CHIẾN THUẬT GHIM điều KHIỂN CHO sự ĐỒNG bộ của MẠNG THẦN KINH TUYẾN TÍNH với các điều KIỆN tán xạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
———————o0o——————–

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI

CHIẾN THUẬT GHIM ĐIỀU KHIỂN CHO SỰ ĐỒNG BỘ CỦA
MẠNG THẦN KINH TUYẾN TÍNH VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN TÁN XẠ
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. Lê Văn Hiện
Sinh viên thực hiện:
Lớp:

Khổng Văn Hải
CLC-K63

HÀ NỘI-2017


Mục lục

Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Lý thuyết đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Một số khái niệm và bổ đề quan trọng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2. Ghim điều khiển của mạng động lực phức hợp với trạng thái liên
kết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1. Mô hình mạng lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2. Ghim đồng bộ của mạng động lực phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3. Ghim đồng bộ của mạng động lực phức hợp với cường độ liên kết thích hợp. 18
Chương 3. Ghim điều khiển của mạng động lực phức với không gian liên
kết khuyếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.1. Mô hình mạng lưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.2. Ghim đồng bộ của mạng động lực phức hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.3. Ghim đồng bộ thích ứng của mạng động lực phức hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Chương 4. Một số ví dụ số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Chương 5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1


Mở đầu

Có hai loại mạng thần kinh liên kết với các điều kiện tán xạ được quan tâm trong bài
khóa luận này. Thứ nhất là các nốt mạng được liên kết thông qua trạng thái của nó.
Thứ hai , các nốt mạng được liên kết thông qua các điều kiện về không gian khuyếch
tán. Trước đây, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và kỹ thuật ghim điều khiển ,
chúng ta thu được một vài điều kiện đủ để đảm bảo rằng mạng có thê nhận ra sự đồng
bộ. Hơn nữa, xét về lý thuyết thì cường độ liên kết yêu cầu cho sự đồng bộ có thể lớn
hơn so với giá trị cần . Chúng ta đề xuất một chiến lược thích hợp để điều khiển cường
độ liên kết để đạt được giá trị thích hợp. Sau đó, chúng ta thiết lập một tiêu chuẩn cho
sự đồng bộ , sử dụng các thiết kế ghim điều khiên. Nó được dựa vào cặp mạng thần kinh
phản ứng – khuyếch tán với trạng thái liên kết dưới ghim điều khiển phản hồi tuyến
tính có thể nhận ra sự đồng bộ khi cường độ liên kết là rất lớn. Điều đó mâu thuẫn
với mạng thần kinh phản ứng- khuyếch tán vời không gian liên kết khuyếch tán . Hơn

nữa, một tiêu chuẩn chung cho sự đảm bảo mạng lưới được đồng bộ là nhận được bởi
ghim một phần nhỏ của nốt mạng với điều khiển phản hồi thích hợp. Cuối cùng, hai
ví dụ với sự mô phòng số được đảm bảo để giải thích tính hiệu quả của kết quả lý thuyết.
Một số hệ trong tự nhiên và xã hội như là mạng thực phẩm, mạng thông tin, mạng
xã hội, mạng điện, mạng tế bào, mạng web, hệ thống chuyển hoá và mạng truyền bệnh,
có thể được mô tả như mạng phức hợp. Do dó, mạng phức hợp được quan tâm như một
công cụ cơ bản để hiểu hoạt động chức năng và trả lời của hệ thực tiễn, phân tích và
điều khiển hoạt động động lực trong mạng phức hợp được nhận sự quan tâm đặc biệt
trong những năm gần đây.
Một trong số những tính chất động lực ý nghĩa và chú ý nhất của hệ phức hợp,
sự đồng bộ được mở rộng nghiên cứu trong [1]- [11]. Để có sự hiểu biết tốt nhất, trong
phần lớn công việc còn lại trong sự đồng bộ của mạng phức hợp, có ba loại dạng liên
kết ( tương ứng : liên kết trạng thái, liên kết đầu ra, liên kết phát sinh ) được quan tâm
trong mô hình mạng lưới. Cho tới nay, một số kết quả quan trọng trong sự đồng bộ đã
đạt được cho nhiều mạng phức hợp khác nhau với trạng thái liên kết. [1], [6]. Chen [7]
đã đề xuất một mô hình mạng động lực phức, ở đó các nốt mạng được liên kết với nhau
2


bởi kinh nghiệm đầu ra phù hợp các cảm ứng trễ tự do. Sự đồng bộ trong mô hình được
đề xuất đã được phân tích bởi lý thuyết ổn định ngẫu nhiên. Xét rằng các nốt trạng
thái trong mạng phức khó để quan sát hoặc đo đạc. Một số nhà nghiên cứu đã điều tra
sự đồng bộ đầu ra của mạng động lực phức hợp trễ với kết nối ngoài [8], [9]. Trong [10]
và [11] , sự đồng bộ đã được nghiên cứu cho mạng động lực phức với kết nối không phát
sinh và kết nối phát sinh.
Nó chỉ ra rằng các công việc đã được đề cập ở trên được dựa trên cơ sở mô hình mạng
lưới với biến trạng thái thời gian khác nhau. Tuy nhiên, trong thực tế, các nốt trạng
thái không chỉ phụ phuộc vào thời gian mà còn phụ thuộc vào sâu sắc vào biến không
gian trong một số tình huống. Như một lớp đặc biệt của mạng phức hợp, mạng thần
kinh liên kết có sự thu hút chú ý trong một số năm gần đây. Cụ thể, bài toán đồng bộ

của liên kết mạng thần kinh đã khêu gợi các nhà nghiên cứu quan tâm nhờ vào các ứng
dụng hữu ích của nó trong các lĩnh vực khác nhau [12]- [15]. Nó cũng được biết rằng hiện
tượng phản xạ không thể được bỏ quên trong mạng thần kinh và mạch điện khi electrons
chuyển động trong một trường điện từ không cố định [16]- [18]. Do đó, chúng ta phải
xét hiệu hứng phản xạ trong mạng thần kinh. Rõ ràng, trong mạng thần kinh kết nối
tán xạ, trạng thái thay đổi của nốt mạng thực sự phụ thuộc vào thời gian và không gian.
Gần đây, các nhà nghiên cứu đã điều tra bài toán đồng bộ của liên kết mạng thần
kinh với các điền kiện tán xạ, và một số kết quả thú vị cũng được thiết lập [19]- [22].
Liu [19] đã thảo luận bài toán ghim điều khiển và - đồng bộ đối với lớp mạng thần kinh
liên kết tán xạ tuyến tính với điều kiện biên Dirichlet và thời gian trễ không bị chặn.
Wang và các cộng sự [20] đã thảo luận sự đồng bộ thích hợp trong mạng thần kinh liên
kết tuyến tính với điều kiện tán xạ và thời gian trễ. Yang và cộng sự [21] đã nghiên cứu
sự đồng bộ toàn cục theo số mũ của một lớp của mạng thần kinh tán xạ với biến thời
gian trễ bởi thêm các xung điều khiển tới một lượng nhỏ của các nốt mạng. Wang và
cộng sự [22] đã điều tra bài toán đồng bộ của của hai loại của mạng thần kinh liên kết
tuyến tính với điều kiện tán xạ sử dụng chiến thuật thích hợp cạnh – đáy. Thật không
may, phần lớn các kết quả tồn tại của sự đồng bộ cho cặp mạng thần kinh phản xạ
được quan tâm về trạng thái liên kết. Tuy nhiên trong những mạng tán xạ, sự phản xạ
khác nhau của các nốt mạng có thể gây sự sự thay đổi khác nhau của những nốt mạng
khác [23]. Ví dụ, như mọi người được biết, sự phản xạ khác nhau của một số loài có thể
gây sự vận động khác nhau của những loài khác trong mạng thức ăn của nó [24], [25].
Do đó, nó cũng được quan tâm nghiên cứu cặp mạng thần kinh với các điều kiện tán
xạ và liên kết không gian phản xạ. Để đem lại sự hiểu biết tốt nhất, rất nhiều các nhà
nghiên cứu đã điều tra sự đồng bộ của những cặp mạng thần kinh tán xạ với liên kết
không gian phản xạ [26]. Wang và Wu [26] đã đề xuất một mô hình chung của một dãy
của N cặp mạng thần kinh tán xạ tuyến tính với không gian liên kết phản xạ và tương
ứng, điều tra sự đồng bộ và đồng bộ của mô hình mạng lưới được đề xuất.

3

Từ sự thu hút ở các thảo luận ở trên, trong bài báo này, chúng tôi đề xuất hai
loại của cặp mạng thần kinh tán xạ. Đầu tiên, các nốt được liên kết thông qua trạng
thái của nó. Thứ hai, các nốt được liên kết thông qua điều kiện không gian phản xạ.
Trong một số tình huống, cặp mạng thần kinh tán xạ không được đồng bộ bởi chính
nó. Do đó, một số chiến thuật điều khiển được thông qua để đạt được sự đồng bộ. Xét
về thực tế, điều đó khó điều khiển áp dụng điều khiển hoạt động tới tất cả các nốt
mạng trong một mạng quy mô lớn. Nhiều sự kết hợp ghim điều khiển cho mạng phức
hợp được phát triển trong [27]- [29]. Ví dụ , Tang và cộng sự [27] đã điều tra bài toán
sự đồng bộ ghim phân bố đối với một lớp mạng phi tuyến với nhiễu bội ngẫu nhiên sử
dụng ghim cố định và kế hoạch ghim chuyển mạch. Trong [28],sự phân bố ghim đồng
bộ mạnh được nghiên cứu cho một lớp mạng phức hợp với tham số thay đổi và liên kết
ngẫu nhiên . Trong [27]- [29] , trạng thái nốt mạng chỉ phụ thuộc vào thời gian. Rõ ràng
điều đó cũng có ích để áp dụng công nghệ ghim điều khiển để nghiên cứu bài toán đồng
bộ của cặp mạng thần kinh tán xạ. Để có sự hiểu biết nhất, nhiều nhà nghiên cứu đã
điều tra ghim điều khiển của cặp mạng thần kinh tán xạ [19], [21]. Trong trường hợp
cụ thể, ghim điều khiển của cặp mạng thần kinh tán xạ với không gian liên kết phán
xạ chưa được điều tra. Do đó, đối tượng của bài báo là mô tả một số chiến thuật ghim
điều khiển sao cho tất cả các nốt mạng trong cặp mạng thần kinh tán xạ có thể đồng
bộ theo trạng thái mong muốn. Nó cũng được biết rằng cấu trúc topo và cường độ liên
kết là hai nhân tố tác động cho sự đồng bộ của mạng phức hợp. Do đó, việc xây dựng
bài toán sau hoàn toàn tự nhiên. Có phải dạng liên kết vận dụng một quy tắc quan
trọng trong sự đồng bộ của cặp mạng thần kinh tán xạ ? Bài báo này cũng phân tích
mối quan hệ giữa các ghim đồng bộ, dạng liên kết, cường độ liên kết và cấu trúc topo
trong cặp mạng thần kinh vơi điều kiện tán xạ.
Sự phân bố chính của bài báo như sau . Đầu tiên, nhiều điều kiện đủ được thiết
lập để đảm bảo sự đồng bộ của cặp mạng thần kinh tán xạ với trạng thái liên kết sử
dụng ghim điều khiển đã được thiết kế. Thứ hai, một chiến thuật thích ứng hiệu quả để
điều khiển cường độ liên kết của cặp mạng thần kinh tán xạ với trạng thái liên kết đã
được thiết kế. Thứ ba, một điều kiện đủ đảm đảm bảo sự đồng bộ, của cặp mạng thần

kinh tán xạ, với không gian liên kết phản xạ đã đạt được sử dụng ghim điều khiển đã
thiết kết, và một chiên thuật thích hợp được đề xuất tới ghim phản hồi ngược để đạt
được mạng đồng bộ.
Phần còn lại của bài bài khoá luận được thiết kế như sau . Trong chương II, chúng
tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa, và các bổ đề, nó sẽ được sử dụng trong bài khoá
luận này. Phần chính còn lại của toà báo được cho bởi chương III, và IV. Trong chương
V, hai ví dụ số đảm bảo mô tả tính hiệu quả của kết quả đề xuất. Trong chương VI,
tổng kết cuộc điều tra và đề xuất một số việc.

4


MỘT SỐ KÍ HIỆU
R+
Rn

Tập tất cả các số thực không âm.
Không gian Euclide n−chiều với tích vô hướng
x, y =

Rn×m

xT y

và chuẩn vectơ x =

n
2
i=1 xi

1
2

.

λ(A)
λM (A)

Tập hợp các ma trận kích thước n × m.
Ma trận chuyển vị của ma trận A.
Ma trận đơn vị trong Rn×n .
Tập tất cả các giá trị riêng của A.
= max{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)}.

λm (A)

= min{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)}.

A>0

Ma trận A xác định dương, tức là
Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0.
Ma trận A nửa xác định dương, tức là
Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
Ma trận A − B xác định dương.
Tập các ma trận đối xứng xác định dương n × n chiều.
Vectơ trạng thái ngang (horizontal state vector).
Vectơ trạng thái dọc (vertical state vector).
Điều khiển đầu vào.
Vectơ đầu ra.

Tích Kronecker của hai ma trận.

At
In

A≥0
A>B

S+
n
xh (i, j) ∈ Rnh
xv (i, j) ∈ Rnv
u(i, j) ∈ Rm
y(i, j) ∈ Rp
⊗

x

5


Chương 1
Một số kiến thức bổ trợ

1.1. Lý thuyết đồ thị
Ký hiệu G = {V, E, G} là mạng lưới định hướng có trọng của một tập hợp các nốt mạng
V = {1, 2, . . . , N }, tập hợp các cạnh định hướng E ⊆ V × V , và ma trận kề có trọng
G = (Gij )N ×N . Một cạnh định hướng Eij trong mạng lưới G biểu diễn bởi cạnh có thứ tự
(i, j). Nếu có một cạnh từ đỉnh i tới đỉnh j trong G , khi đó Gij > 0 không thì Gij = 0.
Một chuỗi các cạnh trong mạng G (i1 , i2 ), (i2 , i3 ), . . . , (ik−1 , ik ) với các đỉnh khác nhau

is (s = 1, 2, . . . , k) được gọi là một đường đi trực tiếp từ đỉnh i1 tới đỉnh ik . Mạng định
hướng có trọng G được gọi là liên thông mạnh nếu có một đường đi trực tiếp từ mọi
đỉnh này tới mọi đỉnh khác trong mạng.

Định nghĩa 1.1.1. [30] Ma trận G bậc N được gọi là rút gọn được nếu tồn tại một ma
trận trực giao P ∈ RN ×N sao cho




 G1

P GP T = 

0 

G21 G2



trong đó G1 và G2 là các ma trận vuông cấp tối thiểu là 1. Nếu không thì G được gọi là
ma trận không khả nghịch.
Chú ý rằng . Một ma trận bậc 1 là ma trận không khả nghịch.

6


Bổ đề 1.1.2. [30] : Cho G là ma trận bậc N. Khi đó , G là không rút gọn được nếu và
chỉ nếu mạng lưới tương ứng G là liên thông mạnh.

Chứng minh. ⇒ Giả sử A là rút gọn được. Khi đó các đỉnh V của D có thể phân tách
ra thành hai tập khác rỗng V1 và V2 sao cho như vậy không có một đường đi nào từ một
đỉnh của V1 tới một đỉnh của V2 . Nếu a là một đỉnh của V1 và b là một đỉnh của V2 do
đó không có đường đi từ a sang b. Do đó D không phải là liên thông mạnh .
⇐ Ngược lại, giả sử D không liên thông mạnh. Khi đó có hai đỉnh phân biệt a và b của

D sao cho không có đường đi trực tiếp nối từ a tới b. Gọi W1 là tập hợp chứa b và tất cả
các đỉnh của D mà ở đó có đường đi trực tiếp tới b. và W2 là tập hợp chứa a và tất cả các
đỉnh có đường đi trực tiếp tới a. Khi đó hai tập W1 và W2 khác rỗng và rời nhau. Đặt W3
bao gồm tất cả các đỉnh không thuộc W1 và W2 . Hoán đổi dòng của A vì vậy , dòng tương
ứng của đỉnh trong W2 trở thành dòng đầu tiên bởi những tương ứng các đỉnh trong W3 :

W2

W3

W1





W2  X11 X12 X13 










W3 
 X21 X22 X23 
W1

X31 X32 X33

Do không có đường đi trực tiếp từ a tới b nên không có một cung từ một đỉnh của W2
tới một đỉnh của W1 , và cũng không có một đường đi từ một đỉnh c trong W3 tới một
đỉnh trong W1 , bởi vì nếu có một cung thì suy ra c thuộc W1 . Do đó W13 = O và W23 = O
và A là rút gọn được.

7


1.2. Một số khái niệm và bổ đề quan trọng.
Bổ đề 1.2.1. [31] Cho Ω là một hình lập phương |xk | < lk (K = 1, 2, . . . , q và cho h(x) là
một hàm nhận giá trị thực thuộc C 1 (Ω) bị triệt tiêu trên biên ∂Ω của Ω tức là h(x)|∂Ω=0 .
Khi đó
h2 (x)dx ≤ lk2
Ω

(
Ω

∂h 2
) dx
∂xk

(1.1)

Trong đó x = (x1 , x2 , . . . , xq )T

Chứng minh. (1.2.1):
Nếu x ∈ Ω khi đó ta có
xi

h(x) =
−li

∂
h(x1 , . . . , xm )dxi
∂xi

li

h(x) = −
xi

(1.2)

∂
h(x1 , . . . , xm )dxi
∂xi

(1.3)

∂

h(x1 , . . . , xm ) dxi
∂xi

(1.4)

Từ (1.2) và (1.3) ta đạt được
li

2|h(x)| ≤
−li

Từ (1.4) và sử dụng bất đẳng thức Schwarz’s chúng ta thu được

2

h (x)dx ≤

li2

Ω

Ω

∂h
∂xi

2

dx

Bổ đề (1.1) được chứng minh.

Bổ đề 1.2.2. [32] Gỉa sử G = (Gij )N ×N là một mà trận thực đối xứng và không rút gọn
được, trong đó
N

Gij ≥ 0(i = j), Gii = −

Gij
j=1,j=i

8

(1.5)


Khi đó ta thu được .

1) 0 là một giá trị riêng của ma trận G với bội 1, liên kết với giá trị riêng (1, 1, . . . , 1)T
2) Tất cả các giá trị riêng khác của ma trận G đều âm và giảm ngặt.
3) Tồn tại một ma trận Unita Φ = (φ1 , φ2 , . . . , φN ) sao cho
Gφi = λi φi i = 1, 2, . . . N

trong đó 0 = λ1 > λ2 ≥ λ3 ≥ . . . ≥ λN là các giá trị riêng của G.

Bổ đề 1.2.3. [33] - [35] Giả sử G = (Gij )N ×N (N ≤ 2) là một ma trận không rút gọn
được, trong đó
N

Gij ≥ 0(i = j), Gii = −

Gij
j=1,j=i

khi đó tồn tại một ma trận chéo xác định dương Ξ =diag(η1 , η2 , . . . , ηN ) ∈ RN ×N sao cho
N

G = (Gij )N ×N = (ΞG+GT Ξ)/2 là đối xứng và

N

Gji = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , N

Gij =
j=1

j=1

Chứng minh. Trước hết ta thừa nhận kết quả sau. Giả sử A là ma trận không âm và
không rút gọn được. Khi đó, ρ(A) là giá trị riêng của A và có một vertor xác định sao
cho Ax = ρ(A)x

Nếu ma trận A không âm. Và tổng các hàng của ma trận A là hằng số thì ρ(A) =
A

∞

Tiếp theo ta sẽ chứng minh kết quả sau. Giả sử G là ma trận không rút gọn được
N

Gij = 0 với Gij ≥ 0(i = j). Khi đó có hoàn toàn xác định được một

và thỏa mãn
j=1

vector x sao cho GT x = 0

9


Chọn số nguyên dương l sao cho l + λN (G) > 0 và l + Gii > 0 với mọi i = 1, 2, . . . , N .
Khi đó ma trận G + lIN không âm, bởi kết quả trên thì ρ(G + lIN ) = l. Khi đó ma trận
(G + lIN )T = GT + lIN cũng không âm và ρ(GT + lIN ) = l. Suy ra được tồn tại vector x

sao cho (GT + lIN )x = lx dẫn đến GT = x

ˆ là ma trận đối xứng. Tức là Gij = Gji ∀i, j = 1, 2, . . . , N
Trở lại bổ đề trên, rõ ràng G

Từ kết quả trên tồn tại một vector ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξN )T sao cho GT ξ = 0. Ta có ξ = Ξ1N
dẫn đến GT Ξ1N = 0. Do đó GT Ξ là một ma trận với tổng tất các các phần tử trên mỗi
N

Gij = 0. ta có ΞG1N = 0 và tổng các phần tử trên mỗi hàng

hàng đều bằng 0. Từ
j=1

ˆ bằng 0.
của ΞG bằng 0. Do đó tổng tất cả các phần tử trên mỗi hàng của ma trận G

ˆ là ma trận đối xứng, có tổng tât cả các phần tử trên mỗi cột cũng bằng
Hơn nữa, G

0.
Bổ đề 1.2.4. "Bất đẳng thức Gr¨
onwall–Bellman"

Cho I là một đoạn trên đường thẳng thực có dạng [a, ∞ ) , [a, b] hoặc [a, b ) với a<
b. Cho β và u là các hàm giá trị thực liên tục xác định trên I . Nếu u khả vi trên khoảng
I o của I và thỏa mãn bất đăng thức vi phân
t ∈ Io

u (t) ≤ β(t)u(t),

khi đó u bị chặn bởi nghiệm của phương trình vi phân tương ứng y (t) = β(t)y(t)
t

u(t) ≤ u(a)exp

β(s)ds
a

t

Chứng minh. Đặt v(t) = exp

t∈I

β(s)ds ,
a

Khi đó v thỏa mãn
v (t) = β(t)v(t),

10

t ∈ Io


∀i ∈ I . Ta có

Với v(a) = 1 và v(t) > 0

u (t)v(t) − v (t)u(t)
u (t)v(t) − β(t)v(t)u(t)
d u(t)
=
=
≤ 0,
dt v(t)
v 2 (t)
v 2 (t)

. Do đạo hàm của hàm

∀t ∈ I o

u(t)
là không âm và hàm bị chặn bởi một giá trị điểm ban đầu
v(t)

tại a của khoảng I. Do đó ta thu được
u(t)
u(a)
≤
,
v(t)
v(a)

t∈I

Định nghĩa 1.2.5. Cho A ∈ Rm×n , B ∈ Rp×q . Tích Kronecker ( tích Tensor) của A và
B được định nghĩa là ma trận.




 a11 B · · · a1n B
 .
..
...
A⊗B =
.
 ..

am1 B · · ·



 ∈ Rmp×nq




amn B

Tính chất 1.2.6.
1.

Cho x ∈ Rm , y ∈ Rn Khi đó

x⊗y

= [x1 y T , . . . , xm y T ]
= [x1 y1 , . . . , x1 yn , x2 y1 , . . . xm yn ]T ∈ Rmn

2.

x ∈ Rm , y ∈ Rn . Khi đó

x ⊗ yT

= [x1 y, . . . , xm y T ]





 x1 y1 . . . x1 yn
 .
..

...
=
.
 ..








xm y 1 . . . x m y n
= xy T ∈ Rm×n

3.

Cho A ∈ Rm×n , B ∈ Rr×s , C ∈ Rn×p và D ∈ Rs×t khi đó

(A ⊗ B)(C ⊗ D) = AC ⊗ BD
11

(∈ Rmr×pt )



 a11 B
 .
(A ⊗ B)(C ⊗ D) = 
 ..



...

a1n B

...

..
.





  c11 D . . . c1p D
 .
..
...
  ..
.









cn1 D . . . cnp D

am1 B . . . amn B





=




n



n

a1k ck1 BD

...

k=1

k=1

..
.

a1k ckp BD 

..
.

...

n

n

amk ck1 BD . . .

amk ckp BD

k=1








k=1

= AC ⊗ BD

4.

Nếu A ∈ Rn⊗n , B ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng khi đó A × B cũng là ma trận

đối xứng.
5.

(A ⊗ B)T = AT ⊗ B T

∀A ∈ Mp×q , B ∈ Mr×s

6.

(αA) ⊗ B = A ⊗ (αB) = α(A ⊗ B).

7.

(A + B) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C

∀A, B ∈ Mr×s ,

8.

A ⊗ (B + C) = A ⊗ C + A ⊗ C

∀A ∈ Mr×s ,

12

C ∈ Mp×q

B, C ∈ Mp×q

Chương 2
Ghim điều khiển của mạng động lực
phức hợp với trạng thái liên kết.
Trong phần này , tôi xét một mạng động lực phức bao gồm N đốt mạng giống nhau với
trạng thái liên kết, trong mỗi đốt là một mạng tán xạ n-chiều. Sử dụng phương pháp
hàm Lyapunov và công nghệ ghim điều khiển , một số điều kiện đủ được thiết lập để
đảm bảo mạng động lực phức được đồng bộ. Hơn nữa, một chiến thuật thích ứng để
điều khiển cường độ liên kết được đề xuất và một tiêu chuẩn chung cho sự đồng bộ đạt
được sử dụng quy tắc thiết kế thích hợp.

2.1. Mô hình mạng lưới
Để đơn giản cho, mô hình mạng lưới được trình bày theo từng bước. Một mô hình mạng
tán xạ với điều kiện biên được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng như sau :
∂wi (x, t)
= di ∆wi (x, t) − ai wi (x, t) + Ji +
∂t

n

bij fj (wj (x, t))

(2.1)

j=1

Trong đó i = 1, 2, . . . , n, n là số tế bào trong mạng lưới
x = (x1 , x2 , . . . , xq )T ∈ Ω ⊂ Rq ,
wi (x, t) ∈ R là trạng thái của tế bào thứ i ở thời điểm t trong không gian x

∆=

q
k=1

∂2
là toán tử truyền Laplace trong Ω
∂x2k

di > 0 biểu diễn hệ số truyền tin theo tế bào thứ i
ai > 0 biểu diễn cho tỉ lệ của tế bào thứ i khi từ trạng thái bạn đầu khi mất liên kết từ

mạng và kết nốt ngoài.
bij là cường độ của tế bào thứ j tới tế bào thứ i
13


fj (.) ký hiệu hàm hoạt đông của tế bào thứ j . Ji là hằng số dữ liệu bên ngoài.

Giá trị ban đầu và điều kiện giá trị biên được liên kết với nhau với hệ (2.1) được
cho bởi biểu thức
wi (x, 0) = φi (x), x ∈ Ω
(2.2)
wi (x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × [0, +∞)

(2.3)

Trong đó φi (x)(i = 1, 2, . . . , n) liên tục và bị chặn trên Ω
Trong cả bài báo cáo này, hàm fj (.)(j = 1, 2, . . . , n) thoả mãn điều kiện Lipchitz ,
tức là , có một hằng số dương ρ thoả mãn

|fj (ξ1 ) − fj (ξ2 )| ≤ ρj |ξ1 − ξ2 |

với mọi ξ1 , ξ2 ∈ R trong đó |.| là chuẩn Euclid
Ta có thê viết lại hệ (2.1) trong dạng compact như sau:
∂w(x, t)
= D∆w(x, t) − Aw(x, t) + J + Bf (w(x, t))
∂t

(2.4)

Trong đó : D = diag(d1 , d2 , . . . , dn ) B = (bij )n×n , J = (J1 , J2 , . . . , Jn )T
A = diag(a1 , a2 , . . . , an ), f (w(x, t)) = (f1 (w1 (x, t)), f2 (w2 (x, t)), . . . , fn (wn (x, t)))T
N cặp mạng thần kinh tán xạ có thể coi như là một mạng phức , được mô tả bởi
∂zi (x, t)
= D∆zi (x, t) − Azi (x, t) + J + Bf (zi (x, t)) + c
∂t

N

Gij Γzj (x, t)

(2.5)

j=1

Trong đó : i = 1, 2, . . . , N N là số các đốt mạng.
zi (x, t) = (zi1 (x, t)), zi2 (x, t), . . . , zin (x, t))T ∈ Rn là vertor trạng thái của đốt i.
c là số thực dương biểu chưng cho toàn thế các cường độ liên kết.
Γ ∈ Rn×n > 0 là ma trận liên kết bên trong mạng.
G = (Gij )N ×N là ma trận cấu hình liên kết biểu diễn cho cấu trúc của mạng, trong đó

Gij được định nghĩa như sau : nếu đốt thứ i liên kết với đốt thứ j khi đó Gij > 0 ngược
lại Gij = 0(i = j), các phần tử trên đường chéo của ma trận G được định nghĩa như sau
:
N

Gii = −

Gij , i = 1, 2, . . . N
j=1,j=i

.
Trong chương này, giả sử mạng phức (2.5) là liên kết mạnh . Khi đó điều kiện giá
trị biên và giá trị ban đầu với mạng (2.5) được cho bởi
zi (x, 0) = Φi (x) ∈ Rn , x ∈ Ω
14

(2.6)


zi (x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × [0, +∞)

(2.7)

Trong đó Φi (x) liên tục và bị chặn trên Ω
Giả sử w∗ (x, t) = (w1∗ (x, t), w2∗ (x, t), . . . , wn∗ (x, t))T là nghiệm thoả mãn hệ (2.1) , khi đó nó
thoả mãn (2.3) và
∂w∗ (x, t)
= D∆w∗ (x, t) − Aw∗ (x, t + J + Bf (w∗ (x, t))
∂

(2.8)

Mục tiêu của chương này là thiết kết một số chiến thuật ghim điều khiển sao cho nghiệm
của mạng được điều khiển (2.5) có thể đạt được sự đồng bộ theo nghĩa
lim ||zi ( , t) − w∗ ( , t)||2 = 0, i = 1, 2, . . . , N

t→+∞

2.2. Ghim đồng bộ của mạng động lực phức
Không mất tính tổng quát, sắp xếp thứ tự tất cả các đốt chọn l đốt được ghim (1 ≤ l < N )
. Do đó mạng được ghim điều khiển có thể được mô tả bởi
∂zi (x, t)
= D∆zi (x, t) − Azi (x, t) + J + Bf (zi (x, t)) + c
∂t

∂zi (x, t)
= D∆zi (x, t)−Azi (x, t)+J +Bf (zi (x, t))+c
∂t

N

Gij Γzj (x, t) + ui ,

i = 1, 2, . . . l

j=1

N

Gij Γzj (x, t),

i = l+1, . . . N (2.9)

j=1

Trong đó :
ui = −cki Γ(zi (x, t) − w∗ (x, t)), i = 1, 2, . . . l

(2.10)

là điều khiển ngược tuyến tính n-chiều với tât cả các điều khiển ngược ki > 0. Đặt
ei (x, t) = zi (x, t) − w∗ (x, t) khi đó động lực của vector sai số ei (x, t) bị chi phối bởi phương
trình sau:
∂ei (x, t)
= D∆ei (x, t)−Aei (x, t)+Bf (zi (x, t))−Bf (w∗ (x, t))+c
∂t

N

Gij Γej (x, t)−cki Γei (x, t)
j=1

(2.11)
Trong đó i = 1, 2, . . . N và ki = 0 với mọi i = l + 1, l + 2, . . . N .
˜=
Để thuận tiện , đặt D
˜ −A+
Υ = −D

Θ BB T

+
2
2

D
q
k=1 2 , Φ
lk

= diag(ρ21 , ρ22 , . . . , ρ2n )

15


Định lý 1
Định lý 2.2.1. Nếu tồn tại một ma trận đường chéo xác định dương Ξ = diag(η1 , η2 , . . . , ηN ) ∈
RN ×N sao cho
ΞG + GT Ξ
⊗Γ <0
2

Ξ ⊗ Υ − c((ΞK) ⊗ Γ) + c

(2.12)

khi đó mạng ghim điều khiển (2.9) được đồng bộ.

Chứng minh :
Định nghĩa hàm Lyapunov đối với hệ (2.11):
1

V1 (t) =
2

N

eTi (x, t)ei (x, t)dx.

ηi

(2.13)

Ω

i=1

Ta tính đạo hàm theo thời gian V˙ 1 (t) theo quỹ đạo của hệ (2.11):
N

V˙ 1 (t) =

eTi (x, t)

ηi
Ω

i=1
N

∂ei (x, t)
dx

∂t

ηi eTi (x, t) D∆ei (x, t) − Aei (x, t)+

=
i=1

(2.14)

Ω
N

GijΓej (x, t) − Bf (w∗ (x, t)) − cki Γei (x, t) dx

Bf (zi (x, t)) + c
j=1

từ công thức Green và điều kiện biên, ta thu được
q

∂eis (x, t)
∂xk

eis (x, t)∆eis (x, t)dx = −
Ω

k=1

Ω

2

dx

Trong đó ei (x, t) = (ei1 (x, t), ei2 (x, t), . . . , ein (x, t))T và s = 1, 2, . . . , n. Theo (1.2.1) , ta thu
được

n

eTi (x, t)D∆ei (x, t)dx
Ω

=

ds eis (x, t)∆eis dx
s=1

Ω
q

n

=−

ds
k=1 s=1
q
n

≤−

k=1

Ω

2

ds e2is (x, t)dx
s=1

Ω

˜ i (x, t)dx
eTi (x, t)De

=−
16

1
lk2

Ω

∂eis (x, t)
∂xk

dx

(2.15)

hơn nữa chúng ta có thể dễ dàng tính được
1
1
eTi (x, t)B f (zi (x, t)) − f (w∗ (x, t)) ≤ eTi (x, t)BB T ei (x, t) + eTi (x, t)Θei (x, t)
2
2

(2.16)

Từ (2.14) và (2.16) ta thu được :
N

˜ −A+
ηi eTi (x, t) −D

V˙ 1 (t) =
i=1

Ω
N N

ηi Gij eTi (x, t)Γej (x, t)dx

+c
i=1 j=1

ΞG + GT Ξ
⊗ Γ − c((ΞK) ⊗ Γ e(x.t)dx
2

Ω

≤

(2.17)

Ω

eT (x, t) Ξ ⊗ Υ + c

=

BB T
Θ
+ − cki Γ × ei (x, t)dx
2
2

γ1 ||e(·, t)||22

Trong đó e(x, t) = (eT1 (x, t), eT2 (x, t), . . . , eTN (x, t))T
và γ1 = λM Ξ ⊗ Υ + c

ΞG + GT Ξ
⊗ Γ − c((ΞK) ⊗ Γ)) < 0 Bởi định nghĩa của V1 (t) ta
2

có
Trong đó γ2 =

min

i=1,2,...,N

γ2 ||e(·, t)||22 ≤ V1 (t) ≤ γ3 ||e(·, t)||22
(2.18)
ηi
ηi
và γ3 = max
. Do đó, từ (2.17) và (2.18), ta thu được
2
i=1,2,...,N 2
η1
(2.19)
V˙ 1 (t) ≤ V1 (t)
η3

Từ (2.18) và (2.19) ta thu được
e(·, t)

2

≤

η1
η3 2η t
e 2 e(·, ))
η2

2

Rõ ràng , ghim điều khiển (2.9) được đồng bộ.
Từ Bổ đề (1.1.2),(1.2.2) và (1.2.3) rõ ràng tồn tại một ma trận chéo xác định dương
Ξ = diag(η1 , η2 , . . . , ηN )sao cho
ΞG + GT Ξ
c
⊗Γ ≤0
2

(2.20)

Nếu Υ < 0 chúng ta có thể thu được từ (2.20)
ΞG + GT Ξ
⊗Γ <0
Ξ⊗Υ+c
2

Từ định lý (2.2.1), mạng phức (2.5) có thể đạt được đồng bộ. Trong mục này ta luôn
giả sử λM (Υ) ≥ 0. Bởi áp dụng định lý (2.2.1) , chúng ta có thể đạt được
Hệ quả 2.2.2. 1 Nếu tồn tại một ma trận chéo xác định dương Ξ = diag(η1 , η2 , . . . , ηN ) ∈
RN ×N sao cho
−λM (Ξ ⊗ Υ)
Ξ(G − K) + (G − K)T Ξ
λM
⊗Γ
2
trong đó Ξ(G − K) + (G − K)T Ξ < 0, khi đó mạng (2.9) được đồng bộ.
c>

17

(2.21)


Chú ý 1 : Theo Hệ quả (2.2.2), tồn tại một tiêu chuẩn cường độ liên kết c∗ đối với Ξ sao
cho mạng ghim điều khiển (2.9) sẽ đồng bộ nếu c > c∗ .Do đó nếu Ξ(G−K)+(G−K)T Ξ < 0
thỏa mãn thì ghim điều khiển (2.9) có thể đồng bộ miễn sao cường độ liên kết đủ lớn.
Chú ý 2: Từ Bổ đề (1.2.3) , tồn tại một ma trận chéo Ξ = diag(η1 , η2 , . . . , ηN ) ∈ RN ×N
sao cho tổng của các ô trong hàng của ma trận ΞG + GT Ξ bằng 0/ Hơn nữa, rõ ràng
ma trận ΞG + GT Ξ là đỗi xứng và không rút được. Khi đó sử dụng Bổ đề 3 (1.2.2), ta
có thể thu được, các giá trị riêng của ΞG + GT Ξ là thực và tăng ngặt 0 ngoại trừ giá trị
riêng 0 với bội là 1. Do đó , ta có được với bất kỳ y = (y1 , y2 , . . . , yN )T = 0 ∈ RN
y T (ΞG + GT Ξ)y = 0 ⇐⇒ y1 = y2 = . . . = yN = 0

khi đó chúng ta thu được
y T Ξ(G − K) + (G − K)T Ξ y < 0

với mọi y = (y1 , y2 , . . . , yN )T = 0 ∈ RN cụ thể Ξ(G − K) + (G − K)T Ξ < 0. Khi đó, đối với
mọi ma trận G và K bất kì, ta có thể luôn tìm được một ma trận chéo xác đinh dương
Ξ thỏa mãn Ξ(G − K) + (G − K)T Ξ < 0

2.3. Ghim đồng bộ của mạng động lực phức hợp với cường
độ liên kết thích hợp.
Cường độ liên kết c được cho bởi (2.21) là rất phù hợp, thường lớn hơn so với giá trị
cần . Do đó, một chiến thuật để điều chỉnh cường độ liên kết c sẽ được trình bày trong
mục này.
Mạng điều khiển (2.9) với cường độ liên kết thích ứng có thể được mô tả bởi phương
trình
∂zi (x, t)
= D∆zi (x, t) − Azi (x, t) + J + Bf (zi (x, t)) + c(t)

∂

B

Gij Γzj (x, t) + ui
j=1

i = 1, 2, . . . , l
∂zi (x, t)
= D∆zi (x, t) − Azi (x, t) + J + Bf (zi (x, t)) + c(t)
∂

(2.22)

B

Gij Γzj (x, t)
j=1

i = l + 1, . . . , N

Trong đó
ui = −c(t)ki Γ(zi (x, t) − w∗ (x, t)), i = 1, 2, . . . , l

(2.23)

là các điều khiển phản hồi n chiều với tất cả các điều khiển ngược ki > 0.
Cho ei (x, t) = (ei1 (x, t), ei2 (x, t), . . . , ein (x, t))T = zi (x, t) − w∗ (x, t). Khi đó , hệ các vector
18

sai số ei (x, t) bị chi phối bởi phương trình sau :
∂ei (x, t)
= D∆ei (x, t) − Aei (x, t) + Bf (zi (x, t))
∂t
N

−Bf (w∗ (x, t)) + c(t)

(2.24)
Gij Γej (x, t) − c(t)ki Γei (x, t)

j=1

Trong đó i = 1, 2, . . . , N và ki = 0 với mọi i = l + 1, l + 2, . . . , N.

Định lý 2
Định lý 2.3.1. Nếu tồn tại một ma trận chéo Ξ = diag(η1 , η2 , . . . , ηN ) ∈ (R)N ×N sao cho
Ξ(G − K) + (G − K)T Ξ < 0

(2.25)

trong đó K = diag(k1 , k2, . . . , kN ) khi đó mạng ghim điều khiển (2.9) sẽ được đồng bộ bởi
luật tương hỗ sau :
N

c(t)
˙ =β

(zi (x, t) − w∗ (x, t))T Γ(zi (x, t) − w∗ (x, t))dx

ηi

(2.26)

Ω

i=1

trong đó c(o) > 0, β là một số thực dương.
Chứng minh. Theo (2.25), thì tồn tại một hằng số dương r1 sao cho
Ξ(G − K) + (G − K)T Ξ + 2r1 Ξ < 0

Xây dựng hàm Lyapunov cho hệ (2.24) như sau :
1
V2 (t) =
2

N

eTi (x, t)ei (x, t)dx +

ηi
i=1

Ω

r1
(c(t) − c˜)2
2β

(2.27)

trong đó c˜ là một số thực dương. Đạo hàm hàm V2 (t) theo quỹ đạo của hệ (2.24) ta đạt
được|.

19


N

V˙ 2 (t) =

∂ei (x, t)
eTi (x, t)
dx + r1 (c(t) − c˜) ×

ηi

∂t

Ω

i=1
N

N

eTi (x, t)Γei (x, t)dx

ηi
Ω

i=1

N

η1 eTi (x, t)

=

D∆ei (x, t) − Aei (x, t) + Bf (zi (x, t)) + c(t)

Ω

i=1

Gij Γej (x, t)
j=1

N

−Bf (w∗ (x, t) − c(t)ki Γei (x, t) dx + r1 (c(t) − c˜) ×
≤

˜ −A+
eT (x, t) Ξ ⊗ −D
+

c(t)

2

eT (x, t) ×

BB T
2

Θ
− r1 c˜Γ
2

Ω

× e(x, t)dx

Ξ(G − K) + (G − K)T Ξ + 2r1 Ξ ⊗ Γ e(x, t)dx

Ω

˜ −A+
e (x, t) Ξ ⊗ −D
T

≤

i=1

+

eTi (x, t)Γei (x, t)dx

ηi

Ω

BB T
Θ
+ − r1 c˜Γ
2
2

× e(x, t)dx

(2.28)
trong đó e(x, t) = (eT1 (x, t), eT2 (x, t), . . . , eTN (x, t))T , Θ = diag(ρ21 , ρ22 , . . . , ρ2n ) và
q

D
Chọn c˜ đủ lớn sao cho
lk2

˜=
D
k=1

˜ −A+
−D

BB T
Θ

+ − r1 c˜Γ < 0
2
2

khi đó ta thu được
V˙ 2 (t) ≤ −

e(·, t)

2
2

(2.29)

Rõ ràng V2 (t) không giảm , và mỗi số hạng của V2 (t) bị chặn. Do đó, c(t) bị chặn
và lim V2 (t) tồn tại và là số thực không âm. Do c(t) tăng ngặt , do đó, c(t) hội
t→+∞

tụ tiệm cận tới một số giá trị dương hữu hạn. Do đó từ định nghĩa V2 (t) suy ra
N

lim

t→+∞

eTi (x, t)ei (x, t)dx tồn tại và tới một số thực không âm. Sau đây, ta sẽ

ηi
Ω

i=1

N

chứng minh lim

t→+∞

Ω

i=1
N

Giả sử ta có lim

t→+∞

eTi (x, t)ei (x, t)dx = 0

ηi

eTi (x, t)ei (x, t)dx = µ > 0 Khi đó rõ ràng tồn tại một số M > 0

ηi
i=1

Ω

N

sao cho

eTi (x, t)ei (x, t)dx >

ηi
i=1

Ω

µ
với t ≥ M
2

e(·, t)

Trong đó δ =

max

i=1,2,...,N

2
2>

µ
,
2δ

t≥M

(2.30)

ηi . Từ (2.29) và (2.30), ta được
µ
V˙ 2 (t) < − ,
2δ
20

t≥M

(2.31)


Tích phân hai vế (2.31) theo t trên toàn bộ thời gian từ M đến +∞, chúng ta thu được
+∞

V˙ 2 (t)dt

−V2 (M ) < V2 (+∞) − V2 (M ) =
M

+∞

Từ đây ta dẫn tới mâu thuẫn, do

M

µ
dt = −∞
2δ

ηi

eTi (x, t)ei (x, t)dx = 0

< −

đó
N

lim

t→∞

Từ đây ta có thể đạt được lim

i=1

t→+∞

Ω

e(·, t)

2=

0. Do đó mạng ghim điều khiển (2.9)được

đồng bộ dưới luật tương thích được trình bày.
Định lý được chứng minh xong.

Chú ý 3: Để có sự hiểu biết tốt nhất, trong nhiều mạng thế giới thực, cường độ
liên kết được điều chỉnh thích ứng theo sự thay đổi của môi trường hoặc trong chính
mạng lưới ( ví dụ , mạng cảm biến wifi, mạng sinh học, và mạng thần kinh ) [30]. Do
đó nó quan trọng và thu hút sự nghiên cứu vào ghim đồng bộ của mạng động lực với
cường độ liên kết thích ứng. Trong định lý (2.3.1), một điều kiện đạt được đảm bảo sự
đồng bộ của mạng ghim điều khiển (2.9) sử dụng luật thích ứng được thiết kết.
Chú ý 4: Cho hai ma trận G và K , ta luôn có thể tìm được một ma trận chéo xác
định dương Ξ thỏa mãn Ξ(G − K)(G − K)T Ξ < 0. Do đó , mạng phức (2.5) có thể nhận
ra sự đồng bộ dưới ghim điều khiển bất kì trong dạng (2.10) nếu cường độ liên kết c
được điều chỉnh theo luật thích ứng được thiết kế.
Chú ý 5: Từ hệ quả (2.2.2) , mạng phức (2.5) có thể nhận ra sự đồng bộ bởi điều
khiển duy nhất một đốt mạng. Tuy nhiên, nó yêu cầu một cường độ liên kết rất lớn c
, cái mờ không có thực tế [4] . Từ định lý (2.3.1), mạng phức (2.5) được đồng bộ bởi
ghim duy nhất một đốt mạng nếu cường độ liên kết được điều chỉnh tới luật tương thích
(2.26). Trong trường hợp c(t) cũng có thể hội tụ tới một số thực dương rất lớn. Do đó,
ta cần tìm một số cân bằng tốt giữa các số của đốt đã được ghim và cường độ liên kết
sao cho chúng đủ nhỏ có thể và có thể chấp nhận được để đem thực hành. Rõ ràng, đó
là vấn đề quan trọng và đáng được chú ý, cần được trực tiếp điều tra trong tương lại.

21


Chương 3
Ghim điều khiển của mạng động lực
phức với không gian liên kết khuyếch
tán
Trong mục này, ta xét một mạng động lực phức bao gồm N đốt mạng giống nhau với
không gian liên kết phản xạ. Trong mỗi đốt mạng là một mạng thần kinh tán xạ nchiều. Dựa vào phương pháp hàm Lyapunov và công nghệ ghim điều khiển, một điều
kiện đủ để đảm bảo sự đồng bộ của mạng động lực phức. Hơn nữa, ta cũng điều tra
ghim thích ứng sự đồng bộ của mạng động lực phức, và một tiêu chuẩn chung cho sự

đảm bảo sự đồng bộ được thiết lập.

3.1. Mô hình mạng lưới.
Trong mục này, ta xét một mạng lưới phức bao gồm N mạng thần kinh tán xạ giống
nhau (2.4) với không gian liên kết phản xạ. Mô hình toán học của mạng phức có thể
được mô tả như sau :
∂zi (x, t)
= D∆zi (x, t) − Azi (x, t) + J + Bf (zi (x, t)) + cˆ
∂t

N

ˆ ij Γ∆z
ˆ j (x, t)
G

(3.1)

j=1

Trong đó i = 1, 2, . . . , N N là số các đốt trong mạng lưới;
zi (x, t) = (zi1 (x, t), zi2 (x, t), . . . , zin (x, t))T ∈ Rn là vector trạng thái của đốt i; cˆ là một số
ˆ = (Γ
ˆ ij )n×n ∈ Rn×n > 0 là ma trận
thực dương biểu diễn cho tổng cường độ liên kết; Γ
ˆ = (G
ˆ ij )N ×N là ma trận liên kết cấu hình biểu diễn cấu trúc topo của
liên kết trong; G
ˆ ij được định nghĩa như sau : Nếu tồn tại một sự kết nối giữa đốt i tới
mạng, trong đó G

ˆ ij > 0 và ngược lại G
ˆ ij = 0(i = j); và các phần tử trên đường chéo của G
ˆ
đốt j , khi đó G
22


được định nghĩa bởi
N

ˆ ii = −
G

ˆ ij ,
G

i = 1, 2, . . . , N.

j=1;j=i

Trong mục này, ta luôn luôn giả sử mạng phức (3.1) là liên thông mạnh. Các điều kiện
giá trị ban đầu và giá trị biên được liên kết với mạng (3.1) được cho bởi
ˆ i (x) ∈ Rn , x ∈ Ω
zi (x, 0) = Φ
zi (x, t) = 0,

(3.2)

(x, t) ∈ ∂Ω × [0, +∞)

(3.3)

ˆ i (x) liên tục và bị chặn trên Ω.
Trong đó Φ
Đối tượng của mục này là thiết kế một số chiến thuật ghim điều khiển sao cho các giải
pháp của mạng được điều khiển (3.1) có thể đạt được sự đồng bộ theo các hướng sau :
lim

t→+∞

zi (· · · , t) − w∗ (x, t)

2=

0,

i = 1, 2, . . . , N

Trong đó w∗ (x, t) = (w1∗ (x, t), w2∗ (x, t), . . . , wn∗ (x, t))T là một nghiệm tùy ý thỏa mãn hệ
(2.1)

3.2. Ghim đồng bộ của mạng động lực phức hợp.
Không mất tính tổng quát, sắp xếp theo thứ tự tất cả các đốt và chọn ra l(1 ≤ l ≤ N )
đốt đầu tiên được ghim. Do đó, mạng ghim điều khiển được mô tả bởi phương trình sau
:
∂zi (x, t)
= D∆zi (x, t) − Azi (x, t) + J + Bf (zi (x, t)) + cˆ
∂t

N

ˆ ij Γ∆z
ˆ j (x, t) + ui
G
j=1

i = 1, 2, . . . , l
∂zi (x, t)
= D∆zi (x, t) − Azi (x, t) + J + Bf (zi (x, t)) + cˆ
∂t

(3.4)

N

ˆ ij Γ∆z
ˆ j (x, t)
G
j=1

i = l + 1, . . . , N

Trong đó
˜ i (x, t) − w ∗ (x, t)),
ui = −ˆ
cki Γ(z

i = 1, 2, . . . , l

(3.5)

là điều khiển phản hồi tuyến tính n−chiều với tất cả các điều khiển ngược ki > 0. Định
nghĩa ei (x, t) = zi (x, t) − w∗ (x, t), khi đó động lực của vec tor sai số ei (x, t) bị chi phối bởi
phương trình sau:
∂ei (x, t)
= D∆ei (x, t) − Aei (x, t) + Bf (zi (x, t)) − Bf (w∗ (x, t))
∂t
N

ˆ ij Γ∆e
ˆ j (x, t) − cˆki Γe
ˆ i (x, t)
G

+ˆ
c
j=1

23

(3.6)


Trong đó i = 1, 2, . . . N và ki = 0 với mọi i = l + 1, l + 2, . . . , N.
Để cho thuận tiện ta ký hiệu :
q

˜=
D
k=1

D
,
lk2

Θ = diag(ρ21 , ρ22 , . . . , ρ2n )

K=

diag(k1 , k2 , . . . , kN )
T
˜ − A + Θ + BB
Υ = −D
2
2

.

Định lý 3
Định lý 3.2.1. Nếu tồn tại một ma trận đường chéo Ξ = diag(η1 , η2 , . . . , ηN ) ∈ RN ×N
sao cho
ˆ + cˆG
ˆT Ξ
cˆΞG
ˆ≤0
⊗Γ
2
ˆ+G
ˆT Ξ
cˆ ΞG

ˆ <0
⊗Γ
2
lk2

Ξ⊗D+
q

ˆ−
Ξ ⊗ Υ − (ˆ
cΞK) ⊗ Γ
k=1

khi đó mạng ghim điều khiển (3.4) được đồng bộ.
Chứng minh. Sử dụng hàm Lyapunov V1 (t) như trong định lý (2.2.1) , tức là
1
V1 (t) =
2

N

eTi (x, t)ei (x, t)dx

ηi
i=1

Ω

Ta đạo hàm theo thời gian của hàm V˙ 1 (t) quanh quỹ đạo của hệ (3.6) thu được :
N

V˙ 1 (t) =

eTi (x, t)

ηi
Ω

i=1
N

=

∂ei (x, t)
dx
∂t

eTi (x, t)

ηi
Ω

i=1

× D∆ei (x, t) − Aei (x, t)
ˆ i (x, t)
+Bf (zi (x, t)) − Bf (w∗ (x, t)) − cˆki Γe
N

ˆ ij Γ∆e

ˆ j (x, t) dx
G

+ˆ
c
j=1

ˆ ⊗Γ
ˆ ∆e(x, t)dx
eT (x, t) Ξ ⊗ D + (ˆ
cΞG)

≤
Ω

eT (x, t) Ξ ⊗ −A +

+
Ω

Θ BB T
+
2
2

24

ˆ e(x, t)dx
− (ˆ
cΞK) ⊗ Γ

(3.7)
(3.8)