Bồi dương toán 9 đề 11

ĐỀ KIỂM TRA 11
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: Cho dãy số tự nhiên được viết theo quy luật sau:
u
1
= 14, u
2
= 144, .. , u
n
= 144..4 (n chữ số 4)
Tìm các số hạng của dãy là số chính phương
Bài 2: Cho 3 số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Bài 3: Tìm cặp số tự nhiên m, n thỏa mãn hệ thức: m
2
+ n
2
= m + n + 8
Bài 4: Xác định các số nguyên tố p, q sao cho A = p
2
– pq + 2q
2
và B = 2p
2
+ pq +
q
2
là các số nguyên tố cùng nhau.
Bài 5:Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân biệt.
Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa
chúng không vượt quá 1

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác góc BAD cắt các đường
thẳng BC, CD lần lượt tại M, N. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
CMN.
a) Chứng minh rằng COBD là tứ giác nội tiếp
b) Gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN với đường
tròn ngoại tiếp tam giác CBD, K khác C. Chứng minh rằng tam giác AKC vuông
tại K
ĐÁP ÁN Đ Ề 11
Bài 1: Cho dãy số tự nhiên được viết theo quy luật sau:
u
1
= 14, u
2
= 144, .. , u
n
= 144..4 (n chữ số 4)
Tìm các số hạng của dãy là số chính phương
Lời giải:
Xét các trường hợp:
a) n < 4
Dễ dàng nhận thấy u
1
=14 không phải là số chính phương và u
2
= 144 = 12
2
,
u
3
= 1444 = 38

2
là các số chính phương.
b) n ≥ 4
u
n
= 144..4 = 10000A + 4444 với A là một số nguyên nào đó
Vì 10000 16 và 4444 chia 16 dư 12 nên u
n
chia 16 dư 12
Bây giờ giả sử u
n
là số chính phương, vì u
n
chia hết cho 4 nhưng không chia hết
cho 16 nên u
n
= (4k + 2)
2
=16(k
2
+ k) + 4 u
n
chia 16 dư 4. Vô lý
Vậy u
n
không phải là số chính phương.
Kết luận: Trong dãy số tự nhiên {u
n
} đã cho, chỉ có u
2

= 144 và u
3
= 1444 là các số
chính phương.
Bài 2: Cho 3 số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Lời giải:
Bổ đề: Bài toán tổng quát:
Cho dãy số {a
n
} là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Chứng minh bổ đề:
Đặt . Từ giả thiết ban đầu của bổ đề, ta được: và x
i
là các số thực
dương.
Ta có:


(1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số: và , ta được:

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề với n = 3 ta được bài toán đã cho.
Bài 3: Tìm cặp số tự nhiên m, n thỏa mãn hệ thức: m
2

+ n
2
= m + n + 8
Lời giải:
Ta có: m
2
+ n
2
= m + n + 8
4m
2
+ 4n
2
= 4m + 4n +32
(2m – 1)
2
+ (2n –1)
2
= 34 (1)
Vì 34 biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của hai bình phương 34 = 3
2
+ 5
2
nên:
(1)
Vậy các cặp số (m, n) thỏa mãn bài toán là: (m; n) = (2;3), (3;2)
Bài 4: Xác định các số nguyên tố p, q sao cho A = p
2
– pq + 2q
2

và B = 2p
2
+ pq +
q
2
là các số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Xét các trường hợp:
a) p = q =2. Khi đó A = 8, B = 16 và như vậy (A, B) = 8. Loại
b) p>2 và q>2. Khi đó p, q đều là số lẻ và do đó A, B đều chẳn
A, B không nguyên tố cùng nhau.
c) p = 2 và q>2.Khi đó q là số lẻ và A = 2q
2
– 2q + 4 và B = q
2
+ 2q + 8
Ta có: (A, B) = (2q
2
– 2q + 4, q
2
+ 2q + 8 ) = (q
2
– q + 2, q
2
+ 2q + 8 )
= (q
2
+ 2q + 8 –( q
2
– q + 2), q

2
+ 2q + 8 )
= (3(q+2), q
2
+ 2q + 8 )
Vì q
2
+ 2q + 8 =(q+1)
2
+ 7 chia cho 3 có số dư là 1 hoặc 2 nên:
(3(q+2), q
2
+ 2q + 8 ) =(q+2, q
2
+ 2q + 8 ) = (q+2, 8 ) =1
Vậy (A, B) =1
d) p > 2 và q = 2. Khi đó p là số lẻ và A = p
2
– 2p + 8 và B = 2p
2
+2p + 4
Lý luận tương tự như trường hợp c), ta có:
(A, B) = (p
2
– 2p + 8, 2p
2
+2p + 4) = (p
2
– 2p + 8, p
2

+p + 2)
= (p
2
– 2p + 8, p
2
+p + 2 –( p
2
– 2p + 8))
= (p
2
– 2p + 8, 3(p – 2)) =( p
2
– 2p + 8, p – 2)
=(8, p – 2) =1
Vậy (A, B) =1
Kết luận: A, B nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi trong hai số nguyên tố p, q có
đúng 1 số bằng 2.
Bài 5:Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân biệt.
Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa
chúng không vượt quá 1
Lời giải:
Kẻ các đường trung bình của tam giác, các đường trung bình
chia tam giác đã cho thành các tam giác con như hình vẽ.
Dễ dàng nhận thấy: Độ dài cạnh lớn nhất của các tam giác con đều bằng 1
Gieo 5 điểm ban đầu vào tam giác lớn thì 5 đó sẽ nằm trong 4 tam giác con. Theo
nguyên tắc Derichle, tồn tại hai điểm nằm trong cùng một tam giác con. Và do đó
khoảng cách giữa hai điểm đó sẽ không lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất của tam giác,
nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm đó không lớn hơn 1. ĐPCM.
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác góc BAD cắt các đường
thẳng BC, CD lần lượt tại M, N. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

CMN.
a) Chứng minh rằng COBD là tứ giác nội tiếp
b) Gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN với đường
tròn ngoại tiếp tam giác CBD, K khác C. Chứng minh rằng tam giác AKC vuông
tại K
Lời giải:
a) Ta có:
AMB = MAD = MAB
ABM cân tại B
MB = AB = CD
Lại có:
CNM = NAB = AMB = CMN
CMN cân tại C.
CN = CM
CON = COM (cạnh, cạnh, cạnh)
OCN = OMC
OCD = OMB
Xét BMO và DCO có: MB = CD, BMO = DCO, MO = CO
Suy ra: BMO = DCO ( góc, cạnh, góc)
MBO = CDO
Tứ giác COBD là tứ giác nội tiếp. ĐPCM.