TÍNH TỔNG 1

MỘT CÁCH PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
CÁC SỐ HẠNG CỦA MỘT DÃY SỐ
`````````````````````````````````````````````````````````
Tính tổng các số hạng của một dãy số học sinh đã được làm quen từ cấp 1 và
cấp 2. Tuy thế khi dạy đến phần này chỉ có thể dạy được cho một số ít học sinh giỏi
hoặc bỏ qua.Lên lớp 11 HS lại được gặp lại ở cuối học kỳ 1 và rồi cũng được dạy
qua quýt vì phần này thường không được hạn chế thi học kỳ. Cho nên khi gặp hoặc
luyện thi đại học thì HS thường lúng tung và rất khó chịu. Bởi lẽ nó vừa khó lại vừa
trừu tượng mà không thể tìm ra một phương pháp chung nào để giải quyết được.
Sau đây tôi xin nêu ra một cách nhìn, một hướng phát triển nhằm giúp HS và bạn
đọc phần nào giảm được sự khó chịu trong khi giải các loại toán này.
1. Từ một thí dụ đơn giản và khá quen thuộc sau, ta có thể sử dụng phương
pháp giải tương tự để phát triển bài toán:
• Tính tổng:
nS
+++=
21
1
.
Giải: Ta có
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
1
1112
11
21
11
1
1

+
=⇒++++++=⇒



++−+=
+++=
nn
SnnnS
nnS
nS



.
Ta có cách giải khác như sau :
Ta có :
( )
121
2
2
+=−+
kkk
(*). Thay
nk ;1
=
rồi cộng lại ta được :
( )
( )
2

1
211
11
2
+
=⇔+=−+
nn
SnSn
Với cách giải này ta có thể sử dụng để giải và phát triển các bài toán sau :
• Tính tổng:
222
2
21 nS
+++=

.
Giải: Ta có
( )
1331
23
3
++=−+
kkkk
(*). Thay
nk ;1
=
rồi cộng lại ta được
( )
( )( )
6

121
3311
212
3
++
=⇔++=−+
nnn
SnSSn
• Tính tổng:
( )
2
22
2
242 nS
c
+++=

.
Giải: Ta có
( )
( )
( )( )
3
1212
4214242
2
222
2
22
2

++
==+++=+++=
nnn
SnnS
c

• Tính tổng:
( )
2
22
2
1231
−+++=
nS
l

.
Giải: Ta có

( )
[ ]
( )
[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
[ ]
( )
3
14

221412
3
1
3
1212
3
1412
242221
2
2
22
2
22
2
−
=−−++=
++
−
−
++
=+++−+++=
nn
nnnn
nnn
nnn
nnS
l

• Tính tổng:
333

3
21 nS
+++=

.
Giải: Ta có
( )
14641
234
4
+++=−+
kkkkk
(*). Thay
nk ;1
=
rồi cộng lại ta được :
( )
( )
2
1
2
3123
4
2
1
46411 S
nn
SnSSSn
=







+
=⇔+++=−+
Vậy :
( )
2
1
2
333
3
2121 SnnS
=+++=+++=

.
• Tính tổng:
444
4
21 nS
+++=

.
Giải: Ta có
( )
15101051
2345
5

++++=−+
kkkkkk
. Thay
nk ;1
=
rồi cộng lại ta được:

( )
( )
( )
30
1961
51010511
23
41234
5
−+++
=⇔++++=−+
nnnnn
SnSSSSn
Đến đây kết quả bài toán không đẹp và cũng chẳng có quy luật gì, liệu có thể
phát triển bài toán sang một hướng khác hay không ?.
2. Nếu đặt T
1
= S
1
= 1 + 2 + ... + n
( )
2
1

+
=
nn
Ta đi xét các bài toán sau:
• Tính tổng:
( )
13.22.1
2
++++=
nnT 
.
Giải: Ta có
( )
kkkk
+=+
2
1
Thay
nk ;1
=
rồi cộng lại ta được:
( ) ( )( ) ( )
( )( )
.
3
21
1
2
1
121

6
1
1...3.22.1
122
++
=++++=+=++++=
nnn
nnnnnSSnnT
• Tính tổng:
( )( )
214.3.23.2.1
3
+++++=
nnnT 
.
Giải: Ta có
( )( )
kkkkkk 3431
23
++=++
Thay
nk ;1
=
rồi cộng lại ta được
( )( )
( )
( )( ) ( )
( )( )( )
.
4

321
1121
3
2
2
1
34214.3.23.2.1
2
1233
+++
=+++++






+
=
=++=+++++=
nnnn
nnnnn
nn
SSSnnnT 
Đến đây ta đã phát hiện được quy luật của bài toán và có thể phát biểu bài
toán dưới dạng tổng quát:
• Chứng ming rằng với ∀n, k ∈ N* ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1

1
1113.22.1
+
++
=−++++++=
k
knnn
knnnkkT
k


.
Giải: Ta có
( ) ( ) ( )
=−++++++=
1113.22.1 knnnkkT
k

( )
( ) ( )
1
1
!!
1
121
+
++
==++++
+
+−+++

k
knnn
CkCCCCk
k
kn
k
nk
k
k
k
k
k
k


Liệu có thể phát triển bài toán được nữa hay không?
• Chứng ming rằng với ∀m, n, k ∈ N
*
ta luôn có:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
11211
+
+++++
=
++++++++++++++=
k
knmnmnm

knmnmnmkmmmkmmmT
km



Giải: Ta có
( )( ) ( )
i
ikm
Ciikmimim
1
!11
−++
=−+++++

Thay
ni ;0
=
ta có :
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
1
1
!!11
2111
1
11
+

+++++
=
==+++=−++++++
++++++−++=
+
++−+++−+
k
knmnmnm
CkCCCkknmnmnm
kmmmkmmmT
k
nkm
k
nkm
k
km
k
km
km



3. Bài tập ứng dụng.
Tính tổng sau:
a)
555
5
21 nS
+++=


b)
666
6
21 nS
+++=

c)
( )( )( )
3212127.5.35.3.1
++−+++=
nnnS 
;
d)
( )( )
12125.3
2
3.1
1
+−
+++=
nn
n
S 
e)
112
1
12
1
2

4
2
44
−
++
−
+
−
=
n
n
S 
.
Mời các bạn hãy thử phát triển tiếp các bài toán trên.
Nguyễn Xuân Đàn.