Một bài toán HH9 có nhiều ứng dụng

CẦN CHỦ ĐỘNG TÌM HIỂU NHỮNG BÀI TOÁN CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG
( Đặng Hải Giang – GV – THCS Phan Đình Giót – Cẩm Xuyên – Hà Tĩnh )
Trong hệ thống các bài toán có những bài chỉ đơn thuần rèn luyện, củng cố những
kiến thức, kỉ năng sau mỗi bài học. Nhưng củng có những bài ngoài mục đích trên thì nó
còn có vai trò như một “ chìa khóa ” để giải nhiều bài toán khác. Chủ động tìm những bài
toán như thế và tìm hiểu sâu về chúng là một trong những con đường mang lại kết quả cao
trong học toán. Sau đây là một ví dụ.
Bài toán 1: Cho hai đường tròn (O) và (O
/
) cắt nhau tại A và B. Gọi CD là tiếp
tuyến chung của hai đường tròn trong đó C, D là hai tiếp điểm.
CMR: AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CD.
Lời giải bài toán này khá đơn
giản. Gọi giao điểm của AB và CD là I.
Vì IC là tiếp tuyến còn IAB là cát tuyến
của (O) nên ta có: IC
2
= IA.IB, tương tự
ta có: ID
2
= IA.IB. Từ đó suy ra đpcm.
Từ kết quả trên ta thấy C, D cách
đều AB do đó hai tam giác ABC và
ABD có cùng diện tích. Vì vậy bài toán
trên có thể phát biểu như sau:


I D
C
A
B

O
/
O
Bài toán 2: Cho hai đường tròn (O) và (O
/
) cắt nhau tại A và B. Gọi CD là tiếp
tuyến chung của hai đường tròn trong đó C, D là hai tiếp điểm. CMR:
ABC ABD
S S=
.
Tạo một đường thẳng song song CD rồi thông qua trung điểm của CD làm xuất hiện
trung điểm của đoạn thẳng mới.
Bài toán 3: Cho hai đường tròn
(O) và (O
/
) cắt nhau tại A và B. Gọi CD
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
trong đó C, D là hai tiếp điểm. Qua A vẽ
đường thẳng song song với CD cắt BC
và BD lần lượt tại P và Q. CMR: A là
trung điểm của PQ.
Q


P
O
O
/

B
A
C
I D


Nếu xem ACD, (BCD) là một nửa của hình bình hành có I là tâm đối xứng khi đó
đỉnh còn lại sẻ nằm trên đường thẳng AB. Điều này giúp ta có được bài toán sau:
Bài toán 4: Cho hai đường tròn (O:R) và (O
/
;R
/
) cắt nhau tại A và B (R > R
/
)
Gọi CD là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
( )
/
( ), ( )C O D O∈ ∈
. Từ C và D lần
lượt vẽ các đường thẳng song song với AD và AC chúng cắt nhau tại E ( B nằm giữa A và
E). CMR:
a) A, B, E thẳng hàng.
b) BCED là tứ giác nội tiếp.
c) BE < R + R
/
.
Gợi ý : ( Phần trình bày chi tiết dành cho bạn đọc )

a) Vì AB và AE cùng đi qua trung điểm I của CD nên A, B, E thẳng hàng.
b) Vì ABCD là hình bình hành và CD là tiếp tuyến nên:
· ·
·
·
CED CAD BCD BDC= = +
· · ·
·
·
0
180 dpcm
CED CBD CBD BDC BCD+ = + +
= ⇒
c) Gọi M là trung điểm của OO
/
, suy ra:
/
2
R R
MI
+
=
. Lấy K đối xứng với B qua
I thì BCKD là hình bình, do đó: BE =
AK = 2HI
mà
/
HI MI BE R R≤ ⇒ ≤ +
. Nhưng vì
/

R R≠
nên dấu bằng không xẩy ra, từ đó
ta có điều phải chứng minh.
M
H
E

K
O
/
O
D
C

I
B
A
Kết hợp bài toán 1 với bài toán 4 ta được bài toán hay và khó như sau:
Bài toán 5: Cho một đường tròn cố định (O) và một dây cung cố định CD của đường
tròn đó. Một điểm A di động trên đường tròn (O). Gọi B là giao điểm thứ hai của các
đường tròn qua A, lần lượt tiếp xúc với CD tại C và D.
a) CMR: AB luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp các điểm B.
Gợi ý:
a) AB luôn đi qua trung điểm I của CD cố
định.
b) Gọi E và O
/
lần lượt đối xứng với A và O
qua trung điểm I của CD vì O, I cố định nên

O
/
cố định. Theo tính chất đối xứng ta có:
OA = O
/
E, OC = O
/
D, OD = O
/
C.
Vì OA = OC = OD nên O
/
E = O
/
D = O
/
C,
suy ra O
/
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác CDE. Theo (4b) thì B củng thuộc
đường tròn (O
/
). Vậy tập hợp các điểm B là
đường tròn (O
/
) đối xứng với (O) qua trung
điểm của CD.
Các bạn hãy giải các bài tập sau để thấy
thêm những thú vị mà bài toán 1 mang lại.

Bài toán 6: Cho nửa đường tròn (O)
đường kính AB và hai điểm E, F thuộc nửa
đường tròn sao cho các dây AE và BF cắt nhau tại H, các đường thẳng AF và BE cắt nhau
tại C. Gọi I là giao điểm của BF và OE, gọi (O
/
) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OHF.
CMR: IO = IE khi và chỉ khi OE là tiếp tuyến của đường tròn (O
/
).
Bài toán 7: Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Trên tiếp
tuyến tại A lấy một điểm B cố định. Gọi (O
/
) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B có bán
kính thay đổi. Tìm tập hợp các trung điểm I của dây chung CD.
Từ bài toán 1 nếu cho A và B trùng với nhau thì kết quả bài toán sẻ thay đổi như thế
nào, xung quanh bài toán mới này có gì thú vị ? Tất cả đang chờ các bạn khám phá. Chúc
các bạn thành công !
O
2
O
1
O
/
O
E

D
C

I

B
A