Đề Thi HSG Duyên Hải Bắc Bộ

Kỳ Thi Duyên Hải Bắc Bộ lần thứ I
Năm Học : 2007-2008
Lớp 10
Bài 1:
Giải phương trình :
2 2
5 6 3 21 19 42x x x x x x− + + − + + = + −
Bài 2:
Tứ giác
ABCD
lồi , nội tiếp thỏa mãn :
CD AD BC
= +
.Chứng minh rằng phân giác
,DAB ABC∠ ∠
và cạnh
CD
đồng quy.
Bài 3:
Tìm tất cả các số nguyên tố
p
để
2
1p p− +
là bình phương của một số tự nhiên.
Bài 4:
Cho các số
[ ]
1 2 2008
a ,a ,...,a -2,2∈
sao cho :

2008
1
0
i
i
a
=
=
∑
. Chứng minh rằng :
2008
3
1
2006
i
i
a
=
≤
∑
Câu 5:
Cho một
2008
−
giác có tính chất : tất cả các đỉnh có tọa độ nguyên và độ dài của tất cả các cạnh là những số
nguyên.
Chứng minh rằng chu vi đa giác là số chẵn.
Lớp 11:
Câu 1:
Giải hệ phương trình :

( )
( )
2
3 3
2
3 3
log log 1 1 1
3
log log 1 1 1
3
y
x x
x
y y

+ − + = +




+ − + = +


Câu 2:
Cho các số thực dương thỏa mãn :
1
yz zx xy
x y z
+ + =
.Tìm GTLN của

1 1 1
1 1 1
A
x y z
= + +
− − −
Câu 3:
Cho
K
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
.
1 1
,B C
là trung điểm
,AC AB
.
1 2
C K AC B∩ =
,
1 2
B K AB C∩ =
. Giả sử
2 2
ABC AB C
S S=
.Tính góc
BAC
∠
.

Câu 4:
Tồn tại không hàm số
:f R R→
không đồng nhất bằng 0 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện :
i)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 , ,f xy x y yf x xf y f x f y x y R+ + + = + + + + + + + ∀ ∈
ii)
( )
( ) ( )
2008 2008
, ,f x y f x f y x y R− = − ∀ ∈
Câu 5:
Cho tập
S
gồm
2008
phần tử và
1 2 50
, ,...,S S S
là các tập con của
S
thỏa các điều kiện sau :
i)
100,
i
S i
= ∀
ii)
i

S S=
U
Chứng minh rằng tồn tại hai tập con
, ,
i j
S S i j≠
sao cho
4
i j
S S∩ ≥