Chuyên đề ôn thi tuyển sinh lớp 10

NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

PHẦN I

ĐẠI SỐ

1


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

Chương 1- CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
BÀI 1: CĂN BẬC HAI

1.

Căn bậc hai số học
• Căn bậc hai của 1 số a không âm là số x sao cho x 2 =a
• Số dương có đúng hai căn bậc hai đối nhau là : a >< − a

0 =0
ĐỊNH NGHĨA

•

a được gọi là căn bậc hai số học của a.

Với số dương a, số
Và 0 = 0.
 Chú ý: Với 0
-

≤a

Nếu x= a thì x ≥ 0 và x2= a
Nếu x ≥ 0 và x2=a thì x= a .
Ta viết :

{

x ≥0
x= a ⇔
x2=a
So sánh các căn bậc hai số học
ĐỊNH LÍ
2.

3.

BÀI TẬP

Với hai số a và b không âm, ta có
a
1.Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau :

30 ; 244 ; 36 ; 400 ; 81 ; 25; 324; 98; 100;
2.So sánh
a) 4 và 5
b) 49 và 30
c) 6 và 5

3.Tìm x không âm, biết:
a) x =25 ;
b) 3 x = 65 ;
2

40 ;

650 ;


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

c) x >4;

d) 12x <55 ;

e) 45x =25;

1
25 x
125 = 5

f)

25 x 1
−
g) 10 5 =0

h) 20x >20

BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
= A

A2

1. CĂN THỨC BẬC HAI

Với A là 1 biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A,
còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
A xác định (hay có nghĩa) khi a lấy giá trị không âm.
•
A2 = A

2. HẰNG ĐẲNG THỨC

ĐỊNH LÍ

2
Với mọi số a, ta có a = a

 CHÚ Ý:
•

A2 = A nếu A ≥ 0 (tức là A giá trị không âm)

•

A2 = − A nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm)

3. BÀI TẬP

A. Tính và rút gọn:
1. 2

2

5. 4

2

2
2. (−2)
2
6. (−4)

2

4
 ÷
9.  5 

2
3. 3

2
4. (−3)

2
7. 6

8.

2

 4
− ÷
10.  5 

3
 ÷
4
11.  

8
14. x

15.

2

13.

(−0, 01) 2

17.

4x − 4x + 1

18.

20.

(a − 2b) 2

với a ≤ 2b

21.

(6 − 9 x) 2

với 3x ≥ 2

22.

2

(−10) 2

3

(4 − 2 x) 2

a2 − a +

1
4

4 x 2 − 4 xy + y 2

12.

(−0,5)2

16.

a 2 − 2a + 1

2
19. 1 − 6a + 9a


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT
B. Tính:
a) 36 . 25 + 81
c)
e)

g)

b) 49 :7+36

25 + 202 − 25
1
6
228
124 −
2

32 + 22 +

d)

923 -

f)

144
121
+
3
256

12

2
2
2
h) 3 + 9 + 5 + 6

20 4 81
+ +
16 3
5
i)

k)

C. Tìm x để căn thức có nghĩa:
1) 6 x + 45 + 19 x

752 + 25

2) −36 x + 12

2
3) −2 + 3x
12 x + 16 y − 3

5)

2
4) 4 + x
6) 45 x − 15

7) 2x

8) 23 + 65 + 48 − 136x

2
9) (1 + 2 x)
2
10) (2 − 3 x)

PHẦN GHI THÊM
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
4


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

5


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ
PHÉP KHAI PHƯƠNG
1. ĐỊNH LÍ
• Phép nhân và khai phương

Với hai số a và b không âm, ta có
a.b = a . b
• Phép chia và khai phương

Với số a không âm và số b dương, ta có
a
a
=
b
b
2. ÁP DỤNG
• PHÉP NHÂN VÀ KHAI PHƯƠNG
a) Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai
phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
b) Quy tắc nhân hai căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các
số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
• PHÉP CHIA VÀ KHAI PHƯƠNG
a) Quy tắc khai phương một thương
a
b

Muốn khai phương một thương , trong đó số a không âm và số b
dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả
thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
b) Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b
dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
3. BÀI TẬP
A.TÍNH VÀ RÚT GỌN
6


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT
1) 2 2

2) -5. (-2 2 )

5) 20 8 : 6 2

 1

6÷
−

4) 10.  2
1
2. 3.
12
6)

7) 7 45 : 81

 −1

 2 10 ÷


8) 12 2 . 

1
.6 3
3) 2

9) 2 3 .3 6
20 12 1
.
2
3
11)
B.RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SAU

2 − 8 + 6 + 16

1)

2) 6 12 − 2 48 + 5 75 − 7 108

3) 2 5 − 125 − 80

4) 3 2 − 8 + 50 − 4 32

27 − 2 3 + 2 48 − 3 75

5)

6) 3 2 − 4 18 + 32 − 50

7) 2 3 − 75 + 2 12 − 147
9)

10 72 −

10) 6 5 : 30
45 20. 45
144
+
75
121
12)

8)

2 2 + 32 −

1
2
450 +
392
3
7

5
162 + 128 − 2 50 + 98 + 18
3

450 − 392 − 338 + 242 − 288 + 32

10)

1
1
1
108 +
75 −
363 + 12 − 3 48
15
22
11) 2
3
7
9
11
12
12 +
75 −
300 +
108 −
108
5
10
6
3
12) 2
5
1
3

1
48 −
363 +
147 −
192
33
14
4
13) 8
−

C.TÍNH

1) 3 + 2 2

2) 3 − 2 2

3) 8 − 2 15

4) 8 + 2 15

5) 5 − 2 6

6) 5 + 2 6

7) 4 + 2 3

8) 4 − 2 3

9) 10 + 2 6 + 2 10 + 2 15

10) 10 − 2 6 + 2 10 − 2 15

11) 10 + 2 6 − 2 10 − 2 15

12) 10 − 2 6 − 2 10 + 2 15

13) 6 + 2 2 + 2 3 + 2 6

14) 6 + 2 2 + 2 3 + 2 6

15) 6 + 2 2 − 2 3 − 2 6

16) 6 − 2 2 + 2 3 − 2 6

17) 6 − 2 2 − 2 3 + 2 6

18) 8 + 8 + 20 + 40 [ HSG TPHCM, 2006-2007 ]

7


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

19)

(3

2 + 10

)

(

2 2+ 3

38 − 12 5

)

2

20)

BÀI 4. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
THỨC BẬC HAI
1. ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN

Với hai biểu thức A,B mà B ≥ 0, ta có
Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì
Nếu A < 0 và B 0 thì
≥

A2 B = A

B

, tức là:

A2 B = A B

A2 B = − A B .

2. ĐƯA THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN
2
Với A ≥ 0 và B ≥ 0 ta có A B = A B
2
Với A < 0 và B 0 ta có A B = − A B
≥

3. KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN

Với các biểu thức A, B mà A.B ≥ 0 và B ≠ 0 ,
ta có
A
=
B

AB
B

4. TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU

a) Với các biểu thức A, B mà>0, ta có
A
A B
=
B
B

b) Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0 và A ≠ B2, ta có

C
C ( A mB )
=
A − B2
A±B

c) Với các biểu thức A, B,C mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B, ta có
C
C( A m B )
=
A− B
A± B
5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA DẤU CĂN
8


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

Vận dụng nhiều phương pháp. Nhưng hãy chú ý đến quy đồng, đưa
thừa số ra dấu căn hoặc trục căn thức ở mẫu.
6. BÀI TẬP
2
A. Áp dụng công thức A B = A B .Tính:

5) 135

2) 9.3
4) 125
6) 52

7)

8) 96

2
1) 3 5
3) 150

44

9) 20

2
10) 32 .12.4

B.TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU CỦA CÁC PHÂN THỨC SAU

1)

1
2

1
2) 3

12
3) 5 3

3
4) 2

2 3 − 15
3
5)

2 2+ 2
6) 5 2

4 5 + 15
5
7)

7− 7
8) 3 7

2 6− 5
9) 3 5

3 2 −2 3
10) 3 − 2

5 −2
11) 5 + 2

20
12) 8 − 2

18 14 − 60
13) 2(3 7 − 5 2)

a +1
15) a − 1

1
16) 3 + 2 + 1

2 3
17) 2 + 3 + 5

6
18) 3 + 2 − 3

2 3
19) 5 + 6 + 7

b+ b
20) 1 + b với b ≥ 0

a−2 a
21) 2 − a với (a ≥ 0; a ≠ 4)

1− a
22) 1 + a

x2 − 3
23) x + 3

14)

x+

y

x−

y

9

4−a
24) a − 2


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

1

a −1
25) a − 1

26)

(

(

a+ b

a− b

)(

)

a+ b

)

C. RÚT GỌN

6
1)

(

) + 6(

6 −1
6 −1

)

6 +1

10 − 2 2 − 2
+
5 −1
2 −1
2)

6

 5 + 5  5 − 5 
− 1÷
1 −
÷
1 + 5 ÷
1 − 5 ÷


4)

6− 6 6+ 6
+
6
3) 6 − 1

 1000 5 2 − 2 5  10
−

÷
÷ 10
100
2
5
−
8

5) 

(
6)

1
1 2 x2 −1
+
).
− x2 −1
2
x −1
x +1

a+4 a +4
a +2
7)

1
1
1
−
+
3− 5
7− 5
8) 2 − 3

( 5 + 2)2 − 8 5
.( 5 + 2)
5
−
2

9)

( 5 − 10) 2 + 6 50
− 18 2
2
(
5
−
10)
10)

3
2 −1
+
2 +1
11) 1 − 2

2
2
−
5+2
12) 5 − 2

(2 − a )(2 + a )
2− a
13)

14)

D.TRẢ LỜI CÁC YÊU CẦU SAU

1
1
−
a ( a + 1)
1. Cho A= a

a)Tìm điều kiện của A.
b) Rút gọn A.
c) Tìm a để A = 0.5

1
1
−
2. Cho Q = x − 1 x − 2

a)Tìm điều kiện có nghĩa của Q.
b)Rút gọn Q.
1
c)Tìm x để Q = 2

10

2+

5+3 5
3+ 5


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

 a + a  a − a 
 2 +
÷ 2 −
÷
1 + a ÷
a − 1 ÷


3.Cho M =
và N= 4-a. Chứng minh M = N
x +1
1
: 2
4.Cho biểu thức A = x x + x + x x − x

a)Tìm điều kiện của A.
b) Rút gọn A.
c)Tìm giá trị lớn nhất của A.

 a +3
a −3 
10 a
−
:

÷
a −2
a +2÷
 a + 4 a + 4 ( với a > 0;a ≠ 4)
5.Cho biểu thức A = 

a) Rút gọn A.
b) Tìm A để A có giá trị âm.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất.
E. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1) 3x − 5 = 1

2
2) x − 4 x + 4 = 5

2
3) x = 2 x − 1

2
4) 4 x − 12 x + 9 = 2 x − 3

5)

( x − 1)

2

= x+3

2
6) 4 x + 4 x + 1 = −2 x − 1

2
7) x + x − 4 x + 4 = 0

( x −1 ) +
2

2
8) x + 6 x + 9 + 1 − 2 x = 0

x −1 = 0

9)
10) x − 3 + 3x + 2 = 0
F. PHẦN GHI THÊM
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
11

NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
..................................................................................................................

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT
BÀI 1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG VỀ KHÁI NIÊM CỦA HÀM SỐ. HÀM SỐ
BẬC NHẤT.
1. KHÁI NIỆM
• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho mổi
giá trị của x thì xác định được một giái trị y.Khi đó y được gọi là
hàm số của x, và x là biến số.
• Ta có thể viết y=f(x)
2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ
• Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp tương ứng(x ;f(x)) trên
mặt phẳng tọa độđược gọi là đồ thị của hàm số y=f(x).
3. HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
Với x1,x2 bất kì thuôc ¡ :
• Nếu x1 < x2 => f(x1) < f(x2) thì y = f(x) đồng biến trên ¡ .
• Nếu x1 < x2 => f(x1) > f(x2) thì y = f(x) nghịch biến trên ¡ .

4. HÀM SỐ BẬC NHẤT
A. KHÁI NIỆM
ĐỊNH NGHĨA
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức
y=ax+b
trong đó a, b là các số cho trước (a ≠ 0)
B. TÍNH CHẤT

TỔNG QUÁT
Hàm số bậc nhất y=ax+b xác định với mọi giá trị thuộc ¡ và có
tính chất sau
12


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

1.Đồng biến trên ¡ , khi a >0
2. Nghịch biến trên ¡ , khi a < 0
5. BÀI TẬP

A.Cho hàm số sau y=f(x) = 12x – 4
Tính : f(5) ;
f(6) ;
f(-0.5)

f(4) ;

f(8).

B. Trả lời các yêu cầu sau:

1.Cho hàm số y= f(x) = (2 − x)(4 + x)
a) Tìm điều kiện của x để hàm số có nghĩa.
b) cho x1=1, x2 = 0.5. Hãy so sánh chúng.
2.Cho hàm số y = f(x) = 4 − 2x
a) Tìm điều kiện của x để hàm số có nghĩa.
b) Hãy tính f(2), f(0.5), f(6).
3.Biểu diễn các điểm sau trên cùng 1 hệ trục tọa độ
a) A (1; 2), B (3; 2), C (4; 2)
b) D (-2;-3), E (-1;-1), F (-3; 5)
c) G (0; 5), H (2; 0), I (5; 4)
d) J (-3;-4), K (5;-3), L (0; 0).
4.Vẽ các đồ thị hàm số sau trên hệ trục tọa độ
a) (d1): y =x+5
b) (d2): y =2x
c) (d3): y =-3x+2
d) (d4) : y=4x-2
e) (d5) : y=4-2x
f) (d6) : y=3x-1
g) (d7) : y=-5x
h) (d8) : y =-3-3x
5. Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không ?
a)A(1 ;3), B (0 ;2), C (-1 ;-1) có thuộc đường thẳng (
b) M (-2;2), N (4;3), P (-1;
không?

1
2

d1

) y=x+2 không?

) có thuộc đường thẳng (

d2

c) Q (1; -2), R(2; -4), S(-1; 1) có thuộc đường thẳng (
không?
d) G (1; 2), H (2; 3), I(-1; -3) có thuộc đường thẳng
không?
13

): y =

d3

):

1
x +1
2

3
1
− x−
2
2

( d4 ) : y= 2x –1

NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

6. Tìm tọa độ của một điểm nằm trên một đường thẳng:

( D1 ) : y = x+2 đi qua điểm A có hoành độ là 3.
D
b) ( 2 ) : y = 2x + 2 đi qua điểm B có hoành độ là -2.
D
c) ( 3 ) : y = -x + 1 đi qua điểm C có tung độ là 3.
a)

−2  3

− x÷

: y = 3  2  đi qua điểm E có tung độ là 0.

d) ( 4 )
e) F thuộc trục tung và có tung độ là 2.
f) Gthuộc trục hoành và có hoành độ là -3.
D

7. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng :
a) (

D1 ) : y = x + 2

( D2 ) : y = 2 x − 1
D : y = −2 x + 1

D : y = −x = 4
b) ( 3 )
và ( 4 )
D : y = x −5
D : y = 3x + 1
c) ( 5 )
và ( 6 )
( D7 ) : y =

và

1
x −1
2

d)
và ( 8 )
C : PHẦN GHI THÊM
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
D : y = x +1

14


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
………………………

1.

BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU
Đường thẳng song song

Hai đường thẳng y = ax + b (a # 0 ) và y = a ’x + b ( a’ # 0) song song
với nhau khi và chỉ khi a = a’, b # b’ và trùng nhau khi và chỉ khi a = a’,
b = b’ .

VD: xét các hàm số sau: y = 3x + 1 ; y = 3x – 2
2.

Đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng y = ax + b (a # 0) và y = a ’x + b ( a’ # 0) cắt nhau khi
và chỉ khi a # a’.

VD : xét hai đường thẳng sau : y = 0.5x + 2 và y = 1.5x – 1
 Chú ý: Khi a # a’ và b = b’ thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do
đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung đọ là b.
BÀI 3 : HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Y = AX + B (A# 0)
1.
Khái niệm
a) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox
b) Hệ số góc
Xét phương trình y = ax + b
(1)
- Khi hệ số a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng (1) và trục Ox là góc
nhọn. Hệ số càng lớn thì góc càng lớn nhưng phải nhỏ hơn 90 o.
- Khi hệ số a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng (1) và trục Ox là góc tù.
Hệ số càng lớn thì góc càng lớn nhưng phải nhỏ hơn 180 o.
 Chú ý : khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta cũng
nói rằng a là hệ số góc của đường thẳng y = ax.
PHẦN BÀI TẬP :
1. Viết phương trình của các đường thẳng thỏa điều kiện.
a) (d1) có hệ số góc là 2 và đi qua A (-1 ; 3)

15


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

b) (d2) có hệ số góc là 3 và đi qua B (2 ; 4)
4
5

c) (d3) có hệ số góc là và đi qua C (2 ; 5)
d) (d4) song song với (d) : y=2x+3 và đi qua điểm D(2 ;8)
e) (d5) song song với (d) : y= -x+6 và đi qua điểm E(4 ;6)
f) (d6) song song với (d) : y=-45x+5 và đi qua F(2 ;5)
2
x + 12
g) (d7) song song với (d) :y= 3
và đi qua G(2 ;5)
−4
x −5
h) (d8) song song với (d) : y= 5
và cắt trục hoành

tại H có hoành

độ bằng 2
i) (d9) song song với (d) :y= 2x+9 và cắt trục hoành tại I có hoành độ
bằng 5
j) (d10) song song với (d) ;y=8x+6 và cắt trục tung tại J có tung độ bằng
6
k) (d11) vuông góc với (d) : y= -2x+6 và đi qua K(2 ;9)

l) (d12) vuông góc với (d) :y= -2x+1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng 2
m) (d13) vuông góc với (d) : y= 12x+5 và cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 5
2.Cho hai đường thẳng : y=m(x+2) và y=(2m+3)x+2
a)Chứng minh rằng khi m=1 thì hai dường thẳng đó vuông góc với
nhau.
b)Tìm tất cả các giá trị m để hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.
3.Cho hàm số y= mx-2x+3m+1 có đồ thị là (d)
a)Tìm m để (d) // với đường thẳng y=2x+2
b) Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng y= -x
c)Tìm m để (d) đi qua điểm A(2 ;3)
PHẦN GHI THÊM :
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
16


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………

CHƯƠNG III – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1.

Khái niệm về phương trình bậc nhất hai ẩn
• Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng:
Ax + By = C
( 1)
trong đó a, b và c là các số đã biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).
•

Trong phương trình ( 1) nếu các giá trị vế trái tại x = và y =

bằng vế phải thì cặp số ( được gọi là một nghiệm của phương trình.
Ta cũng viết : Phương trình ( 1 ) có nghiệm là (x ; y) = (.
 Chú ý : trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình

( 1 ) được biểu diễn bởi một nghiệm. Nghiệm ( được biểu diễn bởi điểm
có tọa độ ( x0 ; y0 ) .
2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
• Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập
nghiệm của nó được biểu diễn bằng một đường thẳng ax + by = c, kí
hiệu là ( d ).
• Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì đường thẳng ( d ) chính là đồ thị của hàm số bậc
nhất
y= Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = , và

đường thẳng ( d ) song song hoặc trùng với trục tung.
Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = , và
đường thẳng ( d ) song song hoặc trùng với trục hoành.
PHẦN GHI THÊM
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………
17


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

BÀI 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1.
Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
(I)
Trong đó ax+by =c và là những phương trình bậc nhất hai ẩn.
2. Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• Đối với hệ (I), ta có:
- Nếu (1) cắt (2) thì hệ (I) có nghiệm duy nhất.
- Nếu (1) song song (2) thì hệ (I) vô nghiêm.
- Nếu (1) trùng với (2) thì hệ (I) có vô số nghiệm.
3.
Hệ phương trình tương đương
ĐỊNH NGHĨA
Hai hệ phương trình được goi lá tương đương với nhau nếu chúng có

cùng tập nghiệm.
Ta dùng kí hiệu “ ”
PHẦN GHI THÊM
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………

18


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

BÀI 3. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP
CỘNG ĐẠI SỐ
1. QUY TẮC THẾ
Biến đổi tương đương. Dùng các bước sau:
1.Biểu diễn 1 ẩn theo ẩn kia.
2.Lấy phương trình vừa biến đổi thế vào phương trình còn lại. (khi
chỉ còn một ẩn)
3.Giải ra ẩn đó rồi thế lại phương trình đã biến đổi để tìm ẩn còn lại.

 Chú ý:

Nếu trong quá trình giải thấy xuất hiện phương trình có các hệ số
của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô số
nghiệm.
2. QUY TẮC CỘNG ĐẠI SỐ

Biến đổi tương đương. Dùng các bước sau:
1.Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình để
được 1 phương trình mới.
2.Dùng phương trình mới thay thế 1 trong 2 phương trình của hệ
phương trình

PHẦN GHI THÊM
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………........

BÀI 4.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
PHẦN BÀI TẬP
19


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

1.Giải các hệ phương trình sau:
 2 x + y = −1

a) − x + 3 y = −10

2 x + y = 7

b) − x + 2 x = 4

1
 4 x + y = 2

 2 x + 3y = 6
c)  3

x + y = 2

1
5
x+ y =

4
d)  2

5 x + 3 y = − 7

e) 3x − 2 y = −8

1 1

 x − y =1


3 + 4 = 5

f)  x y

6 x + 6 y = 5 xy

4 3
x − y =1
g) 

8 x + 4 y = 7

h) − x + 4 y = 10

− x + y = 1

i)  x + 3 y = 11

3( x + y ) + 9 = 2( x − y )

j) 2( x + y ) = 3( x − y ) + 1

 −3x − y = 8

k) −3x − 2 y = 6

2 x − 10 y = 4


l) 2 x + y = 5

3 x − y = 5

m) 5 x + 2 y = 23

5 x + 6 y = 17

n) 9 x − 1y = 7

 2 x + y = −1

o) − x + 3 y = −10

 −7 x + 2 y = −3

p)  x + 3 y = 7

x + y = 2

1
5
x+ y =

4
q)  2

 −5 x + 4 y = 2


r) 3x = 2 y = 12

 −2 x + 10 y = −32

s)  x − 5 y = 16

 x − 10 y = 20

t) − x + 10 y = −20

3x − 6 y = 9

u) − x + 2 y = −3

5 x + 10 y = 7

v) − x − 2 y = 3
20


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT
5
1
 2 x − 4 y = 4

 3 x − 6 y = −2
y)  4

11x − 22 y = 4


w)  x − 2 y = 2

PHẦN GHI THÊM
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………

21


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

CHƯƠNG 4. HÀM SỐ y=ax2 ( a ≠ 0)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
BÀI 1. HÀM SỐ y = ax2 (a≠0)
1. TÍNH CHẤT

Nếu a >0 thì hàm số nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x>0.
Nếu a<0 thì hàm số đồng biến khi x< 0 và nghịch biến khi x>0.
2. NHẬN XÉT
Nếu a>0 thì y>0 với mọi x ≠ 0; y=0 khi x=0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
là y=0.
Nếu a<0 thì y<0 với mọi x ≠ 0; y=0 khi x=0. Giá trị lớn nhất của hàm số
là y=0.
BÀI 2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y=ax2 ( a ≠ 0)
Nhận xét:
- Đồ thị của hàm số y =ax 2 (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ
và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một
parabol với đỉnh O.
- Nếu a >0 thì độ thị nằm phía trên trục hoành, O là điêm thấp nhất của
đồ thị.
- Nếu a < 0 thì độ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của
trục đồ thị.
BÀI TẬP
Vẽ đồ thị của các hàm sau :
a) (P1) : y =2x

1 2
x
b) (P2) : y = 2
−1 2
x
d) (P4) : y = 4
3 2
x
f) (P6) : y= 2

2

c) (P3) : y =-2x2

e) (P5) : y=3x2
PHẦN GHI THÊM
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………
22


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM
1. ĐỊNH NGHĨA.

Phương trình bậc hai một ẫn là phương trình có dạng
ax2+bx+c=0
trong đó x là ẩn ; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và a ≠ 0
2. CÔNG THỨC NGHIỆM

Đối với phương trình ax2+bx+c=0 ( a ≠ 0) và biệt thức
- Nếu ∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

−b + ∆
−b − ∆
x2 =
2a ,
2a

- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép
- Nếu ∆ <0 thì phương trình vô nghiệm

x1 = x2 =

∆ = b 2 − 4ac

−b
2a

3. CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

Đối với phương trình ax2+bx+c=0 ( a ≠ 0) và b= 2b’ biệt thức
∆ ' = b '2 − ac

- Nếu ∆ ' >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt :

x1 =

−b '+ ∆ '
−b '− ∆ '
x2 =
a
a
,
x1 = x2 =

- Nếu ∆ ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép
- Nếu ∆ ' <0 thì phương trình vô nghiệm

BÀI TẬP
I.Giải các phương trình sau:
2
1. x − 5 x + 6 = 0
2

5. x

2

+ 6 x + 10 = 0

7. x

2

−x− x 2 +

9.

2. 8 x − 2 x + 6 = 0
2
4. x + x 5 − 11 = 0
2

+ 16 x + 39 = 0

3. x

x2 − x =

−b '
a

6.

8x2 − 2 x +

1
=0
8

2
2
8. x − x 2 − 2 x 2 + 3 =0

2
10. ( x − 1) = 2 x + 1

2 =0

2 − x2 2

23


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT
2
11. (2 x − 1) − ( x − 1)( x + 3) = 0

12. (

13.

14.

2x
x+2
+
=2
x+2
2x

4 2
x + 4x + 5 = 0
15. 5

30 30
−
=1
17. x x + 1

19. ( x + 2 )

2

x − 1) ( 2 x + 3) = x 2 + x

x + 1 x −1 2x + 1
+
=
x+2 x−2
x +1

2
2
16. − x + 2 = 2( x + 1)
2
18. 4 x − 2(1 + 3) x + 3 = 0

12
1
+ =0
x +1 x

= 2( x − 1)( x + 3)

20.
II.Tìm tọa độ giao diểm của các đường thẳng và parabol sau bằng phép
toán:
x2
x
−
( D ) : y = −1
2
1)(P):y = 2 và

2)

1 2
x
D : y = x +1
2
và ( )
1
1
( P ) : y = x2
( D) : y = x + 2
4
2
và

( P) : y =

3)

4) (

5) (

P ) : y = x2

( D ) : y = 3x − 2
D : y = x−2
và ( )

và

P ) : y = − x2

x2
( P) : y = −
2 và ( D ) : y = 3 x
6)

PHẦN GHI THÊM
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................

24


NGUYỄN NGỌC CHÍNH THUYẾT

BÀI 4. HỆ THỨC Vi-ét VÀ ỨNG DỤNG
HỆ THỨC Vi-ét
ĐỊNH LÍ Vi-ét

1.

Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 +bx +c=0 (a ≠ 0) thì
−b

 x1 + x2 = a

x x = c
 1 2 a

TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình

2.

X 2 − SX + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là
BÀI TẬP
I. Tính tổng và tính tích của hai nghiệm:
2
1. x − x + 1 = 0
1 2
x − 2x + 2 = 0
3. 2
3 2
x − 6x + 6 = 0
5. 2
2
7. 6 x + (2 6 − 3 2) x − 2 3 = 0

S 2 − 4P ≥ 0

2. x

2

− 5x + 6 = 0
+ 8x − 3 = 0

4. 3 x

2

6. x

+ 21x − 205 = 0

2

8. 2 x

2

+ 3 x + 11 = 0

9. −3x + (3 + 2) x − 2 = 0
10. x − 4 x + 2
2
II. Nếu phương trình sau: 2 x − 5 x + 2 = 0 có hai nghiệm thì tính các giá trị sau
bằng viét mà không giải phương trình.
2

2

1. x + x
2
1

2
2

1 1
−
x

4. 1 x2
x1
x
− 2
7. x2 − 1 x1 − 1

x1 x2
+
x
2. 2 x1

3
3
3. x1 + x2

4
4
5. x1 + x2

x12 x22
+
x
6. 2 x1

x1 − 1 x2 − 1
+ 2
2
x
x1
2

9.

8. x − x
III. Sử dụng viét để tìm m sao cho thỏa phương trình sau:
3
1

3
2

x 2 − 2 ( m − 2 ) x − 4m + 1 = 0

x12 x22
+ 2
2
x
2. 2 x1 =1

1. ( x1 − x2 ) =0
x −x
3. 1 2 =0
2

4
4
4. x1 + x2 =0

25