Vành các hàm số học và các tính chất liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TR N NG C VINH

VÀNH CÁC HÀM S

H C

VÀ CÁC TÍNH CH T LIÊN QUAN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Đà Nẵng - Năm 2016


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Ph n bi n 1: TS. Lê Văn Dũng
Ph n bi n 2: TS. Tr nh Đào Chi n

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13
tháng 8 năm 2016.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong những năm gần đây,công nghệ thông tin đang phát
triển mạnh mẽ như vũ bão, các thành tựu của số học được ứng
dụng trực tiếp vào các vấn đề trực tiếp của đời sống như kinh tế,
xã hội,thông tin mật mã, kĩ thuật máy tính. Do đó nghiên cứu
phát triển và ứng dụng số học là một bước đi quan trọng của toán
học.
Nhắc tới số học ta không thể bỏ qua vai trò cực kì quan
trọng của các hàm số học,kể cả trong lý thuyết và trong ứng dụng
thực tiễn. Đây là một vấn đề cổ điển nhưng được khai thác và đề
cập rất nhiều từ các cuộc thi học sinh giỏi cho đến các nghiên cứu
bậc cao. Dưới sự hướng dẫn và định hướng của GS.TSKH Nguyễn
Văn Mậu, tôi chọn đề tài “Vành các hàm số học và các tính chất
liên quan” làm đề tài nghiên cứu luận văn của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Trong luận văn này tôi sẽ trình bày những lý thuyết cơ bản
của vành các hàm số học,nêu vài hàm số học tiểu biểu,quan trọng,
cũng như các tính chất liên quan và ứng dụng của các hàm số
được nêu.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: vành các hàm số học, một số hàm số
học tiểu biểu,quan trọng, cũng như các tính chất liên quan và ứng
dụng của các hàm số được nêu.


2

Phạm vi nghiên cứu: kiến thức cơ bản về vành các hàm số
học, một số tính chất liên quan và bài tập trong tài liệu tham
khảo mà GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu giới thiệu.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm đọc, phân tích một số tài liệu về vành các hàm số học
và các tính chất liên quan.
Làm rõ các chứng minh trong tài liệu, hệ thống kiến thức
nghiên cứu.
5. Bố cục đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành
ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây:
Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số và
số học.
Chương 2 Trình bày một số hàm số số học cơ bản.
Chương 3 Trình bày một số áp dụng của các hàm số trên.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH. NGUYỄN
VĂN MẬU, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu
và truyền đạt những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa
Toán, trường ĐHSP Đà Nẵng-ĐH Đà Nẵng và bạn bè đồng nghiệp
đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi hoàn thành bản luận văn này.

3

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
CỦA ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC
1.1. VÀNH, IDEAN, MIỀN NGUYÊN
- Một cấu trúc đại số (X, .) với (.) là phép toán trong trên
X có tính chất kết hợp được gọi là nửa nhóm. Một nửa nhóm có

phần tử đơn vị được gọi là vị nhóm. Một nửa nhóm là giao hoán
nếu phép toán trên nó có tính giao hoán.
- Một vị nhóm (X, .) được gọi là một nhóm nếu mỗi phần
tử của X đều tồn tại phần tử nghịch đảo. Hay nói cách khác cấu
trúc đại số (X, .) dược gọi là một nhóm nếu:
a) (x.y).z = x.(y.z) với mọi x, y, z ∈ X;
b) Tồn tại phần tử e ∈ X sao cho e.x = x.e = x với mọi
x∈X

c) Với mọi x ∈ X tồn tại y ∈ X sao cho x.y = y.x = e
Ví dụ 1.1.
1. Tập hợp các số hữu tỉ với phép cộng thông thường là một
nhóm, tập hợp các số hữu tỉ khác 0 với phép nhân thông thường
là một nhóm.
2. Tập hợp các số phức có modul bằng 1 với phép nhân
thông thường là một nhóm, tập hợp gồm 2 số 1 và -1 với phép
nhân là một nhóm.
- Một nhóm chỉ gồm một phần tử được gọi là nhóm tầm

4

thường. Một nhóm nói chung có thể có hữu hạn hoặc vô hạn các
phần tử. Nếu X có hữu hạn phần tử thì ta nói X là nhóm hữu
hạn và số phần tử của X được gọi là cấp của nhóm X . Nếu phép
toán trên X có tính giao hoán thì ta nói X là nhóm giao hoán hay
nhóm Abel.
Các tính chất cơ bản của nhóm:
Tính chất 1.1. Phần tử đơn vị của nhóm là duy nhất.
Tính chất 1.2. Mỗi phần tử của nhóm chỉ có duy nhất 1
phần tử nghịch đảo.
Tính chất 1.3. Trong một nhóm luật giản ước được thực
hiện được với mọi phần tử, tức là từ đẳng thức a.b = a.c hoặc
b.a = b.c kéo theo b = c.

Tính chất 1.4. Trong nhóm (X, .) ta có:
(ab)−1 = b−1 a−1
am .an = am+n và (an )m = am.n

Tính chất 1.5. Cho (X, .) là một nửa nhóm khi đó 3 mệnh
đề sau là tương đương:
i) (X, .) là một nhóm.
ii) với mọi phần tử a, b của X phương trình a.x = b cũng
như phương trình y.a = b có nghiệm duy nhất.


5

iii) Trong X tồn tại phần tử đơn vị trái (tương ứng đơn vị

phải) và mọi phần tử của X đều có nghịch đảo trái (tương ứng
nghịch đảo phải).
Định nghĩa 1.1 ([4]). Cho (X, .) là một nhóm, và H là một
tập con của X . H được gọi là ổn định đối với phép toán . trong
X nếu và chỉ nếu a.b ∈ H với mọi a, b ∈ H . Khi đó người ta cũng

nói rằng phép toán trên X cảm sinh một phép toán trên H .
Ta nói một bộ phận ổn định H của nhóm X là một nhóm
con của X nếu H cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm.
Giả sử H là một tập con khác ∅ của một nhóm (X, .). Khi
đó ba mệnh đề sau là tương đương:
i) H là một nhóm con của X.
ii) ab ∈ H và a−1 ∈ H với mọi a, b thuộc H..
iii)(ab)−1 ∈H với mọi a, b thuộc H.
Định nghĩa 1.2 ([4]). Cấu trúc đại số (X, +, .) trong đó +
và . là 2 phép toán trên X được gọi là một vành nếu:
- (X, +) là một nhóm.
- (X, .) là một vị nhóm.
- Phép (.) phân phối với phép (+).
Phần tử đơn vị của nhóm (X, +) thường được kí hiệu là 0X .
Phần tử đơn vị (kí hiệu là 1X ) của vị nhóm (X, .) cũng được gọi
là phần tử đơn vị của vành. Một vành mà 0X = 1X được gọi là
vành tầm thường. Nếu phép toán (.) có tính giao hoán thì vành
(X, +, .) được gọi là vành giao hoán.


6

Cho (X, +, .) là một vành, nó có thể xảy ra trường hợp rằng
tồn tại các phần tử a, b ∈ X sao cho a = 0, b = 0 (0 là phần

tử đơn vị của nhóm (X, +)) nhưng a.b = 0. Những phần tử như
thế được gọi là ước của không. Một vành không tầm thường, giao
hoán, không có ước của không được gọi là vành nguyên hoặc miền
nguyên.
Vành (X, +, .) được gọi là một trường nếu nó là không tầm
thường, giao hoán và mọi phần tử khác không đều có nghịch đảo
đối với phép toán (.). Như vậy nếu (X, +, .) là một trường thì
(X − 0, .) là một nhóm.

Định nghĩa 1.3 ([4]). Cho (X, +, .) là một vành và A là
một tập con khác rỗng của X . Khi đó A được gọi là idean của X
nếu thỏa mãn các điều kiện:
- (A, +) là một nhóm con của (X, +).
- ax ∈ A và xa ∈ A với mọi a ∈ A và x ∈ X.
Định nghĩa 1.4 ([4]). Vành X được gọi là miền nguyên khi
X là một vành giao hoán, có đơn vị 1=0, và không có ước của 0.

1.2. VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC
Hàm số số học là hàm số nhận giá trị phức và xác định trên
tập hợp các số nguyên dương. Các hàm số số học vừa là đối tượng
cơ bản vừa là công cụ có hiệu quả trong các nghiên cứu toán học,
tin học, mật mã. Do đó, cùng với việc nghiên cứu các hàm số số
học, người ta còn thường quan tâm đến cấu trúc đại số, cấu trúc
giải tích của các hàm số số học. Trên tập hợp các hàm số số học,


7

có thể trang bị nhiều phép toán đại số 2 - ngôi để từ đó thu được
các cấu trúc đại số khác nhau.Ở đây ta tìm hiểu cấu trúc vành

của các hàm số số học.
Định nghĩa 1.5 ([4]). Một hàm số f xác định trên tập hợp
các số nguyên dương và nhận giá trị trong trường các số phức
được gọi là hàm số số học. Hàm số số học f được gọi là hàm có
tính chất nhân (hàm nhân) nếu:
1) Tồn tại số nguyên dương n để cho f (n) = 0.
2) Với mọi cặp số nguyên dương a, b nguyên tố cùng nhau,
ta có
f (ab) = f (a)f (b).

Trong trường hợp đẳng thức trên đúng với mọi số nguyên
dương a, b thì hàm số số học f được gọi là hàm có tính chất nhân
mạnh.
Hàm số số học f được gọi là hàm cộng tính nếu với mọi
cặp số nguyên dương a, b nguyên tố cùng nhau, ta có f (ab) =
f (a) + f (b).

Tổng, tích từng điểm và tích chập Dirichlet các hàm số số
học. Cho các hàm số học f và g , khi đó ta lần lượt định nghĩa:

Tổng f + g của f và g được định nghĩa bởi
(f + g)(n) = f (n) + g(n).


8

Tích từng điểm f 0 g của f và g được định nghĩa bởi
(f 0 g)(n) = f (n)g(n)

.

Tích chập Dirichlet f ∗ g của f và g được định nghĩa bởi

(f ∗ g)(n) =
d|n

n
f (d)g( ) =
d

f (d)g(d )
dd =n

là tổng chạy trên tất cả các ước dương d của n.
Hàm e bởi e(n) = 1 nếu n = 1 và e(n) = 0 nếu n ≥ 2.
Hàm zero O bởi O(n) = 0 với mọi số nguyên dương n.
Định lý 1.1 ([4]). Tập các hàm số học với phép toán cộng
và phép nhân chập Dirichlet lập thành một vành giao hoán có
phần tử không là hàm O và phần tử có đơn vị là hàm e.
Định lý 1.2 ([4]). Với mỗi số nguyên dương N , kí hiệu IN
là tập hợp tất cả các hàm số số học f sao cho f (n) = 0, ∀n ≤ N ,
khi đó IN là một idean của vành các hàm số số học.
GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA CÁC HÀM SỐ HỌC
Ta định nghĩa giá trị trung bình F (x) của hàm số học f (n)
bởi công thức
F (x) =

f (n).
n≤x

Quy ước F (x) = 0 với x < 1. Hàm F (x) cũng được gọi là

hàm tổng của f . Chúng ta sẽ mô tả hai phương pháp đơn giản


9

nhưng mạnh mẽ để ước lượng hàm tổng trong lí thuyết số. Đầu
tiên là tích phân và thứ hai là tổng riêng.
Phần nguyên của một số thực x, kí hiệu bởi [x], là số nguyên
n duy nhất sao cho n ≤ x < n + 1. Phần thập phân của x là số

thực x = x − [x] ∈ [0, 1).
−5
−5
1
= −2 và
= .
3
3
3
Mọi số thực x có thể được viết duy nhất là x = [x] + x.

Ví dụ 1.2.

Một hàm f (t) là đơn thức trong khoảng I nếu tồn tại một
số t0 ∈I sao cho f (t) là tăng với t ≤ t0 và giảm với t ≥ t0 .
Ví dụ 1.3. hàm f (t) =

logk t
là đơn thức trong khoảng
t

[1, ∞) với t0 = ek .

Trong giải tích thực đã chứng minh rằng mọi hàm đơn điệu
hoặc đơn thức trong tập đóng [a, b] là khả tích.
Định lý 1.3 ([4]). Cho a và b là các số nguyên với a < b, và
cho f (t) là một hàm đơn điệu trong đoạn [a, b]. Thì
b

b

min (f (a) , f (b)) ≤

f (n) −
n=a

f (t) dt ≤ max (f (a) , f (b)) .
a

Cho x và y là các số thực với y < [x], và cho f (t) là một hàm
đơn điệu không âm trên [y, x]. Thì
x

f (n) −
y
f (t) dt ≤ max (f (y) , f (x)) .
y

10

Nếu f (t) là một hàm đơn thức không âm trên [1, ∞), thì
x

F (x) =

f (n) =
n≤x

f (t) dt + O (1) .
1

Định lý 1.4 ([4]). Cho r là một số nguyên không âm. Với
x ≥1,
n≤x

logr n
1
=
logr x + O (1) .
n
r+1

Trong đó hằng số kéo theo chỉ phụ thục vào r.
Định lý 1.5 ([4]). Cho k là một số nguyên không âm. Với
x ≥1,

n≤x

logk (x/n)
1
=
logk+1 x + O logk x ,
n
k+1

Trong đó hằng số kéo theo chỉ phụ thuộc vào k .
Định lý 1.6 ([4]). Cho f (n) và g(n) là các hàm số học. Xét
hàm tổng
F (x) =

f (n)
n≤x

Cho a và b là các số nguyên không âm với a < b. Khi đó
b

f (n) g (n) = F (b) g (b) − F (a) g (a + 1)
n=a+1
b−1

F (n) (g (n + 1) − g (n)) .

−
n=a+1


11

Cho x và y là các số thực không âm với [y] < [x] và cho g(t)
là một hàm có đạo hàm liên tục trên [y, x]. Khi đó
x

f (n) g (n) = F (x) g (x) − F (y) g (y) −
y
F (t) g (t) dt
1

Định lý 1.7 ([4]). Với x ≥ 1,

n≤x

1/n = log x + γ + r (x) ,

trong đó

∞

0<γ =1−
1

Và |r (x)| <

{t}
dt < 1
t2

1

.
x

Số γ =0,577 được gọi là hằng số Euler. Một bài toán không
giải được nổi tiếng trong lí thuyết số được xác định nếu γ là hữu
tỉ hoặc vô tỉ.
Định lý 1.8 ([4]).
Cho A = {ai }∞
i=1 là một tập hợp hữu hạn của các số a1 <
a2 < a3 < . . . .

Nếu
A (x) =

1=O
ai ≤x
∞

Với x ≥2, thì chuỗi

1
hội tụ.
i=1 ai

x
log2 x


12

Định lý 1.9 ([4]). Với x ≥ 2,
log2 n = xlog2 x − 2x log x + O log2 x .
n≤x

Định lý 1.10 ([4]). Với x≥ 2,
log2
n≤x

x
= 2x + O log2 x .
n


13

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC CƠ BẢN
2.1. HÀM SỐ MOBIUS
Định nghĩa 2.1 ([3]). Hàm số Mobius kí hiệu µ được xác
định bởi :
i) µ(1)=1;
ii) µ(n) = (−1)k nếu n là tích của k số nguyên tố khác nhau;
iii) µ(n) = 0 nếu n có ước chính phương khác 1.
Từ định nghĩa ta suy ra ngay các định lý sau.
Định lý 2.1 ([3]). Hàm Mobius có tính nhân.
Chứng minh.
Giả sử
n = pα1 1 .pα2 2 ...pαmm

là khai triển lũy thừa nguyên tố của số nguyên dương n > 1.
Ước d của n mà µ(d) =0 có dạng
1, p1 , p2 ..., pm , pi pj (i < j), pi pj pk (i < j < k), ..., p1 p2 ...pm

Thế thì
µ(d) =µ(1) +
d|n

µ(pi )+
i

µ(pi pj ) + ...+µ(pi p2 ...pm )
i
Vậy
µ(d) = 1 −
d|n

m
1 +

m
2 −

m
m
1 .... = (1 − 1) = 0


14

µ(d) = 1 khi n=1 và -

Định lý 2.2 ([3]).
d|n

n > 1.

Định lý 2.3 (Luật thuận nghịch[4]).

Nếu n có sự phân tích chuẩn tắc
n = pα1 1 .pα2 2 ...pαmm

và f là hàm nhân thì
m

(1 − f (pi ))

µ(d)f (d) =
i=1

d|n

Định lý 2.4 (Hàm Mobius ngược[4]).
Giả sử f là hàm số học. Khi đó ta có
g(n) =

f (d)
d|n

khi và chỉ khi f (n) =

n
µ(d)g( ).
d
d|n

Chứng minh.
Chiều thuận
Ta có
d|n

=

n
µ(d)g( )
d

µ(d)
d|n

µ(d) = 0 nếu
d|n

f (d )
n
d |
d


15

=

µ(d)f (d ) =
dd |n

f (d )

µ(d)
n
d|
d

d |n

Theo định lý (1)trên thì
µ(d) = 0
n
d|
d

nếu

n
> 1 và
d

n
d|
n

µ(d) = 1.

Nên ta suy ra

d|n

n
µ(d)g( ) =
d

f (d )
d |n

d =n

d|

n
d

µ(d) = f (n)

f (d )

=

µ(d)

d|

n
n

Chiều nghịch
Vì
f (n) =
d|n

n
µ(d)g( ).
d

Ta suy ra
f (d) =
d|n

=

µ(
d|n

d |

n
d

d|n

n
)g(d ) =

dd

n
f( )
d
µ(
dd |n

n
)g(d )
dd


16

Theo định lý (1) trên thì
µ(d) = 0
n
d|
d

nếu

n
> 1 và
d

µ(d)=1.

n

d|
n

Nên ta suy ra
µ(

f (d) =
d|n

dd |n

=

n
)g(d ) =
dd

g(d )

g(d )
d |n

µ(
d |

n
d

n
)

dd

µ(d) = g(n).
n
d|
n

d =n

Định lý 2.5 ([4]). Cho f (n) là một hàm số số học và cho
F (x) =

f (n)
n≤x

Khi đó ta có
F(
m≤x

x
)=
m

f (d)
d≤x

x
=
d

f (d).
n≤x d|n

Định lý 2.6 ([4]).

n≤x

µ(n)
= O(1).
n

Định lý 2.7 ([4]).

n≤x

µ(n)
6
1
= 2 + O( )
n2
π
x


17

2.2. PHI-HÀM EULER
Vài nét về nhà toán học Leonard Euler và phi-hàm Euler
Euler là người mà lịch sử đã giao cho nhiệm vụ vẽ ra thiết
kế của toà nhà và từ những viên gạch và những khối bê tông, bắt

đầu xây dựng một công trình vĩ đại, trong đó có sự liên kết của
khoa học tự nhiên và toán học. Thời điểm đó, đa số các nhánh của
toán học mới chỉ ở giai đoạn sơ khởi – đại số, hình học giải tích,
lượng giác, phép tính vi tích phân, phương trình vi phân, cơ học
và nhiều ngành khác, và chưa có ngành nào có mô tả một cách
hệ thống. Euler đã dạy chúng ta hiểu thực chất của các ngành,
các phân môn và tạo ra một ngôn ngữ mà chúng ta vẫn dùng để
trao đổi. Thật phù hợp khi trích ra ở đây lời của Laplace “Hãy đọc
Euler – ông là thầy của tất cả chúng ta”. Bây giờ chúng ta không
đọc Euler nữa, nhưng thực tế thì có rất nhiều thứ chúng ta thừa
hưởng từ những công trình của Euler.
Đóng góp của Euler cho giải tích theo nghĩa rộng vô cùng
to lớn. Ở đây giải tích bao gồm cả giải tích thực, giải tích phức,
lý thuyết phương trình vi phân, bài toán biến phân, hình học vi
phân, phương trình toán lý. Con số các khái niệm và tính chất nền
tảng của giải tích, lần đầu tiên xuất hiện trong các công trình của
Euler, có thể lên đến hàng trăm, sau đây là một số trong chúng:
- Tích phân Euler
- Phép thế Euler
- Phương trình Euler


18

- Số Euler
- Công thức Euler
- Tiêu chuẩn Euler
- Đa thức Euler
- Chuỗi Euler
- Chu trình Euler

- Phi-hàm Euler
Với mỗi số nguyên dương n > 2, ϕ(n) ký hiệu số các số
nguyên dương nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n.Phi hàm
Euler có nhiều ứng dụng trong Lý thuyết số, đặc biệt nó có mặt
trong định lý Euler: nếu (a, n) = 1 thì aϕ(n) ≡ 1(modn). Định
lý Euler là mở rộng của định lý nhỏ Fermat và đóng một vai trò
quan trọng trong việc xây dựng hệ thống mã công khai RSA và
các hệ mã khác. Phi-hàm Euler được ông đưa ra vào năm 1763.
Định nghĩa 2.2 ([4]). Phi-hàm Euler, kí hiệu ϕ, được xác
đinh bởi: ϕ(n) là số các số nguyên dương không vượt quá n và
nguyên tố cùng nhau với n.
Định lý 2.8 ([4]). Phi-hàm Euler là hàm nhân.
Định lý 2.9 ([4]). Nếu p nguyên tố và α nguyên dương thì
ϕ(pα ) = pα (1 − 1 /p )

Chứng minh.


19

Các số nguyên dương không vượt quá pα và không nguyên
tố cùng nhau với pα chính là các số nguyên dương không vượt quá
pα và chia hết cho p.

Đó chính là các số kp mà 1 ≤ k ≤ pα−1 .
Có cả thảy pα−1 số như vậy do đó
ϕ(pα ) = pα − pα−1 = pα (1 − 1 /p ).

Từ các định lý trên ta có ngay định lý sau đây để tính ϕ(n).
Định lý 2.10 ([4]). Nếu n = pα1 1 .pα2 2 ...pαmm là khai triển lũy

thừa nguyên tố của số nguyên dương n thì
ϕ(n) = n(1 −

1
1
1
)(1 − )...(1 − ).
p1
p2
pk

Định lý 2.11 ([4]). Với mọi số nguyên dương m, ta có
ϕ(d) = m
d|m

Mọi ước d của m đều có thể biểu diễn dưới dạng :d =
pr11 .pr22 ...prkk .

Với 0≤ ri ≤ ti khi i=1,. . . , k .

Định lý 2.12 ([2]). Giả sử n > 1 và a là một số nguyên,
nguyên tố cùng nhau với n khi đó ta có
aϕ(n) ≡ 1(modn).


20

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ ÁP DỤNG

3.1. ÁP DỤNG HÀM MOBIUS
Bài toán 3.1. Tính toán µ(n) với 11≤ n ≤ 20.
Bài toán 3.2. Cho f (n) là một hàm số số học và định nghĩa
g(n) =

f (d).
d|n

Sử dụng hàm Mobius ngược để viết f (30) như là tổng các giá trị
phân biệt của hàm số học g .
Bài toán 3.3. Cho d(n) là hàm đếm các ước số, chứng minh
rằng
k|n

n
d(k)µ( ) = 1
k

với mọi số nguyên n xác định.
Bài toán 3.4. Cho σ(n) kí hiệu là tổng các ước dương của
n, nghĩa là
σ(n) =

k.
k|n

Chứng minh rằng

k|n

với mọi số nguyên n.

n
σ(k)µ( ) = n
k


21

Bài toán 3.5. Cho f (x) là một hàm trên tập số x ≥1. Định
nghĩa hàm g(x) như sau:
g(x) =
n≤x

x
f ( ).
n

Chứng minh rằng
f (x) =
n≤x

x
µ(n)g( ).
n

Bài toán 3.6. Cho g(x) la 1 hàm trên tập số x ≥1, định
nghĩa hàm f (x) như sau:
f (x) =
n≤x

x
µ(n)g( ).
n

Chứng minh rằng
g(x) =
n≤x

x
f ( ).
n

Để chứng minh 2 bài toán trên ta chứng minh bài toán sau:
Bài toán 3.7. Đặt
I := x ∈ R : x ≥ 1

Với hàm f : I → C ; hàm g : I → C chứng minh (i) và (ii)
là tương đương
x
f ( ) với mọi x ≥1,
k
k≤x
x
ii) f (x) =
µ(k)g( ) với mọi x ≥1.
k
k≤x

i) g(x) =

22

Bài toán 3.8. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n
đều có thể biểu diễn dưới dạng
n = k2 l

trong đó k và l là các số nguyên dương và l không chia hết cho
bình phương của một số nguyên tố.
Bài toán 3.9. Chứng minh rằng mật độ của các số nguyên
không chia hết cho bình phương của bất cứ số nguyên tố nào là
6
(tương đương với, gọi Q(x) là số các số nguyên không chia hết
π2
cho bình phương của bất cứ số nguyên tố nào không vượt quá x).
Chứng minh
lim

x→∞

Q(x)
6
= 2.
x
π

Bài toán 3.10. Với mọi x ≥ 1,

uv≤x,(u,v)=1

3
1
= 2 log2 x + O(log x).
uv
π

3.2. ÁP DỤNG PHI-HÀM EULER
Bài toán 3.11. Tính ϕ(6993).
Bài toán 3.12. Cho m=15. Tính ϕ(d) với mọi ước d của
m, và kiểm tra rằng
ϕ(d) = m.
d|m

Tính tương tự cho m=16,17.


23

Bài toán 3.13. Chứng minh rằng ϕ(m) là số chẵn với mọi
m ≥3.

Bài toán 3.14. Chứng minh rằng
ϕ(mk ) = mk−1 .ϕ(m),

với mọi số nguyên dương m và k .
Bài toán 3.15. Chứng minh rằng m là số nguyên tố nếu và
chỉ nếu ϕ(m)=m-1.
Bài toán 3.16. Chứng minh rằng ϕ(m)= ϕ(2m) khi và chỉ
khi m là số lẻ.

Bài toán 3.17. Chứng minh rằng nếu m là ước của n thì
ϕ(m) cũng là ước của ϕ(n).

Bài toán 3.18. Tìm tât cả các số nguyên dương n sao cho
ϕ(n) không chia hết cho 4.

Bài toán 3.19. Tìm tất cả số nguyên n sao cho ϕ(5n)=5
ϕ(n).

Bài toán 3.20. Cho n ≥1.Tính số các số tự nhiên nhỏ hơn
hoặc bằng n mà ước số chung lớn nhất của chúng với n bằng d,
với d|n.Suy ra rằng
ϕ(d) = n.
d|n

Bài toán 3.21. Tính 21000000 ≡ 23(mod77).