Chuyên đề : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ÔN THI THPTQG NĂM 2017

C

huyên đề : PHƯƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Trong năm học 2016 – 2017, với mơn Tốn của chúng ta, trong kì thi THPT
Quốc gia có một sự thay đổi rất lớn: Chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi
trắc nghiệm. Điều đó ít nhiều cũng làm ảnh hưởng đến cách dạy của giáo viên
cũng như cách học của học sinh. Hơn nữa với tâm lí của rất nhiều học sinh:
Hình học là một mơn học khó. Nhưng đây là một trong 7 chun đề chính trong
kì thi THPT Quốc gia sắp tới. Chính vì vậy, chúng tơi nghiên cứu đề tài này, với
mong muốn rằng đây sẽ là một cơng cụ giúp việc dạy và học phần hình học giải
tích trong khơng gian của giáo viên, học sinh được dễ dàng và thuận lợi hơn.
CẤU TRÚC ĐỀ TÀI
Chương 1. Hệ trục tọa độ trong khơng gian
Chương 2: Phương trình của mặt phẳng trong khơng gian
Chương 3: Phương trình của đường thẳng trong khơng gian
Chương 4: Phương trình của mặt cầu trong khơng gian và một số bài tốn về
góc và khoảng cách.
Ở mỗi chương chúng tơi viết gồm các phần:
1. Một số kiến thức cơ bản
2. Một số kiến thức nâng cao
3. Các dạng bài tập và ví dụ điển hình
4. Một số sai lầm thường gặp của học sinh
5. Bài tập tự luận
6. Bài tập trắc nghiệm
Tổ Tốn – Trường THPT Hàn Thun – Bắc Ninh

Page 1


CHƯƠNG 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.
A.

Kiến thức cơ bản:
Hệ trục tọa độ :

Hệ toạ độ Đề–các vuông góc trong không gian là hệ gồm 3 trục x′Ox, y′Oy,
r r r
z′Oz vuông góc với nhau từng đôi một, với các vectơ đơn vị i , j , k .
r r r

i 2 = j2 = k 2 =1
r r r r rr

i . j = j .k = k .i = 0
rr r
Oxyz
O
:
i
, j,k
(
)

Kí hiệu:
hay

(

)

B.
Tọa độ của một véc tơ:
r
r r r r
u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + yj + zk


Tính chất:

•

Cộng, trừ vectơ:

•

Nhân vectơ với một số thực:

•

Tích vô hướng của 2 vectơ:

•

Độ dài vectơ:

•

Hai vectơ bằng nhau:

•
•

k

R.

.

.

rr
rr
u.v
Góc giữa hai vectơ: cos (u , v ) = r r
u .v
Hai vectơ vuông góc:




Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 2

C.
Tọa độ uuuu
điểm
r r r r
M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + yj + zk
 x + xB y A + y B z A + z B 
;
;
I là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ I =  A
÷
2
2 
 2

Glà
trọng
tâm
tam
giác
 x + xB + xC y A + y B + yC z A + z B + zC 
⇔G = A
;
;
÷
3
3
3






Tọa độ vectơ:

ABC

(

2.
Kiến thức nâng cao:
Tích có hướng của hai vecto:
[

]=

.


•
•


Tính chất:
rr r r
rr
[ u.v ] = u . v sin ( u , v )
rr r
rr r
[ u.v ] ⊥ u ; [ u.v ] ⊥ v

Ứng dụng:

•

Diện tích tam giác ABC: S∆ABC =

•
•
•
•

•

1  uuur uuur
AB, AC 
2
uuur uuur

S
=
Diện tích hình bình hành: ABCD  AB, AD 
uuur uuur uuur

V
=
Thể tích khối hộp: ABCD. A ' B 'C ' D '  AB. AD  .AA'
1 uuur uuur uuur
Thể tích tứ diện ABCD: VABCD =  AB, AD  . AD
6
Hai vectơ

và

cùng phương
rr r
a b c
⇔ [ u , v ] = 0 ⇔ a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 ⇔ 1 = 1 = 1 khi a2b2c2 ≠ 0
a2 b2 c2

Ba vectơ ,

và

đồng phẳng  [ , ].

= 0.

3.Một số ví dụ:
Dạng 1: Tính biểu thức tọarđộ:
r r r r r
r r
r r r
Ví dụ 1: Cho a = 2i + j − 4k ; b = 2 j − 2i + k ; c = −2i + 4k
a. Xác định tọa độ các véc
r tơrđó. r r
b. Xác định tọa độ của x = 2a + 3b − 5c
rr
c. Tính cos a, b

( )

Giải:
r
r
r
a
=
2;1;
−
4
(
)
b
=
−
2;2;1
c
a.
;
(
) ; = ( −2;0;4 )
Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 3


r
b. 2a = ( 4;2; −8 )
r
3b = ( −6;6;3)

r
r
−5c = ( 10;0; −20 ) . Vậy x = ( 8;8; −25 )
r rc. Ta có
a.b = −4 + 2 − 4 = −6
r
2
a = 22 + 12 + ( −4 ) = 21
r
2
b = ( −2 ) + 22 + 12 = 3
rr
rr
a.b
−6
Vậy cos a, b = r r =
a . b 3 21
r r r r
r r r
Ví dụ 2: Cho a = i + j − 2k ; b = i + k
rr
a.
Tính a.b
rr

b.
Xác định  a; b 
Giải:
r
a = ( 1;1; −2 )

a.
r
b = ( 1;0;1)
rr
Vậy a.b = −1
r r  1 -2 −2
1 1
1

a
;
;
b.  ; b  = 
÷ = ( 1; −3 − 1)
0
1
1
1
1
0


rr
Vậy  a; b  = ( 1; −3; −1)
r
r
r r r r r r
Ví dụ 3: Trong hệ Oxyz cho a = (1; −1;0) , b = (−1;1;2) , c = i − 2 j − k , d = i
r
r

a. Xác định k để véctơ u = (2;2k − 1;0) cùng phương với a
r
r r
r
b. Xác định các số thực m, n, p để d = ma − nb + pc

( )

Giải:
a.

r
r
r
r
u cùng phương a ⇔ u = ma

2 = m
m = 2
m = 2


⇔  2k − 1 = − m ⇔ 
⇔
1
2
k
=
1
−

m

0 = 0
k = − 2

Kết luận k = −
b.

1
2

Ta có:

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 4


1

m
=
−

3
1 = m − n + p

r
r r
r 

4

d = ma − nb + pc ⇔ 0 = −2m + n − 2 p ⇔ n =
3
0 = 2 n − p


8

p = 3

r r r
r
r
Ví dụ 4. Cho a = −i + k − 2 j . Tọa độ của a là:
r
a = −1 + 1 − 2
A.
r
a = ( −1;1; −2 )
B.
r
a = ( −1; −2;1)
C.
r
a = −1 − 2 + 1
D.
r
r
Ví dụ 5. Cho a = ( 1;1; −2 ) b = ( 1;0;1)

Trong các kết luận sau kết luận nào đúng?
rr
2
a.b = 12 + 02 + ( −2 ) = 5
A.
rr

 = 12 + 02 + ( −2 ) 2 = 5
a
.
b
B.
 
rr
a
.b = 1
C.
rr


a
D.
 ; b  = −3
Dạng 2: Một số bài toán xác định tọa độ điểm và tính độ dài đoạn thẳng:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết tọa độ ba điểm lần lượt là:
A(1;1;1), B(2;-2;-2), C(-2;2;2)
a.
Xác định tọa độ trọng tâm tam giác.
b.
Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c.
M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài AM.
Giải:
1 1 1
a.
G là trọng tâm ∆ABC . Tọa độ G  ; ; ÷ .
 3 3uuu3r  uuur
b.
Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ CD = BA
uuur
Ta có: CD = ( x + 2; y − 2; z − 2 )
uuur
BA ( −1;3;3)
 x + 2 = −1  x = −3
uuur uuur 

Vậy nên CD = BA ⇔  y − 2 = 3 ⇔  y = 5
z − 2 = 3
z = 5


Kết luận D ( −3;5;5 )
c.
Theo bài ra ta có

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 5

2

x
=

3
 x + 2 = −2 x + 4

uuuur
uuuur 
2

CM = −2 BM ⇔  y − 2 = −2 y − 4 ⇔  y = −
3
 z − 2 = −2 z − 4


2

z = − 3

 2 2 2  uuuur  1 5 5 
51
Vậy M  ; − ; − ÷⇒ AM =  − ; − − ÷ . Vậy AM =
.
3 3 3
 3 3 3
3
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có
uuur

uuur
AB ( −3;0;4 ) , AC ( 5; −2;4 ) . Tính độ dài đường trung tuyến AM.
Giải:
uuuur 1 uuur uuur
uuuur 1
uuuur
Ta có: AM = AB + AC ⇔ AM = ( 2; −2;8 ) ⇔ AM = ( 1; −1;4 )
2
2
Vậy AM = 3 2
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

(

)

A ( 1; −1;5 ) , B ( 3;4;4 ) ,C ( 4;6;1) điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều
A,B,C. Tìm tọa độ điểm M.
Giải:
2
2
Gọi M ( x; y;0 ) x, y ∈ ¡ , x + y ≠ 0 là điểm cần tìm. M cách đều A,B,C nên ta
có: MA = MB = MC.
⇔ MA2 = MA2 = MC 2
⇔ −2 x + 2 y + 27 = −6 x − 8 y + 41 = −8 x − 12 y + 53
4 x + 10 y − 14 = 0  x = 16
. Vậy M ( 16; −5;0 )
⇔

2

x
+
4
y
−
12
=
0
y
=
−
5


Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có hai điểm nằm trên trục hoành
mà khoảng cách từ đó đển điểm M(-3;4;8) bằng 12. Tổng hai hoành độ của
chúng là:
3
C. 8
D.4
2
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;-1),
B(2;-1;3), C(-4;7;5). Độ dài đường phân giác trong của B là:
2 74
3 76
A.
C.
D.
3 76 B. 2 74
3

2
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành OABD có
uuur r
uuur r
OA = a ( −1;1;0 ) , OB = b ( 1;1;0 ) (O là gốc tọa độ ). Tọa độ tâm hình bình hành là:
1 1 
A.
B. ( 1;0;0 )
C. ( 1;0;1)
D. ( 1;1;0 )
 ; ;0 ÷
2 2 
A.

-6

B.

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 6


Dạng 3: Một số bài toán tính diện tích, thể tích.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết điểm
A ( −2;2;1) , B ( 1;0;2 ) , C ( −1;2;3) .
a.
Tính diện tích tam giác ABC.
b.
Tính bán kính đường tròn nội tiếp tứ diện

Giải:
uuur
uuur
uuur uuur

a.
Ta có AB ( 3; −2;1) , AC ( 1;0;2 ) ,  AB; AC  = ( −4; −5;2 )
1  uuur uuur 3 5
AB, AC  =
2
2
S
= p.r ⇔ r = ∆ABC .
p

Diện tích là: S∆ABC =
b.

Ta có S∆ABC

uuur
3 5
14 + 5 + 3
Mà BC ( −2;2;1) nên p =
suy ra r =
14 + 5 + 3
2
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 2; −1;6 ) ,
B ( −3; −1; −4 ) , C ( 5; −1;0 ) , D ( 1;2;1) .
a.

Chứng tỏ A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện
b.
Tính thể tích khối tứ diện.
c.
Tính độ dài đường cao AH của tứ diên.
Giải:
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
a.
Ta có BC ( 8;0;4 ) , BD ( 4;3;5 ) , BA ( 5;0;10 ) ,  BC , BD  = ( −12; −24;24 ) ≠ 0
uuur uuur uuur
Mà  BC , BD  .BA ≠ 0 nên bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
uuur uuur uuur

b.
Ta có  BC , BD  .BA = 180 .
1  uuur uuur uuur
V
=
BC , BD  .BA = 30 (đvdt).
Vậy nên
6
c.
Diện tích tam giác BCD là:
1 uuur uuur
S =  BC , BD  = 18
2
1

3V
= 5 . Vậy AH = 5.
Mà V = AH .S ∆BCD ⇔ AH =
3
S ∆BCD
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’,
biết A ( 2; −2;2 ) , B ( 1;2;1) , A ' ( 1;1;1) , D ' ( 0;1;2 ) . Thể tích của khối hộp
ABCD.A’B’C’D’ là:
3
2
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S .OAMN với
A.2

B. 8

C.4

D.

S ( 0;0;1) , A ( 1;1;0 ) , M ( m;0;0 ) , N ( 0; n;0 ) trong đó m > 0, n > 0, m + n = 6. Thể
tích của hình chóp S .OAMN là:
Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 7


A.
4
B. 2
C.1

D. 6
4. Sai lầm thường gặp:
Trong phần này, học sinh thường mắc sai lầm khi viết ẩu dễ dẫn đến nhầm
lẫn giữa việc tìm tọa độ tổng của hai vecto và tính tích vô hướng hai vecto hay
nhầm lẫn giữa kí hiệu độ dài của vecto và kí hiệu tri tuyệt đối hoặc chưa nắm
vững khái niệm hai vector bằng nhau..
r
r r
Ví dụ 1: Cho a ( 1;3;1) , b ( 2;1;4 ) . Xác định tọa độ a + b .
r r
Sai lầm: a + b = ( 1 + 2 + 3 + 1 + 1 + 4 ) = 12 .
Nguyên nhân: Nắm được tính chấtnhưng ẩu trong cách viết và không hiểu rõ kí
hiệu.
r r
Lời giải đúng: a + b = ( 1 + 2;3 + 1;1 + 4 ) = ( 3;4;5 )
r
r
r r
Ví dụ 2: Cho a ( 1;3;1) , b ( 2;1;4 ) . Xác định a + b .
r r r r
2
2
2
2
2
2
Sai lầm: a + b = a + b = 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 4 = 11 + 21
Nguyên nhân: Hiểu sai kí hiệu và tính chất.
Lời giải đúng:
r r

r r
2
2
2
Ta có a + b = ( 3;4;5 ) . Vậy nên a + b = 3 + 4 + 5 = 5 2
r
r
rr
rr


a
1;
−
3;
−
2
a
.
b
,
a
(
)
b
2;1;4
Ví dụ 3: Cho
, (
) . Tính
 ,b 

rr
2
2
Sai lầm: a.b = 22 + ( −3) + ( −8 ) = 77
r r  −3
a, b  = 


 1

-2 −2 1 1
+
+
4
4 2 2
rr

a
Vậy nên  , b  = 7 = 7

-3 
÷ = −10 − 8 + 5 = 7
1

Nguyên nhân: Nắm không vững định nghĩa và kí hiệu.
Lời giải đúng:
rr
a.b = 2 − 3 − 8 = −9 = 9
r r  −3 -2 −2 1 1 -3 
a, b  = 

;
;
÷ = ( −10; −8;5 )


1
4
4
2
2
1


rr
 a , b  = 100 + 64 + 25 = 189


r
r
r
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho ba vecto a ( −1;1;0 ) , b ( 1;1;0 ) , c ( 1;1;1) .
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
rr
rr
C. cos ( a, c ) = 0
A. a.c = 1
r r
r r r
B. b + c = 2
D. a + b + c = 0

Nhận xét trước khi trả lời câu hỏi:
Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 8


+ Loại ngay phương án D,B vì theo định nghĩa tổng các vecto là một vecto
không phải một hằng số.
rr
+ Tiếp đến ta đi tính tích vô hướng hai vecto a , c vì hai đáp án A,C đều liên
rr
quan đến giá trị này : a.c = −1.1 + 1.1 + 0.1 = 0 . Vậy là đến đây ta chọn được đáp
án C.
Chú ý: Học sinh có thể mắc sai lầm khi chọn đáp án B vì hiểu sai cách xác
định tọa độ tổng hai vecto và cách tính tich vô hướng hai véc tơ.
Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( 1;2;1) , B ( −1;1; −1) , C ( 0;1;3)
để ADBC là hình bình hành thì tọa độ của điểm D là:
A.
(2;2;5)
B. (0;2;-3)
C. (-2;2;-1)
D. (-2;0;1)
Sai lầm thường mắc:
+ Không để ý đến thứ tự các điểm của hình bình hành nên có đáp án A,C
+ Đã quan tâm đến thứ tự các điểm của hình bình hành nhưng lại sai khái niệm
bằng nhau của hai vecto nên chọn đáp án D.
5. Bài tập tự luyện
A. Bài tập tự luận:
Xét các bài toán dưới đây trong hệ trục tọa độ Oxyz.
r r r ur r

r r uur r r r
Bài 1: Cho u = i − 2 j , v = 3i + 5( j − k ), w = 2i + 3 j − k
a) Tìm tọa độ các vectơ đó
rr r r
b) Tìm cosin của các góc u; i , v; j
r r r ur r ur
c) Tính tích vô hướng của u.v, u.w, v.w

( )( )

Bài 2: Cho M(a, b, c):
a) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ
b) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2). Tìm
uuur uuur
tọa độ D và tính góc giữa hai vecto AC , BD
rr
Bài 4: Tính tích vô hướng của a.b , biết:
r
r
a) a = ( 3;0; −6 ) ; b = ( 2; −4;0 )
r
r
b) a = ( 1; −5;2 ) ; b = ( 4;3; −5 )
r r
Bài 5:Tìm góc giữa hai vectơ u; v
r
r
a) u = ( 1;1;1) ; v = ( 2;1; −1)
Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 9


r r r ur
r r
b) u = 3i + 4 j , v = −2 j + 3k
Bài 6 : Tìm M trên Ox sao cho M cách đều A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2)
Bài 7: Cho tam giác ABC có A(1; -1; 1) , B(0; 1; 2), C(1; 0; 1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
b) Tính độ dài đường trung tuyến AM
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1),
C’(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại.
Bài 9:Cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1). Tìm toạ độ D
sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 10: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác định bởi các hệ
uuur r r r
uuur r r r
thức: A(2; 4; -1), OB = i + 4 j − k , C(2; 4; 3), OD = 2i + 2 j − k . Chứng minh:
AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB.

B.Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1 : Trong mặt phẳng Oxyz . Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết
A ( 1 ;0 ; 1 ) , B( 2 ; 1 ; 2 ) , D ( 1 ; -1 ; 4 ) , C’ ( 4 ; 5 ;-5 ) Tọa độ điểm A’ là :
A. ( 3 ; 5 ; -6 )

C( 5 ; -1 ; 0 )

B . (-2 ; 1 ; 1 )

D. ( 2 ; 0 ; 2 )

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxyz .Cho M( 2 ; -5 ; 7 ) Tìm tọa độ điểm đối xứng
của M qua mặt phẳng Oxy .
A. ( -22 ; 15 ; -7 )

C. ( 2 ; -5 ; -7)

B. ( -4 ; -7 ; -3)

D. ( 1 ; 0; 2)

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxyz .Cho hai điểm A ( 2 ; 5 ; 1) , B( -1 ; 7 ; -3) .
Điểm nào sau đây thẳng hàng với AB
A. ( -4 ; 9 ; -7)

C. ( 14 ; -3 ; 16)

B. ( 11 ; -1 ; 12)

D . ( 0 ; 2 ; 0)
r r r r
r
Câu4: Trong không gian Oxyz , cho x = 2i + 3 j − 4k . Tìm tọa độ của x
r
r
A. x = (2;3; −4).
C. x = (0;3; −4).
Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 10


r
B. x = (−2; −3;4).

r
D. x = (2;3;0).

Câu 5:Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;2;3) Tìm tọa độ điểmM’ là hình
chiếu của M trên trục Ox
A. (0;1;0).
B. (0;0;1).

C.(1;0;0).
D. (0;2;3).

uuuur r r r
Câu 6: Cho vectơ OM = 2i + 5 j + 3k .Tìm tọa độ điểm M ?
A. (2;5;3).

C. (2; −5;3)

B. (−2; −5; −3)

D. (−2;5; −3)

r
r
Câu 7: Trong không gian Oxyz cho a(3; −1;2); b(4;2; −6) Tính tọa độ của vectơ

r r
a+b
r r
r r
A. a + b = (1;3; −8).
C. a + b = (−1; −3;8).
r r
r r
B. a + b = (7;1; −4).
D. a + b = (−7; −1;4).
Câu 8. Trong không gian Oxyz cho M(1;-2;4) và N(-2;3;5). Tính tọa độ của
uuuur
MN
uuuur
uuuur
A. MN = (-3;5;1).
C. MN = (-1;1;9).
uuuur
uuuur
B. MN = (3;-5;-1).
D. MN = (1;-1;-9)
Câu 9. Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(0;3;7) và I(12;5;0). Tìm tọa
độ N sao cho I là trung điểm của MN.
A.N(2;5;-5).

C. N(1;2;-5).

B. N(0;1;-1)

D. N(24;7;-7).

r
r
r
Câu 10. Cho a(3; −1; −2), b(1;2; −1). Tìm tọa độ tích có hướng của hai vecto a
r
và b .
A. (-5;-1;-7).

C. (-5;1;7).

B. (5;1;7).

D. (5;-1;7).

r
r
Câu 11. Cho a(1;2;3) . Tính độ dài a .
A. 11 .

B. 12 .

C. 13 .

D. 14 .

Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác BCD có
B (−1;0;3), C (2; −2;0), D( −3;2;1) . Tính diện tích S của tam giác BCD.

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 11


A. S = 26 .

C. S =

23
.
4

B. S = 62 .

D. S = 2 61 .
r
r
r
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,cho a ( 0;3;4 ) và b = 2 a
r
khi đó tọa độ vecto b có thể là:
A.(-8;0;-6)

C. (2;0;1)

B. (4;0;3)

D. (0;3;4)

rr

Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u , v khi đó
rr

[ u, v ]

bằng:
r r
rr
A. u . v .sin ( u , v )
rr
rr
B. u .v .cos ( u , v )

r r
rr
C. u . v .cos ( u , v )
rr
rr
D. u .v .sin ( u , v )

Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 3;2; −1) điểm
M ' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là:
A. ( 3;2;1)

C. ( 3; −2;1)

B. ( 3; −2; −1)

D. ( 3;2;0 )

Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 3;2; −1) điểm
M ' ( a; b; c ) đối xứng với M qua trục Oy, khi đó a + b +c bằng:
A. 0

C. 6

B. 4

D. 2

Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1; −2;0 )
B ( 3;3;2 ) ,C ( −1;2;2 ) ,D ( 3;3;1) thể tích của tứ diện bằng:
A.3

C. 5

B. 4

D. 6

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD. Độ dài
đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
 AB, AC  AD
 AB, AC  AD





uuur uuur
uuur uuur
A. h =
C. h =
 AB, AC 
AB, AC


Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 12


uuur uuur uuur

1  AB, AC  AD
uuur uuur
B. h =
3
AB, AC

uuur uuur uuur

1  AB, AC  AD
uuur uuur
D. h =
3  AB, AC 



Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1;0;2 ) ,
B ( −2;1;3) , C ( 3;2;4 ) , D ( 6;9; −5 ) tọa độ trọng tâm của tứ diện là:
A. ( 2;3;1)

14 

C.  3;3; ÷
4


B. ( 8;12;4 )

 18

D.  −9; ; −30 ÷
4



Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A ( 1;2;1) , B ( 3; −1;2 ) điểm M thuộc trục Oz và cách đều hai điểm A,B có tọa độ
là :
A. ( 0;0;4 )

3

C.  0;0; ÷
2


B. ( 0;0; −4 )

3 1 3
D.  ; ; ÷
2 2 2

Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A ( −1; −2;3)
B ( 0;3;1) , C ( 4;2;2 ) . Cosin của ∠BAC là:
A.

9
2 35

C. −

9
2 35

B.

9
35

D. −

9
35

r
Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm u ( 2; −1;1)

ur
r
v ( m;3; −1) , w ( 1;2;1) với giá trị nào của m thì ba vecto trên đồng phẳng:
A. −

8
3

B. −

3
8

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

C.

8
3

D.

3
8

Page 13


r
r

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho a ( 1;log 3 5; m ) , b ( 3;log 5 3;4 ) với giá trị
r r
nào của m thì a ⊥ b với giá trị nào của m thì ba vecto trên đồng phẳng:
A. m = −1

C. m = 1, m = −1

B. m = 1

D. m = 2, m = −2

Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 2;3;5 ) , B ( 3;7;4 ) , C ( x; y;6 ) . Giá
trị của x,y để ba điểm A,B,C thẳng hàng là:
A. x = 5, y = 11

C. x = −11, y = −5

B. x = −5, y = 11

D. x = 11, y = 5

Câu25: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 1;0;0 ) , B ( 0;0;1)
C ( 2;1;1) . Tam giác ABC có diện tích bằng:
A.30

C. 50

B. 40

D. 60

Câu 26: Trong không gian Oxyz, ba đỉnh của hình bình hành có tọa độ là

( 1;1;1) , ( 2;3;4 ) , ( 7;7;5 ) .

Diện tích hình bình hành đó bằng:

A. 2 83

C. 83

B.

D.

83

83
2

r
r
r
r
Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho a ( 3; −2;4 ) , b ( 5;1;6 ) , c ( −3;0;2 ) tìm x sao
r
rrr
cho vecto x đồng thời vuông góc với a , b , c
r
r

A. x ( 0;0;0 )
C. x ( 0;1;0 )
r
r
B. x ( 0;0;1)
D. x ( 1;0;0 )
Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho A ( 1;2; −1) , B ( 2; −1;3) , C ( −2;3;3 ) . Điểm
M ( a; b; c ) là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM, khi đó P = a 2 + b 2 − c 2 có
giá trị bằng:
A. 44
Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

C. 42
Page 14


B. 43

D. 45

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho A ( 1;2; −1) , B ( 2; −1;3) , C ( −2;3;3 ) . Tìm tọa
độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.
A. D ( 0;1;3)

C. D ( 0; −3;1)

B. D ( 0;3;1)

D. D ( 0;3; −1)

Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho A ( −1;3;5 ) , B ( −4;3;2 ) , C ( 0;2;1) . Tìm tọa
độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam gác ABC
 5 8 8
A. I  − ; ; ÷
 3 3 3

8 5 8
C. I  ; ; ÷
3 3 3

5 8 8
B. I  ; ; ÷
3 3 3

8 8 5
D. I  ; ; ÷
3 3 3

Câu 31: Trong không gian Oxyz, biết A ( 2; −1;1) , B ( 1;0;0 ) , C ( 3;1;0 ) , D ( 0;2;1) .
Cho các mệnh đề sau:
1) Độ dài AB = 2
2) Tam giác BCD vuông tại B
3) Thể tích tứ diện ABCD bằng 6.
Các mệnh đề đúng là:
A. 2)

C. 1),3)

B. 3)

D. 2),1)

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC có SA = SB = a,
SC = 3a, ∠ASB = ∠CSB = 600 , ∠CSA = 900 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
khi đó độ dài SG bằng:
A.

a 15
3

B.

a 5
3

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

C.

a 7
3

D. a 3

Page 15


Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A ( 2;1; −1) , B ( 3;0;1)
C ( 2; −1;3) , D ∈ Oy . Biết thể tich tứ diện ABCD bằng 5 và có 2 điểm
D1 ( 0; y1;0 ) , D2 ( 0; y1;0 ) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó y1 + y2 bằng:

A.1

C. 2

B. 0

D. 3

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho A ( −1;2;4 ) , B ( 3;0; −2 ) , C ( 1;3;7 ) . Gọi D
uuuur
là chân đường phân giác trong của góc A. Tính độ dài OD
A.

205
3

B.

203
3

C.

201
3

D.

207
3

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho A ( 2;4; −1) , B ( 1;4; −1) , C ( 2;4;3 ) ,
D ( 2;2; −1) . Biết M ( x; y; z ) để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhổ nhất
thì x + y + z = ?
A. 7

C. 9

B. 8

D. 6

Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho hình vuông ABCD B ( 3;0;8 ) ,
D ( −5; −4;0 ) biết đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy) và có tọa độ là những số
uuur uuur
CA
+ CB bằng:
nguyên, khi đó
A. 6 10

C. 10 6

B. 5 10

D. 10 5

Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho A ( 5;3; −1) , B ( 2;3; −4 ) , C ( 3;1; −2 ) bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9 − 3 6

C. 9 + 3 6

B. 9 − 2 6

D. 9 + 2 6

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 16


Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho M ( 3;0;0 ) , N ( m; n;0 ) , P ( 0;0; p ) . Biết
MN = 13, ∠MON = 600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị biểu thức
A = m + 2n 2 + p 2 bằng:
A. 29

C. 28

B. 27

D. 30

Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0 ) , C ( 1;1; −2 ) . Gọi
I ( a; b; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức
P = 15a + 30b + 75c
A. 50

C. 52

B. 48

D. 46

Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho A ( 1;2;1) , B ( 1;1;0 ) , C ( 1;0;2 ) khoảng cahs
từ trọng tâm tam giác đến trung điểm cạnh AB bằng:
A.

3
2

B.

2
2

C.
D.

3
3

2 2
3

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho A ( 1;2;0 ) , B ( 1;0; −1) , C ( 0; −1;2 ) . Tam giác
ABC là:
A. Tam giác cân tại A

C. Tam giác đều

B. Tam giác vuông tại A

D. Đáp án khác

Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1) , D ( 1;1;1)
trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Bốn điểm tạo thành một tứ diện.
B. Tam giác ABC là tam giác đều.
C. AB ⊥ CD
D.Tam giác BCD là tam giác vuông
Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho A ( 2; −1;3) Điểm A’ là hình chiếu của A
trên (Oxz). Tọa độ điểm A’ là:
Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 17


A. ( 0; −1;0 )

C. ( −2;0;3)

B. ( 2;0; −3)

D. ( −2;1;3)

Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho M ( −2; −1;3) , khoảng cách từ M tới mặt
phẳng tọa độ ( Oxz) bằng:
A. 2

C.3

B. 1
D. 14
Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho M ( −2; −1;3) , khoảng cách từ M tới trục
Oy bằng:
A. 2
B.

C. 10
14

D. 13

r
r
r
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho a ( −1;1;0 ) , b ( 1;1;0 ) , c ( 1;1;1) Trong các
mệnh đề sau mệnh đề nào sai ?
r
A. a = 2
r
B. c = 3

r r
C. a ⊥ b
r r
D. b ⊥ c

Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho A ( 1;0;1) , B ( 2;0; −1) , C ( 0;1;3 ) . Diện tích
tam giác ABC bằng:

A.

5
2

C.

2
2

B.

3
2

D.

3
2

r
r
r
Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho a ( 2;1;1) , c ( 3; −1;2 ) . Tìm tọa độ vecto b
r r r r
sao cho 2b − a + 3c = 0 ?
 3 5
A.  − ;1; ÷
 2 2

5
 7
C.  − ;2; − ÷
2
 2

5
 1
B.  − ; −2; − ÷
2
 2

1
3
D.  ;2; − ÷
2
2

Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho A ( 1;2;0 ) , B ( −1;1;3) ,C ( 0; −2;5 ) . Để 4
điểm ABCD đồng phẳng thì tọa độ điểm D là:
Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 18


A. ( −2;5;0 )

C. ( 1; −1;6 )

B. ( 1;2;3)

D. ( 0;0;2 )

Câu 50: Trong không gian Oxyz.
Cho A ( 1;1;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1) , D ( −2;1; −1) , thể tích của tứ diện ABCD là:
A.1

C.

1
3

B. 2

D.

1
2

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 19


CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. Kiến thức cơ bản:
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

r
r

- Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) nếu giá
r
của n vuông góc với ( α ) .
rr
r
- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , không cùng phương và có giá song song hoặc
nằm
trên mặt phẳng ( α ) thì ta có thể chọn ra một vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng

r rr
α
n
( ) là =  a, b  .

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 , với A2 + B 2 + C 2 ≠ 0
r
Trong đó, n = ( A; B; C ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
r
- Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ n = ( A; B; C )
( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng:
Xét mặt phẳng ( α ) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 , với
A2 + B 2 + C 2 ≠ 0

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 20


Các hệ số

Phương trình (α)

Tính chất mặt phẳng (α)
(α) đi qua gốc toạ độ O

Ax + By + Cz = 0
By + Cz + D = 0
Ax + Cz + D = 0
Ax + By + D = 0
Cz + D = 0
By + D = 0
Ax + D = 0

D=0
A=0
B=0
C=0
A=B=0
A=C=0
B=C=0

(α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox
(α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy
(α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz
(α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy)

(α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz)
(α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz)

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ tại các điểm :
A ( a;0;0 ) ,B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) ) (abc ≠ 0) ) là:

x y z
+ + =1
a b c

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) có phương trình:

( α ) : A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ( A12 + B12 + C12 ≠ 0)

( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ( A2 2 + B2 2 + C2 2 ≠ 0)
ur
Hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) lần lượt có vectơ pháp tuyến là n1 = ( A1; B1; C1 ) ,
uur
n2 = ( A2 ; B2 ; C3 ) .
ur
uur
• ( α ) và ( β ) cắt nhau ⇔ n1 và n2 không cùng phương
⇔ A : B : C ≠ A : B : C (nếu A2 B2C2 ≠ 0 )
1 1 1
2 2 2
ur uur
n1 = kn2
A B C
D

(k ∈ R ) ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1 (nếu
• ( α ) // ( β ) ⇔ 
A2 B2 C2 D2
 D1 ≠ kD2
A2 B2C2 D2 ≠ 0 )
• ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0
ur uur
n1 = kn2
A B C
D
( k ∈ ¡ ) ⇔ 1 = 1 = 1 = 1 (nếu A2 B2C2 D2 ≠ 0 )
•( α ) ≡( β ) ⇔ 
A2 B2 C2 D2
 D1 = kD2
5. Góc giữa hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) :
( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

(α) :

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

Gọi ϕ là góc giữa ( α ) và ( β ) . Ta có:
cos ϕ =

A1 A2 + B1B2 + C1C2
A12 + B12 + C12 . A22 + B22 + C22

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 21


6.Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) :
Ax + By + Cz + D = 0
d ( M 0 ,(α ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

II. Các ví dụ điển hình:
1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
1. 2x–2y–z–10=0

2. 3x–4y+10=0

3. x –2y–2z=0

Bài 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
1. (P): 2x+y+z – 2=0 và (Q): 2x+y+z+3=0.
2. (P): x – y+2z – 4=0 và (Q): -x+y – 2z+1=0.
Bài 3: 1. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mphẳng (P): -x + 2y – 2z – 33 = 0
2. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x – y – z – 1 = 0 ,
với A(1;0;2),B(-1;2;4).
3. Cho A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng (P): 2x – 2y – z = 0.Tính
khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
Bài 4:Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ∆ABC với A(1; −2; −3) ,
B (−1;2;3) , C ( −3, −9,15 ) và mp(P): 2x – 2y – z = 0
1. Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mp (P).

2. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mp(P).
3. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng BC đến mp(P).
Bài 5: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1;3) đến các mặt phẳng tọa độ.
2. Viết phương trình mặt phẳng.
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng d
cho trước.
Nhận xét: - Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng sẽ vuông
góc với giá của đường thẳng d.
- Do đó mặt phẳng sẽ nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm
Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 22


vecto pháp tuyến.
Bài 1: Cho ba điểm I(1;2;0), J(0;-1;-2), K(-2;0;-1).
1.

Viết phương trình mặt phẳng đi qua I và vuông góc với JK.

2.

Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với IJ.

3.

Viết phương trình mặt phẳng đi qua I và vuông góc với trục Ox.

4.

Viết phương trình mặt phẳng đi qua K và vuông góc trục Oz.

Bài 2: Cho điểm E(1;-2;-3) và hai đường thẳng
x = 2 − t

x −1 y z +1
=
=
d:  y = 1 + 2t , d’:
.
2
−1 −2
 z = 1 − 2t

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua E và vuông góc với đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua E và vuông góc với đường thẳng d’.
3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và vuông góc với đường thẳng d.
4. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và vuông góc với đường thẳng d’.
 x = 1 + 2t
x −1 y z +1

=
=
Bài 3: 1. Cho hai đường thẳng d:  y = 2 + t , d':
. Viết
5
−
1
−2
 z = −1 + 3t


phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d’ và vuông góc với đường thẳng
d.
 x = 1 + 2t

2. Cho đường thẳng d:  y = 2 + t . Viết pt mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d
 z = −1 + 3t

và vuông góc với trục Ox.
Trường hợp Đặc biệt:
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.
- Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm AB.
uuur
- Mặt phẳng trung trực nhận AB làm vecto pháp tuyến.
Bài 1: 1.Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết pt mp trung trực của đoạn
thẳng AB.
Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 23


2. Cho điểm S(2;-4;6). Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng OS với O là gốc
tọa độ.
Dạng 2: Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng
- Hai mặt phẳng song cùng vecto pháp tuyến.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm T(1;-2;6) và song song với
mp(Q): 2x – 2y – z – 1 = 0.
2. Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ và song song với mp (Q): 2x – y – 10 = 0.
3. Cho hai điểm M(-1;-9;-3), N(-3;-9;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua trung điểm của đoạn thẳng MN và song song với mp (Q): 3x – y + 9z – 10

= 0.
4. Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và song song với mp (Q): 9y – 2z – 1 = 0.
Dạng 3: Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng.
r uuur uuur
n
- Mp(ABC) có vecto pháp tuyến là =  AB, AC  .
1. Cho ba điểm A(1;2;0), B(0;-1;-2), C(-2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng
(ABC).
2. Cho ba điểm M(1;2;9), N(0;-1;-6), P(-2;8;-1). Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua ba điểm M, N, P.
3. Cho hai điểm K(0;-2;3), H(2;-3;1). Viết phương trình mặt phẳng (OKH).
Dạng 4: Mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với một mặt phẳng (Q).
r uuur uur
- Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n =  AB, n Q  .
Bài 1: 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1)
và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x – y – z – 1 = 0.
2. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và
vuông góc với mặt phẳng ( β ): 2x – y – 1 = 0.
Bài 2: 1. Viết pt mp chứa đường thẳng d:

x −1 y z +1
=
=
và vuông góc với
2
−1 −2

mP(P): 2x – y + 2z – 1 = 0.

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 24


2. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (P):
2x – y + 2z – 1 = 0.
Dạng 5: Mặt phẳng chứa một điểm A và một đường thẳng d.
r uuur uur
- Mp(P) có vecto pháp tuyến là n =  AB, ad  .
x = 2 − t

1. Viết PT mp (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d:  y = 1 + 2t .
 z = 1 − 2t

2. Viết PT mp (P) đi qua gốc tọa độ và chứa đt d:

x −1 y z +1
=
=
.
2
−1 −2

3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.
4. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.
Dạng 6: Mặt phẳng chứa một đường thẳng d và song song với một đường
thẳng d’.
r uur uur
n

- Mp(P) có vecto pháp tuyến là =  ad , ad '  .
Bài 1: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.
Bài 2:
x = 2 − t

1. Viết pt mp chứa đt d:  y = 1 + 2t và song song với đường thẳng d’:
 z = 1 − 2t

x −1 y z +1
=
=
.
5
−1 −2
2.Viết pt mp chứa trục Ox và song song với đường thẳng d:

x −1 y z +1
=
=
2
−1 −2

3. Viết pt mp chứa đường thẳng đi qua hai điểm A(1;4;1), B(-1;0;3) song song
với trục Ox.
Dạng 7: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d và d’:

Tổ Toán – Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh

Page 25