Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------

NGÔ VĂN GIANG

TÍNH TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số

: 60 46 01

Thái Nguyên, năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ö❝ ❧ö❝
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶

✶✳✷

✶✳✸

✼

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✶

✣↕♦ ❤➔♠ ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✷

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✶✳✸

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H −1

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✶✳✹

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

▼ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✷✳✶

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ✈î✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✷✳✷

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍♦❧❞❡r

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✷✳✸

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥ë✐ s✉② ✤è✐ ✈î✐ ❝❤✉➞♥ Lp ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✷✳✹

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ●r♦♥✇❛❧❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✷✳✺

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙t♦❦❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶✳✸✳✶

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶✳✸✳✷

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶✳✹

✶✳✺

❚♦→♥ tû ❙t♦❦❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✹✳✶

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✹✳✷

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝❤♦ sè ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✷ ◆❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s
✷✳✶

✷✳✷

▼ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s

✷✻

✸ ◆❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s
✸✳✶

✸✳✷

✶✾

✷✾

❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ✷✾
✸✳✶✳✶

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷ ❝❤✐➲✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✸✳✶✳✷

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✸ ❝❤✐➲✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲
❙t♦❦❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

✸✳✷✳✶

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷ ❝❤✐➲✉ ✳ ✳

✸✺

✸✳✷✳✷

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✸ ❝❤✐➲✉ ✳ ✳

✸✻

❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✾

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✵

✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉
• R = (−∞; +∞) ✿ t➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝✳
• R+ = [0; +∞) ✿ t➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳
• Rn ✿ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤ü❝ ♥ ❝❤✐➲✉ ✈î✐ ❦þ ❤✐➺✉ t➼❝❤ ✈æ
❤÷î♥❣ ❧➔ < ., . > ✈➔ ❝❤✉➞♥ ✈❡❝tì ❧➔ || . || ✳

• C([a; b], Rn ) ✿ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [a; b] ✈➔ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà
tr➯♥ Rn ✳

• C(U ) = {u : U → R | u ❧✐➯♥ tö❝⑥✳
• C(U¯ ) = {u ∈ C(U ) | u ❧✐➯♥ tö❝ ✤➲✉⑥✳
• C k (U ) = {u : U → R | u ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ❦❤↔ ✈✐ ❦ ❧➛♥⑥✳
• C k (U¯ ) = {u ∈ C k (U ) | Dα u ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ |α| ≤ k ⑥✳
¯ ) t❤➻ Dα u t❤→❝ tr✐➸♥ ❧✐➯♥ tö❝ tî✐ U¯ ✈î✐ ♠å✐ ✤❛ ❝❤➾
❉♦ ✤â✿ ♥➳✉ u ∈ C k (U
sè α, |α| ≤ k ✳

• L2 ([a, b], Rm )✿ t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ ❤❛✐ tr➯♥ [a, b] ✈➔ ❧➜② ❣✐→ trà
tr♦♥❣ Rm ✳
k
∞ ¯
• C ∞ (U ) = {u : U → R | u ❦❤↔ ✈✐ ✈æ ❤↕♥⑥ = ∩∞
k=0 C (U )✱ C (U ) =
k ¯
∩∞
k=0 C (U )✳

• Cc (U ), Cck (U ), ...,✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❝→❝ ❤➔♠ tr♦♥❣ C(U ), C k (U ), ..., ✈î✐ ❣✐→
❝♦♠♣➢❝✳

• Lp (U ) = {u : U → R | u ❧➔ ✤♦ ✤÷ñ❝ ▲❡❜❡s❣✉❡✱ u

Lp (U )

< ∞⑥✳

✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❚r♦♥❣ ✤â

u

Lp (U )

1

|u|p dx) p

=(
U

(1 ≤ p < ∞)✳
• L∞ (U ) = {u : U → R | u ❧➔ ✤♦ ✤÷ñ❝ ❧❡❜❡s❣✉❡✱ u < ∞⑥✳
❚r♦♥❣ ✤â

u

Lp (U )

= ess sup |u|.
U

• Lploc (U ) = {u : U → R | u ∈ Lp (V )✱ ✈î✐ ♠å✐ V ⊂⊂ U ⑥✳
• H k (U ), Wpk (k = 1, 2, 3...) ❦þ ❤✐➺✉ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✳

✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ð ✤➛✉
❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔♦ ♥➠♠
✶✽✷✷✱ ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❛② ✤➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈✐➳t ✈➲ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ♥➔② t✉② ♥❤✐➯♥ ♥❤ú♥❣ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ❝õ❛ t❛ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❝á♥ q✉→
❦❤✐➯♠ tè♥✳ ▼✉è♥ ❤✐➸✉ ✤÷ñ❝ ❤✐➺♥ t÷ñ♥❣ sâ♥❣ ❞➟♣ s❛✉ ✤✉æ✐ ❝♦♥ t➔✉ ❝❤↕②
tr➯♥ ♠➦t ♥÷î❝ ❤❛② ❤✐➺♥ t÷ñ♥❣ ❤é♥ ❧♦↕♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❦❤➼ s❛✉ ✤✉æ✐ ♠→② ❜❛②
❦❤✐ ❜❛② tr➯♥ ❜➛✉ trí✐✳✳✳❝❤ó♥❣ t❛ ✤➲✉ ♣❤↔✐ t➻♠ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✳ ❉♦ ♥❤✉ ❝➛✉ ❝õ❛ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ♠➔ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❝➔♥❣ trð ♥➯♥ t❤í✐ sü ✈➔ ❝➜♣ t❤✐➳t✳
❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ♠æ t↔ sü ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❝❤➜t ❧ä♥❣
tr♦♥❣ Rn ✭n = 2 ❤♦➦❝ n = 3✮✳ ❚❛ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ❝❤➜t ❧ä♥❣ ❦❤æ♥❣ ♥➨♥ ✤÷ñ❝
❧➜♣ ✤➛② Rn ✳ ❚❛ ✤✐ t➻♠ ♠ët ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➟♥ tè❝ u(x, t) = (ui (x, t)), i =

1, 2, ..., n ✈➔ ❤➔♠ →♣ s✉➜t p(x, t)✱ ①→❝ ✤à♥❤ t↕✐ ✈à tr➼ x ∈ Rn ✈➔ t❤í✐ ❣✐❛♥
t > 0✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ♥❤÷ s❛✉✿
∂ui
+
∂t

n

uj
j=1

∂ui
∂p
= ν ui −
+ fi (x, t)
∂xj
∂xi

(x ∈ Rn , t > 0, i = 1, 2, ..., n), u = (u1 , u2 , ..., un ),
n

div u =
i=1

∂ui
= 0 (x ∈ R, t > 0).
∂xi

❱î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉

u(x, 0) = uo (x).
✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

é tỡ uo (x) ổ ợ div uo = 0, fi (x, t)
ỳ t t ỹ t ở ởt số
ữỡ
ỗ ữỡ t t ử
t
ữỡ ởt số tự
ữỡ ừ ữỡ tr rts
ữỡ ừ ữỡ tr rsts
ố ũ tổ tọ sỹ trồ ỏ t ỡ s s tợ
t P r ữớ t t ữợ
t ồ ú ù tổ t ổ
t ỡ ừ ồ ừ
rữớ ữ ũ t ổ
t ồ t ỡ
ỗ ũ ợ ồ ổ q
t ở ú ù tổ tr sốt tớ ồ t



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




❈❤÷ì♥❣ ✶
▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② sì ❜ë ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✱ ♠ët sè ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙t♦❦❡s✱ t♦→♥ tû ❙t♦❦❡s ✈➔ ♠ët sè ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➲ sè ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥✳

✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥
✤➳♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✱ ♣❤➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ❝â t❤➸ ①❡♠ tr♦♥❣ ❬✺❪✳

✶✳✶✳✶ ✣↕♦ ❤➔♠ ②➳✉
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû u, v ∈ L1loc(U ) ✈➔ α ❧➔ ♠ët ✤❛ ❝❤➾ sè✳ ❚❛ ♥â✐
r➡♥❣ v ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ②➳✉ ❝➜♣ α ❝õ❛ u ♥➳✉

uDα φdx = (−1)|α|
U

vφdx
U

✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û φ ∈ Cc∞ (U ).
❑➼ ❤✐➺✉ Dα u = v.

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ✭❚➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ②➳✉✮✳ ▼ët ✤↕♦ ❤➔♠ ②➳✉ ❝➜♣
α ❝õ❛ u ♥➳✉ tç♥ t↕✐ t❤➻ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❞✉② ♥❤➜t ✭s❛✐ ❦❤→❝ tr➯♥
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ❦❤æ♥❣✮✳

✶✳✶✳✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❈è ✤à♥❤ 1 ≤ p ≤ ∞ ✈➔ ❝❤♦ ❦ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣
➙♠✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ Wpk ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ tê♥❣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

u : U → R s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠é✐ ✤❛ ❝❤➾ sè α, |α| ≤ k ✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ②➳✉ Dα u tç♥
t↕✐ ✈➔ t❤✉ë❝ Lp (U )✳

❈❤ó þ ✶✳✶✳✹✳ ◆➳✉ p = 2 t❛ ❝â

H k (U ) = W2k (U ) (k = 1, 2, ...)
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ❈❤ó þ r➡♥❣ H 0 (U ) = L2 (U )✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ◆➳✉ u ∈ Wpk (U )✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ♥â ❧➔
u

Wpk

|Dα u|p dx)1/p (1 ≤ p < ∞)

:= (
|α|≤k

U

✈➔

u

Wpk

ess sup |Dα u| (p = ∞).

:=

U

|α|≤k

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳ ❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ Cc∞(U ) tr♦♥❣ H k (U ) ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔
H0k (U )✳
◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝♦✐ H0k (U ) ♥❤÷ ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ u ∈ H k (U ) s❛♦ ❝❤♦ Dα u = 0
tr➯♥ ∂U ✈î✐ ♠å✐ |α| ≤ k − 1✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❦þ ❤✐➺✉ |u| = u

L2 (Ω) ✳

❈❤✉➞♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t
n

∇u

L2 (Ω)

|Di u|2 dx)1/2

=(
Ω i=1

s➩ ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ u .
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✶✳✶✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H −1
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ H01(U ) ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔
H −1 (U )✱ tù❝ ❧➔ f ∈ H −1 (U ) ♥➳✉ f ❧➔ ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥
tr➯♥ H01 (U )✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✽✳ ◆➳✉ f ∈ H −1(U ) t❤➻
f

H −1 (U )

= sup{< f, u > |u ∈ H01 (U ), u

H01 (U )

≤ 1}.

❚❛ ✈✐➳t <, > ✤➸ ❦➼ ❤✐➺✉ ❣✐→ trà ❝õ❛ f ∈ H −1 (U ) tr➯♥ u ∈ H01 (U )✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✾✳ ✭❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ H −1✮
✭✐✮ ●✐↔ t❤✐➳t f ∈ H −1 (U )✳ ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ❝→❝ ❤➔♠ f 0 , f 1 , ..., f n tr♦♥❣

L2 (U ) s❛♦ ❝❤♦
n
0

< f, v >=

f i vxi dx (v ∈ H01 (U )).

f v+
U

i=1

✭✐✐✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱
n

f

H −1 (U )

|f i |2 dx)1/2 | f

= inf{(
U i=0

t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✐✮ ✈î✐ f 0 , ..., f n ∈ L2 (U )}.

✶✳✶✳✹ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✵✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥
Lp (0, T ; X)
❣ç♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ✤♦ ✤÷ñ❝ u : [0, T ] → X ✈î✐
T

u

Lp (0,T ;X)

u(t) p dt)1/p < ∞

:= (
0

✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not

read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....