Bài tập bất đẳng thức và hệ phương trình hay lớp 9

WEB: 123doc.org
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. CMR:
a2
b2
c2
1
T



(2a  b)(2a  c) (2b  a)(2b  c) (2c  a)(2a  b) 3
a2
1
2
 1 , tham số hóa với .
HD: Mẫu  2a  a  b  c   2a  bc , dẫn đến  2
2
2a  bc
bc
ac
ab 1 1 1
 2
 2
  
Bài 2. Cho a, b, c > 0. CMR: 2
a  bc b  ac c  ab a b c
Dùng kĩ thuật Cauchy-Schwarz, đưa mẫu về (a 2  bc)(b  c)  c(a 2  b 2 )  b(a 2  c2 )
Bài 3. Cho a,b,c  1, abc  1 . CMR:
HD: Đặt a 

a2
b2
c2


1
(a  1) 2 (b  1)2 (c  1)2

x2
,…
yz

Hệ phương trình:
8(x 3  1)  6xy 2  y(12x 2  y 2 )
3
a)  2
. HD: Từ (1) có  2x  y   8
2
2
(x  y  4x)(x  y  2x  5)  14
2x 3  9y3  (x  y)(2xy  3)
b)  2
. HD: Từ (1) có  x  y   x 2  xy  y 2   8y3  x 3
2
 x  xy  y  3
2
3
6x y  2y  35  0
c)  2
2

5x  5y  2xy  5x  13  0
2
2
 
1
5 

HD: (1)  3(2)  (2y  5)  6  x    2  y     0
 
2
2  


2 2
 x y  3xy  3y  3  0
d)  2
2
 x y  4xy  3y  2y  x  1  0
HD: (1)  x(2)   xy  1 x  y  1 x  3  0
2
 
3
1 

2
2
 (x  y) 2  13
3  x  y 

4xy  4(x  y )  (x  y)2  7

xy

e) 
. HD:   
1 
2x  1  3

x

y


  (x  y)  3


xy
x

y



1


WEB: 123doc.org
 3  2x 2 y  x 4 y 2  x 4 (1  2x 2 )  y 4
f) 
. HD: Lấy (1)  (2) , dùng bất đẳng thức
2

3
3
2
1  1  (x  y)  x (x  x  2y )
7x  3y  x 2  3xy  y 2
g)  2
2
 x  2y  x  2y
Xét x, y với 0. Nhân chéo 2 vế, được phương trình đẳng cấp. Đặt x  ty (t  0)
 x 2  xy 2  xy  3x  2
chia 2 vÕ cho x
h)  2
.
HD:

4
4
2
4
4
(x  xy)  (y  2)  17x
chia 2 vÕ cho x
 x 2  2  y 2  3  x  y  5
i) 
. HD: nhân liên hợp ( x 2  2  x) ,…, đặt ẩn phụ
 x 2  2  y 2  3  x  y  2
x 2  y 2  1  2(x  y)
k) 
 x(2  y)  y(2  x)  2
HD: Dùng Cauchy (2), kết hợp với (1)


1
2
2
 2  x  2  2  1  y
x
l) 
x  1  2(2  y)

x

HD: Cộng 2 vế, dùng bất đẳng thức:
1
 3
3
3x  y 
xy
m) 
x2  y 2  1


2  A 2  A  2 , với điều kiện để A có nghĩa

HD: Đặt y  ax , kết hợp (1), (2)  x 2 

1
, đưa về (a  1)(2a  1)(a 2  a  2)  0
2
1 a

2