SKKN Van dung tam thuc bac hai vao giai toan THCD

Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thcs
một số dạng toán vận dụng tam thức bậc
hai
(I):giải phơng trình :
A:Kiến thức cơ bản:
Để vận dụng tam thức bậc hai vào giải phơng trình ta đa phơng trình đó về dạng
phơng trình bậc hai dạng :ax
2
+ bx + c = 0 bằng cách đặt hoặc biến đổi. Khi đa ph-
ơng trình đó về dạng phơng trình bậc hai một ẩn ta đã có công cụ giải ở lớp 9. Đó
là công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai .
B :Một số dạng toán cơ bản :
1 : Phơng trình trùng phơng
a :Kiến thức cơ bản :
Phơng trình trùng phơng có dạng : a x
4
+bx
2
+c =0 (a

0 )
Để đa phơng trìng trên về dạng phơng trìng bậc hai ta đặt ẩn phụ :x
2
= t (t

0 )
Ta đợc phơng trìng bậc hai : at
2
+bt +c = 0
b:Ví dụ : Giải phơng trình : 2x
4

-3x
2
-2=0
Giải :
Đặt x
2
=t Điều kiện t

0 ta đợc phơng trình bậc hai đối với ẩn t .
2t
2
- 3t - 2 = 0

=9 +16 = 25;

=5 Phơng trình có hai nghiệm:
t
1
=
2
1
4
53
=

; t
2
=
2
4

53
=
+
t
2
=2 thoả mãn điều kiện t
2
0

.
với t=t
2
=2 ta có x
2
=2

x
1
=
2
; x
2
=-
2
.
Vậy phơng trình có ha inghiệm : x
1
=
2
; x

2
=-
2
2: Phơng trìng đối xứng bậc chãn :
a: kiến thức cơ bản :
Ta xét phơng trình bậc bốn dạng : a x
4
+ bx
3
+c x
2
+bx +a = 0
(a
0

; các hệ số của ẩn cách đều số hạng chính giữa )
vì x= 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên chia hai vế của phơng trình cho
x
2
ta có :

2
4
x
ax
+
0
222
2
2

3
=+++
x
a
x
bx
x
cx
x
bx
a x
2
+ bx +c -
0
2
=+
x
a
x
b
0)
1
()
1
(
2
2
=++++
c
x

xb
x
xa
(1)
Đặt x+
y
x
=
1
ta có : x
2
+
.22)
1
(
1
22
2
=+=
y
x
x
x
Do đó phơng trình ( 1) có dạng phơng trình bậc hai :
Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân
1
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thcs
ay
2
+ by +c -2a = 0 (2)

Giải phơng trình bậc hai với ẩn số y ta tìm đợc y từ đó suy ra x .
b : ví dụ :
Giải phơng trình : 2x
4
+ 3x
3
- x
2
+3x +2 = 0
Giải :
Nhận thấy x= 0 không là nghiệm của phơng trình , với x
0

chia cả hai vế của ph-
ơng trình cho x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng :
2x
2
+ 3x -1 +
0
23
2
=+
x
x
05)
1
(3)
1

(2
05)
1
(3)
1
2(2
2
2
2
=+++
=++++
x
x
x
x
x
x
x
x
tới đây ta nhận thấy phơng trình trên có dạng bậc hai nếu đặt x +
y
x
=
1
đa phơng trình về dạng : 2y
2
+ 3y -5 = 0 giải phơng trình ta đợc :
y
1
=1 ; y

2
= -
2
5

với x +
1
1
=
x
ta có : x
2
+ 1 -x = 0 vô nghiệm
với x +
x
x
2
2
51
=
2
+ 5x + 2 = 0 giải phơng trình ta đợc hai nghiệm :
x
1
= -2 ; x
2
= -
2
1

C : nhận xét : phơng trình đối xứng bậc chẵn nếu m là nghiệm thì
m
1
cũng
là nghiệm của phơng trình .
Nếu phơng trình có dạng : a x
5
+bx
4

cx
3
+cx
2
+bx +a = 0
đợc gọi là phơng trình đối xứng bậc lẻ , phơng trình này bao giờ cũng nhận -1 làm
nghiệm . Do đó có thể hạ bậc để đa phơng trình về phơng trình đối xứng bậc chẵn
mà ta và trình bày cách giải ở trên .
3 : Phơng trình hồi quy :
a: phơng trình có dạng : a x
4
+ bx
3
+cx
2
+dx +k = 0 (a
)0

vì x= 0 không phải là nghiệm nên ta chia cả hai vế cho x
2

ta đợc phơng trình tơng
đơng :
a(x
2
+
)
2
ax
k
+ b(x +
0)
=+
c
bx
d
trong đó :
2
)(
b
d
a
k
=
đặt x +
b
d
t
xb
d
xt

bx
d
2
2
2
2
2
=+=

hay x
2
+
b
d
t
ax
k
2
2
2
=
vậy phơng trình đã cho đợc đa vể dạng phơng trình bậc hai
đối với ẩn t :
Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân
2
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thcs
at
2
+ bt + c +2
0

=
b
ad
b : ví dụ :
Giải phơng trình : 2x
4
- 21x
3
+ 74x
2
- 105x + 50 = 0
Giải :
x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên chia cả hai vế cho x
2
ta đợc phơng
trình tơng đơng :
2(x
2
+
074)
5
(21)
25
2
=++
x
x
x
Đặt x +
2

2
2
255
t
x
xt
x
=+=
- 10
khi đó phơng trình trên có dạng phơng trình bậc hai đối với ẩn t
2t
2
- 21t +54 = 0
Giải phơng trình bậc hai trên ta đợc hai nghiệm :
t
1
= 6 và t
2
= 4,5
với t
1
= 6 ta có
6
5
=+
x
x
hay x
2
- 6x + 5 = 0

giải phơng trình trên ta đợc :
x
1
= 1 ; x
2
=5
với t
2
= 4,5 ta có : x +
5,4
5
=
x
hay x
2
- 4,5x + 5 = 0
Giải phơng trình ta đợc x
3
= 2 ; x
4
=2,5
vậy phơng trình đã cho có các nghiệm là :
x
1
= 1 ; x
2
= 5 ; x
3
= 2 ; x
4

=2,5
C : nhận xét :
Phơng trình hồi quy trong đó
2
)(
b
d
a
k
=
; k
0

có ẩn phụ dạng
t =x +
bx
d
4 : Phơng trình dạng : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m
hoặc : ( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx
2

a: ví dụ1: Giải phơng trình :
( x + 1 )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3
Giải :

( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) = 3

( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3

(x

2
+ 5x +4 )(x
2
+5x+6) = 3
Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân
3
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thcs
Đặt : x
2
+5x + 4 = t ta đợc phơng trình bậc hai với ẩn t :
t(t + 2) = 3

t
2
+2t-3 = 0
Giải phơng trình bậc hai đối với ẩn t ta đợc : t
1
=1 ;t
2

= -3
với t
1
= 1 ta có : x
2
+5x+4 = 1

x
2
+5x +3 =0

Giải phơng trình ta đợc :
x
1;2
=
2
135


t
2
= -3 ta có : x
2
+5x+4= -3

x
2
+ 5x + 7 = 0 ; phơng trình này vô nghiệm
(vì

= 25 - 28 < 0 )
vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x
1;2
=
2
135


Ví dụ 2 : giải phơng trình :
4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x
2

(1)
Giải :
(1)

4(x
2
+17x + 60)(x
2
+ 16x + 60) = 3x
2


4(x +17 +
2
60
x
)(x + 16 +
x
60
) = 3 (vì x
0

)
Đặt x+16 +
x
60
= y
Ta đợc phơng trình bậc hai ẩn y : 4y
2
+ 4y - 3 = 0

Phơng trình có hai nghiệm vì
/

= 4 + 12 = 16
Giải phơng trình ta đợc :
y
1
=
2
1
; y
2
=
2
3

với y
1
=
2
1
ta có : 2x
2
+ 31x +120 = 0
giải phơng trình ta đợc x
1
= - 8 ;x
2
= -
2

15
với y
2
= -
2
3
ta có : 2x
2
+ 35x + 120 = 0 giải phơng trình ta đợc :
x
3;4
=
4
26535


vậy phơng trình đã cho có nghiệm :
x
1
= - 8 ; x
2
=
2
15

; x
3;4
=
4
26535

Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân
4
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thcs
c: nhận xét :
Đối với tphơng trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 trong đó a + d = b +c ta
nhóm
[ ][ ]
mcxbxdxax
=++++
))(())((
từ đó ta đặt ẩn phụ để đa phơng trình đã cho về dạng phơng trình bậc hai một ẩn .
Đối với phơng trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx
2
trong đó :ad = bc ta
nhóm
[ ][ ]
2
))(())(( mxcxbxdxax
=++++
ẩn phụ có thể đặt là : y= x +
x
ad
hoặc y = (x + a)(x + d).
Đối với phơng trình dạng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đó d =
2
cba
++
m = (d - a)(d - b)(d - c) ta đặt ẩn phụ y = x + d một nghiệm của phơng trình là y y =
0

5: Phơng trình vô tỉ :
a) cơ sở lí thuyết :
Trong quá trình giải phơng trình vô tỉ đôi khi ta gặp những phơng trình nếu ta dùng
phơng pháp bình phơng hai vế để phá căn thức bậc hai thì dẫn đến phơng trình bậc
cao mà việc giải phơng trình đó không đơn giản . Song nếu khéo léo đặt ẩn phụ ta
có thể qui phơng trình đó về phơng trình bậc hai sau đây ta sẽ xét một vài ví dụ:
b) ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
2x
2
- 8x - 3
54
2

xx
= 12 (2)
Giải :
(2)
543)54(2
22

xxxx
- 2 = 0
Đặt
54
2

xx
= t (t
)0

ta quy phơng trình bậc hai với ẩn t :
2t
2
- 3t - 2 = 0
Giải phơng trình này ta đợc hai nghiệm t
1
= 2 ; t
2
= -
2
1
với t
2
= -
2
1
loại ( vì t
)0

với t
1
= 2 ta giải phơng trình :
54
2

xx
= 2 hai vế không âm phơng trình
tơng đơng với x
2

- 4x - 5 = 4


x
2
- 4x - 9 = 0
giải phơng trình trên ta đợc hai nghiệm : x
1;2
= 2
13

ví dụ 2 :
Giải phơng trình :
(4x - 1)
1
2
+
x
= 2x
2
+ 2x + 1
Giải :
Nếu bình phơng hai vế để phá căn thức ta quy về phơng trình bậc bốn đầy đủ
việc giải gặp khó khăn hơn , nếu đặt t =
1
2
+
x
( t
)1

x
2
= t
2
- 1 phơng trình trên
trở thành (4x - 1)t = 2(t
2
- 1) + 2x + 1
Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân
5