Một số vấn đề ứng dụng của đồ thị tin học.doc

Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
Lời nói đầu
Bớc sang năm bản lề của thế kỷ 21, nhìn lại thế kỷ 20 là thế kỷ mà con ngời đạt
đợc nhiều thành tựu khoa học rực rỡ nhất, một trong những thành tựu đó là sự
bùng nổ của ngành khoa học máy tính. Sự phát triển kỳ diệu của máy tính trong
thế kỷ này gắn liền với sự phát triển toán học hiện đại, đó là toán rời rạc.
Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc có tính chất rời rạc không liên tục.
Toán rời rạc bao gồm các lĩnh vực nh quan hệ, lý thuyết đồ thị, lôgíc toán, ngôn
ngữ hình thức... trong đó lý thuyết đồ thị là một bộ phận trọng tâm với nhiều khối
lợng kiến thức khá lý thú và đợc nghiên cứu nhiều nhất.
Toán rời rạc nói chung và lý thuyết đồ thị nói riêng là công cụ thiết yếu cho
nhiều ngành khoa học kỹ thuật, và là một thành phần quan trọng trong học vấn
đối với sinh viên các ngành kỹ thuật đặc biệt sinh viên ngành Tin học. Lý thuyết
đồ thị, với cách tiếp cận đối tợng nghiên cứu và phơng pháp t duy khá độc đáo
thực sự ngày càng hữu ích có nhiều ứng dụng phong phú và gây không ít bất ngờ.
Máy tính mà bản thân nó với các quá trình làm việc mang tính rời rạc, nên điều
này tơng hợp gắn chặt lý thuyết đồ thị với công nghệ máy tính trong việc nghiên
cứu các đối tợng có tính chất rời rạc.
Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực Tin học,
muốn hiểu biết sâu sắc các vấn đề Tin học cần nắm vững các kiến thức về Toán
học rời rạc mà trong đó đặc biệt là lý thuyết đồ thị. Từ những nhận thức trên, với
đề tài "Một số vấn đề ứng dụng của đồ thị trong Tin học" đây không chỉ là
nhiệm vụ em phải thực hiện trong kỳ bảo vệ luận văn tốt nghiệp mà thực sự đây là
đề tài mà em rất quan tâm và say mê nghiên cứu.
Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Pgs. Ts Đỗ
Đức Giáo là ngời trực tiếp, tận tình, chu đáo giảng dạy và hớng dẫn em hoàn
thành cuốn luận văn này. Nhân dịp này em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ, dạy bảo
tận tình của các thầy cô giáo, cán bộ Khoa Công Nghệ Thông Tin trờng Đại học
Dân lập Đông Đô và những bạn học đã đóng góp những ý kiến bổ ích cho bản
luận văn này.
Do trình độ hiểu biết còn hạn chế, thời gian chuẩn bị không nhiều, bản luận

văn này còn nhiều sai sót và cha đầy đủ, em rất mong nhận đợc sự góp ý của các
thầy cô và các bạn quan tâm.
Hà Nội 6/2000
Sinh viên: Phan Thanh Long
1
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
Giới thiệu đề tài
"Một số vấn đề ứng dụng của đồ thị trong Tin học" là đề tài mang tính nghiên
cứu lý thuyết, có tầm quan trọng và có ý nghĩa thiết thực cao. Khái niệm đồ thị ở
đây khác với những đồ thị thông thờng đã biết, đây là 1 lĩnh vực về lý thuyết đồ
thị nghiên cứu những cấu trúc mang tính rời rạc là 1 bộ phận quan trọng của Toán
học rời rạc.
Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng trong các ngành kỹ thuật và đã đợc nghiên
cứu nhiều với khối lợng kiến thức khá đồ sộ. Đề tài đợc thực hiện trớc tiên sẽ đề
cập tới những vấn đề chủ yếu của Lý thuyết đồ thị, sau đó tuỳ từng nội dung cũng
sẽ xoay quanh tới những ứng dụng của đồ thị trong Tin học, giải quyết các bài
toán trong Tin học nh xác định xem hai máy tính trong mạng có thể truyền tin đợc
hay không nhờ mô hình đồ thị của mạng máy tính, hay là bài toán nối mạng máy
tính sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất hoặc việc khắc phục những gói tin bị truyền
sai nhờ các giải thuật đã nghiên cứu về đồ thị. Có những ứng dụng của đồ thị
không đi trực tiếp vào các lĩnh vực trong Tin học, ví dụ nh bài toán lập lịch trong
công tác hành chính, xác định đờng đi ngắn nhất giữa 2 điểm nút giao thông, ta
cũng xem đó là ứng dụng 1 cách gián tiếp trong Tin học vì nếu đợc mô hình tốt
những bài toán đó bằng đồ thị thì sẽ giải quyết chúng dễ dàng bằng máy tính,
hoặc là về chơi cờ Ca rô tuy chỉ là môn chơi về trí tuệ nhng đồ thị cũng hỗ trợ tốt
cho nhng ai muốn lập trình chơi cờ Ca rô trên máy tính khi đã mô hình đợc các
thế cờ bằng đồ thị.
Đề tài đợc thực hiện xong bao gồm những nội dung sau đây:
Ch ơng 1 Một số vấn đề cơ bản của đồ thị
Nhằm trình bày những khái niệm cơ bản nhất về lý thuyết đồ thị, là cơ sở tìm

hiểu sâu sắc hơn các vấn đề tiếp theo. Ngoài các định nghĩa, tính chất cơ bản của
đồ thị, chơng này có trình bày đến 1 vấn đề quan trọng, đó là cách lu trữ, biểu
diễn và xử lý đồ thị trên máy tính khi đã xét những mô hình biểu diễn hình học.
Cấu trúc dữ liệu liên quan chặt chẽ đến giải thuật, việc biểu diễn đồ thị trên máy
tính nh thế nào sẽ ảnh hởng đến cách giải các bài toán ứng dụng bằng máy tính.
Trong chơng có trình bày một số phơng pháp biểu diễn đồ thị trên máy tính, mỗi
phơng pháp đều có những u và khuyết điểm riêng, vì vậy cần lựa chọn phơng pháp
sao cho phù hợp với đặc điểm từng bài toán và đạt đợc hiệu quả về thuật toán.
Khi đa các ví dụ minh họa, nhất là về phần đồ thị đặc biệt ta sẽ thấy đợc ứng
dụng của đồ thị trong mô hình về mạng máy tính.
2
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
Ch ơng 2 Số ổn định và tô màu đồ thị
Số ổn định của đồ thị bao gồm số ổn định trong, số ổn định ngoài và nhân đồ thị,
nghiên cứu vấn đề này ta sẽ thấy đợc mối quan hệ giữa các tập đỉnh của một đồ
thị. Một ứng dụng khá lý thú khi đề cập tới vấn đề này đó là xây dựng mô hình đồ
thị cho bài toán lập trình chơi cờ carô, có sử dụng đến tập ổn định ngoài của đồ
thị.
ở chơng này ta cũng sẽ gặp đến một ứng dụng khá thiết thực khi bàn đến vấn đề
tô màu của đồ thị, hay còn gọi là sắc số của đồ thị, ứng dụng đó là bài toán lập
lịch. Lập lịch là công tác hành chính phổ biến, hay gặp ở các cơ quan, xí nghiệp,
trờng học... cũng đã có nhiều sản phẩm phần mềm phục vụ cho việc lập lịch.
Ch ơng 3 Chu trình, đờng đi Euler và Hamilton trong đồ thị
Trình bày những khái niệm về chu trình Euler, đờng Euler, chu trình Hamilton,
đờng Hamilton các tính chất của chúng đồng thời đa ra 1 số thuật toán ứng dụng
để tìm các đờng, chu trình Euler, Hamilton.
Ch ơng 4 Đờng đi ngắn nhất trong đồ thị
Bài toán đờng đi ngắn nhất hay đợc đề cập tới trong lý thuyết đồ thị, đây cũng là
loại bài toán tối u có nhiều ứng dụng rộng rãi. Trong đồ thị thờng đặt ra các loại
tìm đờng đi ngắn nhất nh sau:

- Đờng đi ngắn nhất nhất giữa 1 cặp đỉnh đã đợc xác định trớc.
- Đờng đi ngắn nhất giữa 1 đỉnh với tất cả các đỉnh còn lại.
- Đờng đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh bất kỳ.
Để giải quyết các loại bài toán này, trong chơng sẽ trình bày 1 số thuật toán chính
hay đợc sử dụng nh: Dijkstra, Ford-Bellman và Floyd.
Về mặt ứng dụng, trong chơng sẽ nêu ra giải thuật Viterbi cho ứng dụng khá
quan trọng trong lĩnh vực Tin học đó sửa gói tin sai khi truyền tin trong mạng
máy tính.
Khi nói đến đờng đi ngắn nhất, ngời ta cũng hay nói đến mở rộng của bài toán đ-
ờng đi ngắn nhất thành đờng đi dài nhất. Trong vấn đề này ta lại có 1 ứng dụng
nữa trong công tác lập lịch, đó là sơ đồ mạng PERT cho việc lập dự án thi công
một công trình. ứng dụng này rất thực tiễn và đã đem lại nhiều hiệu quả cao cho
việc thi công một công trình.
Ch ơng 5 Một số vấn đề về cây
Đây là chơng cuối cùng và là chơng sẽ đề cập tới nhiều ứng dụng nhất. Cây là
một trờng hợp riêng của đồ thị, để nghiên cứu hết các tính chất, khái niệm về cây
3
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
cần cả 1 khối lợng kiến thức đồ sộ và đã có những đề tài cấp luận văn hoặc hơn
thế nữa nghiên cứu về cây. Trong chơng này chỉ đề cập tới những điểm chính
nhất, cơ bản nhất về cây và tập trung khai thác những ứng dụng của nó.
Những ứng dụng của cây thì rất nhiều, trong chơng chỉ đề cập tới những ứng
dụng cơ sở nhất nhng cũng thiết thực nhất, đó là 1 số ứng dụng của cây nhị phân
nh mã tiền tố, cây biểu diễn biểu thức, cây quyết định, cây sắp xếp và tìm kiếm.
Trong lý thuyết đồ thị, khi nói về cây thì cây bao trùm là vấn đề không thể thiếu,
vì đây cũng là đặc điểm rất hay của đồ thị. Trong cây bao trùm lại có cây bao
trùm bé nhất, lớn nhất và đây lại là 1 dạng của bài toán tối u. Trong chơng cũng sẽ
giới thiệu ứng dụng thực tiễn của cây bao trùm nhỏ nhất trong việc kết nối mạng
sao cho chi phí nhỏ nhất, đồng thời đa ra 1 số thuật toán tìm cây bao trùm, đặc
biệt có những thuật toán rất cơ sở đợc nêu ra, đợc dùng nhiều trong việc giải quyết

các bài toán đồ thị trên máy tính nh là kỹ thuật quay lui, tìm kiếm u tiên theo
chiều rộng và chiều sâu.
4