Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ THỊ CẨM VÂN

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH,
BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐàNẵng–Năm2016


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phảnbiện 1: TS. Lê Hải Trung
Phảnbiện 2: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà
Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đạihọc Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đi học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình, bất phương trình mũ và logarit là một trong các
chủ đề quan trọng trong chương trình toán bậc phổ thông trung học.
Các dạng bài toán trên thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi đại
học, cao đẳng và có mối liên quan mật thiết với nhau.
Việc dạy học các chủ đề này đã được đưa vào chương trình bậc
trung học phổ thông và đóng vai trò trọng tâm trong việc trang bị
kiến thức cho học sinh. Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp của chương
trình phổ thông, không nêu được đầy đủ chi tiết tất cả dạng bài toán
về phương trình và bất phương trình chứa mũ và logarit. Vì vậy học
sinh thường gặp khó khăn khi giải các dạng toán nâng cao về phương
trình, bất phương trình mũ và logarit trong các đề thi tuyển sinh Đại
học, Cao đẳng.
Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo về các chủ đề nói trên với
các nội dung khác nhau nhưng chưa có chuyên đề riêng khảo sát về
phương trình, bất phương trình mũ và logarit một cách hệ thống. Đặc
biệt, nhiều dạng bài toán đại số về hàm số mũ và logarit có quan hệ
chặt chẽ, khăng khít, không thể tách rời nhau và thường cần đến sự
trợ giúp của công cụ đại số, giải tích và ngược lại.
Do đó, để có điều kiện tìm hiểu thêm về chủ đề này và được sự
gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài: “Một số phương
pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit” làm đề tài


2
cho luận văn của mình nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản về

phương trình, bất phương trình mũ và logarit kết hợp với các kiến
thức về đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các
phương trình, bất phương trình mũ và logarit và xây dựng một số bài
toán mới.
2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và tìm hiểu các bài toán về
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit, vận
dụng các phương pháp thích hợp trong đại số, giải tích để giải các bài
toán nêu trên trong chương trình phổ thông trung học.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán về phương trình,
bất phương trình mũ và logarit.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp giải
toán thích hợp trong đại số và giải tích để giải quyết các bài toán về
phương trình, bất phương trình mũ và logarit
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Thu thập, tổng hợp các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài
luận văn.
- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện
đề tài.
- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các
kết quả đang nghiên cứu.


3
5. Cấu trúc của luận văn
Mở đầu
- Chương 1: Các kiến thức cơ sở
- Chương 2: Phương pháp giải phương trình mũ và logarrit.
- Chương 3: Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit.

CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về Hàm lũy thừa,
hàm mũ và hàm logarit có liên quan đến việc nghiên cứu trong
chương tiếp theo. Các nội dung trình bày trong chương chủ yếu được
tham khảo trong các tài liệu [3], [5], [9].
1.1. HÀM MŨ VÀ HÀM LŨY THỪA
1.1.1. Hàm lũy thừa
a. Khái niệm hàm lũy thừa
b. Đạo hàm của hàm lũy thừa với số mũ tổng quát
1.1.2. Hàm mũ
a. Định nghĩa
b. Tính chất hàm mũ
c. Bảng biến thiên và đồ thị của hàm mũ
d. Mệnh đề
1.2. HÀM LOGARIT


4
1.2.1. Định nghĩa
1.2.2. Định nghĩa
1.2.3. Tính chất hàm logarit
1.2.4. Bảng biến thiên và đồ thị hàm logarit
1.2.5. Định nghĩa
1.2.6. Số e và logarit tự nhiên
1.2.7. Tính chất của logarit

CHƢƠNG 2
PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số phương pháp giải
phương trình mũ và logarit.Các kiến thức trình bày trong chương
được tham khảo ở các tài liệu [5], [6], [7] và [9].
2.1. PHƢƠNG TRÌNH MŨ
2.1.1. Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số
*Phƣơng pháp giải: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương
sau:
a

hoặc

f (x)

a

g(x)

a f (x)  a g(x)

a  1

  0  a  1
 
f (x)  g(x)

a  0
.


 a  1 f (x)  g(x)   0

Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 2.1. Giải phương trình sau: 2x

2

 x 8

 413x .


5
Ví dụ 2.2. Giải phương trình sau: 8x
Ví dụ 2.3. Giải phương trình sau:

3

 2x 2  2

 4x

2

 x 1

.

2x. 3 4x .3x 0,125  4. 3 2 .

Ví dụ 2.4. Giải phương trình sau: (2  3)3x 1  (2  3)5x 8 .

2.1.2. Phƣơng pháp logarit hóa
*Phƣơng pháp giải : Ta sử dụng các công thức sau
g(x)  0
Dạng 1. a f (x)  g(x) (0  a  1)  
.
f (x)  log a g(x)
Dạng 2. a f (x)  bg(x)  0  a,b  1

 loga a f (x)  loga bg(x)  f (x)  g(x).loga b .
Dạng 3. a f (x) .bg(x)  c  f (x)  g(x).loga b  loga c .
Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 2.5. (Đại học kinh tế Quốc Dân 1998)
Giải phương trình sau: 5x.8

x 1
x

 500 .
2

Ví dụ 2.6. Giải phương trình sau: 49.2x  16.7x .
x

Ví dụ 2.7. Giải phương trình : 2x  2.3x  4x .36 x 1 .
2

2.1.3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
*Phƣơng pháp giải: Phương pháp đặt ẩn phụ là một phương
pháp khá phổ biến đối với các bài toán phương trình. Các bài toán
giải phương trình mà ta có thể sử dụng phương pháp này, nếu dễ thì

sẽ thấy ngay dấu hiệu của một biểu thức chứa biến nào đó lặp đi lặp
lại nhiều lần, còn nếu khó hơn, thì ta cần một ít biến đổi khéo léo,
chủ yếu đưa về hình dạng sơ khai của bài toán, là một phương trình
với các biểu thức chứa biến lặp lại. Cũng có trường hợp bài toán yêu


6
cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác nhằm tạo ra một phương trình
mới dễ dàng giải quyết hơn. Trong phần này, ta có các dạng ẩn phụ
chủ yếu sau:





Dạng 1. Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là: F a f (x)  0 .
Với dạng này ta đặt

t= a f (x) , t  0 và chuyển về phương trình

F(t)=0, giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ đó ta tìm được
x. Ta thường gặp dạng: m.a 2f (x)  n.a f (x)  p  0 .
Dạng 2. m.a f (x)  n.bf (x)  p  0, a.b  1 .
1
Đặt t  a f (x) , t  0  bf (x)  .
t
Dạng 3. m.a 2f (x)  n(a.b)f (x)  p.b2f (x)  0 .
Chia 2 vế phương trình cho b

a

và đặt t   
b

2f (x)

f (x)

; t0.

Ta có phương trình: mt 2  nt  p  0 .
Dạng 4. Lượng giác hóa.
Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 2.8. Giải phương trình sau: 2.16x  15.4x  8  0 .
Ví dụ 2.9. (Đại học tổng hợp TP.HCM khối D năm 1994- Đại
học quốc gia TP.HCM năm 1996)
Giải phương trình sau:

2  3  2  3
x

Ví dụ 2.10. Giải phương trình sau:

7  5 2   
x



2 5 3 2 2



x



 3 1 2

x



x

4.

1 2  0 .

Ví dụ 2.11. (Đại học quốc gia Hà Nội năm 1997)


7



Giải phương trình sau: 5  21



x



 7 5  21
1

1



x

 2x 3 .
1

Ví dụ 2.12. Giải phương trình sau: 2.4 x  6 x  9 x .
Ví dụ 2.13. Giải phương trình sau:
8
2x
18
.

 x 1 1 x
x 1
x
2 1 2  2 2  2  2
Ví dụ 2.14. Giải phương trình sau: 4.33x  3x 1  1  9x .
2.1.4. Phƣơng pháp hàm số
*Phƣơng pháp giải: Đoán nghiệm. Chứng minh nghiệm duy
nhất. Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Chuyển phương trình đã cho về dạng f (x)  k . Nhẩm một

nghiệm x  x 0 , ta chứng minh x  x 0 là nghiệm duy nhất.
+ Xét hàm số y  f (x) . Dùng lập luận khẳng định tính đơn điệu
của hàm số (giả sử hàm số đồng biến).
+ Nhận xét:
● Với x  x 0  f (x)  f (x 0 )  k , suy ra x  x 0 là nghiệm
của phương trình.
● Với x  x 0  f (x)  f (x 0 )  k , suy ra phương trình vô
nghiệm.
● Với x  x 0  f (x)  f (x 0 )  k , suy ra phương trình vô
nghiệm.
● Tính chất 2.1.


8
Nếu hàm số y  f (x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

 a,b 

thì số nghiệm của phương trình: f (x)  k (trên (a;b)) không

nhiều hơn một và f (u)  f (v)  u  v, u, v   a,b  .
● Tính chất 2.2.
Nếu hàm số y  f (x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn
nghịch biến); hàm số y  g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc
luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương
trình f (x)  g(x) không nhiều hơn một.
● Định lý 2.1. (Định lý Lagrange) Cho hàm số
f ( x) :  a, b  liên tục trên  a, b và khả vi trên  a, b  . Khi đó tồn

f (b)  f (a)

.
ba
● Định lý 2.2. (Định lý Rolle) Cho hàm số f ( x) :  a, b 

tại một số thực c   a, b  sao cho f (c) 

liên tục trên  a, b  và khả vi trên  a, b  , đồng thời f (a)  f (b) . Khi
đó tồn tại số thực c   a; b  sao cho f (c)  0 .
Một số hệ quả thường dùng của các định lý này là:
+ Nếu hàm số f (x) : a,b  liên tục trên  a, b  và khả vi trên

 a,b 

và phương trình f(x) = 0 có k nghiệm thuộc (a,b) thì f (x) = 0

có ít nhất k  1 nghiệm thuộc (a,b).
+ Nếu hàm số f (x) : a,b 

liên tục trên  a, b  và khả vi

trên  a,b  , đồng thời đạo hàm cấp k của hàm số f (x) không đổi dấu
trên f (x)  0 thì phương trình f (x)  0 có không quá k nghiệm phân
biệt thuộc  a, b  .
Sau đây là một số ví dụ minh họa.


9
Ví dụ 2.15.
Giải phương trình sau: 4x  3x  5x .
Ví dụ 2.16. Giải phương trình sau:

2x

 3

1
x

1 x

1
 2x  
 3

 2x 2  2x  1 .

Ví dụ 2.17.





Giải phương trình sau: 3x 4x  6x  9x  25x  2.16x .
2.1.5. Phƣơng pháp đánh giá 2 vế
*Phƣơng pháp giải: Nhiều bài toán có thể giải bằng cách đánh
giá tinh tế dựa trên các:
● Tính chất của hàm mũ.
● Bất đẳng thức.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 2.18. Giải phương trình sau: 1  4x  2x 1  2x  2 x .
Ví dụ 2.19. Giải phương trình sau: 2x 2  3x 2  32x 1  22x 1 .

2x
4x
1
3
 x
 x
 .
Ví dụ 2.20. Giải phương trình sau: x
x
2
4 1 2 1 2  4
Ví dụ 2.21. Giải phương trình sau:
32x  2  3x 4  6x 2  7  1  2.3x 1.

2.2. PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT
2.2.1. Phƣơng trình đƣa về cùng cơ số
*Phƣơng pháp giải: Ta sử dụng công thức:
0  a  1
.
log a f (x)  log a g(x)  
f (x)  g(x)  0
Lưu ý: Đặt điều kiện cho f (x)  0 hay g(x)  0 tùy thuộc vào


10
độ phức tạp của f (x), g(x) .
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 2.22. (Học viện công nghệ bƣu chính viễn thông năm
2000)
Giải phương trình:



log9 x 2  5x  6



2

1
 log
2

3

x 1
 log3 x  3 .
2

Ví dụ 2.23. Giải phương trình: log2 x  log3 x  log4 x  log20 x .
Ví dụ 2.34. Giải phương trình:



 







log 4 x  x 2  1 .log5 x  x 2  1  log 20 x  x 2  1 .
2.2.2. Phƣơng pháp mũ hóa
*Phƣơng pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản sau

0  a  1
● loga f (x)  b  
.
b

f (x)  a
● loga f (x)  log b g(x) .
Đặt t= loga f (x) .
Khi đó: a t  f (x); b t  g(x) , từ đó ta thu được phương trình
mũ.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
1


Ví dụ 2.25. Giải phương trình: log3  log9 x   9x   2x .
2



Ví dụ 2.26. Giải phương trình: log5 log2 x  log2 log5 x .





Ví dụ 2.27. Giải phương trình: 3log3 1  x  3 x  2log 2 x .
2.2.3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ


11
*Phƣơng pháp giải: Việc giải phương trình logarit bằng
phương pháp này cũng tương tự như phương trình mũ. Sau đây,
chúng ta hãy cùng nhau xét các ví dụ nhỏ nhằm làm sáng tỏ hơn ý
tưởng giải quyết các bài toán dạng này.
Ví dụ 2.28. Giải phương trình sau:
1  log0,04 x  3  log0,2  1 .
Ví dụ 2.29. Giải phương trình sau:



 







log 4 x  x 2  1 .log5 x  x 2  1  log 20 x  x 2  1 .

Ví dụ 2.30. Giải phương trình sau:
2
log 2  x. x  1   log 2 x.log 2 (x 2  x)  2  0 .



2.2.4. Phƣơng pháp hàm số
*Phƣơng pháp giải:Ta sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 2.3.
Nếu hàm f (x) tăng (hoặc giảm) trong khoảng  a,b  thì phương
trình f (x)  k có không quá một nghiệm trong khoảng  a,b  .
Tính chất 2.4.
Nếu hàm f (x) tăng trong khoảng  a,b  và hàm g(x) là hàm
hằng hoặc một hàm giảm trong khoảng  a,b  thì phương trình

f (x)  g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng  a,b  (do đó
nếu tồn tại x 0   a,b  : f (x0 )  g(x0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của
phương trình f (x)  g(x) ).
Tính chất 2.5.


12
Nếu hàm f (x) tăng (hoặc giảm) trong khoảng

 a,b 

thì

f (u)  f (v)  u  v; u, v   a,b  .
Sau đây là một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 2.31. Giải phương trình sau: lg  x  4   5  x .
Ví dụ 2.32. Giải phương trình sau:
 x2  x  2 
2

log 4  2
  2x  6x  4
2x

4x

4


Ví dụ 2.33. Giải phương trình sau:
log2 x  log3  2x  1  log5  7x  9   3 .
2.2.5. Phƣơng pháp đánh giá
*Phƣơng pháp giải: Nhiều bài toán có thể giải bằng cách đánh
giá tinh tế dựa trên các:
● Tính chất của hàm logarit.
● Bất đẳng thức.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 2.34. Giải phương trình sau:









log3 9  x  1  log 2 x 2  2x  5 .
Ví dụ 2.35. Giải phương trình sau:
3x 2  x 3

 log 2 x 2  4  log 2 x .
2





Ví dụ 2.36. Giải phương trình sau:





log3 x 2 4 2  x 4  1  3log3 x  log9  x  1 .

Ví dụ 2.37. Giải phương trình: log3

2

2





4  x  x  5 1 .


13
2.3. HỆ PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

2.3.1. Các phép biến đổi tƣơng đƣơng
*Phƣơng pháp giải: Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số,
mũ hóa hoặc logarit hóa đã biết trong việc giải phương trình mũ và
logarit để biến đổi hệ ban đầu về hệ mới dễ dàng giải được.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.

x 2  y4

Ví dụ 2.38. Giải hệ phương trình sau: 
.
x
log 2 y  log y x

x  y  6
Ví dụ 2.39. Giải hệ phương trình sau: 
.
log 2 x  log 2 y  3
Ví dụ 2.40. ( Đại học Quốc gia khối B năm 95)
 xy
 y x  32
Giải hệ phương trình sau: 4
.
log3  x  y   1  log 3  x  y 
Ví dụ 2.41. (Đại học bách khoa năm 94)
 x  log3 y  3
Giải hệ phương trình sau:  2
.
x
 2y  y  12 .3  81y





2.3.2. Phƣơng pháp hàm số
*Phƣơng pháp giải: Áp dụng phương pháp hàm số đối với một
phương trình hoặc các phương trình trong hệ. Kết quả cho ta một hệ
phương trình đại số mà ta có thể dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban
đầu.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.


14

x  y  ex  e y

Ví dụ 2.42. Giải hệ phương trình sau: log 2 x  3log y  2 .
1
 2
2

Ví dụ 2.43. (Đại học Quốc Gia năm 95)
x
y

2  2 =  y  x  xy  2 
Giải hệ phương trình sau: 
.
2
2


 x +y =2
Ví dụ 2.44.
2x  y 1 2x  y

)5
 1  22x  y 1
(1  4
Giải hệ phương trình sau: 
.
3
2

 y  4x  1  ln(y  2x)  0

2.3.3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
*Phƣơng pháp giải: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu
về hệ đại số đã biết( hệ đối xứng, hệ đẳng cấp…..).
Sau đây là một số ví dụ minh họa.

9log2  xy   3  2  xy log23

Ví dụ 2.45. Giải hệ phương trình sau: 
.
2
2
 x  1   y  1  1
 x log8 y  ylog8 x  4
Ví dụ 2.46. Giải hệ phương trình sau: 
.

log 4 x  log 4 y  1
Ví dụ 2.47. (ĐH Quốc gia TP HCM 97)
Giải hệ phương trình sau:
2
2

log1 x 1  2y  y  log1 y 1  2x  x  4
.

log
1

2y

log
1

2x

2





1

x
1


y










2.3.4. Phƣơng pháp đánh giá
*Phƣơng pháp giải: Đối với nhiều bài toán ta có thể giải bằng
cách đánh giá tinh tế dựa trên:


15
+ Tam thức bậc hai.
+ Tính chất hàm mũ và logarit.
+ Bất đẳng thức
…………..
Ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của hệ hoặc biến đổi
hệ về dạng đơn giản hơn.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 2.48. (ĐH Thái Nguyên khối A-1997)
x
y

e  e   log 2 y  log 2 x  xy  1
Giải hệ phương trình sau: 

.
2
2

x  y  1
Ví dụ 2.49. (Đại học kinh tế TP.HCM năm 99)

 x  y   log 2 y  log 2 x  2  xy 
Giải hệ phương trình sau: 
.
3
3

 x  y  16
Ví dụ 2.50.

 2x.3y2 1  2x  2x.3y2 1

Giải hệ phương trình sau: 
.
2
2x.3y 1  1

CHƢƠNG 3
PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số phương pháp giải
bất phương trình mũ và logarit, các bài toán tổng hợp. Các kiến thức

16
trình bày trong chương được tham khảo ở các tài liệu [5], [6], [7] và
[9].
3.1. BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ
3.1.1. Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số
*Phƣơng pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản sau
a  1

 f (x)  g(x) .
 f (x)
 a g(x)

a
0  a  1

 f (x)  g(x) .
 f (x)
 a g(x)

a
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
x

2x

1
Ví dụ 3.1. Giải bất phương trình:    3 x 1 .
9
Ví dụ 3.2. (Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998- Cao
đẳng Sƣ phạm Nha Trang năm 2002)

Giải bất phương trình:



10  3



x 3
x 1





10  3



x 1
x 3

.

Ví dụ 3.3. (Đại học Bách khoa Hà Nội năm 1997)
Giải bất phương trình: 3

x 2  2x

1

 
 3

x  x 1

.

3.1.2. Phƣơng pháp logarit hóa
*Phƣơng pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản sau
 a  1

f (x)
a
b
f (x)  log a b
 
●
.
0  a  1
b  0

 f (x)  log a b


17

● af (x)

b  0


 f(x) coù nghóa

 b  0,a  1
.
 b  
 f(x)  loga b

  b  0,0  a  1

 f(x)  loga b

● a f (x)  bg(x)  lga f (x)  lg bg(x)  f (x).lga  f (x).lg b

hoặc

có thể sử dụng logarit theo cơ số a hay b.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3.4. Giải bất phương trình: 3x 1  5x 2  3x 2  5x 1 .
Ví dụ 3.5. (Đại học Sƣ phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001)
2.3x  2x  2
Giải bất phương trình:
1 .
3x  2x
2

Ví dụ 3.6. Giải bất phương trình: 49.2x  16.7x .
3.1.3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
*Phƣơng pháp giải: Các bài toán giải bất phương trình mà ta có
thể sử dụng phương pháp này, nếu dễ thì sẽ thấy ngay dấu hiệu của
một biểu thức chứa biến nào đó lặp đi lặp lại nhiều lần, còn nếu khó

hơn, thì ta cần một ít biến đổi khéo léo, chủ yếu đưa về hình dạng sơ
khai của bài toán, là một bất phương trình với các biểu thức chứa
biến lặp lại. Cũng có trường hợp bài toán yêu cầu ta phải đặt thêm
nhiều ẩn phụ khác nhằm tạo ra một bất phương trình mới dễ dàng
giải quyết hơn. Sau đây, chúng ta hãy cùng nhau xét các ví dụ nhỏ
nhằm làm sáng tỏ hơn ý tưởng giải quyết các bài toán dạng này.


18
Ví dụ 3.7. (Đại học sƣ phạm Hà Nội khối B, D năm 2000)
Giải bất phương trình: 32x  8.3x 
Ví dụ 3.8.



Giải bất phương trình: 5  21

x 4

 9.9

  5 
x

x 4

21



x

0.
 2x log2 5.

Ví dụ 3.9.
Giải bất phương trình: 2x  2x  1  22x 1  4x  2 .
3.1.4. Phƣơng pháp hàm số
*Phƣơng pháp giải:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng : f (x)  k .
+ Bước 2: Xét hàm số y  f (x) . Dùng lập luận khẳng định hàm
số đơn điệu.
+ Bước 3: Nhận xét
● Với x  x 0  f (x)  f (x 0 )  k , do đó bất phương trình vô
nghiệm.
● Với

x  x 0  f (x)  f (x 0 )  k , do đó bất phương trình

nghiệm đúng .

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là : T   x 0 ;   .
Hướng 2: Thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng f (u)  f (v) .
+ Bước 2: Xét hàm số y  f (t) . Dùng lập luận khẳng định hàm

số đơn điệu.
+ Bước 3: Khi đó f (u)  f (v)  u  v .

19
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3.10. ( Đại học Y Hà Nội năm 1999 )
Giải bất phương trình: 2.2x  3.3x  6x  1 .
Ví dụ 3.11. (Đại học Văn Lang năm 96)
32 x  3  2x
Giải bất phương trình:
0.
4x  2
Ví dụ 3.12. Giải bất phương trình: ex 

x 1

 e1

x 1

 x 1.

3.1.5. Phƣơng pháp đánh giá
*Phƣơng pháp giải: Đối với nhiều bất phương trình, ta có thể
giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên:
● Tam thức bậc hai.
● Tính chất hàm mũ.
● Các bất đẳng thức cơ bản như: côsi, bunhiacopxki…
● Tính chất giá trị tuyệt đối.
Ta có thể nhanh chóng chỉ ra nghiệm của bất phương trình.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3.13. Giải bất phương trình: 5x

2

1





 x 2  1 .5x 1  1 .

Ví dụ 3.14.
2
2
Giải bất phương trình: 2sin x  2cos x  2  sin x+cos x  .
Ví dụ 3.15.
Giải bất phương trình: 4x  2x 1  4x  0 .
2

3.2. BẤT PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT
3.2.1. Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số và mũ hóa
*Phƣơng pháp giải: Ta có các công thức cơ bản sau


20
 a  1

0  f (x)  g(x)
 log a f (x)  log a g(x)  
 0  a  1


 f (x)  g(x)  0
0  a  1
f (x)  0

.

g(x)  0
 a  1  f (x)  g(x)   0

 a  1

b
0  f (x)  a
 log a f (x)  b  
 0  a  1
 f (x)  a b

 a  1

b
f (x)  a
.
 log a f (x)  b  
0

a

1




 0  f (x)  a b


Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3.16. (Đại học khối B năm 2008)

x2  x 
Giải bất phương trình: log 0,7  log 6
0.
x4 

Ví dụ 3.17. (Cao đẳng sƣ phạm Bắc Ninh năm 2004)
2
3
log 1  x  3  log 1  x  3
Giải bất phương trình:

2

3

x 1

0.

Ví dụ 3.18. (Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1998)
Giải bất phương trình:

21

1
log3 x 2  5x  6  log 1 x  2  log 1  x  3 .
2 3
3
3.2.2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
*Phƣơng pháp giải: Việc giải bất phương trình logarit bằng
phương pháp này cũng tương như bất phương trình mũ.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3.19. (Đại học ngoại thƣơng khối D năm 1998)
Giải bất phương trình: log2 x  log3 x  1  log 2 x.log3 x .
Ví dụ 3.20.
Giải bất phương trình: log32 x  log 2 8x .log3 x  log 2 x 3  0 .
Ví dụ 3.21.
Giải bất phương trình: log3 x.log 2 x  2log3 x  log 2

x
.
4

3.2.3. Phƣơng pháp đánh giá
*Phƣơng pháp giải: Đối với nhiều bất phương trình, ta có thể
giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên:
● Tam thức bậc hai.
● Tính chất hàm logarit.
● Các bất đẳng thức cơ bản như: côsi, bunhiacopxki…
● Tính chất giá trị tuyệt đối.
Ta có thể nhanh chóng chỉ ra nghiệm của nó.

Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3.22. Giải bất phương trình:
 1

log 2 x  2  4  log 3 
 8 .
 x 1







22
Ví dụ 3.23. (Đại học Sƣ phạm I-91)
Giải bất phương trình:





log 1 1  cos 2x   log3 2  log 1 sin 2 x  1 .
3

3

Ví dụ 3.24. Giải bất phương trình:
2
3

2  5x  3x 2 log5 x 2  4x  11  log11 x 2  4x  11   0 .











3.2.4. Phƣơng pháp hàm số
*Phƣơng pháp giải:
● Dạng 1: f (x)  f (k) với k là hằng số.
Xét hàm số y  f (x) . Dùng lập luận để khẳng định hàm số f đơn
điệu.
+ Nếu hàm số f đồng biến trên D thì f (x)  f (k)  x  k .
+ Nếu hàm số f nghịch biến trên D thì f (x)  f (k)  x  k .
● Dạng 2: f (u)  f (v) .
Xét hàm số y  f (x) . Dùng lập luận để khẳng định hàm số f đơn
điệu.
+ Nếu hàm số f đồng biến trên D thì f (u)  f (v)  u  v .
+ Nếu hàm số f nghịch biến trên D thì f (u)  f (v)  u  v .
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3.25.









Giải bất phương trình: log 2 2x  1  log3 4x  2  2 .
Ví dụ 3.26. Giải bất phương trình :
2x.log2 x x 1  40.2x 2  4  x  1.log 2 x  40 .


23
2x  1

Ví dụ 3.27. Giải phương trình: log 2

 x  1

2

 2x 2  6x  2 .

3.3. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Trong mục này, ta sẽ tìm hiêu một số ví dụ tổng hợp về phương
trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarit liên quan đến
các dạng toán đã nêu.
Ví dụ 3.28. Giải phương trình sau: 2  4x.log 2 x  0 .
Ví dụ 3.29. (Tuyển tập 45 năm tạp chí Toán học tuổi trẻ)
Cho a, b  1 . Chứng minh rằng phương trình:

loga4 y  logb4 x  3log b2 x.loga2 y  8loga y.log b





16 loga2 y  log b2 x  80  0

có 2 nghiệm và đặt là  x1; y1  ,  x 2 ; y2  thì x1  x 2  y1  y2  4 .
Ví dụ 3.30. Tìm tất cả các bộ số thực  x; y  thỏa mãn đồng thời
3

x 2  2x 3 log3 5

2
 y4
 5   và 4 y  y  1   y  3  8 .

Ví dụ 3.31. Chứng minh phương trình  x  1  x x 1 có đúng
x

một nghiệm dương.
1

Ví dụ 3.32. Giải phương trình: 2x 2

log 2 x

3

 22

log 2 x

.

Ví dụ 3.33. Tìm tất cả các giá trị a để bất phương trình sau
nghiệm đúng với mọi x: a.9x   a  1 3x  2  a  1  0 .
Ví dụ 3.34. (Học sinh giỏi TP.Hà Nội 2005)
2

2

cos x

Giải phương trình: 3

2

2

sin x

x
  3
 

2

Ví dụ 3.35. Giải phương trình sau:
log 2x 2 4 2  log3x 2 9  log5x 2 25 5

x
9 4 
 

2

.