 ) , log a

b

xa =

a
loga x

b

Trường PTLC Vinschool

( x > 0,0 < a ¹ 1, b ¹ 0)

Đặt t = log a x . Một số công thức biến đổi
+ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Sử dụng biệt thức V cho tam thức bậc 2 ẩn t, trong đó t = log a x để phân tích thành tích
d) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Cần nhớ:
+) a>1: Hàm số y = log a x đồng biến trên R+ (nghĩa là: Nếu 0 < x1 < x2 Þ log a x1 < log a x2 )
+) 0+) Hàm số y = f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên I.

- Nếu f '( x ) > 0 thì hàm số đồng biến trên I;
- Nếu f '( x ) < 0 thì hàm số nghịch biến trên I.

+) Hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên I. Nếu y = f ( x) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch
biến thì f (u) = f (v) Þ u = v
+) Đạo hàm: ( loga u ) ' =

u'
u ln a

ì f ( x) ³ M
e) Phương pháp đối lập: Giả sử cần giải phương trình: f ( x ) = g ( x ) ta chỉ ra: í
îg( x) £ M
ì f ( x) = M
khi đó: f ( x ) = g( x ) Û í

îg( x ) = M
f) Phương pháp phân tích thành tích:
é v = -a
uv + au + bv + ab = 0 Û ( v + a )( u + b ) = 0 Û ê
ëu = -b
Chú ý:
· Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.
· Với a, b, c > 0 và a, b, c ¹ 1: a logb c = c logb a
9. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:
Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.
é ìa > 1
ê í f ( x ) > g( x ) > 0
loga f ( x ) > log a g( x ) Û ê î
ê ìí 0 < a < 1
ëê î 0 < f ( x ) < g( x )
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
loga A
log a B > 0 Û (a - 1)( B - 1) > 0 ;
> 0 Û ( A - 1)( B - 1) > 0 .
log a B
10. MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ
10.1. LÃI ĐƠN
Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi mà số tiền gốc sinh ra
Công thức tính lãi đơn : Tn = M (1 + r.n )
Với Tn : số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn ;
M : số tiền vốn ban đầu.
r : Lãi suất định kỳ ( tính theo % )
Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội

Page 23

Thầy Nguyễn Đức Thắng
0969119789 –
Trường PTLC Vinschool
n : số kỳ hạn tính lãi.
10.2. LÃI KÉP
Số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra thay đổi
theo từng định kỳ.
a) Lãi kép gửi một lần :

Công thức tính lãi kép : Tn = M (1 + r )

n

Với Tn : số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn ;
M : số tiền vốn ban đầu.
r : Lãi suất định kỳ ( tính theo % )
n : số kỳ hạn tính lãi.
b) Lãi kép, gửi định kỳ :
*Trường hợp 1 : Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng
Cuối tháng thư nhất người đó bắt đầu gửi tiền : T1 = M
Cuối tháng thứ hai ngườiđó có số tiền là : M(1 + r) + M = M[(1+r) + 1] =

M
[(1 + r )2 - 1]
r

M
M

[(1 + r )2 - 1] (1+r) + M=
[(1 + r )3 - 1]
r
r
M
Cuối tháng thứ n ngườiđó có số tiền là : Tn = [(1 + r )n - 1]
r
*Trường hợp 2 : Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng
M
Cuối tháng thứ n ngườiđó có số tiền là : Tn = [(1 + r )n - 1](1 + r )
r
c) Vay trả góp : Vay A, lãi suất r, số kì vay n, trả hàng kì : M
n M
Tn = A (1 + r ) - [(1 + r )n - 1]
r
d) Tăng lương : Khởi điểm A, tỉ lệ tăng hàng kì : r, số lần tăng lương : n
A
n
Tổng tiền : Tn = [(1 + r )n - 1] và tiền lương ở kì tăng lương thứ n là Tn = A (1 + r )
r
Cuối tháng thứ ba ngườiđó có số tiền là :

Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội

Page 24