Co so xac suat hien dai

BỔ SUNG MỘT SỐ BÀI GIẢI
MÔN CƠ SỞ XÁC SUẤT HIỆN ĐẠI
Bài 1.16
a)

Giả sử A = { Ai , iєI} là 1 họ độc lập để chứng minh Ā độc lập ta cần
chứng minh với mọi họ hữu hạn các biến cố Ai1,Ai2,…..,Ain của họ
{Ai, iєI} ta đều có:
P( Āi1Ai2…Ain) = P(Āi1).P(Ai2)...P(Ain)

Thật vậy,
Ai1 độc lập với Ai2,…..,Ain
Hay
Āi1 độc lập với Ai2,…..,Ain
Nên
Āi1 độc lập với (Ai2,…..,Ain )
Do đó :
P( Āi1Ai2…Ain) = P(Āi1).P(Ai2,…..,Ain )
Mặt khác A là 1 họ độc lập nên :
P(Ai2,…..,Ain ) = P(Ai2)......P(Ain )
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

b)
 Cm1:

) (đpcm)
 Cm2: P(

Đặt . ;
Khi đó { là dãy giảm và

=>P(
(đpcm)
Bài 1.17

(1)
(2)


Ta có:
∞

∞

n =1

n =1

n

n

∞

k =1

n =1

P (I An ) =P(I Bn ) = limP( Bn ) = lim P(I Ak ) = lim ∏ P( Ak ) =∏ P( An )
n →∞

n →∞

k =1

n →∞

Mặt khác:
∞

∏ (1 + a )
n

n =1

hội tụ tuyệt đối tới 1 giá trị khác không khi và chỉ khi

∞

∑a
n =1

n

hội tụ tuyệt đối

………………………………………………………………………….

Bài 1.21:
Quan hệ phụ thuộc hay không độc lập giữa các biến cố trong một không
gian xác suất bất kì không có tính bắc cầu.

Ví dụ: Ω=( 1, 2, 3, 4)
A=( 1, 2)
B=( 4 )
C=( 2; 3)
P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=
Khi đó A, C không độc lập với B, nhưng C độc lập với A.

Bài 1.22:
Gọi A, là các biến cố độc lập trong một không gian xác suất thì khi đó:
P(A)P()= 0 hoặc P(A)P()= 1
*Cm điều kiện đủ: ta có A và là các biến cố trong không gian xác suất vì
thế nên khi P(A) = 0 => P() = 1. Ngược lại nếu P(A)=1 => P() = 0
=> Điều này luôn đúng.
* Cm điều kiện cần: Giả sử các biến cố độc lập có tính bắc cầu


=> 0Vì A và đọc lập với nên =>chúng độc lập với nhau
=>P(A)P()=P(A)P()=P()=0 =>vô lý.
Bài 1.26
 Cm: Nếu liminf P(An)≥a>0 thì 1
 Cm: Ta có A1,A2,… con của An; B1, B2, … con của Bn.
Với lim inf P(An)≥a>0

Ta có:


=

Đfcm

Bài 1.31:
Ứng với mỗi k= 1m, 2,…, chỉ tồn tại hữu hạn điểm x mà xác suất tại đó
là p= F(x+ 0)- F(x) thỏa mãn hệ thức
.
Thật vậy ta thấy :
hội tụ về 0
hội tụ về 0
Suy ra : p cũng sẽ hội tụ về 0.
Vậy p hữu hạn nên hàm phân phối của 1 biến ngẫu nhiên có không quá đếm
được điểm gián đoạn .

Bài 1.32:
CMR: Nếu hàm phân phối của BNN liên tục trên toàn trục số (trục số thực R) thì
nó liên tục đều trên đó

Giải:
_ Ta có: (Ω, f, P) là không gian xác suất, BNN: X:Ω  R có hàm phân phối xác
suất liên tục trên R


_ Trên [-A; A], vì F(x) liên tục đều nên ta tìm được δ > 0, sao cho:

_ Do đó:

Bài 1.42:
Ta có :
E[X] =

∑

i

[x]i pi nếu X rời rạc với P( X=xi ) = pi
+∞

∫ [ x] p([ x])dx

Và E[X] =

−∞

nếu X liên tục có hàm mật độ p

Suy ra : E[X] tồn tại , E[X]+1 cũng tồn tại
Áp dụng định lý kẹp : [x] <= x <= [x]+1
Nên ta được : EX tồn tại.
Vậy EX tồn tại khi và chỉ khi E[X] tồn tại .

Bài 1.51:
là các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn
CMR: P(

Giải:
Ta có:
P()


= P (() ()
= P(()

P ( ( bất đẳng thức trang 29)
Áp dụng bất đẳng thức Markov, ta có:

P( )
==
Bài 1.56:
Đặt Z = Max {X;Y3}, T = Min {X;Y3}.
Ta có:

Bài 1.61:
Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập,nhận các giá trị nguyên không
âm và chứng minh rằng.
Giải
Sử dụng kết quả bài tập 1.40
Ta có với X là giá trị nguyên không âm có kỳ vọng hữu hạn thì


Khi đó

Bài 1.62: CMR: Một BNN độc lập với chính nó, khi và chỉ khi, BNN đó nhận
giá trị không đổi với xác suất 1 ( Tức là tồn tại hằng số c thuộc R sao cho F(c) =
P(X=c) =1)

Giải:
•

Chiều thuận (1)

_ Giả sử BNN X độc lập với chính nó. Khi đó, với mọi tập con Borel của đường
thẳng thực, ta có P(X∊B) = 0 hay P(X∊B) = 1

_ Đặt

_ Khi đó

•

Chiều nghịch ( Hiển nhiên đúng) (2)

(_ Lý thuyết )
(σ (X) (σ đại số sinh bởi X là σ đại số bé nhất mà X đo được)/ 13)
( Luật Kolmogorov (BNN độc lập): Giáo trình trang 38)
(Bài tập 1.9 cm 2 biến cố A, B độc lập thì có P(A) = P(B) =1)
_ Ta có: BNN X, với mọi tập con Borel của đường thẳng thực, ta có P(X∊B) = 0
hay P(X∊B) = 1

_ Áp dụng bài tập 1.9, suy ra: BNN X độc lập với chính nó
_ Từ (1), (2) suy ra đpcm


Bài 2.11
Với mỗi n = . Khi đó {, , n } cũng là hiệu martingale. Mặt khác,

=<
Ta suy ra

=

h.c.c

Bài 2.17:

•

Xét A1

_Đặt

_ Suy ra

•

Xét A2

_Đặt

_ Suy ra


•

Suy ra

Bài 2.21 :
Giả sử ε < 1 . Khi đó :
P(|

X 1 + ...... + Xn
n

| > ε)

>= P(Xn =2n , Xn-1=2n-1) x P(|
= P(XN = 2n , Xn-1 =22n-1) =

X 1 + ... + X (n − 2) + 2n −1 + 2 n
>
n

ε |)

1
4

Vì dãy { Xn , n>1 } hội tụ xác xuất về
theo luật yếu số lớn .

1
4

nên dãy { Xn , n>1 } không tuân

Bài 2.22:
a)

Xn

-

P

1
2n

EXn = 0

EX n2

=

DXn =

1
1
+0+
2
2

EX n2

Khi đó :

=1

- (EXn)2 = 1

n

0

n

1−

1
n

1
2n


1
n2

n

1
DX
=
∑
i
2
n
i =1

n

∑1 =
i =1

1

1
.
n
=
→ 0( n → ∞)
2
n
n

Vậy (Xn, n>=1) tuân theo LYSL
b)
Xn

-n

0

n

P

1
2n 2

1−

1
n2

1

2n 2

EXn = 0

EX n2

=

DXn =

1
1
+0+
2
2

EX n2

=1

- (EXn)2 = 1

Khi đó :

1
n2

n

1

DX
=
∑
i
n2
i =1

n

∑1 =
i =1

1
1
.
n
=
→ 0( n → ∞)
2
n
n

Vậy (Xn, n>=1) tuân theo LYSL
c)
Xn
P

-2n
1
2

2 n+1

2n

0
1−

1
22 n

1
2

2 n+1


EXn = 0

EX n2

1
1
+0+
2
2

=

EX n2

DXn =

=1

- (EXn)2 = 1

Khi đó :

1
n2

n

1
DX i = 2
∑
n
i =1

n

1
1
1 = 2 .n = → 0( n → ∞)
∑
n
n
i =1

Vậy

(Xn, n>=1) tuân theo LYSL
d)
Xn

-

nα

1
2

P

nα

1
2

EXn = 0

EX n2

=

DXn =

n 2α n 2α
+

= n 2α
2
2
EX n2

n 2α
- (EXn)2 =

Khi đó:
n

1
DX i = 2
∑
n
i =1

n

∑1 = i
i =1

2α

1 2α
n.n 2α n 2α
2α
2α
= 2 .(1 + 2 + ... + n ) ≤
=

= n 2α −1 → 0(vì 2α -1<0)
2
n
n
n

Vậy (Xn, n>=1) tuân theo LYSL