Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (LA tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
---------------------------------

NGUYỄN NGỌC HUYÊN

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN
VẾT NỨT DẦM FGM
Kiến nghị chỉnh sửa tên luận án thành:

“Phân tích phổ dao động của dầm FGM có vết nứt”
LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT

HÀ NỘI – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
---------------------------------

NGUYỄN NGỌC HUYÊN

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN

VẾT NỨT DẦM FGM

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS.TSKH. NGUYỄN TIẾN KHIÊM
2. TS. NGUYỄN ĐÌNH KIÊN

HÀ NỘI – 2017


i
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cám ơn các thầy hướng dẫn khoa học, GS. TSKH. Nguyễn
Tiến Khiêm và TS. Nguyễn Đình Kiên đã tận tâm hướng dẫn khoa học, động viên và
giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này.
Tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn tới sự quan tâm của Viện Cơ học, đặc biệt là các
đồng nghiệp trong Phòng Chẩn đoán kỹ thuật và sự ủng hộ của bạn bè đã giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm luận án.
Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn đến Trường Đại học Thuỷ lợi, Khoa Cơ khí
và gia đình đã động viên ủng hộ tôi trong thời gian làm luận án.
Tác giả luận án

Nguyễn Ngọc Huyên


ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả
nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.
Tác giả luận án

Nguyễn Ngọc Huyên


iii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................................i
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................... ii
MỤC LỤC…. ................................................................................................................ iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .....................................................v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ...................................................................................... vii
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU................................................................................. xii
MỞ ĐẦU……. ................................................................................................................1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ...........................................................................................4
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) ........................................................................4
1.1.1. Vật liệu FGM .................................................................................................4
1.1.2. Phân loại vật liệu FGM ..................................................................................5
1.1.3. Ứng dụng vật liệu FGM .................................................................................6
1.2. Tổng quan về dao động của dầm FGM ................................................................6
1.2.1. Tóm lƣợc về lý thuyết dầm ............................................................................6
1.2.2. Tổng quan về các phƣơng pháp nghiên cứu dao động của dầm FGM ..........7
1.2.3. Dầm FGM có vết nứt ...................................................................................11
1.3. Định hƣớng nghiên cứu ......................................................................................15
CHƢƠNG 2. DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM TIMOSHENKO CÓ VẾT NỨT ..........18
2.1. Phƣơng trình chuyển động [28] ..........................................................................19

2.2. Các đặc trƣng dao động của dầm FGM ..............................................................20
2.2.1. Tần số và dạng dao động riêng .....................................................................20
2.2.2. Ma trận truyền – Đáp ứng tần số ..................................................................22
2.2.3. Ma trận độ cứng động [41] ...........................................................................25
2.3. Dao động của dầm FGM có vết nứt [26] ............................................................26
2.3.1. Mô hình vết nứt trong dầm FGM .................................................................26
2.3.2. Phƣơng trình đặc trƣng .................................................................................28
2.3.3. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM ................................................31
Kết luận Chƣơng 2 .....................................................................................................35
CHƢƠNG 3. SỰ TƢƠNG TÁC GIỮA DAO ĐỘNG DỌC TRỤC VÀ DAO ĐỘNG
UỐN TRONG DẦM FGM .....................................................................36
3.1. Điều kiện không tƣơng tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn ................36


iv
3.2. Dao động uốn thuần túy của dầm FGM .............................................................41
3.3. Các đặc trƣng sóng của dầm FGM .....................................................................48
Kết luận Chƣơng 3 .....................................................................................................55
CHƢƠNG 4. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN ..........................................................57
4.1. Tần số và dạng dao động riêng ...........................................................................57
4.2. Hàm đáp ứng tần số ............................................................................................64
4.3. Ảnh hƣởng của vết nứt đến tần số và dạng dao động riêng ...............................71
4.3.1. So sánh nghiên cứu ......................................................................................71
4.3.2. Ảnh hƣởng của vết nứt đến tần số riêng ......................................................75
4.4. Lời giải bài toán chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng ........................................85
Kết luận Chƣơng 4 .....................................................................................................86
KẾT LUẬN CHUNG ....................................................................................................88
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ HOÀN THÀNH VÀ ĐƢỢC CÔNG BỐ..............89
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................90

v
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
E, Eb, Et, E0 = (Et + Eb)/2 – là mô đun đàn hồi của các pha vật liệu, (t – mặt trên, b –
mặt dƣới).
Re = Et/Eb – là tỷ số mô đun đàn hồi của các pha vật liệu (trên/dƣới).

, t, b, 0 = (t + b)/2 – là mật độ khối của các pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt
dƣới).
R = t/b – là tỷ số mật độ khối của các pha vật liệu (trên/dƣới).
G, Gb, Gt, G 

E
– là mô đun trƣợt tính từ mô đun đàn hồi của các pha vật liệu.
2(1   )

L, b, h – là chiều dài, chiều rộng, và chiều cao của dầm.

 - là hệ số Poisson.
 - là hệ số điều chỉnh biến dạng trƣợt.
r = Re/R - là hệ số tỷ lệ của vật liệu.
h0 – là vị trí trục trung hòa tính từ trục giữa của dầm.
n – là chỉ số phân bố vật liệu (số mũ trong quy luật hàm lũy thừa).

I12 

n( R  1)
(n  2)(n  1)( R   n)



2h0
- là hệ số tƣơng tác.
h(n  1)

u(x, t), w(x, t) – là chuyển vị của điểm nằm trên mặt trung hòa.

(x, t) – là góc xoay của tiết diện ngang.
U(x, ), W(x, ), Θ(x, ) – là biến đổi Phuriê (biên độ phức) của chuyển vị và góc
xoay.
N(x, t), M(x, t), Q(x, t) – là lực dọc trục, mô men uốn và lực cắt của mặt cắt tại vị trí x.
N ( x, ), M ( x, ), Q( x, ) – là biên độ phức của nội lực.

λj – là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng.
kj – là số sóng.

 j L2 b
j,  j 
– là tần số riêng và tần số riêng chuẩn hóa.
h
Eb
e, a – là vị trí và độ sâu vết nứt.
T, R – là độ cứng lò xo dọc trục và lò xo xoắn mô tả vết nứt.


vi
1 

EA
EI

- là độ lớn vết nứt đƣợc tính từ độ sâu vết nứt.
, 2 
T
R

 10 

E0 A
EI
,  20  0 - là độ lớn vết nứt của dầm đồng chất.
T
R

haa , hbb , hab, hba - lần lƣợt là các hàm đáp ứng tần số đơn (với các chỉ số aa và bb) và
chéo (với các chỉ số ab và ba) của dao động dọc trục (a) và dao động
uốn (b).
FGM – vật liệu cơ tính biến thiên nói chung (Functionally Graded Material).
P-FGM – vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa.
S-FGM – vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm Sigmoid.
E-FGM – vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm số mũ.
PGF Beam – ký hiệu dầm FGM tỷ lệ (khi R = Re).
B0, BL – là toán tử biểu diễn điều kiện biên động học.


vii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Sơ đồ hình học một tấm vật liệu FGM đặc trƣng thay đổi theo chiều dày. ....5
Hình 2.1. Mô hình dầm FGM. .......................................................................................18
Hình 2.2. Mô hình dầm FGM có vết nứt. ......................................................................26
Hình 2.3. Mô hình vết nứt trong dầm FGM. .................................................................27

Hình 3.1. Vị trí trục trung hoà phụ thuộc vào số mũ n với các giá trị tỷ số mô đun đàn
hồi khác nhau. ..............................................................................................37
Hình 3.2. Vị trí trục trung hoà phụ thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi với các số mũ n
khác nhau. ....................................................................................................37
Hình 3.3. Hệ số tƣơng tác I12 là hàm của vị trí trục trung hoà với n = 4 và các tỷ số mật
độ khối khác nhau. .......................................................................................39
Hình 3.4. Hệ số tƣơng tác I12 là hàm của vị trí trục trung hoà với r = 10 và các chỉ số
mũ n khác nhau. ...........................................................................................40
Hình 3.5. Tần số cắt chuẩn hoá độc lập phụ thuộc phụ thuộc tỷ số r với các chỉ số phân
bố vật liệu n khác nhau. ...............................................................................44
Hình 3.6. Tần số cắt chuẩn hoá độc lập phụ thuộc phụ thuộc vào tỷ số r với các giá trị
của độ mảnh L/h khác nhau của dầm. .........................................................45
Hình 3.7. Tần số riêng chuẩn hoá độc lập của dần FGM phụ thuộc vào tỷ số r với các
giá trị n khác nhau. ......................................................................................46
Hình 3.8. Tần số riêng chuẩn hoá độc lập của dần FGM phụ thuộc vào tỷ số r với các
giá trị của độ mảnh L/h khác nhau. .............................................................46
Hình 3.9. Dạng dao động thứ nhất phụ thuộc vào độ mảnh L/h của dầm. ....................47
Hình 3.10. Dạng dao động thứ hai phụ thuộc vào độ mảnh L/h của dầm. ....................47
Hình 3.11. Dạng dao động thứ ba phụ thuộc vào độ mảnh L/h của dầm. .....................47
Hình 3.12. Đặc trƣng phổ của sóng dọc trục với chỉ số phân bố vật liệu n thay đổi, độ
mảnh L/h = 5. ...............................................................................................50
Hình 3.13. Đặc trƣng phổ của sóng dọc trục với n =10 và các độ mảnh khác nhau. ....50


viii
Hình 3.14. Đặc trƣng phổ của sóng uốn khi L/h = 5 và các chỉ số phân bố vật liệu n
khác nhau. ....................................................................................................51
Hình 3.15. Đặc trƣng phổ của sóng uốn khi n = 10 và các độ mảnh khác nhau của dầm.
.....................................................................................................................51
Hình 3.16. Đặc trƣng phổ của sóng ngang với L/h = 5 và các chỉ số phân bố vật liệu n

khác nhau. ....................................................................................................52
Hình 3.17. Đặc trƣng phổ của sóng ngang với n = 5 và các độ mảnh khác nhau của
dầm. .............................................................................................................52
Hình 3.18. Tần số cắt phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu với sự thay đổi của tỷ số
mô đun đàn hồi của vật liệu.........................................................................53
Hình 3.19. Tần số cắt phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu với sự thay đổi của tỷ số
mật độ khối. .................................................................................................54
Hình 3.20. Hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu với sự thay đổi của
tỷ số mô đun đàn hồi của vật liệu. ...............................................................54
Hình 3.21. Hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu với sự thay đổi của
tỷ số mật độ khối lƣợng. ..............................................................................55
Hình 4.1. Sự thay đổi của các tần số riêng chuẩn hoá theo tỉ số mô đun đàn hồi với các
số mũ n khác nhau. ......................................................................................59
Hình 4.2. Sự thay đổi của các tần số riêng chuẩn hoá theo tỷ số mật độ khối với các số
mũ n khác nhau. ...........................................................................................59
Hình 4.3. Sự biến thiên của tần số riêng chuẩn hóa thứ nhất (uốn) theo số mũ n với các
giá trị độ mảnh L/h khác nhau. ....................................................................60
Hình 4.4. Sự biến thiên của các tần số riêng chuẩn hóa thứ ba (dọc trục) theo số mũ n
với các giá trị độ mảnh L/h khác nhau. .......................................................60
Hình 4.5. Các tần số riêng đƣợc chuẩn hoá theo sự thay đổi vị trí của trục trung hoà
với các số mũ n khác nhau. .........................................................................61
Hình 4.6. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 5. ......62
Hình 4.7. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 10. ....62


ix
Hình 4.8. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 20. ....63
Hình 4.9. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 30. ....63
Hình 4.10. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 100. 64
Hình 4.11. Hàm đáp ứng tần số đơn dọc trục với các tỉ số độ mảnh khác nhau. ..........65

Hình 4.12. Hàm đáp ứng tần số đơn uốn với các tỷ số độ mảnh khác nhau. ................65
Hình 4.13. Hàm đáp ứng tần số chéo dọc trục-uốn với tỉ số độ mảnh khác nhau. ........66
Hình 4.14. Hàm đáp ứng tần số chéo uốn-dọc trục với tỉ số độ mảnh khác nhau. ........66
Hình 4.15. Hàm đáp ứng tần số đơn uốn với các chỉ số phân bố vật liệu n khác nhau. 67
Hình 4.16. Hàm đáp ứng tần số dọc đơn trục với các chỉ số phân bố vật liệu n khác
nhau. ............................................................................................................67
Hình 4.17. Hàm đáp ứng tần số chéo dọc trục – uốn với các chỉ số phân bố vật liệu n
khác nhau. ....................................................................................................68
Hình 4.18. Hàm đáp ứng tần số chéo uốn – dọc trục với các chỉ số phân bố vật liệu n
khác nhau. ....................................................................................................68
Hình 4.19. Hàm đáp ứng tần số đơn uốn với các tỉ số mô đun đàn hồi khác nhau. ......69
Hình 4.20. Hàm đáp ứng tần số đơn dọc trục với các tỉ số mô đun đàn hồi khác nhau.
.....................................................................................................................69
Hình 4.21. Hàm đáp ứng tần số chéo uốn với các tỉ số mô đun đàn hồi khác nhau. ....70
Hình 4.22. Hàm đáp ứng tần số chéo dọc trục với các tỉ số mô đun đàn hồi khác nhau.
.....................................................................................................................70
Hình 4.23. So sánh của các tỉ số tần số với các kết quả sử dụng phƣơng pháp phần tử
hữu hạn của tác giả Banerjee và cộng sự [7] đối với dầm ngàm hai đầu với
Eb/Et = 0.2 độ sâu vết nứt 30%; đƣờng nét liền - phƣơng pháp của luận án;
đƣờng nét đứt – phƣơng pháp phần tử hữu hạn. .........................................73
Hình 4.24. So sánh của các tỉ số tần số với các kết quả sử dụng phƣơng pháp phần tử
hữu hạn của tác giả Banerjee và cộng sự [7] đối với dầm ngàm hai đầu với
Eb/Et = 5.0; độ sâu vết nứt 30%; đƣờng nét liền - phƣơng pháp của luận án;
đƣờng nét đứt – phƣơng pháp phần tử hữu hạn. .........................................74


x
Hình 4.25. Tỉ số tần số cơ bản của dầm ngàm hai đầu so sánh với các kết quả thu đƣợc
của tác giả Yang và Chen [58]; Độ sâu vết nứt a/h = 20%. ........................74
Hình 4.26. Sự thay đổi của tần số riêng thứ nhất phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt

(5%-30%) và tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 & 5.0 đối với dầm FGM ngàm
hai đầu với L/h = 10, n = 0.5. ......................................................................75
Hình 4.27. Sự thay đổi của các tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt
(5%-30%) và tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 & 5.0 đối với dầm FGM ngàm
hai đầu với L/h = 10, n = 0.5. ......................................................................76
Hình 4.28. Sự thay đổi của các tần số riêng thứ ba phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt
(5%-30%) và tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 & 5.0 đối với dầm FGM ngàm
hai đầu với L/h = 10, n = 0.5. ......................................................................76
Hình 4.29. Sự thay đổi của các tần số riêng thứ nhất phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt
(5%-30%) và tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 đối với dầm FGM ngàm hai đầu
với L/h = 10, n = 0.5 và 5. ...........................................................................77
Hình 4.30. Sự thay đổi của các tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt
(5%-30%) và tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 đối với dầm FGM ngàm hai đầu
với L/h = 10, n = 0.5 và 5.0. ........................................................................77
Hình 4.31. Sự thay đổi của các tần số riêng thứ ba phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt
(5%-30%) và tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 đối với dầm FGM ngàm hai đầu
với L/h = 10, n = 0.5 và 5.0. ........................................................................78
Hình 4.32. Ảnh hƣởng của tần số riêng thứ nhất phụ thuộc vào tỉ số mô đun đàn hồi
Re = (0.2 – 10) và n = 0.5; 5.0 đối với dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, và
a/h = 20%. ...................................................................................................78
Hình 4.33. Ảnh hƣởng của tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào tỉ số mô đun đàn hồi
Re = (0.2 – 10) và n = 0.5; 5.0 đối với dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, và
a/h = 20%. ...................................................................................................79
Hình 4.34. Ảnh hƣởng của tần số riêng thứ ba phụ thuộc vào tỉ số mô đun đàn hồi
Re = (0.2 – 10) và n = 0.5; 5.0 đối với dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, và
a/h = 20%. ...................................................................................................79


xi
Hình 4.35. Ảnh hƣởng của tần số riêng thứ nhất phụ thuộc vào vị trí vết nứt với

n = (0.2 – 10) và Re = 0.2; 5.0 đối với dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, và
a/h = 20%. ...................................................................................................80
Hình 4.36. Ảnh hƣởng của tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào vị trí vết nứt với
n = (0.2 – 10) và Re = 0.2; 5.0 đối với dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, và
a/h = 20%. ...................................................................................................80
Hình 4.37. Ảnh hƣởng của tần số riêng thứ ba phụ thuộc vào vị trí vết nứt với
n = (0.2 – 10) và Re = 0.2; 5.0 đối với dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, và
a/h = 20%. ...................................................................................................81
Hình 4.38. Sự thay đổi của tần số riêng thứ nhất thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 5-50
của dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2&5.0, n = 5.0 và độ sâu vết nứt
a/h = 20%. ...................................................................................................81
Hình 4.39. Sự thay đổi của tần số riêng thứ hai thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 5-50 của
dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2&5.0, n = 5.0 và độ sâu vết nứt a/h = 20%.
.....................................................................................................................82
Hình 4.40. Sự thay đổi của tần số riêng thứ ba thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 5-50 của
dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2&5.0, n = 5.0 và độ sâu vết nứt a/h = 20%.
.....................................................................................................................82
Hình 4.41. Sự thay đổi của tần số riêng thứ nhất thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 5-50
của dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2, n = 0.5&5.0 và độ sâu vết nứt
a/h = 20%.....................................................................................................83
Hình 4.42. Sự thay đổi của tần số riêng thứ hai thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 5-50 của
dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2, n = 0.5&5.0 và độ sâu vết nứt a/h = 20%.
.....................................................................................................................83
Hình 4.43. Sự thay đổi của tần số riêng thứ ba thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 5-50
của dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2, n = 0.5&5.0 và độ sâu vết nứt
a/h = 20%. ...................................................................................................84


xii
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1. So sánh các tần số riêng đối với dầmTimoshenko. .......................................44
Bảng 4.1. So sánh các tần số riêng chuẩn hóa của dầm đơn FGM Timoshenko…… 58
Bảng 4.2. So sánh các tần số riêng không thứ nguyên của dầm FGM nguyên vẹn chịu
liên kết đơn………………………………………………………………... 72
Bảng 4.3. Nghiệm của phƣơng trình (4.2) và các điểm tới hạn đối với dầm FGM
Timoshenko ngàm hai đầu………………………………………………. 84
Bảng 4.4. Xác định vị trí và chiều sâu vết nứt phụ thuộc vào tỉ số độ mảnh với dầm
ngàm hai đầu có các vết nứt khác nhau…………………………………. 85


1
MỞ ĐẦU
Vật liệu có cơ tính biến thiên (tiếng Anh là FGM – Functionally Graded Material,
gọi tắt là vật liệu FGM) là một loại vật liệu composite mới đƣợc cấu thành chủ yếu bởi
hai loại vật liệu: kim loại và gốm với tỷ lệ thể tích biến đổi một cách liên tục theo một
chiều nào đó của kết cấu, ví dụ nhƣ chiều cao hoặc chiều dài của dầm. Do sự biến đổi
liên tục nên vật liệu mới này có những tính năng vƣợt trội so với các loại composite
lớp khác. Cụ thể là nó tránh đƣợc sự tập trung ứng suất, sự bong tách lớp, v.v… đặc
biệt do sự kết hợp một cách liên tục nên các tính năng của các thành phần đƣợc phát
huy tối đa. Ví dụ, gốm có độ cứng cao, chịu nhiệt tốt nhƣng lại dòn dễ vỡ, trong khi đó
kim loại thì có tính dẻo và dai chịu mài mòn tốt, khó bị phá hủy. Các ƣu điểm nổi trội
này của hai thành phần làm cho vật liệu FGM có đƣợc những tính chất ƣu việt tổng
hợp.
Do vật liệu FGM đang đƣợc sử dụng nhiều trong các ngành công nghệ cao nhƣ
công nghệ vũ trụ; chế tạo máy hay cả các vật dụng gia dụng trong cuộc sống nhƣ bát
đĩa hay các đồ dùng khác, các bài toán dao động của kết cấu FGM cũng đang đƣợc
quan tâm nghiên cứu. Lúc đầu, bài toán dao động của kết cấu FGM đƣợc nghiên cứu
bằng các phƣơng pháp giải tích gần đúng cho kết cấu đơn giản. Nhƣng đối với các kết
cấu phức tạp hơn, phƣơng pháp phần tử hữu hạn đã đƣợc áp dụng. Do nhu cầu nghiên
cứu bài toán truyền sóng trong vật liệu FGM, phƣơng pháp độ cứng động và phƣơng

pháp phần tử phổ đã đƣợc nghiên cứu áp dụng cho kết cấu dầm FGM. Gần đây, một số
tác giả đã bắt đầu nghiên cứu sự phá hủy của kết cấu FGM và dao động của dầm có
vết nứt và bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM đã đƣợc khởi động nghiên cứu.
Tuy nhiên, những nghiên cứu về dao động của dầm FGM bị nứt và chẩn đoán vết nứt
trong dầm FGM còn rất ít đƣợc quan tâm.
Luận án này đặt vấn đề nghiên cứu dao động của dầm FGM có vết nứt phục vụ
việc tính toán và chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng các đặc trƣng động lực học.
Mục tiêu của luận án là xây dựng cách tiếp cận phổ để phân tích dao động và
nhận dạng các dầm FGM có vết nứt.
Đối tượng nghiên cứu của luận án là dầm Timoshenko cơ tính biến thiên liên tục
theo chiều dầy và theo quy luật hàm số lũy thừa.


2
Nội dung nghiên cứu của luận án bao gồm: Xây dựng các phƣơng trình cơ bản
mô tả dao động của dầm FGM trong miền tần số; Nghiên cứu sự tƣơng tác giữa dao
động dọc trục và dao động uốn và một số đặc trƣng truyền sóng trong dầm; Xây dựng
mô hình dầm chứa một vết nứt sử dụng mô hình hai lò xo và phân tích ảnh hƣởng của
vết nứt cùng với các tham số vật liệu đối với tần số riêng của dầm; Đề xuất thuật toán
để chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng tần số riêng và kiểm nghiệm kết quả bằng
thử nghiệm số.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của luận án là phƣơng pháp giải tích đƣợc
minh họa bằng các kết quả số.
Luận án bao gồm phần mở đầu và các chƣơng sau:
Chương 1 trình bày tổng quan về vật liệu FGM, ứng dụng của vật liệu, bài toán
dao động của dầm FGM, bài toán vết nứt trong dao động của dầm.
Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết dao động của dầm FGM trong miền tần số và
bài toán nhận dạng vết nứt bằng tần số riêng.
Chương 3 nghiên cứu một số đặc trƣng sóng của dầm FGM và sự tƣơng tác giữa
sóng ngang và sóng dọc trong dầm FGM.

Chương 4 trình bày các kết quả tính toán số để minh họa cho các kết quả giải
tích.
Kết luận chung trình bày những kết quả chính đã thu đƣợc của luận án và đề xuất
một số vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu.
Những đóng góp mới của luận án có thể được tóm tắt như sau:
1. Đã xây dựng đƣợc lời giải cho bài toán dao động riêng; biểu thức của hàm đáp ứng
tần số và ma trận độ cứng động cho dầm Timoshenko làm bằng vật liệu có cơ tính
biến thiên (gọi tắt là dầm FGM) dựa trên quy luật biến đổi các đặc trƣng vật liệu là
hàm lũy thừa và tính đến vị trí thực của trục trung hòa trong dầm FGM (nói chung
là khác với trục giữa dầm) [Công bố số 1, 6].
2. Đã tìm đƣợc điều kiện để dao động dọc trục và dao động uốn của dầm FGM không
tƣơng tác với nhau. Từ đó đƣa ra khái niệm dầm FGM tỷ lệ bao gồm cả dầm đồng
nhất và nghiên cứu một số đặc trƣng truyền sóng của dầm Timosshenko FGM phụ
thuộc vào các tham số vật liệu [Công bố số 2, 4].


3
3. Đã xây dựng đƣợc mô hình của dầm FGM có vết nứt sử dụng hai lò xo dọc trục và
lò xo xoắn để mô tả vết nứt dừng (không phát triển) trong dầm FGM và tìm đƣợc
lời giải giải tích về dao động của dầm FGM có một vết nứt [Công bố số 3, 5, 7].
4. Sử dụng mô hình giải tích cho dầm FGM có vết nứt nêu trên, đã phân tích chi tiết
ảnh hƣởng của các tham số vật liệu, hình học và vết nứt đến tần số dao động riêng
của dầm FGM và đề xuất một phƣơng pháp giải tích để xác định một vết nứt trong
dầm FGM bằng các tần số riêng [Công bố số 3].


4
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên (FGM)
1.1.1. Vật liệu FGM

Vật liệu Composite hiện đang đƣợc ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành công
nghiệp tiên tiến trên thế giới nhƣ: hàng không, vũ trụ; đóng tàu; ô tô, cơ khí, xây dựng,
đồ gia dụng... do có nhiều ƣu điểm nổi trội so với kim loại: nhẹ, độ bền, mô đun đàn
hồi cao, khả năng cách nhiệt, cách âm tốt. Vật liệu Composite là loại vật liệu đƣợc tổ
hợp từ hai hay nhiều pha vật liệu khác nhau, có tính chất rất khác nhau [5]. Vật liệu
composite lớp là loại đƣợc sử dụng phổ biến, những lớp vật liệu đàn hồi đồng nhất gắn
kết với nhau nhằm nâng cao đặc tính cơ học. Tuy nhiên, sự thay đổi đột ngột đặc tính
vật liệu tại mặt tiếp giáp giữa các lớp dễ phát sinh ứng suất tiếp xúc lớn tại mặt này
gây tách lớp. Một trong những giải pháp khắc phục nhƣợc điểm này của vật liệu
composite lớp là sử dụng vật liệu có cơ tính biến thiên - Functionally Graded Materials
(FGMs) [61].
Vật liệu FGM - là một loại composite mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ
mặt này sang mặt khác do đó làm giảm ứng suất tập trung thƣờng gặp trong các loại
composite lớp. Sự thay đổi dần dần đặc tính của vật liệu sẽ làm giảm ứng suất nhiệt,
ứng suất tập trung và ứng suất dƣ; Vật liệu FGM là một tổ hợp các thành phần vật liệu
khác nhau gọi là các Maxel (thép, Mg2Si, gốm, Ni, Cr, Co, Al…) phân bố trong môi
trƣờng vật liệu theo một trật tự nhất định [13].
Đặc biệt, trong một số trƣờng hợp bề mặt chịu nhiệt độ cao nhƣ bề mặt của tàu
không gian – máy bay ƣớc tính có thể đạt tới 2100 K. Do đó, vật liệu ở bề mặt phải
chịu đƣợc nhiệt độ cao tới 2100 K và sự chênh lệch nhiệt độ có thể lên tới 1600 K,
trong trƣờng hợp này thƣờng sử dụng các vật liệu gốm chịu nhiệt ở bề mặt nhiệt độ
cao và các loại thép có độ bền cao với độ dẫn nhiệt cao ở bề mặt có nhiệt độ thấp tạo
ra sự biến thiên dần dần từ gốm tới kim loại. Do đó FGMs là loại vật liệu đƣợc bố trí
các thành phần hợp thành theo một hƣớng thống nhất, các thành phần này là các vật
liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và đƣợc làm từ các thành tố đẳng hƣớng nhƣ kim
loại, gốm nên vật liệu FGMs dễ tạo ra các kết cấu tấm, vỏ đƣợc ứng dụng ở những nơi
có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay
rung động [17].

5
1.1.2. Phân loại vật liệu FGM
Tuỳ thuộc vào quy luật phân bố các maxel trong không gian khối vật liệu, ta chế
tạo đƣợc các loại vật liệu FGM khác nhau. Mỗi loại vật liệu FGM này có chỉ tiêu cơ-lý
đặc trƣng bởi một hàm thuộc tính vật liệu (hàm đặc trƣng) xác định, giá trị của hàm
thay đổi theo chiều dày. Sử dụng quy luật toán học của hàm thuộc tính vật liệu dùng
để phân loại vật liệu. Xét một tấm hình chữ nhật làm bằng vật liệu FGM nhƣ hình vẽ.
Vật liệu FGM
E = E(z), G = G(z),  = (z)

x

h/2
h/2
y

z

Hình 1.1. Sơ đồ hình học một tấm vật liệu FGM đặc trƣng thay đổi theo chiều dày.

Hàm đặc trƣng cho các đặc trƣng vật liệu của tấm đƣợc biểu diễn nhƣ sau:

V ( z)  Vb  (Vt  Vb ) g ( z)

(1.1)

Trong đó V(z) biểu diễn các đại lƣợng E, G,  và các chỉ số dƣới b và t ký hiệu
các pha vật liệu khác nhau (b – vật liệu ở mặt dƣới và t – vật liệu ở mặt trên). Hàm g(z)
mô tả tỷ lệ thể tích của các pha vật liệu khác nhau đƣợc sử dụng để phân loại các vật
liệu FGM nhƣ sau. Hiện tại ngƣời ta phân biệt 3 loại cơ bản sau đây:

a) Loại P-FGM
Hàm tỷ lệ thể tích đƣợc giả thiết tuân theo quy luật hàm luỹ thừa [55]:

 zh 2
g ( z)  

 h 
Trong đó:

n

(1.2)

n là chỉ số phân bố vật liệu, không âm:
z là toạ độ điểm nghiên cứu: h / 2  z  h / 2 (Hình 1.1).

b) Loại S-FGM
Hàm tỷ lệ thể tích đƣợc giả thiết tuân theo quy luật hàm Sigmoid (sử dụng 2 quy
luật hàm mũ cho 2 miền):

1h/2 z 
g1 ( z )  1  

2 h/ 2 

n

với 0  z  h / 2

(1.3)

6

1 h/ 2 z 
g2 ( z)  

2 h/ 2 

n

với h / 2  z  0

(1.4)

c) Loại E-FGM
Môđun đàn hồi của loại vật liệu FGM này đƣợc giả thiết tuân theo quy luật hàm
số mũ [37] (hàm e mũ):
1 E 
E ( z )  Et e  (12 z / h ) ,   ln  t 
2  Eb 

(1.5)

1.1.3. Ứng dụng vật liệu FGM
Vật liệu FGM có thể đƣợc ứng dụng đối với hầu hết các lĩnh vực vật liệu. Ví dụ
nhƣ các hệ thống giao thông, các hệ thống biến đổi năng lƣợng, dụng cụ cắt, bộ phận
máy móc, chất bán dẫn, quang học và các hệ thống sinh học. Các ứng dụng trong
ngành hàng không vũ trụ, năng lƣợng hạt nhân yêu cầu độ tin cậy cao trong khi đó
trong các ứng dụng khác nhƣ các dụng cụ cắt, các trục cán nhiệt độ cao và các chi tiết

máy lại yêu cầu về độ mài mòn, nhiệt, va chạm, và độ ăn mòn. Những ứng dụng cụ thể
có thể xem trong các tài liệu [14, 15, 19, 20, 22, 43, 45, 46].
1.2. Tổng quan về dao động của dầm FGM
1.2.1. Tóm lược về lý thuyết dầm
Nhƣ chúng ta đã biết, dầm là một dạng kết cấu đơn giản nhất, đƣợc xác định khi
có một kích thƣớc lớn hơn nhiều các kích thƣớc còn lại. Khi đó biến không gian duy
nhất của kết cấu là toạ độ theo kích thƣớc lớn nhất gọi là chiều dài của dầm (L). Hai
kích thƣớc còn lại gọi là chiều rộng (b) và chiều cao (h) của dầm. Nếu tiết diện ngang
là hình tròn thì chỉ có một kích thƣớc đặc trƣng khác là bán kính tiết diện (R). Do đó
ngƣời ta còn gọi dầm là kết cấu một chiều và chỉ xét chủ yếu là dao động uốn của dầm.
Xét một dầm phẳng, trƣờng chuyển vị của điểm trong một mặt cắt tại x là chuyển
vị dọc trục x: u ( x, z, t ) và chuyển vị ngang do uốn w( x, z, t ) . Dựa trên các giả thiết
khác nhau về trạng thái ứng suất biến dạng, ngƣời ta có thể đƣa ra các mối quan hệ sau
đây:

u ( x, z, t )  u ( x, t )  zw( x, t )   ( z ) ( x, t )
w( x, z, t )  w( x, t )

,

(1.6)


7
trong đó u(x, t), w(x, t) là chuyển vị dọc và ngang của điểm thuộc trục trung hoà, (x,t)
là góc trƣợt do uốn, z là chiều cao của điểm đang xét so với mặt trung hoà. Hàm số

(z), mô tả phân bố biến dạng trƣợt do uốn theo chiều cao, đƣợc chọn nhƣ sau:
(a)

 ( z )  0 - dầm Euler-Bernoulli thông thƣờng (Lý thuyết dầm cổ điển);

(b)

 ( z )  z - dầm Timoshenko hay lý thuyết dầm biến dạng trƣợt bậc nhất;

(c)

 ( z )  z 1 

(d)

 ( z )  z e{2( z / h) } - lý thuyết dầm biến dạng trƣợt dạng e-mũ.




4z2 
 - dầm biến dạng trƣợt dạng parabol (bậc 2);
3h 2 
2

Trong dao động của dầm FGM, ngƣời ta nghiên cứu chủ yếu là dầm EulerBernoulli và dầm Timoshenko. Gần đây đã có những nghiên cứu dầm biến dạng trƣợt
bậc cao hơn (Higher-order Shear Deformation Beam Theory –HSDBT).
1.2.2. Tổng quan về các phương pháp nghiên cứu dao động của dầm FGM
Dao động của kết cấu làm từ vật liệu FGM đã đƣợc nghiên cứu khá nhiều, đặc biệt
gần đây mới xuất bản một chuyên khảo về Dao động của dầm và tấm FGM [10]. Ngƣời
đọc quan tâm sâu về lĩnh vực này có thể xem danh sách tài liệu tham khảo của chuyên
khảo nêu trên. Ở đây, tác giả sẽ trình bày ngắn gọn tổng quan về các nghiên cứu chính
về dao động của dầm FGM đƣợc phân loại theo các phƣơng pháp nghiên cứu.

Phương pháp giải tích. Li [40] đã chỉ ra rằng, nếu bỏ qua chuyển vị dọc trục

u( x, t )  0 , thì phƣơng trình chuyển động của dầm FGM có dạng hoàn toàn tƣơng tự
nhƣ phƣơng trình chuyển động của dầm Timoshenko đồng chất chỉ khác nhau ở các hệ
số của phƣơng trình. Tác giả đã nghiên cứu sự truyền sóng và dao động riêng của dầm
làm từ hai loại vật liệu thép và nhôm trong hai trƣờng hợp: vật liệu thay đổi từng bƣớc
(hằng số trong từng lớp vật liệu) và thay đổi liên tục theo quy luật hàm luỹ thừa. Kết
quả cho thấy tần số riêng tăng dần theo số lớp và trƣờng hợp FGM tƣơng ứng với số
lớp bằng ∞. Ngoài ra, tác giả còn nghiên cứu sự phụ thuộc của các tần số riêng vào
tham số vật liệu theo quy luật hàm luỹ thừa.
Sina và cộng sự [49] đã xây dựng hệ phƣơng trình chuyển động đầy đủ của dầm
FGM cho cả ba chuyển vị u( x, t ),  ( x, t ), w( x, t ) (dọc trục, góc xoay và uốn) và nhận
đƣợc các phƣơng trình đặc trƣng, phƣơng trình tần số của dầm FGM ở dạng tổng quát.
Sử dụng các phƣơng trình nhận đƣợc, các tác giả đã so sánh tần số và dạng dao động


8
riêng của dầm theo các lý thuyết khác nhau. Tuy nhiên, các tác giả này chƣa tính đến
vị trí thực của mặt trung hòa.
Phương pháp Rayleigh-Ritz. Pradhan và Chakraverty [44] đã phát triển phƣơng
pháp Rayleigh-Ritz để nghiên cứu dao động của dầm FGM và thiết lập đƣợc phƣơng
trình

[K   2M]q  0

(1.7)

để tìm tần số và dạng dao động riêng của dầm. Sử dụng phƣơng trình (1.7) tác giả đã
nghiên cứu chi tiết tần số dao động riêng của dầm FGM với các điều kiện biên khác
nhau dựa trên các lý thuyết dầm khác nhau. Kết quả cho thấy các tham số vật liệu và

các lý thuyết dầm đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán các đặc trƣng dao động
của dầm FGM. Tác giả đã nghiên cứu sự phụ thuộc của 5 tần số riêng đầu tiên vào độ
mảnh của dầm và số mũ n trong quy luật biến đổi của FGM theo hàm lũy thừa.
Simsek [47, 48] đã sử dụng phƣơng pháp Ritz để nghiên cứu dao động của dầm
FGM chịu tác dụng của tải trọng di động dựa trên các lý thuyết dầm khác nhau. Tác
giả đã nghiên cứu đáp ứng động lực học của dầm FGM làm từ nhôm và ô-xit nhôm
theo ba lý thuyết dầm: Euler-Bernoulli (EBT); Timoshenko (TBT) và lý thuyết biến
dạng trƣợt bậc 3 (TSDT). Kết quả cho thấy ba lý thuyết dầm nêu trên cho độ võng
động của dầm FGM dƣới tác động của khối lƣợng di động gần nhƣ nhau khi độ mảnh
L/h = 20. Trong khi đó hai lý thuyết TBT và TSDT cho kết quả tƣơng tự nhau, nhƣng
khác hẳn với lý thuyết EBT khi L/h = 5. Ngƣợc lại, ứng suất động nhận đƣợc theo hai
lý thuyết TBT và TSDT lại khác nhau khi L/h = 5. Ngoài ra kết quả này cho thấy, tính
toán theo lý thuyết EBT cho kết quả an toàn hơn khi độ mảnh của dầm lớn. Tác giả
đồng thời cũng chỉ ra rằng chuyển vị dọc trục độc lập với chuyển vị uốn khi dầm là
đồng chất và tham số mũ của quy luật biến đổi vật liệu luỹ thừa có ảnh hƣởng đáng kể
đến chuyển vị của dầm.
Phương pháp phần tử hữu hạn. Nhƣ ta đã biết, khi áp dụng phƣơng pháp phần tử
hữu hạn (PTHH) để phân tích kết cấu dầm, vấn đề rất quan trọng là chọn hàm dạng để
biểu diễn trƣờng chuyển vị bên trong phần tử qua các chuyển vị nút. Đối với phần tử
dầm cổ điển, các hàm dạng này đƣợc chọn là các đa thức Hermit, đồng thời cũng là lời
giải đúng của bài toán tĩnh. Do đó, khi áp dụng phƣơng pháp PTHH cho dầm FGM,
Kosmatka [39] cũng đã xây dựng các hàm dạng từ nghiệm của các phƣơng trình biến


9
dạng tĩnh có dạng đa thức với các hệ số phụ thuộc vào các tham số vật liệu. Khi
A12 = 0, hàm dạng đối với chuyển vị dọc trục là đa thức bậc nhất, với góc xoay là đa
thức bậc hai và độ võng là đa thức bậc ba. Hơn nữa, nếu xét dầm trong khuôn khổ lý
thuyết Euler-Bernoulli, thì ta sẽ có các hàm dạng cho chuyển vị dọc trục là đa thức bậc
nhất và cho độ võng là đa thức bậc ba. Các tác giả của công trình [9] đã sử dụng các

hàm dạng đa thức bậc hai cho chuyển vị dọc trục và góc xoay và đa thức bậc ba cho độ
võng, để xây dựng mô hình PTHH cho dầm Timoshenko làm từ vật liệu gốm và thép
có kể đến ảnh hƣởng của nhiệt độ. Mô hình PTHH này sau đó đã đƣợc áp dụng để
nghiên cứu các bài toán dao động riêng, dao động cƣỡng bức cũng nhƣ bài toán truyền
sóng trong dầm có 3 lớp: hai lớp gốm và thép nguyên chất đƣợc nối với nhau bằng lớp
giữa là FGM. Nhƣ vậy, sự biến đổi của vật liệu vẫn đảm bảo liên tục từ thép sang gốm.
Điều nổi bật trong công bố này là các tác giả đã phát hiện đƣợc sự tƣơng tác giữa các
tham số độ cứng và tham số quán tính làm thay đổi bức tranh truyền sóng của dầm
FGM so với dầm đồng chất. Cụ thể là tần số cắt (cut-off frequency) của dầm FGM đã
thay đổi: nằm giữa tần số cắt của hai loại vật liệu gốc. Eltaher và các cộng sự [16] đã
xây dựng mô hình PTHH cho dầm FGM dựa trên lý thuyết Euler-Bernoulli, nhƣng
tính đến vị trí thực của mặt trung hoà. Ở đây, các tác giả đã nghiên cứu khá chi tiết ảnh
hƣởng của vị trí mặt trung hoà đến tần số dao động riêng của dầm Euler-Bernoulli làm
từ vật liệu có cơ tính biến thiên theo quy luật hàm luỹ thừa. Yu và Chu [60] đã áp dụng
một phiên bản mới của phƣơng pháp phần tử hữu hạn gọi là phiên bản P (p-version
FEM) thay vì phiên bản cổ điển gọi là phiên bản H. Sử dụng phiên bản mới này, các
tác giả đã nghiên cứu và chẩn đoán dầm FGM có vết nứt sẽ đƣợc trình bày ở phần sau.
Ở Việt Nam, các tác giả Thái Hữu Tài và Võ Phƣơng Thức [52] đã ứng dụng lý thuyết
biến dạng trƣợt bậc cao để giải bài toán dao động tự do của dầm FGM. Nguyễn Trung
Kiên và cộng sự [42] đã sử dụng lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất để giải bài toán
dao động tự do của dầm FGM theo quy luật hàm số mũ. Võ Phƣơng Thức và cộng sự
[53, 54] đã thiết lập phƣơng trình chuyển động cho dầm sandwich FGM có lõi là vật
liệu thuần nhất và sử dụng để tính toán tần số và dạng dao động riêng của dầm.
Nguyễn Đình Kiên và cộng sự [21, 29-36] đã xây dựng công thức phần tử hữu hạn để
nghiên cứu ứng xử phi tuyến của dầm FGM dƣới tác động của lực tập trung và tải
trọng di động. Gần đây, việc ứng dụng phƣơng pháp PTHH cho dầm FGM có tiết diện


10
thay đổi dƣới tác dụng của tải trọng di động đã đƣợc nghiên cứu chi tiết trong luận án

tiến sỹ của Lê Thị Hà [1].
Phương pháp độ cứng động. Đặc thù của phƣơng pháp độ cứng động là giải bài
toán trong miền tần số. Vì vậy, sử dụng phép biến đổi Fourier, phƣơng trình chuyển
động trong miền thời gian của dầm đƣợc đƣa về trong miền tần số. Sau khi giải bài
toán trong miền tần số có thể sử dụng biến đổi Fourier để đƣa lời giải về miền thời
gian. Tuy nhiên Phƣơng pháp độ cứng động rất thuận tiện để giải bài toán dao động
riêng, đặc biệt là tính toán các tần số riêng cao. Su và Banerjee đã sử dụng phƣơng
pháp độ cứng động nêu trên để nghiên cứu dao động riêng của dầm FGM EulerBernoulli [51] và Timoshenko [50]. Kết quả chính mà các tác giả nêu trên nhận đƣợc
nhƣ sau: (1) Tần số tính đƣợc theo mô hình Euler-Bernoulli lớn hơn tần số tính bằng lý
thuyết Timoshenko, tuy nhiên sự khác nhau ở tần số cơ bản là không nhiều; (2) Hai
mode dao động dọc trục và uốn của dầm FGM không tách rời nhƣ của dầm đồng chất
mà tƣơng tác với nhau và chúng có thể nhận dạng đƣợc thông qua dạng dao động
riêng; (3) sự sắp xếp trật tự của các dạng dao động uốn và dọc trục chỉ phụ thuộc vào
độ mảnh của dầm và hầu nhƣ không phụ thuộc vào tính chất vật liệu; (4) Các tần số
phụ thuộc đơn điệu vào chỉ số mũ của quy luật biến thiên hàm luỹ thừa (giảm khi số
mũ tăng) và tần số uốn tỷ lệ nghịch đảo với bình phƣơng chiều dài và tần số dọc trục
thì tỷ lệ nghịch với chiều dài L.
Chakraborty và Gopalakrishnan [8] đã phát triển phƣơng pháp phần tử phổ để
nghiên cứu sự truyền sóng trong dầm FGM có kể đến tác dụng của nhiệt. Bản chất của
phƣơng pháp phần tử phổ giống nhƣ phƣơng pháp độ cứng động, nhƣng cách tiếp cận
và kết quả có sự cải tiến đầy đủ hơn. Cách tiếp cận của phƣơng pháp phần tử phổ cũng
xuất phát từ phƣơng trình chuyển động, nhƣng nó đề nghị tìm nghiệm của nó ở dạng
N

M

{u ( x, t ),  ( x, t ), w( x, t )}  {U j (n ),  j (n ), W j (n )}e

 ik j x int

e

,

(1.8)

n 1 j 1

trong đó n là tần số đã biết và kj là số sóng chƣa biết, N là số lƣợng tần số trong một
dải tần đang xét và M là số lƣợng các sóng có thể truyền trong kết cấu. Từ đó ta có thể
tính đƣợc ma trận độ cứng động và véc tơ lực ngoài (nếu có) bằng nguyên lý năng
lƣợng của cơ học. Các tác giả của tài liệu [8] đã áp dụng phƣơng pháp phần tử phổ nêu
trên để nghiên cứu sự truyền sóng đàn hồi trong dầm FGM. Kết quả nhận đƣợc có thể


11
tóm lƣợc nhƣ sau: Các tác giả đã phát hiện ra rằng khi bị kích động, trong dầm FGM
xuất hiện ba dạng sóng đàn hồi: sóng dọc, sóng ngang và sóng cắt, trong đó sóng
ngang (uốn) truyền với vận tốc thấp nhất và sóng cắt có vận tốc lớn nhất. Tuy nhiên,
sóng cắt chỉ xuất hiện đối với dầm có biến dạng trƣợt bậc cao và ở tần số lớn hơn tần
số cắt. Sự phụ thuộc của tần số cắt vào chiều dầy của lớp vật liệu FGM và chỉ số mũ
của quy luật biến thiên vật liệu và kết quả của [8] cho thấy tần số cắt tăng cùng với chỉ
số mũ n của vật liệu FGM.
1.2.3. Dầm FGM có vết nứt
Mô hình dầm FGM có vết nứt
Những vấn đề cơ bản của Cơ học phá huỷ vật liệu FGM đã đƣợc nghiên cứu
trong [18, 23], từ đó cho phép ta mô hình hoá một vết nứt cạnh có độ sâu a luôn mở và
vuông góc với mặt trung hoà bằng một lò xo xoắn có độ cứng bằng K  1/ C với C là
độ mềm cục bộ tại vết nứt đƣợc tính bằng

M c C (1  2 ) K I2

.
2 a
E (a)

(1.9)

với Mc là mômen uốn tại mặt cắt bị nứt,  là hệ số Poisson, K I2 là hệ số tập trung ứng
suất tại đầu vết nứt. Theo tác giả Yang và Chen [58], thì hệ số tập trung ứng suất tại
đầu vết nứt mở trong dầm FGM đƣợc tính bằng
4 aG ( z ) 
 2z  a 
KI  
 nTn 


1  n 0
 a 

(1.10)

với G(z) là mô đun trƣợt, Tn là đa thức Chebyshev, n là các hệ số,   3  4 cho bài
toán biến dạng phẳng. Tuy nhiên công thức trên khó áp dụng vì phải tính chuỗi vô hạn.
Một đề xuất khả thi hơn để tính hệ số tập trung ứng suất đƣợc trình bày trong [38] có
dạng

KI  

6M c a F ( E2 / E1 , a / h)

,
bh2

(1.11)

trong đó

F (r ,  ) 

1.1732  0.3539ln r  0.0289[ln r ]2  0.0061[ln r ]3  0.6625  3.0720 2
.
1  0.0014ln r  0.0017[ln r ]2  1.9917  0.3496 2  3.0982 3
(1.12)