ĐỀ đa THI vào lớp 10 THPT CHUYÊN CAO BẰNG 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)


Câu 1(2 điểm). Cho biêu thức Q  

1

 a 1



1   a 1
a 2


 : 
a   a 2
a  1 

a) Tìm điều kiện của a để Q có nghĩa và rút gọn biểu thức Q .
b) Tìm giá trị của a để Q 

1
.
6

 

Câu 2(2 điểm). Cho P là đồ thị của hàm số y  2 x 2

 

a) Trên P lấy điểm A có hoành độ x  1 và điểm B có hoành độ x  2 . Xác định các giá trị của a, b biết rằng

 

đường thẳng d : y  ax  b đi qua hai điểm A, B .

 
Khi đó hãy xác định tọa độ giao điểm của  d '  và  P  .
 a  1 x  y  3
Câu 3(2 điểm). Cho hệ phương trình
( x , y là ẩn )

 

b) Tìm các giá trị của m, n để đường thẳng d ' : y  mx  n song song với AB và cắt P tại một điểm duy nhất.


ax  y  a

a) Giải hệ phương trình với a   2 .





b) Xác định giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x , y thỏa mãn điều kiện: x  y  0 .
4







2





Câu 4(1 điểm). Cho phương trình x  3m  14 x  4m  12 2  m  0 ( x là ẩn ). Tìm các giá trị của m để phương
trình có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 sao cho tích T  x1 .x2 .x3 . x4 đạt giá trị lớn nhất.

 

Câu 5(2 điểm). Cho nửa đường tròn O đường kính AB và điểm M bất kỳ nằm trên nửa đường tròn ( M khác A, B ).
Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Tia BM cắt Ax tại I ; tia phân giác

 cắt nửa đường tròn tại E ( E khác A ) và cắt tia BM tại F ; tia BE cắt Ax tại H và cắt AM tại K .

của góc IAM
2

a) Chứng minh EFMK là tứ giác nội tiếp và AI  IM .IB
b) Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi. Xác định vị trí điểm M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường
tròn.
Câu 6(1 điểm). Lấy 2013 điểm thuộc miền trong của một tứ giác lồi để cùng với 4 đỉnh của tứ giác ta được 2017 điểm sao
cho trong 2017 điểm đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết rằng diện tích của tứ giác ban đầu là 1cm 2 . Chứng minh
rằng tồn tại một tam giác có ba đỉnh lấy từ 2017 điểm đã cho có diện tích không vượt quá

1
cm 2 .
4028

_____________________________Hết_______________________________
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không được giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………….........................................Số báo danh:……………..............................................
Chữ ký của giám thị 1:…………….................................. Chữ ký của giám thị 2:...............................................................
Ngokieuluong-sđt: 01246057555-THPT Trùng Khánh

1
Cao Bằng-tháng 6/2016.


ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN CAO BẰNG 2016-2017
MÔN: TOÁN
 1
1   a 1
a 2
Câu 1(2 điểm). Cho biêu thức Q  




 : 
a   a 2
a  1 
 a 1
c) Tìm điều kiện của a để Q có nghĩa và rút gọn biểu thức Q
d) Tìm giá trị của a để Q 

1
6

Lời giải:
a  0

a) ĐK: a  1
a  4


 *



  :  

 
  
 a  2
 a  2 a  1

.

 a  a 1
Khi đó Q  
 a a 1






1


a
a


b) Đặt


a  2

a 1



a 1

a 1 


a  1
a 2



a 2 





3

3a

a  t, t  0 . Khi đó Q 

t t  2 1
1
t4

 
 0  t  4 (do t  0 )  a  16  t / m (*) 
2
6
6
2t
3t

Câu 2(2 điểm). Cho  P  là đồ thị của hàm số y  2 x 2
c) Trên  P  lấy điểm A có hoành độ x  1 và điểm B có hoành độ x  2 . Xác định các giá trị của a, b
biết rằng đường thẳng  d  : y  ax  b đi qua hai điểm A, B
d) Tìm các giá trị của m, n để đường thẳng  d '  : y  mx  n song song với AB và cắt  P  tại một điểm
duy nhất. Khi đó hãy xác định tọa độ giao điểm của  d '  và  P 
Lời giải:
a) Từ giả thiết ta có A 1; 2  , B  2;8  . Tọa độ điểm A, B thỏa phương trình đường thẳng  d  : y  ax  b

a  b  2
a  6

nên 
. Khí đó phương trình đường thẳng  d  : y  6 x  4
2 a  b  8
b  4

Ngokieuluong-sđt: 01246057555-THPT Trùng Khánh

2
Cao Bằng-tháng 6/2016.


m  6
b) Ta có d '  AB  d '  d  
n  4

(1)

. Khi đó phương trình đường thẳng  d '  : y  6 x  n

Mặt khác tọa độ giao điểm của  d '  và  P  là nghiệm của PT: 2 x 2  6 x  n  2 x 2  6 x  n  0 (2)
Để đường thẳng d ' cắt  P  tại một điểm duy nhất  (2) có nghiệm duy nhất
  '  0  9  2n  0  n  

9
(t/m (1)). Tọa độ giao điểm của  d '  và  P  :
2

3 9
 ;  .
2 2

 a  1 x  y  3
Câu 3(2 điểm). Cho hệ phương trình 
( x , y là ẩn )
ax  y  a
c) Giải hệ phương trình với a   2
d) Xác định giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x , y  thỏa mãn điều kiện: x  y  0
Lời giải:

1 5 2
 1 2 x  y  3
x 


7
a) Với a   2 , ta có hệ PT 

10  6 2

 2 x  y   2

 y 
7





 1  5 2 10  6 2  
;
Vậy HPT đã cho có tập nghiệm: S  



7
 7
 
 y   a  1 x  3
b) HPT  
. Số nghiệm của hệ phương trình là số giao điểm của đường thẳng
 y  ax  a

   : y   a  1 x  3 và đường thẳng   ' : y  ax  a . Do đó HPT có nghiệm duy nhất khi hai đường
thẳng    và   '  cắt nhau  a  1   a  a  

1
(*) . Khi đó HPT có nghiệm duy nhất:
2


a3
 x  2a  1
. Để HPT có nghiệm  x , y  thỏa mãn điều kiện:

2
 y  a  2a

2a  1

xy0

a  3 a 2  2a
a2  a  3
1

0
0a
2a  1 2a  1
2a  1
2

(t/m(*)).

Câu 4(1 điểm). Cho phương trình x 4   3m  14  x 2   4m  12  2  m   0 ( x là ẩn ). Tìm các giá trị của m
để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 sao cho tích T  x1 .x2 .x3 . x4 đạt giá trị lớn nhất
Lời giải:

Ngokieuluong-sđt: 01246057555-THPT Trùng Khánh

3
Cao Bằng-tháng 6/2016.


Đặt x 2  y, y  0
Khi đó PT  y 2   3m  14  y   4 m  12  2  m   0 (a) . Ta có:  y  25  m  2 

2

Trước hết ta tìm điều kiện m để PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt, điều này xảy ra  (a) có 2 nghiệm

 y  0
 m  2


m  2
dương phân biệt  S  0  3m  14  0
(*)


3

m

2

P  0
 4m  12 2  m  0
 



Khi đó PT (a) có hai nghiệm dương y1 , y2 với y1 .y2   4m  12  2  m  , do đó phương trình đã cho có 4
nghiệm là: x1,2   y1 , x3,4   y2 .
2

Xét T  x1 .x2 .x3 .x4  y1 .y2   4m  12  2  m     2m  1  25 trên tập D   3;2  \ 2 .
1
Ta có T  25 , dấu “ = “ xảy ra  m    D .
2
1
Vậy Tmax  25 khi m   .
2
Câu 5(2 điểm). Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB và điểm M bất kỳ nằm trên nửa đường tròn ( M khác

A, B ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Tia BM cắt Ax tại I ;
 cắt nửa đường tròn tại E ( E khác A ) và cắt tia BM tại F ; tia BE cắt Ax tại H và
tia phân giác của góc IAM
cắt AM tại K .
c) Chứng minh EFMK là tứ giác nội tiếp và AI 2  IM .IB
d) Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi. Xác định vị trí điểm M để tứ giác AKFI nội tiếp được một
đường tròn.
Lời giải:
x

a)
Chứng minh tứ giác EFMK nội tiếp
Xét tứ giác EFMK , ta có:
  BMA
 (góc BMA
 nội tiếp chắn nửa đường tròn

FMK
đường kính AB )

FEK
AEB (góc 
AEB nội tiếp chắn nửa đường tròn
đường kính AB )
  FEK
  180 0  EFMK là tứ giác nội tiếp
 FMK
đường tròn đường kính FK
Chứng minh : AI 2  IM .IB
Xét tam giác BAI vuông tại A , đường cao AM . Ta
có: AI 2  IM .IB

I

F
1

M
1

H
E
K

1

2

1
2

A
O

B

b)
Ngokieuluong-sđt: 01246057555-THPT Trùng Khánh

4
Cao Bằng-tháng 6/2016.


Chng minh t giỏc AKFH l hỡnh thoi:
T gi thit ta cú:
MAE
sủ
B
B
.
IAE
AE sủ ME
1


B

Do ú A

A2 B
1
1
2

2

(1)

B
goực noọi tieỏp cuứng chaộn cung
M
EA
2
1
Mt khỏc
F
goực noọi tieỏp cuứng chaộn cung
M
EK
1
1

B
(2)
F

1

Tỡm v trớ im M :
T chng minh trờn ta cú FK HA AKFI l hỡnh
thang. hỡnh thang AKFI ni tip ng trũn
MAI
. Do ú
AKFI l hỡnh thang cõn MIA




MBA
BAI vuụng cõn ti A
MIA
450 AMB vuụng cõn ti M
ABM
sủ MB
M l im chớnh
MA MB sủ MA
.
gia ca cung AB

2

T (1) v (2) suy ra HAK , AKF l cỏc tam giỏc cõn

AH FK
HAKF l hỡnh bỡnh
ti A, K . Do ú

AH

FK

hnh, hn na HA AK suy ra t giỏc HAKF l hỡnh
thoi.

Cõu 6(1 im). Ly 2013 im thuc min trong ca mt t giỏc li cựng vi 4 nh ca t giỏc ta c
2017 im sao cho trong 2017 im ú khụng cú 3 im no thng hng. Bit rng din tớch ca t giỏc ban
u l 1cm 2 . Chng minh rng tn ti mt tam giỏc cú ba nh ly t 2017 im ó cho cú din tớch khụng
vt quỏ

1
cm 2
4028

Li gii:
Xột t giỏc ABCD cú din tớch bng 1cm 2
Vi im th nht M , ta cú 4 tam giỏc chung nh M ụi
mt khụng cú im trong chung.
Vi im th hai N phi l im trong ca mt
trong 4 tam giỏc trờn. Ni N vi 3 nh ca tam giỏc ú,
to nờn 3 tam giỏc chung nh N, tuy nhiờn s tam giỏc
ụi mt khụng cú im trong chung ch tng thờm 2, vỡ
mt i 1 tam giỏc cha im N. S tam giỏc khụng cú
im trong chung lỳc ny l 4+2.
Tng t vi 2011 im cũn li, cui cựng s tam giỏc
ụi mt khụng cú im trong chung
l 4 2 2011.2 4028
Tng din tớch ca 4028 cỏc tam giỏc ú bng 1cm 2 , nờn

B

N

A

C

M

D

ớt nht mt tam giỏc cú din tớch khụng vt
1
quỏ
cm 2 .
4028
Ngokieuluong-st: 01246057555-THPT Trựng Khỏnh

5
Cao Bng-thỏng 6/2016.


Ngokieuluong-sđt: 01246057555-THPT Trùng Khánh

6
Cao Bằng-tháng 6/2016.